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Áreas – parte 2
Rodrigo Lucio
Isabelle Araújo
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Área do Círculo
Veja o círculo inscrito em um quadrado.
Medida do lado do quadrado: 2r.
Área da região quadrada: (2r)2 = 4r2.
Então, a área do círculo com raio
de medida r é menor do que 4r2.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2
r2r 2r
2r
2r
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Área do Círculo
Agora observe o mesmo círculo circunscrito a um quadrado.
O quadrado tem diagonais de medidasde 2r.
Como o quadrado é um caso particularde losango, a área da região quadradapode ser obtida assim:
𝟐𝒓 . 𝟐𝒓
𝟐=
𝟒𝒓𝟐
𝟐= 2r2
Então, a área do círculo com raio de medida r é maior do que 2r2.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3
r
r
r
r
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Área do Círculo
Assim, em um círculo com raio de medida r,
a área A é tal que:
2r2 < A < 4r2
A área A é obtida pelo produto de um
número próximo de 3 por r2.
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Determinação da área circular
Temos duas maneiras para determinar a área do círculo.
• 1ª maneira: Usando círculo dividido em setores.
O círculo a seguir foi dividido em um número par desetores circulares que formaram uma figura cujocontorno lembra um retângulo.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5
r
rr
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Determinação da área circular
Onde a área da figura anterior
(“retângulo”), que é também a área do
círculo, é A = (r).r r2, isto é:
A = r2
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Determinação da área circular
• 2ª maneira: Usando polígonos regulares
Área da região determinada por uma polígono regular é
dado por A =𝒂𝑷
𝟐, em que a é a medida do apótema e P é o
perímetro. Analise as figuras a abaixo:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7
a
a
a
a r
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Determinação da área circular
À medida que aumentamos o número de
lados dos polígonos regulares, a tendência
é chegar ao círculo, no qual o apótema
passa a ser o raio (r) e o perímetro passa a
ser o comprimento da circunferência (2r).
Assim, a área do círculo pode ser
representada por:
A = 𝑎𝑃
2 A =
𝑟 . 2𝑟2
A = r2
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Vamos praticar...
Obtenha quantas pessoas cabem,
aproximadamente, em uma praça circular
de 20m de raio, considerando 5 pessoas por
metro quadrado.
A = r2 A = 3,14 . 202 A = 1256 m2
Número aproximado de pessoas = 1256 . 5
Número aproximado de pessoas = 6280
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Vamos praticar...
Calcule a área da varanda representada na
figura abaixo.
Analisemos a imagem da seguinte forma:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10
3m
1,5m1,5m
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Vamos praticar...
Assim, para obter a área da varanda somamosa área do retângulo e a do semicírculo.
Área do retângulo = 3 . 1,5
Área do retângulo = 4,5m2
Área do semicírculo = . (1,5)2
𝟐 . 2,25
𝟐
7,065𝟐
3,5325m2
Área da varanda = 4,5 + 3,5325 8,0325m2
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Vamos praticar...
Um ajudante leva 2 h para limpar o piso de umgalpão, de forma circular com 4 m de raio. Se oraio desse galpão fosse 8 m, quanto tempo elelevaria?
Calculamos a área dos dois galpões: o 1º com4 m de raio e o 2º com 8 m de raio.
1º galpão:
A1 = 42 A1 = 16 A1 = 50,24m2
A2 = 82 A2 = 64 A2 = 200,96m2
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Vamos praticar...
Para limpar o 1º galpão de 50,24 m² gasta-se 2 h e para limpar o 2º galpão de200,96m2 gasta-se um tempo desconhecidode x h. Quanto maior for a área do galpão,maior será o tempo gasto para limpá-lo,têm-se grandezas diretamenteproporcionais. Logo:2
𝑥=
50,24
200,96 50,24x = 401,92 x =
401,92
50,24
x = 8h
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Vamos praticar...
Um terreno tem a forma da figura abaixo.
Na figura estão registrados alguns dados do
terreno, que nos permite calcular a sua
área. Calcule então a área desse terreno.
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8m
6m
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Vamos praticar...
Como o terreno é formado por duas figurassendo elas um triângulo e um semicírculo.Assim, vamos obter a área do triângulo edepois do semicírculo.
Área do triângulo = 8 .6
2
Área do triângulo = 48
2
Área do triângulo = 24m2
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8m
6m
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Vamos praticar...
Agora iremos obter a área do semicírculo. Para issoprecisamos do raio do semicírculo que é a metade dodiâmetro. Onde nesse caso a hipotenusa do triângulo éo diâmetro do semicírculo(D). Assim, podemos usar oteorema de Pitágoras para obter o diâmetro(D).
D2 = 62 + 82
D2 = 36 + 64
D2 = 100
D = 10m
Logo o raio do semicírculo é 5m.
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8m
6m
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Vamos praticar...
Agora vamos determinar a área do
semicírculo:
Área do semicírculo =𝟓𝟐
𝟐
𝟐𝟓𝟐
m2
Área do terreno = 24 +252
48+25
2
48 +78,5
2
126,5
2 63,25m2
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Vamos praticar...
O perímetro do quadrado ABCD da figura é
32cm. Calcule a área da região colorida da
figura.
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D C
BA
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Vamos praticar...
A região colorida representa a diferença
entre a área do quadrado e dos quatro
setores. Então, vamos calcular a área do
quadrado:
Através do perímetro do quadrado (P)
determinaremos o lado (𝒍), que será usado
para a o calculo da área, assim:
P = 4 . 𝑙 32 = 4 . 𝑙 𝑙 =32
4 𝒍 = 8cm
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Vamos praticar...
Área do quadrado = 𝑙2 82 64cm2
Observando a imagem vemos que o lado (𝒍) equivale a 2r. Assim:
8 = 2r r = 8
2 r = 4cm
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D C
BA
rr
r
r
r r
r
r
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Vamos praticar...
Observe a imagem ao lado:
Vemos que cada setor circular corresponde a𝟏
𝟒da
área do circulo, logo os 4 setores representam aárea do circulo.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21
D C
BA
rr
r
r
r r
r
r Cr
r
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Vamos praticar...
Área do círculo = r2 16cm2
Região colorida = Área do quadrado -
Área do círculo
Região colorida = 64 - 16
Região colorida = 64 – 50,24 13,76cm2
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Razão de semelhança
Duas figuras são semelhantes quando uma
é a ampliação da outra. A figura mostra dois
quadriláteros semelhantes.
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Razão de semelhança
A razão entre duas linhas de figurassemelhantes é denominada de razão desemelhança(k).
L𝟐
L𝟏
= k
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L1 L2
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Razão de semelhança para área
A razão entre as áreas de figurassemelhantes é igual ao quadrado darazão de semelhança(k2).
A2
A1= k2
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A1A2
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Vamos praticar...
A área do triângulo retângulo é de 30cm2. A
área de um triângulo retângulo semelhante
ao primeiro é de 120cm2. Se a hipotenusa
do primeiro triângulo mede 13cm, quanto
mede a hipotenusa do segundo triângulo?
A razão entre as áreas é:
k2 = A2
A1 k2 =
120
30 k2 = 4 k = 2
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Vamos praticar...
A razão entre as hipotenusas é:
k = hipot2hipot1
k = hipot213
2 = hipot213
hipot2 = 26cm
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