Areal

Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus.

Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede arealet af forskellige flader Egypterne havde brug for at kunne beregne areal -bl.a. fordi størrelsen af deres jordområder afgjorde, hvor meget de skulle betale i skat,

I dag har vi stadig brug for at kunne beregne areal. Vi vil fx gerne kunne beregne areal af boliger eller kunne beregne, hvor meget maling vi har brug for, når vi skal male etværelse.

I kapitlet skal du arbejde med at udvikle og bruge metoder t i l beregning af forskellige figurers areal.

NTRO

MUNDTLIG SAMMENHÆNG MELLEM AREALER

Der er sammenhæng mellem arealet af rektanglet, parallelogrammet og trekan­ten øverst.

1 Hvad er arealet af hver af de tre figurer øverst? Forklar, hvordan I finder arealet af hver figur.

2 Hvilken sammenhæng er der mellem

a rektanglets areal og parallelo­grammets areal?

b parallelogrammets areal og trekantens areal?

c trekantens areal og rektanglets areal?

3 Er rektanglet og parallelogrammet herunder lige store?

. -

\ X \

! •

Brug kopiark 1. Klip i parallelogram­met og undersøg, om det kan dække rektanglet.

4 Forklar, hvordan I kan beregne arealet af parallelogrammer, og hvor­for jeres metode virker.

26 AREAL

Når I kan finde arealet af trekanter, kan I også finde arealet af andre polygoner, fordi de altid kan inddeles i trekanter.

5 Find arealet af hver af de tre figurer øverst. Brug evt. kopiark 2.

6 Tegn eller klip mindst fire forskellige figurer, som I kan finde arealet af ved at inddele dem i trekanter. Find arealet af hver figur, og forklar, hvordan I gør

7 Giv eksempler på figurer, som I ikke kan finde arealet af ved at inddele dem i trekanter

Indhold og mål

I dette kapitel skal I arbejde med at udvikle og bruge forskellige metoder at finde areal.

Målet er, at

bliver bedre t i l at finde areal af t re­kanter og parallelogrammer.

udvikler en metode t i l at finde areal af trapezer.

udvikler en metode t i l at finde area af cirkler.

kan bruge metoder t i l arealbestem melse i praktiske sammenhænge.

AREAL 27

PROBLEM HVILKEN FIGUR ER STØRST?

1 På hvilke sømbræt er trekantens areal

a lige så stort som firkantens? b halvt så stort som firkantens? c hverken halvt så stort eller lige så stort som

firkantens?

T v /T

* \* * / T

• • • » •

' — T / f

T y / *

T/ * / * ' /T */ * i-—i é •

2 Et figurpar består af en trekant og en firkant. Tegn mindst fem forskellige figurpar på sømbræt-papir, hvor

a trekanten og firkanten er lige store. b trekanten er halvt så stor som firkanten.

3 Forklar, hvordan du kan lave figurpar, hvor

a trekanten og firkanten er lige store. b trekanten er halvt så stor som firkanten.

28 AREAL

FÆRDIGHED

1 Find arealet af hver figur. 2 Find arealet af hver lejlighed.

4 m 2,5 m

4 m

a

12m 1

—<;

\

3 Find arealet af

a huset. b haven.

24 m

24 m

i ' ' ' J_

< ; : ; : ; ; _ ^

6 m

X

\

16 m

Hus

Have

6 m

10 m 32 m

9 m

7 m *

2 m

\

5 m

\ 3m

9 m

b

5 m

y

16 m

AREAL m ^ 29

. : ' ^

MUNDTL C HØJDER OG GRUNDLINJER

n Højderne i parallelogrammer

I formelsamlinger og opslagsbøger kan I bl.a. finde en forklaring på, hvordan I beregner arealet af et parallelogram.

Der kan fx stå:

„Arealet af et parallelogram kan bestem­mes ved én af siderne g og den højde h, der står vinkelret på denne side: A = h • g "

1 Undersøg, hvad der står i jeres formelsamling om arealet af et parallelogram.

Hvis I skal bruge formlen, må 1 vide, hvad der menes med g og h.

Til hver side i et parallelogram hører der en højde. I kan derfor begynde med at vælge en side og bagefter finde den højde, som hører t i l . Den side, I vælger, kaldes grundlinjen el lery.

n

En højde i et parallelogram er et linje­stykke, der står vinkelret på to af de parallelle sider. Den højde h, der hører ti l grundlinjen g, står vinkelret på g.

2 Hvor mange forskellige par a fg rund-linjer og højder er der i et parallelo­gram?

3 De to parallelogrammer øverst er kongruente og har derfor samme areal. Hvad er længden af hvert paral­lelograms grundlinje og højde?

4 Klip eller tegn hver mindst tre for­skellige parallelogrammer, der har samme areal. Forklar, hvordan I har gjort .

30 AREAL

H Højderne i t rekanter

A

Grundlinjer og højder kan også bruges ti l at finde arealet af en trekant.

I en opslagsbog kan der fx stå:

„En trekants areal T kan beregnes som en halv højde gange grundlinje:

Ligesom i et parallelogram kan I vælge hver side i en trekant som grundlinje. Til hver side hører en højde.

En højde i en trekant er et linjestykke, der går fra en vinkelspids og står vin­kelret på den modstående side - eller forlængelsen af den modstående side. Den højde h, der hører t i l grundlinjen g, står vinkelret på ^ - eller forlængelsen af g.

5 Hvor mange forskellige par af grundlinjer og højder er der i en trekant?

6 Hvor store er vinklerne mellem grundlinjer og højder?

7 De tre trekanter øverst er kongruente og har derfor samme areal. Hvad er længden af hver trekants grundlinje og højde?

8 Klip eller tegn hver mindst tre for­skellige trekanter, der har samme areal. Forklar, hvordan I har gjort .

AREAL ^ M 31

„._..__J

PROBLEM HØJDERNE I EN TREKANT

Du skal bruge et geometriprogram ti l at løse opgaverne på siden. Hent filen „Trekant" på Kolorits hjemmeside.

1 Aflæs arealet af trekant ABC. Hvad sker der med arealet, når du

a gør grundlinjen dobbelt så lang? b gør højden dobbel t så lang?

2 Træk i punktet R Hvorfor ændres arealet af trekant ABC ikke?

3 Linjestykket BP er den højde, der hører ti l grund­linjen, AC. Hvilken type trekant er ABC, når højden ligger

a uden for trekanten? b på trekanten? c inden i trekanten?

4 Træk i hvert punkt, så arealet af trekant ABC bliver ca. 72. Hvad kan længden af højden og grundlinjen være, når arealet er 72? Skriv mindst tre forskellige løsninger.

32 ^ M AREAL

1 /''"'^X

y ^ ^ •

Mål den højde i trekanten til deitx^^

a røde g^rundlinje. b blå grundlinje. c grønne grundlinje.

2 X

\ . , ^

\ ^ ^

^ \

^ x

V

der hører

\

3

4

5

6

a

b

a

b

a

b

H te

^ ^ ^ ^ • H FÆRD GHED ^ ^

Find arealet af en trekant med en grundlinje på 6 cm og en højde på 3 cm. Hvordan kan trekanten se ud? Tegn mindst tre forskellige løs­ninger.

Find arealet af et parallelogram med en grundlinje på 6 cm og en højde på 3 cm. Hvordan kan parallelogrammet se

ud? Tegn mindst tre forskellige løsninger.

Tegn et tilfældigt parallelogram og navngiv siderne a, b, c og d. Hvilket tal skat du gange med a for at finde parallelogrammets areal? Hvilket tal skal du gange med b? c? d? Tegn en ti l fældig trekant og navn­giv siderne a, b og c. Hvilket tal skal du gange med a, for at finde trekantens areal? Hvilket tal skal du gange med b? c?

er er skitser af to forskellige trekan-r, der begge har arealet 21 cm^.

Mål den højde i parallelogrammet, der hører ti l den

a røde grundlinje, b gule grundlinje, c grønne grundlinje, d blå grundlinje.

3 Grundlinjen i den ene trekant er 7 cm. Hvor lang er højden?

b Højden i den anden trekant er 5 cm. Hvor lang er grundlinjen?

AREAL 33

MUNDTLIG AREALET AF ET TRAPEZ

To kongruente trapezer

I kan finde arealet af et trapez ved at inddele det i trekanter og lægge arealet af hver trekant sammen. Men I kan også udvikle en formel, som gør det hurtigere af f inde arealet.

På billedet øverst er der to kongruente trapezer. Som I kan se, kan de to trapez­er tilsammen danne et parallelogram.

1 Undersøg, om to kongruente trapez­er altid kan danne et parallelogram.

2 Hvad er arealet af parallelogrammet øverst? Forklar, hvordan I finder det.

3 Hvordan kan I nu finde arealet af hvert trapez? Skriv en formel.

4 Tegn eller klip mindst tre forskellige trapezer. Brug jeres formel ti l at finde arealet af hvert trapez. Sammenlign jeres resultater med det areal, I kan finde ved at inddele i trekanter

34 AREAL

/

LIGEBENEDE TRAPEZERS AREAL PROBLEM

I et trapez er netop to sider parallelle. Hvis de to sider, der ikke er parallelle, er lige lange, kaldes trapezet for et l igebenet trapez.

1 Herunder ses to følger af ligebenede trapezer, der vokser Løs opgave a-d for hver følge.

a Tegn trapezet på tr in 4 . b Find arealet af hvert trapez på tr in 1 , 2 , 3 og 4 . c Hvad bliver arealet af trapezet på tr in 10? d Kan du lave en regel?

Følge 1:

1 cm

Trin 1

2 cm

Trin 2

2 cm

5 cm

5 cm

Trin 3

Følge 2: 3 cm

4 cm

Trin 1 Trin 2

2 Tegn selv en følge af trapezer, der vokser fra t r in ti l t r in . Trapezerne behøver ikke at være ligebenede. Undersøg arealet af hvert trapez og beskriv, hvordan de vokser. Du kan udstille din følge af trapezer på Kolorits hjemmeside.

5 cm

Trin 3

AREAL 3S

MUNDTLIG AREALET AF EN CIRKEL

Fra cirkel t i l parallelogram

I skal udvikle en formel, der kan bruges t i l at finde arealet af en cirkel.

På billedet øverst kan I se en cirkel, der er blevet klippet i mindre stykker Stykkerne er lagt, så de næsten danner et parallelogram. Arealet af cirklen og parallelogrammet er derfor det samme.

1 Tegn en cirkel med radius 10 cm.

2 Hvad er cirklens omkreds?

3 Inddel cirklen i mindre stykker som vist på billedet øverst. Klip cirkelstyk­kerne ud, og læg dem, så de danner et parallelogram.

4 Hvor lang er parallelogrammets grundlinje og højde? Hvor stort er parallelogrammets areal?

5 Hvor lang ville parallelogrammets grundlinje og højde være, hvis cirklen havde radius r?

6 Skriv en formel for cirklens areal.

36 AREAL

STØRRELSEN AF TALLERKNER

1 En familie har to størrelser tallerkner Den mindste tallerken har en diameter på 15 cm, og den største tallerken har en diameter på 30 cm.

Beregn arealet af hver tallerken.

2 Familiens lillebror mener, at den største tallerken er dobbelt så stor som den mindste.

Familiens storebror mener, at den største tallerken er fire gange så stor som den mindste.

Hvem har ret? Hvorfor?

3 Familien synes, at de mindste tallerkner er for små, og de største tallerkner er for store. De vil gerne købe nogle nye tallerkner, hvis størrelse er midt imellem den mindste og den største.

Hvilken diameter skal den nye tallerken ca. have, hvis man spørger familiens

a lillebror? b storebror?

AREAL

FÆRDIGHED

1 Beregn arealet af hvert trapez.

2 Beregn arealet af hver cirkel. Brug lommeregner.

3 Beregn arealet af hver figur. Brug lommeregner.

4 1 matematikskriftet Rhind Papyrus påstås det, at en cirkel med en dia­meter på 9 cm har samme areal som et kvadrat med sidelængden 8 cm.

8cm

Undersøg, om det er r igt igt. Brug lommeregner.

38 AREAL

NY SWIMMINGPOOL PROBLEM

Tegningen øverst viser en grund med et hus set fra oven. Den er lavet i målestoksforholdet 1:200.

1 Tegn grunden og huset i et målestoksforhold, du selv vælger.

2 Beregn det virkelige areal af

a grunden, b huset. c haven.

3 Familien, der bor i huset, vil gerne have anlagt en rund swimmingpool i haven. De kan vælge mellem de størrelser, der er vist i skemaet ti l højre.

a Vælg en pool , og tegn den på din tegning fra opgave 1.

b Beregn poolens areal.

4 a Hvad er diameteren på den største pool , familien kan vælge?

b Hvilken pool skal de vælge, hvis de gerne vil have en stor pool, men samtidig ønsker, at den skal fylde mindre end en tredjedel af haven?

Runde swimmingpools, diametre i meter

7,S

10

12

13

15

AREAL 39

POINTER HVAD VED DU NU O M ...?

Tjeklisten

Udfyld din elektroniske logbog med følgende færdigheder.

Finde, måle og tegne højder i et parallelogram

Finde, måle og tegne højder i en trekant

Finde arealet af trekanter

Finde arealet af parallelo­grammer

Finde arealet af trapezer

Finde arealet af cirkler

Skriv om di t arbejde med kapitlet. Brug evt. din elektroniske logbog.

Det kan være en god ide også at forklare med tegninger. Her er forslag t i l , hvad du kan komme ind på:

• Skriv formler, som du har arbejdet med i kapitlet. Forklar, hvad formlerne kan bruges t i l .

• Forklar, hvad der menes med højder i et parallelogram og i en trekant.

• Forklar, hvorfor formlerne t i l at finde arealet af rektangler og parallelogrammer er ens.

• Forklar, hvorfor du også kan finde arealet af trekanter og trapezer, når du kan finde arealet af parallelogrammer.

• Forklar med tegninger, hvorfor formlen t i l at finde arealet af cirkler er rigtig.

• Beskriv nogle situationer fra hverdagen, hvor man bruger arealberegning.

• Fortæl, hvordan du bedst arbejder med matematik -alene eller sammen med andre?

40 AREAL