Arcs rampants Arcs rampants

al Pati de la al Pati de la

Casa Casa

CastellarnauCastellarnau

Ramon Nolla Ramon Masip Departament de Matemàtiques

IES Pons d’Icart Novembre 2006

Definició de l’objectiu

Elaboració d’un procediment de

construcció de l’arc a partir de:

• L’establiment d’hipòtesis de

treball extretes de l’observació

• Recerca i definició del

problema geomètric clau

• Anàlisi geomètrica del

problema clau

Hipòtesis de

treball

Hipòtesi 1

Ens trobem davant d’un

arc rampant compost

• de tres arcs de cercle

tangents,

• de manera que els

dos arcs extrems són

tangents, en els punts

d’arrencada, a dos

segments paral·lels

Coneixem la posició de

• els punts A i B

d’arrencada

• els segments AC i

BD de suport

Hipòtesi 2

1a. Conclusió

En ser els arcs extrems

tangents als segments AC i

BD,

els seus centres Q i R

es troben sobre les

perpendiculars AK i BL

a aquests segments.

Activitat 1

Coneixem la posició del

punt M de l’arc que:

• es troba sobre la

paral·lela r a AC i BD,

• tal que d(r,AC)=d(r,BD).

Hipòtesi 3

En el punt M, la tangent t

a l’arc intermedi

és paral·lela al

segment AB que

determina la inclinació

de l’escala.

Hipòtesi 4

2a. Conclusió

El centre P de l’arc intermedi

es troba

sobre la recta s,

perpendicular a la tangent

t, i al segment AB,

perquè el radi fins el punt

de tangència i la tangent

són perpendiculars

Imposem que el centre

P es troba

sobre el segment AC

i visualitzem els

centres Q, R i P de

les tres

circumferències.

Hipòtesi 5

Activitat 2

Recerca i definició

del problema

Recerca

Observem que hem determinat

el cercle intermedi de centre P i

radi PM. Ens cal construir els

cercles que:

• passen per A i B respectivament,

• de centres Q i R sobre les semirectes AK i BL,

• i tangents al cercle (P,PM).

Definició del problema

Donats

• un cercle C(P,PM),

• un punt interior A

• i una semirecta k d’origen A,

es tracta de construir un cercle

• que passi per A

• i tingui el centre Q sobre la semirecta k.

Anàlisi geomètrica

del problema

Marxa de l’anàlisi

• Se suposa el problema resolt.

• S’estudien les propietats dels objectes implicats amb

l’ajut d’altres auxiliars que es van introduint.

• Se’n treuen consequències.

• Quan s’arriba a una conseqüència de construcció

coneguda, l’anàlisi s’ha acabat.

• És el moment de la síntesi. S’intenta refer el procés

marxa enrera, a partir de l’objecte que se sap

construir, fins obtenir la construcció desitjada.

Etapa 1

Hi ha una línia recta que

conté

• El centre Q del cercle

(Q,QA) cercat,

• el punt P, centre del

cercle C

• i el punt de tangència T

Etapa 2

Si traslladem la distància

PT, radi del cercle C,

sobre la semirecta k, a

partir d’A,

obtenim el punt B sobre k

tal que AB=PT.

Llavors,

BQ=BA-QA=PT-QT=PQ

Síntesi

El centre Q es troba

• sobre la mediatiu de PB

• i sobre la semirecta k.

Per tant, l’anàlisi s’ha

acabat perquè sabem

construir la mediatriu de PB.

Passem a la construcció

Activitat 3

Construcció de l’arc

Visualització

Activitat 4