MOMENTO DE INERCIA

INTRODUCCIN.

Momento de inercia en reas planas, es el tema que se trata a continuacin, con ayuda de textos de ciencias e ilustraciones nos concentraremos en detallar la idea de la investigacin. Las causas de investigacin son la prctica y el dominio de dicho tema para bien. Nuestros objetivos son describir al lector en su mayora universitarios los conceptos y utilidades del momento de inercia, dando a conocer sus formulas principales y como poder utilizarlas en algn ejercicio propuesto, describiremos por igual algunos otros temas que ayudan a fortalecer el concepto general.

EL MOMENTO DE INERCIALa inercia es la propiedad de la materia que hace que sta resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea de direccin o de velocidad. Esta propiedad se describe con precisin en la primera ley del movimiento del cientfico britnico Isaac Newton, que dice lo siguiente: un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar movindose en lnea recta, a no ser que acte sobre ellos una fuerza externa.

Por ejemplo, los pasajeros de un automvil que acelera, sienten contra la espalda la fuerza del asiento, que vence su inercia y aumenta su velocidad. Cuando ste frena, los pasajeros tienden a seguir movindose y salen despedidos hacia delante. Si realiza un giro, un paquete situado sobre el asiento se desplazar lateralmente, porque la inercia del paquete hace que tienda a seguir movindose en lnea recta.Cualquier cuerpo que gira alrededor de un eje presenta inercia a la rotacin, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotacin y la direccin de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotacin est determinada por su momento de inercia, que no es ms que la resistencia que un cuerpo en rotacin opone al cambio de su velocidad de giro. El momento de inercia desempea en la rotacin un papel equivalente al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si una catapulta lanza una piedra pequea y una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequea se acelerar mucho ms que la grande.El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el MOI tambin depende de la distribucin de masa en un objeto. Cuanto ms lejos est la masa del centro de rotacin, mayor es el momento de inercia.

Una frmula anloga a la segunda ley de Newton del movimiento, se puede reescribir para la rotacin:

*F = Ma (F = fuerza; M = masa; a = aceleracin lineal)

*T = IA (T = torsin; I = momento de inercia; A = aceleracin rotacional)

El momento de inercia de un objeto depende de su masa y de la distancia de la masa al eje de rotacin. Este momento no es una cantidad nica y fija, ya que si se rota el objeto en torno a un eje distinto, tendr un momento de inercia diferente, puesto que la distribucin de su masa en relacin al nuevo eje es normalmente distinta. Para cambiar la velocidad de giro de un objeto con elevado momento de inercia se necesita una fuerza mayor que si el objeto tiene bajo momento de inercia.

Para sistemas discretos este momento de inercia se expresa como

No obstante, a la hora de determinar el momento de inercia de un determinado cuerpo es interesante conocer que

1. La simetra del cuerpo permite a veces realizar slo parte del clculo.

2. Como el momento de inercia es aditivo el clculo de un momento de inercia de un cuerpo compuesto se puede tomar como la suma de los momentos de inercia de sus partes. Tambin si tenemos un cuerpo formado por uno ms sencillo al que ``le falta un cacho'' podemos calcular su momento como la suma del cuerpo sencillo menos el cacho que le falta.

3. Muchas veces dado el momento de inercia de un cuerpo respecto a un cierto eje podemos sacar su momento en otro eje sin necesidad de recalcularlo usando el teorema de Steiner o el de las figuras planas.

Seleccin de la posicin de los ejes de referencia.

Se necesitan tres ejes de referencia para definir el centro de gravedad, pero slo se necesita un eje para definir el momento de inercia. Aunque cualquier eje puede ser de referencia, es deseable seleccionar los ejes de rotacin del objeto como referencia. Si el objeto est montado sobre soportes, el eje est definido por la lnea central de los soportes. Si el objeto vuela en el espacio, entonces este eje es un "eje principal" (ejes que pasan por el CG y estn orientado de forma que el producto de inercia alrededor de ese eje es cero). Si el eje de referencia se va a utilizar para calcular el momento de inercia del una forma compleja, se debe elegir un eje de simetra para simplificar el clculo. Este eje puede ser trasladado, ms tarde, a otro eje si se desea, utilizando las reglas descritas en el apartado "Teorema de los ejes paralelos".Signo / polaridad de momento de inercia.

Los valores del centro de gravedad pueden ser positivos o negativos, y de hecho, su signo depende de la eleccin de los ejes de referencia. Los valores del momento de inercia, slo pueden ser positivos, ya que la masa slo puede ser positiva.Comprobacin de clculos de MOI mediante medidas fsicas. Existen instrumentos para medir el momento de inercia con una precisin del 0.01%. Los equipos modernos utilizan pndulos de torsin invertidos, ya que estos instrumentos son tan precisos como fciles de usar. Los otros mtodos descritos solo tienen un inters histrico. Entre estos mtodos tenemos: Pndulo de torsin invertido.

Pndulo trefilar para objetos grandes. Pndulo compuesto no recomendado. Grado de aceleracin mtodo terico de los libros de texto. Teorema de las figuras planas o de los ejes perpendiculares.

El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la figura es igual a la suma de los momentos de inercia de dos ejes que estn contenidos en el plano de la figura, corten al eje perpendicular y sean todos perpendiculares entre si.

Es decir, que . Este teorema nos sirve, por ejemplo, para calcular fcilmente el momento de inercia de un anillo. Respecto al eje que pasa por el centro del anillo, como toda la masa est situada a la misma distancia tenemos que su momento de inercia ser de . Adems como el anillo tiene mucha simetra el momento de inercia de un eje que est contenido en el plano del anillo ser igual al de otro eje tambin contenido en el plano pero perpendicular al eje anterior, ya que el anillo ``se ve igual''. Si llamamos a este otro momento poniendo de plano, tendremos que:

El teorema de los ejes perpendiculares slo se aplica a las figuras planas y permite relacionar el momento perpendicular al plano de la figura con los momentos de otros dos ejes contenidos en el plano de la figura.

MOMENTO DE INERCIA DE UN REA.

Considere una viga de seccin transversal uniforme la cual est sometida a dos pares iguales y opuestos que estn aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones est en flexin pura y en la mecnica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquier seccin de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varan linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de rea y un eje que pasa a travs del centroide de la seccin. Dicho eje representado por x, se conoce como el eje neutro. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresin, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensin; sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero.

La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales (F que actan sobre toda la seccin est dada por la frmula:

La ltima integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la seccin con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la seccin est localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas (F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos (Mx = y(F = Ky2 (A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la seccin se obtiene:

La ltima integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la seccin de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de rea dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrndolo sobre la seccin de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre ser positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un rea lo proporciona el siguiente problema de hidrosttica:

Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depsito est sumergida bajo agua como muestra la figura. Cul es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cual es el momento de la resultante con respecto de la lnea de interseccin del plano de la compuerta y la superficie del agua (eje x)?.

Si la compuerta fuera rectangular, la resultante de las fuerzas de presin se podra determinar a partir de la curva de presin tal y como se hizo en los captulos anteriores. Sin embargo puesto que la compuerta es circular, se debe utilizar un mtodo ms general. Representado por y la profundidad de un elemento de rea (A y por el ngulo gamma al peso especfico del agua, la presin en el elemento es p = (y la magnitud de la fuerza elemental ejercida sobre (A es (F = p(A =(y(A.

Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas elementales est dada por:

Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del rea de la compuerta con respecto del eje x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de los momentos (Mx = y(F = (y2 (A de las fuerzas elementales. Integrando sobre el rea de la compuerta, se tiene que

Aqu, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia, Ix del rea con respecto del eje x.

Determinacin del momento de inercia de un rea por integracin.En la seccin anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia de un rea A con respecto al eje x. De manera similar el momento de inercia Iy del rea A con respecto al eje y, se define como:

Ix = y2 dA Iy = x2 dA

dIx = y2dA dIy = x2dAFuerzas distribuidas: Momentos de inercia.

Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del rea A, pueden calcularse fcilmente si se escoge para dA una franja angosta paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, escogemos una franja paralela al eje x, tal que todos los puntos que la componen estn a la misma distancia y del eje x; el momento de inercia dIx de la franja se obtiene, entonces, multiplicando el rea dA de la franja por y2. Para calcular Iy, la franja se escoge paralela al eje y tal que todos los puntos que la forman estn a la misma distancia x del eje y; el momento de inercia dIy de la franja es x2dA.

Dx

dIy = x2dAMomento de inercia de un rea rectangular.

Como ejemplo determinaremos el momento de inercia de un rectngulo con respecto a su base. Dividiendo el rectngulo en franjas paralelas al eje x. Obtenemos:

dA = b dy dlz = y2b dy lx = by2 dy = 1/3bh3

Clculo de Ix e Iy de las mismas franjas elementales.

La frmula que acabamos de derivar puede usarse para determinar el momento de inercia dlx con respecto al eje x de una franja rectangular paralela al eje y. tal como la mostrada en la figura. Haciendo b = dx y h=y, escribimos:

dIx = 1/3y3 dx

Por otra parte se tiene:dIy = x2 dA = x2y dx

Por lo tanto, se puede utilizar el mismo elemento para calcular los momentos de inercia Ix e Iy de un rea dada en la siguiente figura:

Dx

dIx = 1/3y3 dx

dIy = x2y dxRADIO DE GIRO DE UN REA.

Definicin:

"El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a travs del CG, es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto sin cambiar su momento de inercia. El radio de giro es siempre medido desde el CG."

Considrese un rea A que tiene un momento de inercia IX, con respecto del eje x. Imagnese que se ha concentrado esta rea en una tira delgada paralela al eje x). Si el rea A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de inercia con respecto del eje x, la tira debe ser colocada a una distancia kx, a partir del eje x, donde k., est definida por la relacin:

Ix = kx2Resolviendo para kx, se escribe:

Se hace referencia a la distancia kx, como el radio de giro del rea con respecto del eje x. En una forma similar, se pueden definir los radios de giro ky. Y ko; as, se escribe: -

BIBLIOGRAFIA.

Beer, Ferdinand; Johnston, Russell. Mecnica vectorial para ingenieros: Esttica, 6ta ed. Mc Graw Hill, Mxico. 1997.

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James M. Gere Mecnica de Materiales Quinta Edicin, Editora. Thomson Learning , 2002