Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Ariana Trstenjak

Kvadratne forme

Završni rad

Osijek, 2014.

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Ariana Trstenjak

Kvadratne forme

Završni rad

Mentor:doc.dr.sc. Ivan Matić

Osijek, 2014.

Sažetak

U matematici, kvadratna forma je homogeni polinom drugog stupnja od n varijabli. Kva-dratne forme zauzimaju središnje mjesto u raznim granama matematike, kao što su teorijabrojeva, linearna algebra, diferencijalna geometrija, diferencijalna topologija i mnoge druge.Teorija kvadratnih formi i metoda korištenja u njihovom učenju mnogo ovisi o njihovimkoeficijentima, koji mogu biti realni, ali i kompleksni. U linearnoj algebri, analitičkoj ge-ometriji i većini drugih grana matematike, koeficijenti su realni ili kompleksni brojevi. Ualgebarskoj teoriji kvadratnih formi, koeficijenti su elementi polja. U aritmetičkoj teorijikvadratnih formi koeficijenti pripadaju prstenima.

U slučaju jedne, dvije ili tri varijable postoje unarna, binarna i ternarna kvadrnatnaforma, te kao takve imaju odgovarajući oblik.

U uvodu ćemo reći nešto o povijesti kvadratnih formi, dok ćemo u 2. poglavlju opisatiopćenito što su to kvadratne forme, a u 3. poglavlju ćemo se posebno baviti binarnimkvadratnim formama, tj. formama oblika

f(x, y) = ax2 + bxy + cy2, a, b, c ∈ K.

Osim toga, u 3. poglavlju ćemo se dotaknuti Lagrangeovog teorema o četiri kvadrata, teFundamentalnog korolara, te ćemo se na nekim primjerima uvjeriti kako se neki brojevimogu, odnosno ne mogu prikazati u obliku kvadratnih formi.

Ključne riječi:Kvadratna forma, unarna, binarna, ternarna kvadratna forma, kongruencija, ekvivalencijakvadratnih formi, definitnost kvadratnih formi, diskriminanta, Lagrangeov teorem o četirikvadrata, Fundamentalna rasprava.

Abstract

In mathematics, a quadratic form is a homogeneous polynomial of degree two in a numberof n variables. Quadratic forms occupy a central place in various branches of mathematics,including number theory, linear algebra, differential geometry, differential topology, and theothers. The theory of quadratic forms and methods used in their study depend in a largemeasure on the nature of the coefficients, which may be real or complex numbers. In li-near algebra, analytic geometry, and in the majority of applications of quadratic forms, thecoefficients are real or complex numbers. In the algebraic theory of quadratic forms, thecoefficients are elements of a certain field. In the arithmetic theory of quadratic forms, thecoefficients belong to a fixed commutative ring.

In the cases of one, two, and three variables they are called unary, binary, and ternaryand have the following explicit form.

In the introduction, we will say something about the history of the quadratic forms, whilein the second chapter we generally describe quadratic forms, and in the third chapter we willspecifically watch binary quadratic forms

f(x, y) = ax2 + bxy + cy2a, b, c ∈ K.

Except this, in third chapter we will touch Lagrange‘s four-square theorem and say somet-hing about Fundamental converse. In some cases we are convinced that some numbers mayor may not be written in the form of a quadratic form.

Key words:Quadratic forms, unary, binary, ternary quadratic forms, congruence, equivalence of qu-adratic forms, definitness of quadratic forms, discriminant, Lagrange‘s four-square theorem,Fundamental converse.

Sadržaj

1. Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Kvadratne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Binarne kvadratne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1. UVOD

Proučavanje pojedinih kvadratnih formi, a posebno pitanje može li neki cijeli broj biti vri-jednost određene kvadratne forme cijelih brojeva, proteže se stoljećima. Jedan takav slučajje "Fermatov teorem u sumi dva kvadrata", koji utvrđuje kad cijeli broj može biti izražen uobliku x2+y2, gdje su x i y cijeli brojevi. Taj problem je povezan sa problemom "Pitagorinihtrojki", što seže u tisućljeće prije Krista.

628. godine Indijski matematičar, Brahmagupta, je proučavao jednadžbe oblika x2 −ny2 = c . U osnovi, on je proučavao ono što danas zovemo Pellovom jednadžbom x2 −ny2 = 1, te je pronašao metodu kojom rješiti dani problem. U Europi, taj problemsu proučavali Lagrange, Euler i Brouncker. 1801. godine Gauss je objavio „Disquisiti-ones Arithmeticae“, u kojoj je veći dio posvećen upravo teoriji binarnih kvadratnih formis cjelobrojnim koeficijentima. Od tada, koncept je generaliziran i poveznica je izmeđukvadratnih brojeva polja i grupa, te su druga područja matematike dodatno razrješena.

Dvije forme se nazivaju ekvivalentnima ako postoji varijabla koja pretvara prvi oblik udrugi. To definira odnos relacije ekvivalencije na skupu kvadratnih formi, u kojoj se elementinazivaju klase kvadratnog oblika. Slične forme nužno imaju istu diskriminantu

D(f) = b2 − 4ac,D(f) ≡ 0, 1 (mod 4)

Gauss je dokazao da za svaku vrijednost D, postoji samo konačno mnogo klasa binarnihkvadratnih oblika s diskriminantom D. On je opisao algoritam za prikaz kanonskih pred-stavnika u svakoj klasi, u reduciranom obliku, čiji su koeficijenti najmanji u odgovarajućemsmislu. Jedan od najvažnijih Gaussovih otkrića je postojanje prirodnog zakona na skupuklasa binarnih kvadratnih formi s danom diskriminantom, što čini ovaj skup Abelovom gru-pom.

Povijest binarnih kvadratnih formi

Binarne kvadratne forme su bile razmatrane još od Fermata, posebno prikaz brojeva uobliku suma dva kvadrata. Teorija Pellovih jednadžbi može se promatrati kao dio teorije bi-narnih kvadratnih formi. Lagrange je 1773. godine pokrenuo razvoj opće teorije kvadratnihformi. Prva sustavna obrada binarnih kvadratnih formi je bila Legendreova, te je njegovomteorijom napredovao mnogo dalje Gauss u već spomenutom djelu „Disquisitiones Arithme-ticae“. On je promatrao pitanje ekvivalencije i sistematizirao binarne kvadratne forme. TeGaussove istrage su snažno utjecale i na aritmetičku teoriju kvadratnih formi u više od dvijevarijable, te na kasniji razvoj teorije brojeva.

1

Povijest ternarnih kvadratnih formi

U matematici i teoriji brojeva, Ramanujanove ternarne kvadratne forme su algebarskiizrazi oblika x2 + y2 + 10z2, gdje su x, y, z, cijeli brojevi. Srinivasa Ramanujan je promatraotaj izraz i objavio rezultate o njemu 1916. godine, gdje je kratko objasnio reprezentacijucijelih brojeva u spomenutom obliku. Nakon što je dao nužne i dovoljne uvjete da se cijelibroj ne može prikazati u obliku ax2 + by2 + cz2 za pojedine vrijednosti a, b i c, Ramanujanje izjavio: „Ti rezultati mogu nas dovesti u iskušenje da pretpostavimo da postoje sličnijednostavni rezultati za oblik ax2 + by2 + cz2, gdje su vrijednosti a, b i c realni brojevi, no činise, međutim, da u većini slučajeva ne postoje jednostavni rezultati.“ Da bi potkrijepio ovutvrdnju, Ramanujan je objavio teoriju koja se sada spominje kao "Ramanujanove ternarnarnekvadratne forme".

2

2. KVADRATNE FORME

Kvadratna forma je homogeni polinom drugog stupnja od n varijabli.

Definicija 2.1. Realna kvadratna forma u n varijabli x1, x2, . . . , xn, pridružena simetričnojmatrici A je izraz definiran s:

(x1 x2 . . . xn

)A

x1

x2...xn

ili kraće xTAx, gdje je x =

x1

x2...xn

.

Definicija 2.2. Kvadratna forma u dvije varijable x i y je izraz oblika

ax2 + bxy + cy2 =(x y

)(a b2

b2

c

)(x

y

).

Primjer 2.1. 3x2 + 4xy − 5y2 =(x y

)(3 2

2 −5

)(x

y

).

�

Primjer 2.2. Slično, kvadratna forma u tri varijable:

2x2 − 3y2 + 5z2 − 4xy − 8xz + 2yz =(x y z

) 2 −2 −4

−2 −3 1

−4 1 5

xyz

.

�

Definicija 2.3. Kvadratna forma je kanonska ako je pripadna matrica dijagonalna.

Primjer 2.3. 4x2 − 7y2 =(x y

)(4 0

0 −7

)(x

y

).

�

Svaka se kvadratna forma može svesti na kanonsku.

Lema 2.1. Neka je xTAx kvadratna forma u varijablama x1, x2, . . . , xn, gdje je A sime-trična matrica. Ako matrica P ortogonalno dijagonalizira matricu A i ako su nove varijabley1, y2, . . . , yn definirane jednadžbom x = Py, onda njeno uvrštavanje u xTAx daje

3

xTAx = yTDy = λ1y21 + λ2y

22 + . . .+ λny

2n,

gdje su λ1, λ2, . . . , λn svojstvene vrijednosti matrice A i P TAP = D =

λ1 0 . . . 0

0 λ2 . . . 0...

... . . . ...0 0 · · · λn

.

Kaže se da matrica P ortogonalno dijagonalizira kvadratnu formu ili da reducira kvadratnuformu na zbroj kvadrata.

Primjer 2.4. Neka je kvadratna forma u dvije varijable definirana s:

5x2 + 4xy + 8y2 =(x y

)(5 2

2 8

)(x

y

).

Rješenje: Zamijenimo varijable x i y novim varijablama x′ i y′ tako da bude

x = Py, tj.

(x

y

)= P

(x′

y′

),

gdje je P =

(1√5−2√5

2√5

1√5

)orotogonalna matrica koja dijagonalizira matricu A, i nalazimo

xTAx = (Py)TA(Py) = yTP TAPy

ili

5x2 + 4xy + 8y2 =(x′ y′

)( 1√5−2√5

2√5

1√5

)T (5 2

2 8

)(1√5−2√5

2√5

1√5

)(x′

y′

)

=(x′ y′

)(9 0

0 4

)(x′

y′

)= 9x′2 + 4y′2.

�

U daljnim tvrdnjama ćemo označavati kvadratnu formu s q(x) = xTAx.

Definicija 2.4. Kažemo da je kvadratna forma q• pozitivno definitna ako je q(x) > 0,• negativno definitna ako je q(x) < 0,• indefinitna ako je q(x) = 0.

4

3. BINARNE KVADRATNE FORME

U ovom poglavlju ćemo promatrati već ranije spomenute binarne kvadrane forme.

f(x, y) = ax2 + bxy + cy2, a, b, c ∈ Z, (1)

tj. riječ je o homogenom polinomu od dviju varijabli drugog stupnja s cjelobrojnim koefici-jentima. Diskriminanta od f je broj d = b2 − 4ac. Očito je d ≡ 0 (mod 4) u slučaju kada jeb paran i d ≡ 1 (mod 4) ako je b neparan. Slično tako, vrijedi i obrat. Forme

• x2 − 1

4dy2, ako je d ≡ 0 (mod 4), te

• x2 + xy + 14(1− d)y2, ako je d ≡ 1(mod 4)

imaju diskriminantu d i nazivamo ih glavne forme s diskriminantom d.Prema formuli (1) imamo

4af(x, y) = (2ax+ by)2 − dy2.

• Ako je d < 0, onda f poprima ili samo pozitivne ili samo negativne vrijednosti za(x, y) 6= (0, 0), te u tom slučaju kažemo da je f pozitivno, odnosno negativno definitna.• Ako je d > 0, onda f poprima i pozitive i negativne vrijednosti, pa je nazivamo indefi-

nitna forma.• Ako je d = 0, onda kažemo da je f poludefinitna.

Definicija 3.1. Kažemo da su dvije binarne kvadratne forme f i g ekvivalentne ako sejedna može transformirati u drugu pomoću cjelobrojnih unimodularnih transformacija, tj.supstitucija oblika

x = px′ + qy′, y = rx′ + sy′,

gdje su p, q, r, s ∈ Z i ps− qr = 1. Pišemo: f ∼ g

Matrično f možemo zapisati kao XTFX, gdje je

F =

(a b

2b2

c

), X =

(x

y

),

a supstituciju sa X = UX ′, gdje je

U =

(p q

r s

), X ′ =

(x′

y′

),

Uvijet unimodularnosti je tada detU = 1. Pritom f prelazi u X ′TGX ′, gdje je G =

UTFU .

Označimo se Γ = {

(p q

r s

): p, q, r, s ∈ Z, ps− qr = 1}. Tada Γ čini grupu s ozbirom na

množenje matrica.

5

Provjerimo,

•B =

(p q

r s

)∈ Γ⇒ B−1 =

1

ps− qr

(s −q−r p

)

B ∈ Γ⇒ detB = ps− qr = 1⇒ B−1 =

(s −q−r p

)

•A =

(a b

c d

), B =

(p q

r s

)∈ Γ⇒ AB−1 =

(a b

c d

)·

(s −q−r p

)=

(as− br bp− aqcs− dr dp− cq

)

i det(AB−1) = detA· (detB)−1 = 1⇒ AB−1 ∈ Γ.

Elemente grupe Γ nazivamo unimodularne matrice.Uvjet ekvivalentnosti kvadratnih formi je ekvivalentan postojanju matrice U ∈ Γ za koju jeG = UTFU (uz oznake od prije).

Propozicija 3.1. Neka su f, g, h binarne kvadratne forme. Tada vrijedi:

1. f ∼ f,

2. f ∼ g ⇒ g ∼ f ,

3. f ∼ g, g ∼ h⇒ f ∼ h.

Drugim riječima, ∼ je relacija ekvivalencije.

Dokaz: 1) Očito je

(1 0

0 1

)∈ Γ.

2) Ako je f ∼ g, onda postoji U ∈ Γ tako da je G = UTFU . Odavde je F = (U−1)TGU−1.No, Γ je grupa, pa je U−1 ∈ Γ, što znači da je g ∼ f .

3) Ako je f ∼ g i g ∼ h, onda je G = UTFU , H = V TGV za neke U, V ∈ Γ, te je odavdeH = (UV )TF (UV ), a budući da je UV ∈ Γ, to je f ∼ h.

Q.E.D.

Definicija 3.2. Kažemo da binarna kvadratna forma reprezentira cijeli broj n ako postojex0, y0 ∈ Z takvi da je f(x0, y0) = n. Ako je pritom (x0, y0) = 1 onda kažemo da je reprezen-tacija prava, inače je neprava.

Propozicija 3.2. Neka su f i g ekvivalentne binarne kvadratne forme, te n ∈ Z. Tada:

6

1) f reprezentira n ako i samo ako g reprezentira n,2) f pravo reprezentira n ako i samo ako g pravo reprezentira n,3) diskriminante od f i g su jednake.

Dokaz:

1) Zbog Propozicije 3.1. dovoljno je provjeriti samo jednu implikaciju. Neka je G =

UTFU . Ako je n = XT0 FX00, onda je n = XT

1 GX1, gdje je X1 = U−1X0.

2) Neka je X0 =

(x0

y0

), X1 =

(x1

y1

). Pretpostavimo da su x0 i y0 relativno prosti, tj. da

je (x0, y0) = 1. Iz x0 = px1 + qy1, y0 = rx1 + sy1 slijedi da je (x1, y1) = 1.

3) Označimo s d0 i d1 diskriminante od f , tj. od g. Tada je d0 = −4detF , d1 = −4detG,a detG = detUTdetFdetU = detF , pa iz toga slijedi da je d0 = d1.

Q.E.D.

Napomena 3.1. Obrat ovih tvrdnji općenito ne vrijedi.

Primjer 3.1. f(x, y) = 2x2 + xy + 3y2 i g(x, y) = 2x2 − xy + 3y2 su neekvivalentnepozitivno definitne binarne kvadratne forme s diskriminantom d = −23 i reprezentiraju istebrojeve. Npr. f(2,−1) = 9 = g(2, 1).

�

Opisat ćemo redukciju pozitivno definitnih kvadratnih formi: Pretpostavimo da je d < 0

i a > 0, pa je i c > 0.

Definicija 3.3. Kažemo da je pozitivno definitna kvadratna forma f(x, y) = ax2 + bxy+ cy2

reducirana ako je −a < b ≤ a < c ili 0 ≤ b ≤ a = c.

Teorem 3.1. Svaka pozitivno definitna kvadratna forma je ekvivalentna nekoj reducira-noj formi.

Dokaz: Promotrit ćemo supstitucije čije su matrice

U =

(0 1

−1 0

)i V =

(1 ±1

0 1

).

Pokažimo da korištenjem konačno mnogo ovih transformacija možemo postići da je

|b| ≤ a ≤ c.

7

Zaista, UTFU =

(c −b

2−b2

a

), što znači da U zamjenjuje a i c, pa ako smo u F imali da je

a > c, onda ćemo u UTFU imati da je a < c. Nadalje,

V TFV =

(a ±a+ b

2

±a+ b2

a± b+ c

),

Što znači da V zamjenjuje b s b ± 2a, dok a ostavlja nepromjenjenim. Stoga koristeći ovutransformaciju konačno mnogo puta možemo postići da je |b| ≤ a. Ovaj proces sigurnozavršava, jer svaka primjena prve transformacije smanjuje vrijednost od a.

Ako je sada b = −a, onda primjenom supstitucije s matricom V možemo postići da jeb = a, gdje c pri tome ostaje nepromjenjen. Ako je a = c, tada se primjenom supstitucije smatricom U može postići da je b ≥ 0.

Primjer 3.2. Nađimo reduciranu formu evivalentnu sa 166x2 + 136xy + 28y2.

Rješenje: Krenut ćemo od matrice kvadratne forme F =

(166 68

68 28

). Na tu matricu

primjenimo matricu U =

(0 1

−1 0

)na sljedeći način: UTFU =

(0 −1

1 0

)·

(166 68

68 28

)·(

0 1

−1 0

)=

(28 −68

−68 166

)= F ′. Nakon toga, primjenimo matricu V + =

(1 1

0 1

)na

slijedeći način: V TF ′V =

(1 0

1 1

)·

(28 −68

−68 166

)·

(1 1

0 1

)=

(28 −40

−40 58

)= F ′′. Još

jednom primjenimo matricu V + na F ′′ na isti način i dobivamo matricu

(28 −12

−12 6

).

Nakon toga primjenimo matricu U na zadnju matricu i dobivamo matricu oblika

(6 12

12 28

).

Sada primjenimo matricu V − iz prethodnog teorema na zadnju matricu i dobivamo

(6 6

6 10

)

i još jednom ponovimo postupak s V − na zadnju matricu i dobivamo matricu

(6 0

0 4

).

Konačno, primjena matrice U na posljednju matricu daje traženu matricu

(4 0

0 6

), pa je

naša tražena kvadratna forma oblika 4x2 + 6y2.Teorem 3.1. nam olakšava da ne moramo svaki put množiti matrice kvadratne forme smatricama U,UT , V i V T , nego je dovoljno zapamtiti sljedeće

UTFU =

(c −b

2−b2

a

), V TFV =

(a ±a+ b

2

±a+ b2

a± b+ c

).

.

8

�

Teorem 3.2. Postoji samo konačno mnogo klasa ekvivalencije pozitivno definitnih binarnihkvadratnih formi s danom diskriminantom d.

Dokaz: Ako je f reducirana, onda je –d = 4ac− b2 ≥ 3ac, pa su i a i c i |b| manji od 13|d|.

Q.E.D.

Definicija 3.4. Za binarnu kvadratnu formu f(x, y) = ax2 + bxy+ cy2 kažemo da je primi-tivna ako je (a, b, c) = 1.

Definicija 3.5. Broj primitivnih pozitivno definitnih reduciranih binarnih kvadratnih formis diskriminantom d naziva se broj klasa od d i označava se s h(d).

Primjer 3.3. Izračunajmo h(−4).

Rješenje: d = b2 − 4ac ⇒ −4 = b2 − 4ac, tj. 4 = 4ac− b2, ta jednakost vrijedi samo zaa = c = 1 i b = 0. To znači da je h(−4) = 1.

�

Do sada je poznato da je h(d) = 1 samo za 9 negativnih cijelih brojeva, a to su d =

−3,−4,−7,−8,−11,−19,−43,−67,−163.

Primjer 3.4. Izračunajmo h(−16).

Rješenje: Iz 3ac ≤ 4 ⇒ a = c = 1, pa iz toga slijedi da je b = 0, tj. h(−4) = 1 i oblikaje x2 + y2.

1) a = 1. Tada je b ∈ {0, 1}. Kada uvrstimo a = 1 dobivamo 4c− b2 = 16 odakle slijedida je b paran. Za b = 1 nemamo rješenja, što znači da je b = 0, odakle slijedi da je c = 4.

2) a = 2 Tada je b ∈ {0, 1} zbog −a < b ≤ a. Iz 8c− b2 = 16 slijedi da je opet b paran.Uvrštavanjem b u jednadžbu vidimo da za b = 1,−1, 2 nemamo rješenja, što znači da jeb = 0, a time dobivamo c = 2.Dakle, postoje dvije reducirane forme s diskriminantom -16, a to su x2 + 4y2 i 2x2 + 2y2.Odnosno, h(−16) = 2.

�

Sljedeći teorem pokazuje da je h(d) upravo broj neekvivalentnih binarnih kvadratnih formis diskriminantom d. Također valja napomenuti da analogna tvrdnja za d > 0 ne vrijedi.

9

Teorem 3.3. Ako su f i f ′ dvije ekvivalentne reducirane forme, onda je f = f ′.

Dokaz: Ako s x, y ∈ Z \ {0} i |x| ≥ |y|, onda je

f(x, y) ≥ |x|(a|x| − |by|) + c|y|2 ≥ |x|2(a− |b|) + c|y|2 ≥ a− |b|+ c.

Analogno se provjerava da ako je |y| ≥ |x|, onda je također f(x, y) ≥ a − |b| + c. Dakle,tri najmanje vrijednosti koje može poprimiti f(x, y) su a, c i a − |b| + c i to upravo u tomredosljedu, a poprimaju se za (x, y) = (1, 0), (0, 1), (1, 1) ili (1,−1). Budući da, po Propoziciji3.2. 2), f ′ poprima iste vrijednosti za (x, y) = 1 kao i f , te je f ′ također reducirana,zaključujemo da je a = a′. Pretpostavimo da je a < c. Tada je a < c < a − |b| + c. Kadabi bilo da je a = c′, onda bi broj a imao više reprezentacija pomoću forme f ′, nego pomoćuforme f . Zato je a < c′, pa je c = c′. Iz b2 = d+ 4ac = b′2, dobivamo da je |b| = |b′|. Dakle,još preostaje pokazati da b = −b′ povlači b = 0. Možemo pretpostaviti da je −a < b < a < c.Budući da je f ′ reducirana, imamo da je −a < −b, pa je a 6= b, a ako je a = c, onda iz b ≥ 0

i −b ≥ 0 slijedi da je b = 0. Prema tome je f(x, y) ≥ a−|b|+ c > c > a za sve x, y ∈ Z\{0}.

Neka je

(p q

r s

)matrica prijelaza iz f u f ′. Tada je

a′ = f(p, r), b′ = 2apq + b(ps+ qr) + 2crs, c′ = f(q, s) (2)

U našem slučaju je a′ = a = ap2 + bpr + cr2, tada je p = ±1 i r = 0. Sada iz ps − qr = 1,slijedi da je s = ±1, a iz c = f(q, s) slijedi da je q = 0. To znači da je b = b′, pa je b = 0.

Ostaje nam još razmoriti slučaj kada je a = c. Tada broj a ima barem četiri reprezentacijepomoću f , pa mora imati i barem četiri reprezentacije pomoću f ′, a to tada povlači da jec′ = a = c. Ponovno dobivamo da je |b| = |b′|, ali u ovom slučaju iz definicije reduciranostiimamo da je b ≥ 0, b′ ≥ 0, pa je b = b′.

Q.E.D.

Teorem 3.4. Neka su d < 0 i n > 0 cijeli brojevi. Tada je n pravo reprezentiran nekombinarnom kvadratnom formom s diskriminantom d ako i samo ako kongruencija x2 ≡ d(

mod 4n) ima rješenja.

Dokaz: Pretpostavimo da gornja konguencija ima rješenja i da je x = b traženo rješenje.Definirajmo c s b2 − 4nc = d i stavimo da je a = n. Sada forma f(x, y) = ax2 + bxy + cy2

ima diskriminantu d i f(0, 1) = n, pa f pravo reprezentira broj n.Obratno, pretpostavimo da forma f ima diskriminantu d i da je n = f(p, r) za neke

p, r ∈ Z, takvi da su p i r relativno prosti. Tada postoje q, s ∈ Z takvi da je ps − qr = 1.

Sada je f ekvivalentna s f ′ koja je dobivena iz f pomoću matrice prijelaza

(p q

r s

)i po

formuli (3.2.) vrijedi da je a′ = f(p, r) = n. Ali, f i f ′ imaju istu diskriminantu, pa je

10

b′2 − 4nc′ = d.

Dakle, kongruencija x2 ≡ d(mod 4n) ima rješenje x = b′.

Q.E.D.

Primjer 3.5. Dokažimo da se prost broj p može prikazati u obliku x2 + 5y2, x, y ∈ N ako isamo ako je p ≡ 1 ili 9 (mod 20).

Rješenje: Nužan i dovoljan uvjet da bi se p mogao prikazati nekom kvadratnom formoms diskriminantom −20 je da kongruencija x2 ≡ −20 (mod 4p), tj x2 ≡ −5 (mod p) imarješenja. To znači da je (−5

p) = 1. Lako se pokaže da postoje točno dvije neekvivalentne

forme s diskriminantom −20, analogno kao u Primjeru 3.4.Ako je p = x2 + 5y2, onda je x ≡ p (mod 5), tj. (p

5) = 1.

Ako je p = 2x2 + 2xy + 3y2, onda je 2p = (2x+ y)2 + 5y2, pa je (2x+ y)2 ≡ 2p (mod 5),tj (2p

5) = 1. No, kako je (2p

5) = (2

5)(p

5) = −(p

5), pa je (p

5) = −1. Kako je (5

p) = (p

5), uvjeti su

ekvivalentni s (p5) = 1 i (−1

5) = 1, tj slijedi da je p ≡ 1 ili 4 (mod 5) i p ≡ 1 (mod 4), odakle

slijedi da je upravo p ≡ 1 ili 9 (mod 20).

�

Teorem 3.5. Prirodan broj n se može prikazati u obliku n = x2 +y2, x, y ∈ Z ako i samoako se u rastavu broja n na proste faktore svaki prost faktor p za koji je p ≡ 3 (mod 4) javljas parnom potencijom.

Dokaz: Pretpostavimo da je n = x2 + y2, te da je n djeljiv prostim brojem p ≡ 3(mod

4). Tada je x2 ≡ −y2(mod p). Ako p ne dijeli x i y onda dobivamo da je(−1

p

), što je

kontadikcija. Iz toga slijedi da p dijeli x i y pa je n djeljiv s p2. Tada je(x

p

)2

+

(y

p

)2

=n

p2,

pa indukcijom slijedi da se p u rastavu broja n javlja s parnom potencijom.Da bi dokazali obrat, dovoljno je dokazati da ako je n kvadratno slobodan i svi neparni

faktori p od n zadovoljavaju p ≡ 1(mod 4), onda se n može prikazati u obliku x2 + y2.Uistinu, ako je n = x2 + y2, onda je n ·m2 = (xm)2 + (ym)2.

Promotrimo sada binarnu kvadratnu formu f(x, y) = x2 + y2. To je reducirana formas diskriminantom −4. U Primjeru 3.3. pokazali smo da je h(−4) = 1, te je to jedinareducirana forma s diskriminantom −4. Iz Teorema 3.6. slijedi da je n pravo reprezentiranformom x2+y2 ako i samo ako kongruencija x2 ≡ −4(mod 4n) ima rješenja. Ta kongruencijaje ekvivalentan sa z2 ≡ −1(mod n). Neka je n = p1p2 . . . pk. Po pretpostavci je pi ≡ 1(mod4), pa kongruencija z2 ≡ −1(mod pi) ima rješenje, te neka je to rješenje z = zi. Po Kineskomteoremu o ostacima, postoji cijeli broj z koji zadovoljava sustav

z ≡ z1(mod p1), . . . , z ≡ zk(mod pk).

11

Sada je z2 ≡ z2i ≡ −1(mod pi) za svaki i, pa je z2 ≡ −1(mod n).

Q.E.D.

Teorem 3.6. Cijeli broj n se može prikazati u obliku x2− y2 ako i samo ako n 6≡ 2(mod 4).

Dokaz: Pretpostavimo da je n ≡ 2(mod 4), te da je n = x2−y2 = (x−y)(x+y). Budućida je n paran, to je jedan od faktora x− y, x+ y paran. No, kako je x+ y = (x− y) + 2y,pa iz toga slijedi da je i drugi faktor također paran. To znači da je n ≡ 0( mod 4), pa smotime dobili kontradikciju.

Neka je sada n 6≡ 2(mod 4). Tada razlikujemo dva slučaja:1) n = 2k + 1. Tada je n = (k + 1)2 − k2.2) n = 4k. Tada je n = (k + 1)2 − (k − 1)2.

Q.E.D.

Teorem 3.7. (Lagrangeov Teorem o četiri kvadrata)Svaki prirodan broj n može se prikazati u obliku sume kvadrata četiri cijela broja, tj. u oblikun = x2 + y2 + z2 + w2, x, y, z, w ∈ Z.

Dokaz: Uočimo da vrijedi identitet

(x2 + y2 + z2 + w2) · (a2 + b2 + c2 + d2) =

(ax+ by+ cz+dw)2 +(ay− bx+dz− cw)2 +(az− cx+ bw−dy)2 +(aw−dx+ cy− bz)2. (3)

Stoga je tvrdnju teorema dovoljno provjeriti za proste brojeve. Jasno je da je 2 = 12 + 12 +

02 + 02, pa pretpostavimo da je p neparan prost broj. Promotrimo brojeve

02, 12, 22, . . . ,

(p− 1

2

)2

. (4)

Nikoja dva među njima nisu kongruentna modulo p. Isto tako vrijedi i za brojeve

− 1− 02,−1− 12,−1− 22, . . . ,−1−(p− 1

2

)2

. (5)

U formulama (4) i (5) imamo ukupno p + 1 brojeva. Po Dirichletovom principu, dvameđu njima daju isti ostatak pri djeljenju s p. To znači da postoje cijeli brojevi x i y takvida x2 ≡ −1− y2(mod p) i vrijedi da je x2 + y2 + 1 < 1 + 2 · (p

2)2 < p2. Dakle, dobili smo da

je mp = x2 + y2 + 1 za neki cijeli broj 0 < m < p.Neka je sada k najmanji prirodan broj takav je kp = x2+y2+z2+w2 za neke x, y, z, w ∈ Z.

Tada je k ≤ m < p. Nadalje, k je neparan, jer ako bi k bio paran, onda bi među brojevimax, y, z, w imali parno mnogo neparnih brojeva, pa bismo tada mogli pretpostaviti da subrojevi x+ y, x− y, z + w, z − w parni. Ali tada bi iz

12

1

2kp =

(x+ y

2

)2

+

(x− y

2

)2

+

(z + w

2

)2

+

(z − w

2

)2

dobili kontradikciju s time da je k najmanji takav.Da bismo dokazali teorem moramo pokazati da je k = 1. Zato pretpostavimo da je k > 1.Neka su x′, y′, z′, w′ najmanji ostaci po apsolutnoj vrijednosti pri djeljenju brojeva x, y, z, w

s k, te neka je

n = x′2 + y′2 + z′2 + w′2.

Tada je n ≡ 0(mod k) i n > 0, jer bi inače k dijelio p. Budući da je n neparan, imamo daje n < 4 · (k

2)2 = k2. Stoga je n = mk, za neki cijeli broj m takav da je 0 < m < k. Iz (3)

slijedi da se broj (mk)(kp) može prikazati kao suma kvadrata četiri cijela broja, čak da jesvaki od tih kvadrata djeljiv s k2. Odavde slijedi da se broj mp može prikazati kao sumačetiri kvadrata, no to je u kontradikciji s minimalnošću od k. To znači da k = 1, te je timetvrdnja teorema dokazana.

Q.E.D.

Napomena 3.2. Metoda upotrebljena u posljednjem dijelu dokaza prethodnog teorema nazivase Fermatova metoda beskonačnog spusta. Metoda beskonačnog spusta, koristi se kad radimos prirodnim brojevima (tj. koristimo činjenicu da svaki podskup od N ima najmanji element).Ideja ove metode je slijedeća:• Pretpostavimo da je neka tvrdnja točna za neki prirodan broj.• Pokažimo da je ta tvrdnja točna za neki manji prirodan broj (manji od danog).• Ovo znači da je tvrdnja točna za neki strogo padajući (beskonačni) niz prirodnihbrojeva, što je kontradikcija s činjenicom da svaki podskup od N ima minimalni element.

Legendere i Gauss su dokazali da se prirodan broj n može prikazati kao suma tri kvadrataako i samo ako n nije oblika 4j(8k+7), j, k ≥ 0. Nužnost, kao što ćemo pokazati u sljedećemprimjeru, slijedi iz činjenice da kvadrati daju ostatke 0,1 ili 4 pri djeljenju s 8, dok je dokazdovoljnosti znatno teži i koristi teoriju ternarnih kvadratnih formi.

Primjer 3.6. Neka je n = 4m(8k + 7),m, k ≥ 0. Dokažimo da se n ne može prikazatiu obliku x2 + y2 + z2, x, y, z ∈ Z .

Rješenje: Pretpostavimo suprotno, tj da je n najmanji prirodan broj za kojeg danatvrdnja ne vrijedi. Tada je

n = 4m(8k + 7) = x2 + y2 + z2.

Kvadrat neparnog broja (2a+ 1)2 = 8 · a(a+ 1)

2+ 1 daje ostatak 1 pri djeljenju s 8. Ako se

među brojevima x, y, z nalaze jedan, dva ili tri neparna broja, onda je x2 + y2 + z2 oblika

13

4l +1, 4l + 2 ili 8l + 3. No, kako n nema niti jedan od ovih oblika, slijedi da su x, y, z sviparni. Uzmimo npr. x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1. Tada je

n

2= 4m−1(8k + 7) = x21 + y21 + z21 ,

pa smo time dobili kontradikciju s minimalnošću od n. Znači da početna tvrdnja vrijedi.

�

Teorem 3.8. Neka je d ≡ 0, 1(mod 4) pozitivan cijeli broj, i neka je n neparan cijeli brojkoji je relativno prost s d. Tada su slijedeće tvrdnje ekvivalentne:

1) d je kvadratni ostatak ostatak n,2) postoji primitivna kvadratna forma s diskriminantom d koja reprezentira n.

Dokaz: 1) =⇒ 2) Neka je b neki broj takav da vrijedi d ≡ b2(mod n). Kako je n neparan,zamjenjujući b s b+ n, ukoliko je potrebno, možemo pretpostaviti da je d ≡ b(mod 2), te jetada i d ≡ b2(mod 4n), tj. d = b2− 4nc, za neki c, i tada nx2 + bxy+ cy2 pravo reprezentiran i ima diskriminantu d. Ta forma je primitivna, te kako je (n, d) = 1 slijedi da ne postojizajednički prost djelitelj od n i b.2) =⇒ 1) Ako postoji primitivna forma f(x, y) = ax2 + bxy + cy2 s diskriminantom d, terelativno prosti brojevi p i q takvi da je f(p, q) = n, tada postoje cijeli brojevi r i s takvi dapq − rs = 1 i tada

f(px+ ry, qx+ sy) = f(p, q)x2 + (2apr+ bps+ brq+ 2cqs)xy+ f(r, s)y2 = nx2 + b′xy+ c′y2

ima diskriminantu d = b′2 − 4nc′ i taj d je kvadratni ostatak modulo n.

Q.E.D.

Korolar 3.1. Fundamentalna raspravaZa prirodan broj m i neparan prost broj p koji nije djeljiv s m vrijedi slijedeće:1) −m je kvadratni ostatak modulo p,2) postoji primitivna kvadratna forma diskriminante −4m koja reprezentira p.

Dokaz: Dovoljno je primjeniti na prethodan teorem d = −4m i primjetiti da je −mkvadratni ostatak modulo p ako i samo ako je −4m kvadratni ostatak modulo p.

Q.E.D.

U idućem teoremu ćemo iskazati sličan rezultat kao što smo ranije u Teoremu 3.2., te ćemoga koristiti u primjerima koji slijede i još jednom pokazati primjenu kvadratnih formi.

Teorem 3.9. Ako je ax2 + bxy + cy2 reducirana kvadratna forma, s diskriminantom d,tada je |b| ≤ a ≤

√−d3.

14

Primjer 3.7.Neka je diskriminanta d = −4. To znači da je 4ac− b2 = 4. Tada za b = 0 dobivamo da jea = c = 1, tj. postoji jedinstvena kvadratna forma q−4 = x2 + y2 odnosno prema Korolaru3.1. neparan prost broj p odgovara formi x2 + y2 ako i samo ako je (−1

p) = 1.

�

Primjer 3.8.Neka je sada diskriminata d = −11, tada je 4ac − b2 = 11. Zbog 0 ≤ |b| ≤ a ≤

√113≤ 2

slijedi da a može biti 1 ili 2. Za a = 1 imamo da je 4c − b2 = 11, a kako b može biti0, ili ±1, vidimo da za b = 0 nema cjelobrojnih rješenja, ali za b = ±1 dobivamo da jec = 3. Preostaje nam još provjeriti a = 2. Tada b može biti 0,±1,±2, no niti za jednu odnavedenih mogućnosti b ne postoji cijeli broj c koji bi odgovarao rješenju jednadžbe. Kako seradi o reduciranoj kvadratnoj formi preostaje nam jedno rješenje, a ono je (a, b, c) = (1, 1, 3).Prema tome, postoji jedinstvena reducirana kvadratna forma s diskriminatom −11 i oblikaje q−11(x, y) = x2 +xy+ 3y2. Tada neparan prost broj p odgovara traženoj formi ako i samoako je (−11

p) = 1, tj. p ≡ 1 (mod 11).

�

Tvrdnja slijedećeg teorema se slično može pokazati kao i dosadašnji primjeri, te se on koristikao završni rezultat sličan prethodnima.

Teorem 3.10. Prost broj p se može prikazati u obliku x2 + 6y2 ako i samo ako p ≡ 1, 7

(mod 24).

15

4. LITERATURA

[1] A. Dujella, Uvod u teoriju brojeva, PMF-Matematički odjel, Zagreb, skripta[2] I. Matić, Uvod u teoriju brojeva, Odjel za matematiku, Osijek, skripta[3] P. L. Clark, Elementary theory of quadratic forms, dostupno na http://math.uga.edu/ pe-te/8430notes3.pdf[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_form

16