ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 1ARISTOTELIANA RevistaCerculuimetodicdematematicaFagarasRupeaVictoriaARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 2SUMARFormula succesului, de Cozeta ion.................................................. ........3De la ARISTOTEL.pana astazi, de Florian.Barsan...................................4 Concursul Sa cunoastem Gazeta Matematica,deMarcela Ionu.........8 Concursul zonal de matematica MATf, de Florian Barsan..........10InfiintareaCentruluizonaldeinformaremetodicalaColegiulNational RaduNegru, Fagaras ................................................................14 Matematica la bacalaureat, deLigia Daru.................................16 Originea numerelor, de Ioana Boriceanu.................................19 Istoria numrului zero , de Ioana Maican................................22 Numarul (pi), de Andrea Bobocea.............................23Numrul iraional e , de Daniela Neagoe.............24 Despre mrimi incomensurabile sau iraionalitatea lui2 ,de Simona erb ...........................................................................................27 Alt metod de determinare a inversei unei matrice , de Aurel Aldea....29 Aplicatii ale teoremei lui Lagrange , de Dorin Baba...................................31 Inegalitati demonstrate cu ajutorul derivatelor de ordin superior, de Gieanina Sin...................................................33 Functii hiperbolice , de Simona Ghizdavu...................................35 Principiullui Dirichlet , deMarcela Ionu.................................38 Construcia poligoanelor regulate, deAna Dragomir.....40 Exercitii si problemerezolvate ..............................42 Probleme propuse................................45 2009 -Anul Internaional al Astronomiei, de Adriana Pamp.......50 Isaac Newton ,de Cornelia Ciurchea............................................................52 Matematicieni romani,de Lavinia Prunea....................................................54Matematica, in fiecare zi ? , deAndreeaBucur.....55 Cubul lui Rubik, deMaria Szegedi.............................................................57 Legenda numerelor prietene, de Cristian A.I.Morar................................60 Stiati ca zeita frumusetii s-a nascut din geometrie?, de Gabriela Predoiu .....61 tiai c...,de Adriana Pamp,Daniela Neagoe,Ligia Daru si Silvia Ganea..........64 Unele "legi" importante i glumee ,de Silvia Ganea......68 Concurs pentru elevi ...................................69 Indicatii la problemele propuse.......................................70ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 3FormulasuccesuluiOricenceputpresupunecuraj,iarcurajulleestedatdoarcelor dotai cu spirit de iniiativ i cu mult pasiune. Ca s aezi o revist sub semnul lui Aristotel presupune asumarea unei responsabiliti i nscrierea ntr-o tradiie european a spiritelor nalte,deschisespreodimensiunepluridisciplinar,ccinvatul grec este un model de excelen n domenii precum logica, filosofia, estetica,tiinelenaturii,meteorologia,astronomiaioricealt domeniu ce ine de investigarea universului. Aa cum ilustrul mentor spiritual grec a reuit s descopere multe din tainele lumii, dorim ca i cei care realizeaz aceast revist s fie descoperitoridemistereijuctoriactivipeterenullogicii matematice.Entuziasmulnceputuluiarenevoiedetemeinicia parcursuluiiastfelsuntemconvinicfiecarecolaboraredin paginilerevisteivafiunprilejdebucurieimndrie,princarese ridicprestigiulfiecruiaialzoneingeneral.Diversitateade abordriisoluii, pe care o presupune domeniul n care urmeaz s semiterevista,esteoansdeexersareacalitilorinventivei performante pentru toi cei implicai n acest demers. Pot fi rezultate spectaculoase,darmaimultconteazelanulipasiuneacucare fiecare se implic n alctuirea unui numr interesant i incitant. Oastfeldeintreprinderepoateservicaexemplustimulativi pentru alte colective de cadre didactice i elevi din jude, ceea ce n-ar face dact s ridice nivelul calitativ al colii matematice braovene. InspectoruldespecialitatedincadrulInspectoratuluicolaral JudeuluiBraovsalutisusineaceastiniiativ,felicitnd colectivul care a gndit o astfel de publicaie, dorindu-i succes, via lung,ctmaimulteperformaneioctmailargaudienprintre profesori i elevi.

Inspector de specialitate al I.S.J. Braov, Prof. Cozeta ion ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 4 DelaARISTOTEL.pnaastzi Revista ARISTOTELIANA si-a luat numele de la intemeietorul logiciicadisciplinaindependenta,ARISTOTEL.Printreextensiile logiciiintalnimsidezvoltareamatematica.Cummatematicase bazeaza pe logica folosirea numelui invatatului grec pentru a denumi o revista de matematica mi s-a parut fireasca. nlimbagreac,cuvantullogosaveaurmtoarelenelesuri: cuvnt, idee, raiune, ordine. oHeraclitdinEfes(cca.540-480.H.),utilizalogoscu nelesul de ordine necesar, proprie att cosmosului, lumii materiale, ct i gndirii omeneti n forma ei superioar oFilosofulFilonIudeul,dinAlexandria(20.Hr.45d.H.)a utilizatcuvntullogosdesemnndprinelraiuneadivincafor mijlocitoare ntre Dumnezeu i lume. Teologiicretiniauutilizatacelasitermenpentruadesemna raiunea divin ca for mijlocitoare ntre Dumnezeu i lume, identic cu Iisus oGenezalogiciis-aprodusnAntichitate,nlumeaGreciei sclavagiste.oSocrateafirmacafiecaruilucruiicorespundeunconcept sau o notiune.Socrate a trait intre anii 470-399 .H. in Atena. El era fiul unui sculptor si al unei moase. Desi se spune ca ar fi fost cel mai intelept omaltimpurilorsale,elnualasatnimicscris.Despreinvataturile sale,aveminformatiidelaeleviisai,PlatonsiXenophon.ProcesulluiSocrateaavutlocinanul399.H..Documentulce contineaacuzatiaadusaluiSocrates-apierdut,dartextuleste prezentatinoperaluiDiogenesLaertius.Sestiecaacuzatorullui SocrateafostMeletus,fiulluiMeletusdinPitthos.Potrivitacestui document, "...Socrate este vinovat pentru ca a refuzat sa i recunoasca ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 5pezeiirecunoscutidestat,sipentrucaaintrodusnoidivinitati.El estevinovat,deasemenea,pentrucorupereatineretului."Acuzarea cerea aplicarea pedepsei cu moartea. oPlaton pretende,fata de Socrate, inca o Idee.Platonatraitintreanii427-347.H.Numelesauadevarateste Aristokeles,estedescendentdintr-ofamilienobilasiaprimito educatiealeasa.Intineretes-aocupatdepoeziesidepictura.La varstade20deani,venitsaparticipelaunconcursdepoezie,l-a intalnitsil-aascultatpeSocrate.Puternicimpresionatde intelepciuneaacestuia,PlatondevineelevulluiSocratesinuilmai paraseste pana la moartea acestuia in anul 399. oAristotel(circa384-322.H.),criticalaPlatonmaiales cunoastereaintuitivasievolutiadialecticaaacesteia,accentuand observarea legilor generale de care trebuie sa tina cont gandirea, daca vreadescoperireaadevarului.AsadevineAristotelintemeietorul logicii.DesiguracestlucrunuinseamnadeloccaAristotelarfi fundamentat logica, in intregime, fiindca denumiriile de substanta, marimesimiscareaufostcunoscutedefilosofiipitagoreisi eleati, iar notiunea de catre Socrate. Platon este si el descoperitorul dialecticii,catsialconceptelorde"negatie","ipoteza","unitate", "cauza" si "existenta". Aristotelareinsameritulcaasistematizatacestenotiunisi astfel a intemeiat logica ca disciplinaindependenta. Scopul pe care l-a urmarit Aristotel a fost sa arate in ce mod se poate obtine o gandire corecta, pentru a putea fundamenta o metoda de argumentare. Aristotel a revizuit i generalizat cunotinele de pn la el despre formele gndirii, el fiind primul gnditor care a scris o oper centrat specialpestudiulgndiriiomului.Aconsideratcformelecentrale ale gndirii sunt: "noiunea", "judecata" i "raionamentul". Intelectul nu poate recunoaste ca fiind absolut corect decat asemenea principii, careaufostdedusedinpremise.Deaceea,conformluiAristotel, gandireanupoatefidecatdeductiva.Aceastadeductiesenumeste rationamentsau"silogism"iarteoriasilogismelorreprezintacea ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 6mai importanta parte a logicii aristotelice. Ea este expusa in lucrarea cu titlul Organon. Fiecare silogism este constituit din premise care, la randul lor, nu sunt altceva decat judecati. O "judecata" reprezinta un raportintreunsubiectsipredicat,unraportintredouanotiuni. Notiunea, judecata si silogismul sunt elementele logicii. Dezvoltri ale logicii au fost numeroase a.Dezvoltri matematice ale logicii Dezvoltri aritmetice; Dezvoltri algebrice; Dezvoltri funcional-teoretice; Teoria demonstraiei; Logica probabilist; Teoria mulimilor; Fundamentele matematicii. n ordine istoric ,aceste dezvoltri au fost primele aplicaiiale logicii simbolice. Au mai existat si alte dezvoltari ale logicii. b.Dezvoltri tiinifice - Aplicaii fizicale- Logica cuantic; Teoria modalitilor fizicale ori cauzale - Aplicaii biologice- Aplicaii n stilul lui Woodger; Logica cibernetic; - Aplicaii sociologice- Logica normelor; Logica evalurii. - Aplicaii legale- Procesul de matematizare precede n general procesul de logicizare prefigurnd structurile logice n domeniul aplicaiei. ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 7c.Dezvoltri filosofice- Aplicaii etice- Logica aciunii Logica deontic Logica comenzilor (a imperativelor) Logica preferinei i alegerii -Aplicaii metafizice- Logica existenei Logica cronologic Logica parte-ntreg (mereologia) Ontologia lui Leniewski Logica constructivist Ontologia (disputa nominalism-realism). -Aplicaii epistemiologice- Logica ntrebrilor i rspunsurilor Logica epistemic Logica supoziiei Logica informaiei Logica inductiv Logica evidenei i confirmrii Logica probabilist. n msura n care reflecia logic- filosofic asupra unui domeniu dat se maturizeaz, gndirea logic a obiectului trece n aplicaii tiinifice ale logicii. Ceea ce rmne constant n sfera logicii filozofice sunt temele ontologice i gnoseologice. Prof. Florian Brsan, Colegiul National Radu Negru, Fagaras ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 8ConcursulSacunoastemGazetamatematicaEdiiaI,octombrie2008,FagarasGazetamatematica,SeriaB,esteopublicatielunara,editatade SocietateadeStiinteMatematicedinRomania. Incei110deanideaparitieneintrerupta,Gazetamatematicaa contribuit in mod esential la dezvoltarea invatamantului matematic si ascoliimatematiceromanesti.Revistadeschidetinerilorundrum spre cariera de matematician . Dinexperientanoastra,inultimiiani,eleviiaudevenittotmai putininteresatidecontinutulrevistei.Catedradematematicadin ColegiulNationalRaduNegruFagarasaincercatsa-iapropiepe eleviderevistaprinorganizareaconcursuluiSacunoastemGazeta matematica . Prima editie a acestuia a avut loc la Colegiul National RaduNegru,Fagarasinlunaoctombrie2008,sis-abucuratde prezentaunuijuriudeosebit:doamnaprof.CozetaTion, inspectorde specialitatealI.S.J.Braov,domnulprof.EmilStoica,prorectorul UniversitatiiTransilvaniaBrasov,domnulprof.EugenPaltanea, decanulFacultatiideMatematicadincadrulUniversitatii Transilvania Brasov, domnul prof.Ilie DuicansecretarulSocietatii deStiinteMatematice,filialaBrasov,domnulprof.DanPandrea, directorul Colegiului National Radu Negru , Fagaras. Concursulafostprecedatdeselectareaelevilorparticipani, impreunacuanuntareaproblemeloralesedefiecaredintreeidin ultimele numere ale Gazetei matematice.Au participat 25 de elevi din scolilecarefacpartedincerculmetodicnr11.Eforturiledeosebite aleparticipantilorautransformatacestconcursntr-uneveniment reuit , atmosfera academica fiind remarcata de toti cei prezenti. Toi elevii participani au primit cte o diplom de participare , iar ctigtoriiauprimitdiplomdepremiere,precumipremiinbani si in abonamente la Gazeta matematica. ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 9Deoareceformeledeevaluarennvtmntulnostrusuntntr-o continuschimbaresiperfeccionare,consideramcaunastfelde concurs , mai apropiat ca structura de un simpozion, ramane necesar, aducandnoutateadecareavemnevoieinevaluarealamatematica. Credemc,participandconstantlacompetitii,sediminueaza simtitor stresul legat de schimbarea formei de examinare. De aceea, va adresam de acum invitatia de a participa la editia a II -a a acestui concurs, in octombrie 2009. Premiile acordatela prima editie: Nr. crt. PremiantulClasaScoalaPremiul 1.Stoica D. Gabriel Aurel IXColegiul National Radu Negru Fagaras 1 2.Cerghit N. IonelIX Colegiul National Radu Negru Fagaras 2 3.Manta G. Denisa MariaIXColegiul National Radu Negru Fagaras 3 4.Leanca Cristina XColegiul National Doamna Stanca Fagaras 2 5.Neagu IulianXColegiul National Doamna Stanca Fagaras 3 6.Nicula A. Bogdan-Daniel X Colegiul National Radu Negru Fagaras 1 7.Hangu Robert XIColegiul National Doamna Stanca Fagaras 1 8.Negrea Andrei XIColegiul National Doamna Stanca Fagaras 3 9.Corsatea F. Mihaiela XI Colegiul National Radu Negru Fagaras 3 10.Bucur AndreeaXI Grupul Scolar Industrial St.O.Iosif Rupea 2 11.Ionut N. Adina Maria XII Colegiul National Radu Negru Fagaras 1 12.Gavrila L. Lucian Ionut XII Colegiul National Radu Negru Fagaras 2 13.Dan O. Mihai-Alexandru XII Colegiul National Radu Negru Fagaras 3 ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 1014.Leancu S. CostinXII Colegiul National Radu Negru Fagaras Premiul SSMRAbonament GManul 2009 15.Colegiul Tehnic.dr.Al.Barbat, Victoria Colegiul Tehnic.dr.Al.Barbat, Victoria Premiul SSMRAbonament GManul 2009 Prof.Marcela Ionut CONCURSULZONALDEMATEMATICMATf Incepandcuanul2005, dininitiativadluiprof.TraianDuta-directorul Grupului Scolar Agricol Av.dr.Ioan Senchea , Fagaras, arelocanual,inlunamai,Concursulzonaldematematica,intitulat MATf. TutelatdeCerculzonaldematematicaFagarassiI.S.J.Brasov, concursulesteorganizatpentrueleviiclaselordeliceu,peanide studiu,separatpetipurideprograme,corespunzatoareliceelor teoretice , respectiv tehnologice. Scopulinitieriiconcursuluiafostaceladeadescoperisistimula eleviicuaptitudini,inclinatiisiinteresepentrumatematica,dea dezvolta motivatia intrinseca de invatare si valentele creative. Necesitatea concursului a derivatdin : - existenta unui sistem concurential intre elevii cu acelasi nivel de pregatire, corespunzator tipului de liceu ; ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 11-evaluareacorectaaprocesuluiinstructiv-educativdinscolile participante ; -posibilitateaaccesuluilagradatiidemerit,salariidemerita cadrelor didactice implicate in pregatirea si indrumarea elevilor ; -dezvoltareasiextinderearelatiilordeparteneriatintrescolile participante . PRIMAEDITIE,cumerasifiresc,afostorganizatalaGrupul ScolarAgricol av.dr.IoanSenchea Fagaras,in 28.05.2005.Participantiiaufost85eleviailiceelordinFagaras, Victoria,Rupea, si Marsa.17 dintre ei au primit premii in bani. A DOUA EDITIEa avut loc in anul 2006 la Colegiul National Radu Negru ,Fagaras.S-au inscris 86 elevi ai liceelor din Fagaras, Victoria,Codlea si Rasnov. S-au acordat 24 premii in bani: Nr. crt. Numele i prenumele elevului ClasaScoalaPREMIUL1.Codrea Florina XI-aGr.Sc.SencheaIII 2.Hristea Nicoletaa X-aGr.Sc.CodleaI Nr . cr t . Numele i prenumele elevului Cl asaScoalaPREMIUL obtinut 1.Ciocan Dumitrua XII-aC.N.Doamna StancaII 2.Pampu Adinaa XII-aC.N. Radu Negru I 3.Buleandra Catalina XI-aC.N. Radu Negru I 4.Gaman Sergiua X-aC.N. Radu Negru I 5.Ghizdavu Ancaa IX-aC.N. Radu Negru I 6.Ilie Andreeaa XII-aC.N. Radu Negru II 7.Stroie Florina XI-aC.N. Radu Negru II 8.Pirau Sorina X-aC.N. Radu Negru II 9.Seulean Simonaa IX-aC.N. Radu Negru II 10.Ursu Sebastiana XII-aC.N. Radu Negru III 11.Barcutean Zenoa IX-aC.N. Radu Negru III 12.Vacar Nicua XI-aC.T. Aurel Vijoli I 13.Boholtean Georgetaa XII-aGr.Sc.SencheaI 14.Dates Iuliaa XII-aGr.Sc.SencheaII 15.Greavu Mariaa X-aGr.Sc.SencheaI 16.Darau Cristiana X-aC.Th.VictoriaIII 17.Moraru Alexandrua IX-aLic.T.VictoriaI ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 123.Achim Alina XI-aGr.Sc.CodleaI 4.Mondoc Corinaa XI-aGr.Sc.CodleaII 5.Stoica Petronelaa XII-aGr.Sc.CodleaI 6.Robu Alinaa X-aGr.Sc.CodleaII 7.Boghian Mihaelaa XII-aGr.Sc.CodleaII 8.Bordeianu Ioanaa XII-aC.Th.A.VijoliI 9.Ghizdavu Ancaa XI-aC.N. Radu Negru I 10.Gavril Ionua X-aC.N. Radu Negru I 11.Grlea Silviua IX-aC.N. Radu Negru I 12.Lolea Dianaa IX-aC.N. Radu Negru I 13.Popa M. Cyntia-Dianaa IX-aC.N. Radu Negru I 14.Meter Adriana XII-aC.N. Radu Negru I 15.Brcuean Zenoa XI-aC.N. Radu Negru II 16.Simon Sabinaa XI-aC.N. Radu Negru II 17.CorateaMihaielaa IX-aC.N. Radu Negru II 18.Piru Sorina XII-aC.N. Radu Negru II 19.eulean Simonaa XI-aC.N. Radu Negru III 20.LeancuCostina X-aC.N. Radu Negru III 21.Cosma Alina X-aC.N.Doamna StancaII 22.Hangu Roberta IX-aC.N.Doamna StancaIII 23.Enea Radua XII-aC.N.Doamna StancaIII 24.Daru Cristiana XII-aC.Th.VictoriaI ATREIAEDITIEaavutlocin26.05.2007laColegiulTehnic "Dr. Alexandru Barbat", Victoria.S-au inscris 69 elevi ai liceelor din Fagaras, Victoria,si Rupea. S-au acordat 19 premiiin bani. Nr. Crt. Numele i prenumele elevului ClasaScoalaPREMIUL obtinut 1.Mamaliga Octaviaa X-aC.N.Doamna StancaII 2.Stanislav Bogdana X-aC.N.Doamna StancaIII 3.Necula Alexandraa XII-aC.N.Doamna StancaI 4.Hangu Roberta IX-aC.N.Doamna StancaIII 5.Dan Mihai-Alexandrua X-aC.N. Radu Negru I 6.Neagoe Sinzianaa X-aC.N. Radu Negru I 7.Leancu Costina X-aC.N. Radu Negru II 8.Mester Adrian Nicolaea XII-aC.N. Radu Negru I 9.Ghizdavu Anca Elenaa XI-aC.N. Radu Negru I 10.Barcutean Zeno-Dana XI-aC.N. Radu Negru III 11.Corsatea Mihaielaa IX-aC.N. Radu Negru I 12.Lolea Diana Andreiaa IX-aC.N. Radu Negru II 13.Onofrei Biancaa XII-aC.Th.A.VijoliII 14.Bentia Ioan-Daniela XI-aC.Th.A.VijoliI ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 1315.Darau Ioan Cristiana XII-aC.Th.Dr.Al.BarbatI 16.Rosiuta Corinaa XII-aC.Th.Dr.Al.BarbatIII 17.Stancu Mihaia XI-aC.Th.Dr.Al.BarbatII 18.Bogos Elenaa IX-aG.Sc.Dr.Av.I.SencheaI 19.Cocirta Danielaa X-aLic.T. I.C.DragusanuIII A PATRA EDITIEa avut loc in 26.05.2008 la Grupul Scolar IndustrialRupea.S-au inscris 78 elevi ai liceelor din Fagaras, Victoria,Feldioara si Rupea.S-au acordat17premii in bani. Nr crt Numele i prenumele elevului clasaScoala PREMIUL obtinut 1.Hangu Roberta X-aC.N.Doamna StancaIII 2.Neagu Cristiana XI-aC.N.Doamna StancaI 3.Bercu Ionuta XII-aC.N.Doamna StancaI 4.Nicula Bogdana IX-aC.N. Radu Negru I 5.Gavrila Mihaelaa IX-aC.N. Radu Negru II 6.Corsatea Mihaielaa X-aC.N. Radu Negru II 7.Dan Alexandrua XI-aC.N. Radu Negru II 8.Ghizdavu Ancaa XII-aC.N. Radu Negru II 9.Jib Roxanaa XII-aC.N. Radu Negru III 10.Itu Anda Mariaa IX-aGr.Sc.Dr.Av.I.SencheaIII 11.Gorgan Mirelaa IX-aGr.Sc.Dr.Av.I.SencheaIII 12.Stanciu Roxanaa IX-aGR SC IND ST O Iosif, Rupea II 13.Rus Emimaa X-aGR SC IND ST O Iosif, Rupea I 14.Bucur Andreaa X-aGR SC IND ST O Iosif, Rupea III 15.Muntean Andreeaa IX-aLiceul Teoretic Petru Rares, Feldioara II 16. Taus Ana Maria a IX-aLiceul Teoretic Petru Rares, Feldioara II 17.Voinicu Alinaa XI-aLiceul Teoretic Petru Rares, Feldioara III EDITIA a V-a , va avea loc in 23.05.2009 la Colegiul Tehnic Aurel VijoliFagaras Prof. Florian Brsan ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 14InfiinareaCentruluizonaldeinformaremetodiclaColegiulNaional"RaduNegru",Fgra Problematicambuntiriicalitiinvmntului,afactorilor implicai,astrategiilordeurmatconstituieprioritateatuturor activitilorproiectateirealizatedeCatedradematematicadela CNRN.Deoareceunuldintreobiectiveleprioritarealeformrii continueestedezvoltareapersonaliprofesionalaprofesorilor, prinactualizareacompetenelordebaz(psihopedagogice, specialitate,demanagement)insuireaunornoicompetene(n specialndomeniulmetodicii/didacticiispecialitii),s-ainfiintat la CNRNCentru zonal de informare metodica . Inurmaunoranalize,bazatepeconcluziiledesprinsedin activitatileCerculuimetodicdematematicanr11,s-auconstatat nevoi de formare semnalate de cadrele didactice. Pentruasigurareadreptuluilainformaieatuturorcadrelordidacticecatsialelevilor,inColegiulnostrus-aupusladispozitie atat spatiul fizic necesar ( biblioteca, catedra si cabinet de matematica dotatecucalculatoare,conexiunelainternet,sistemelectronicde evaluare etc.), cat si material didactic(manuale si auxiliare didactice,culegerideprobleme,colectiiderevistepesuporttiparitcatsipe suportelectronic,softurieducationaleetc.).Deasemenea,s-a alcatuit o baza de date cuprinzand: -documentedeplanificaredebunacalitate,inconcordantacu curriculum-ul national ; -proiectareapeunitatideinvatare(elementgeneratoral planificarii calendaristice); -exempledeinstrumentedeevaluare(proiectul,portofoliul,tema pentru acasa, tema de lucru in clasa, autoevaluarea); - exemple deportofolii pe otema anumita; -listacursuriloroptionalesiprogramelecursuriloroptionale avizate/ propuse prin CDS; ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 15-exempludeinstrumentedeevaluare-testeunicesumative-cu analizasiinterpretarearezultatelorsiindicareamodalitatilorde reglare/remediere.Pentrueficientizareaactivitatiideinformare, consultaniconsilieremetodicdespecialitate,s-auorganizat urmatoarele actiuni: -extragere de material didactic de pe Internet; -difuzarea materialului informativ primit fie de la MECT, fie de la diverse institutii; -achizitionarea ultimeloraparitii editoriale de specialitate; -intocmirea de bibliografii tematice; -consultantaindomeniile:asistentadespecialitate,sustinerea examenelor de definitivat, grade didactice II si I, cercuri metodice; -organizareauneiexpozitiipermanentedepromovarea manualelor alternative; -prezentaride carti metodice de tip recenzie . DezvoltareaCentrului constituie una dintreprioritatile instituiei. Bazadocumentarafostmbogitsubstanial.Astfelincadrul bibliotecii exista 928 volumecu specific matematic, iar la catedra de matematica exista 165 volume de matematici, publicaii i reviste de specialitate(intreagacolectieaGazeteimatematice,seriaB,pentru tineret ) si softuri educaionale . Biblioteca CNRN pune la dispoziia cadrelordidacticedinzonaFagaras,pelngfonduldecarte diversificatpecareldeine,iprogrameledetitularizarei perfecionarepentrugradeledidactice(definitivat,graddidacticII, grad didactic I). Pentrucretereaeficieneiprogramelorderulateinanulcolar 2007-2008catedranoastraaavutocolaborarefructuoascu FacultateadeMatematica,dincadrulUniversitatiiTransilvania, Brasov. Ne dorim ca in acest centru sa realizam proiecte stiintifice , educativesiculturaleprincaresaajutamatatimplementareareformein unitile de nvmnt cat si profesionalizarea carierei didactice . CATEDRA DE MATEMATICA Colegiul National Radu Negru Fagaras ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 16 MATEMATICALABACALAUREAT. Chiar daca matematica este probabil a doua materie ca pondere laexamenuldebacalaureat(nsensulnumruluideelevicareo susin),n-amobservatssuscitesuficientinteresncomentariilei polemicileulterioaresesiunii-iunie2008,deiconsidercmotive ntemeiatearfiexistat.Astfeldediscuiiasuprasubiectelorde bacalaureatlamatematicidespremoduldedesfurareaacestei probe n ultimii ani sunt, cred, ndreptite i sper cu urmri pozitive pentruaniiurmtori.nacestsens,dorescieu,ncalitatede profesor de matematic (la liceu), s deschid o discuie asupra acestei teme. nprimulrnd,discutabildinpunctulmeudevedereeste metodadeapostapeInternetcele100devariantedesubiecte(aa cumseprocedeazncepnddeacumtreiani),maialesla matematic. De ce ? Motive ar fi mai multe: 1)matematicapuneaccentpedezvoltareacreativitii, originalitiiiinventivitiielevilor,iarapariiadiverselorrezolvri alesubiectelornaintedeexamenitenteazpeacetiaslenvee mecanic, lucru de altfel imposibil de realizat la cele 100 de variante; 2)pot aprea disfuncionaliti, cum s-a i ntmplat de fapt n 2008:varianteleaprutela1martiesnufieceledefinitive,avnd locschimbriulterioarenconinuturi.Acestlucrui-apanicatii-a bulversat att pe elevi, ct i pe profesori; 3)Unuielev,orictdeinteligentidesilitorarfiel,ieste practicimposibilsparcurgtoatevariantele,latoatemateriile,n intervalul: 1 martie-22 iunie (114 zile), n ipoteza c la ultima prob nu d sport, ci o materie teoretic, tot cu 100 de variante de subiecte. Oricine poate face calculul urmtor: - 4 probe x 100 variante = 400 variante (ex.: lb. romn, matematic, informatic, lb. englez) ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 17- 400 variante x 3 ore (timp de lucru pentru o variant) = 1200 ore - 1200 ore : 114 zile = 10,5 ore/zi (cu aproximaie). Aadar: aproximativ 10 ore/zi de lucru pentru pregtire, 6 ore (cel puin)lacoal,rmnndcam8orepentrusomnipregtirea leciilor.Numaiintrncalculiprogramulzilnic(splat,mncat, drum pn la coal i napoi). E adevrat c ar mai fi n plus cte 6 ore libere smbta i duminica, atunci cnd nu sunt cursuri la coal(34zilex6ore=204oredincele1200necesare).Astfel,am demonstratmatematicfaptulcesteimposibilderealizataaceva, orictdeambiiosaifi.Ospunidinexperienadeprintealunui absolvent (2007).4)Relativ la motivaia anterioar, se poate afirma c subiectele sediscut/rezolvincadrulorelor,lacoal.Esteadevrat,darla matematic,dupterminareamaterieideclasaaXII-a(vasti dificil),numairmnesuficienttimpladispoziiepentru recapitulareirezolvareavariantelornntregime,cidoar aproximativ:-36ore-cls.deinformaticcu4ore/spt.(adic-12 variante) -15orecls.deliceutehnologiccu3ore/spt.(adic-5 variante) 5)Apariiarezolvrilorsubiectelordebacalaureatndiverse culegeri mrete tentaia elevilor de a le copia la examen. nconcluzie,pebazaargumentelorexprimateanterior,consider c ar fi necesar s se renune la acest sistem i s se revin la tipul de subiecte i la modul n care s-a procedat n anii 2005-2006; adic s se publice cu cteva luni nainte un numr de modele de subiecte (20-30),pentruasecunoatestructuraacestora(numrulproblemelori alsubpunctelor,mprireasubiectelorpealgebrgeometrietrigonometrie analiz matematic, punctajele), iar la examen s fie o variant la prima vedere. Coninutul subiectelor s fie structurat astfel nct notele 5-6 s fie accesibile cu un nivel minim de cunotine, 7-8 launnivelmediu,9-10launnivelsuperior(deacestgenaufost ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 18subiecteledinanii2005,2006,2007),darfrcacerineledela ultimelesubpuncte,pentrunotedepeste9,sdepeascprograma colar, aa cum s-a mai ntmplat.n plus, ar mai fi o problem legat de clasele de liceu tehnologic(zi,seral,rutaprogresiv),caresusincaprobobligatoriela bacalaureatmatematica.Mis-arpreamainormalca,laoastfelde clas, matematica s fie la alegere, eventual cu fizica, chimia etc., n funciedeprofil.Laacesteclase,programaconine:matrice, determinani, limite, derivate, integrale, iar elevii greesc de multe ori nmodinadmisibillacalculenumericesimple(decls.aVI-a),la nmulireaadouparantezesaularezolvareaecuaiilordegradulI sauII.Cumsmaipoi recuperaacestelipsuri (n2-3 ore/spt.) i saduciunastfeldeelev(careemajoritar,dinpcate)lanivelul cerinelor subiectelor de bacalaureat de anul trecut, de exemplu? Este de cele mai multe ori imposibil, orict ai munci ca profesor!Ar mai putea exista n acest sens i varianta bacalaureatului de tip A, B, C(idee vehiculat), iar n funcie de nivelul acestuia, elevul s poataccedesaunulaofacultateorialtaidecenu,aacum multevocicerdeja,reintroducereaexamenuluideadmiterela facultate, scznd astfel miza notei mari de la bacalaureat i implicit tentaia de a copia la acest examen. Mi-adoricabacalaureatulsredevinunexamenserios,de maturitate ntr-adevr, dar acest lucru nu se poate realiza dect prin subiecte bine concepute, de ctre specialiti autentici, i nu n ultimul rnd,prinseriozitateaiverticalitateadasclilorimplicain desfurarea acestui examen. Prof. de matematic Ligia Daru,Colegiul Tehnic Dr. A. Brbat ,Victoria ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 19Origineanumerelor Numarul a inceput cu mult inainte de a exista simboluri precum 1,2si3pentrunumereleindividuale.Defapt,putemnumarafaraa folosidelocnumerele.Numaratoareapedegeteesteometoda populara.Deexemplu,dacasuntetifermier,vaputetidescurcasi astfel:Amoicatdouamainisidegetulmare,indoindperand degeteleintimpceprivitioile.Nutrebuieneaparatsaintelegeti conceptualnumaruluiunsprezecepentruavedeadacav-afurat cineva vreo oaie. Trebuie numai sa observati data viitoare ca aveti oi numai cat doua maini deci, in mod evident, acea oaie ar corespunde degetului mare, care lipseste.Mai puteti inregistra numaratoarea ca semne pe bucati de lemn saudeos,sauputeticreajetoanestandardpecaresalefolositica numaratori,cumarfidiscuridelutcuimagineauneioipentrua numaraoile,saucuogainapentruanumaragainile.Pemasurace animalele va trec prin fata, puteti pune discurile intr-un sac, cate unul pentrufiecareanimal.Probabilcafolosireasimbolurilorpentru numeres-adezvoltatcucirca5000deaniinurma,candasemenea numaratori erau puse intr-un invelis de lut. Era o pacoste sa scurmi invelisuldelutdefiecaredatacandvoiaisaverificinumaratoarea, apoisamaifaciunulcandtermini.Asacaoameniiaufacutsemne speciale pe exteriorul invelisului, sumarizand ceea ce este in interior. Apoisi-audatseamacadefaptnuaunevoiedenumaratoriledin interior: puteau face acelasi semn pe tablitele de lut. Este uimitor cat de mult a durat ca sa vada un lucru evident. ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 20Simbolurilenumericebabiloniene,deexemplu,eraudesenate pe bucati umede de lut cu varful unui bat. Nedorind sa iroseasca mult timppentruafacesutedeastfeldemarcaje,candnumaruldevenea maimare,auinventatoformadiferitapentrunumarulzecesiau folosit mai multe forme pentru multiplii 20, 30etc. Notatianumericacucaresuntemfamiliarizatiaziestefoarte diferita.Inlocdearepeaacelasisimboldemaimulteoripentrua nota numerele mari, se foloseste o serie intreaga de simboluri: 0, 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9.Pedealtaparte,inlocdeainventanoisimboluri pentrumultipliiluizece,sefolosescaceleasisimboluriindiferite pozitii.Scriemnumarulcincisutedouazecisicincisubforma525, ceea ce inseamna 5x100+2x10+5x1. Aceasta metoda pozitionala de a scrie numerele s-a dezvoltat in IndiasiinArabia,intreanul200sianul800.Civilizatiahindusadin Indiadateazaaproximativdinanul2000i.H.siadezvoltat matematica aproximativ din 800 i.H. Simbolurile numerice au aparut acolocamprinanul300i.H,unexemplutipicfiindasa-numitele simboluri Brahmi. Notatia Brahmi difera de notatia din zilele noastre nunumaiprinformasimbolurilor,darsiprinfolosireacomplet diferita a simbolurilor pentru 1 si 10, 2 si 20 s.a.m.d. Totusi, a facut un pas crucial prin folosirea a noua simboluri diferite pentru cifrele e la 1 la 9. Pelaanul600,sistemulhinduss-adezvoltatdevenindceeace esteazi,cuexceptiaunordiferenteminoreinformasimbolurilorde baza,sistemuldenumeratiezecimalsauinbazazece.Aceasta inseamna ca foloseste zece simboluri (care se intampla sa fie 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) pentru a reprezenta cele zece numare de la zero la noua. Urmatorul numar, zece, este reprezentat prin simbolul 1 urmat desimbolul0,astfel:10.Acesta esteurmatde11,12,13siasamai departepanala19.Esteimportantsaavemunsimbolpentruzero, altfelnuputemdistingecategoricintrenumereprecum12,102, 1002, 10002 etc. ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 21 Insistemulbabilonian,toatenumerelesuntformatenumaidin doua simboluri repetate unul pentru unitati, unui pentru zeci. Sistemulnostrudeenumeratiefolosestebazazece,ceeace inseamnacafolosestezecesimbolurinumericediferite.Mayasiidin America de Sud foloseau un sistem cu baza 20. Prof. Ioana BoriceanuGrupul Scolar Industrial St. O. Iosif, RupeaARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 22Istorianumruluizeron primele secole ale erei noastre, un hindus al crui nume n-a fost conservatdeistorie,imaginauncaracterspecial,actualmentenumit "zero", pentru a marca absenauneicifrede o ordine oarecare dintr-un numr. Sistemul de numeraie pus la punct in India s-a bazat apoi ipefolosireasemnuluirespectiv.Sepresupunecnoiuneade "zero"afostfolositpentruprimadatnBabilonulanticundes-au descoperitiprincipiilesistemuluidenumeraieutilizatdenoi.Din punctdevedereetimologic,cuvntul"zero"estedeoriginelatin fiindmprumutatdinlimbaarabundesensulsuerade"vid". Nscut din dorina de a ine o socoteal exact a bunurilor sale, cifra zeroesteindispensabilnefectuareacalculelor.Estegreusne imaginm c secole de-a rndul oamenii nu au cunoscut aceast cifr, ceeacefceacaefectuareaoperaiilorsfieextremdedificil.n zilelenoastre,zeroacptatoimportanimaimaredeoarecen calculatoareleelectronicenumereleseformeazdinirurialctuite numai din dou cifre - 0 i 1. Desprenumarulzeroingeneral.Acestnumararein matematicaopersonalitatedeosebita:nusepoateimpartisau simplificacuzero,esteelementneutruinrazboiulcuadunarea,este limitasuperioaraanumerelornegativesiceainferioaraacelor positive.Adaugatdupaunnumarnatural,iimodificacumult valoarea.NudegeabaaconsideratmareleinvatatorPitagoraca "TOTULESTENUMAR".ntrenaturalieniexistaolegatura geneticafoartestransa:oricenumardinsirulnumerelornaturale poate fi obtinut prin adaugarea lui 1 la precedentul. Exemplu: 0+ 1= 1, al doilea numar din sir. Se zice ca zero este o nulitate , dar de cate ori nu neraportam la el ?. Este temperatura la care ingheata apa; este considerat anul dinaintea nasterii lui Isus Hristos; cu zero este notat si nivelul marii. Ba chiar exista si un meridian zero. Ioana Maican elevaclasa a IX-a A, C.N. Radu Negru, Fagaras ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 23 Numarul(pi) Numarul (pi) este cel mai faimos numar al sistemului de numeratie. El reprezintaraportuldintrecircumferintaunuicercsidiametrulsau.Acum circa4000deani,egipteniiaugasitprimiivaloareaacestuinumarsil-au exprimatca(4/3)4 ,iarbabilonieniii-auconsideratvaloareade3si1/8. Indienii utilizau pentru valoarea de radical din 10. Dintre aceste estimari, cea mai apropiata de valoarea reala a fost cea furnizata de egipteni (3,1604). Texteleebraiceoriginalefurnizeazaovaloarealuipimultmaiprecisa. Arhimede (cca 287 - 212 .H.) a dezvoltat o metoda ingenioasa de calcul al lui (cca 250 .H.), pe care l-a gasit cuprins ntre 3 si 10/71 si 3 si 10/70. n anul 150 d.H., Claudiu Ptolemeu, matematician din Alexandria, a exprimat numarulpiprin377/120,iarTsuChungChii-adatvaloareade355/113. Acestevalorisuntcorectepnalazecimalaa3-a,respectiva6-a.Cnd,in 1882,matematicianulgermanFerdinandvonLindemann(1852-1939)a demonstratcanumarulpisescriecuunnumardezecimaleinfinitsicare nuserepetaperiodic,s-apututdaraspunsullaovecheproblemapusade greciacum2000deanisicunoscutasubnumeledeproblemacvadraturii cercului: este oare posibilsa transformam un cerc intr-un patrat de aceeasi arie? Raspunsul este ca nu poate fi desenat (numai cu rigla si compasul), un patrat avnd aria riguros egala cu cea a unui cerc dat. Astazi numarul pi se cunoaste cu precizia care atinge 64 de miliardede zecimale. Un japonez, in varstade60deani,abatutpropriulrecordmondialdememorarea numaruluipi,recitandinpublic,timpde16ore,100.000dezecimale. Akira Haraguchi detinea deja recordul mondial in materie, adica recitarea a 83.431dezecimalealeluipi.Probas-adesfasuratinSaladeconferintea primarieidinKisarazu,insuburbiileorasuluiTokyo,subsupravegherea functionarilormunicipali,cucateopauzadezeceminutelafiecaredoua ore.Andrea Bobocea eleva clasa a IX-a A, C.N. Radu Negru , Fagaras ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 24Numruliraionale Cine este numrule ? e, simbol ce desemneaz limita irului nn1a =(1+ )n e =nn1lim (1+ )n(Jacques Bernoulli, 1690) Numrul e este suma seriei: 1 1 11+ + +...+ +...1! 2! n!(D. Bernoulli, 1728) Este un numr iraional (fapt demonstrat de H. Lambert, 1766) i transcendent(faptdemonstratdeCh.Hermite,1873),fiindegalcu: 2,718281...Numrul e a fost calculat de Boozman (1884) cu 346 de zecimale exacte.DupideealuiJ.Neper(1614),numruleestefolositca bazaunuisistemdelogaritmi.SimboluleafostpropusdeL. Euler. Numriraionaltranscendentnumrcarenupoatesatisface nicio ecuaie algebric cu coeficieni ntregi. Exerciiu: S se calculezennk1lim 1k! Rezolvare: Se tie c limita irului nn1e =(1+ )n este egal cu e. PlecnddeladezvoltareadupbinomulluiNewtonaexpresiei n1(1+ )n avem: ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 25en=1+21 ( 1) 1 ( 1)...( 1) 1 1* ... * ...1 1*2 1*2*...*k nn n n n n kn k n n ++ + + + +Princtevatransformriseajungelaevaluarealui ne prin mrimea 1 1 1 11 ...1 1 2 1 2 3 1 2 3 ...nsn= + + + + + , limita lui nsfiind egal cu limita irului ne , deci n nlim S =e . Rezult relaia: 1 1 1 1lim (1 ... )1 1 2 1 2 3 1 2 3 ...nen++ + + + = (1) sau 1 1 1 1 1lim ...0! 1! 2! 3! !nen + + + + + = , adic n1lim =ek! Expresia din paranteza relaiei (1) permite calculul valorii lui e cu orice aproximaie dorim: Dac facem, spre exemplu, suma S7, a primilor opt termeni ai lui nSavem egalitile: 1=1 ; 1 1 11; 0, 5; 0,1666671 1 2 1 2 3= = 10, 041667;1 2 3 4 10, 00833331 2 3 4 5 10, 0013891 2 3 4 5 6 ;10, 0001981 2 3 4 5 6 7

nsumnd membru cu membru aceste egaliti, obinem S7 ~2,71828 ,deci valoare aproximativ a luie. Existialtereprezentrimairarealenumruluie.Elpoatefi exprimat cu ajutorul fraciei: ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 26121112111114...e = ++++++ sau, n form mai compact: e = [[2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, ... , 1, 2n, 1, ... ]] Acesta poate fi scris i mai elegant, permind i zero: e = [[1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1 ... ]] Ceva mai recent... ... n oferta public iniial a companiei Google, din 2004, aceasta i-a anunat intenia de a strnge investiii de 2.718.281.828 de dolari (nloculuneisumerotunde),ceeacenseamnemiliardededolari rotunjit la dolar .Tot Google a fost rspunztoare pentru un misterios panou publicitar care a aprut n mijlocul Silicon Valley, i mai trziu n Cambridge, Massachusetts, Seattle, Washington, i Austin, Texas. Peelscria{primulnumrprimde10cifrecompusdincifre consecutive ale lui e }.com. Rezolvarea acestei probleme i vizitarea respectivului site ducea la o problem i mai dificil de rezolvat, care larnduleiducealaGoogleLabs,undevizitatorulerainvitats-i trimit un curriculum vitae. Primul numr prim de 10 cifre din e este 7427466391, care ncepe la a 99-a cifr. (Un ir aleatoriu de cifre are oprobabilitatede98.4%snceapunnumrprimde10cifremai curnd.) Prof. Daniela NeagoeColegiul National Radu Negru , Fagaras ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 27 Despremrimiincomensurabilesauiraionalitatealui 2 Gndireapitagoreicceconsideracnumerelentregireprezint msuratuturorlucrurilors-alovitdeocontradiciefrsoluie, datoritdescopeririiiraionalitii.Tocmaiaceastdescoperire reprezintnsceamainsemnatcontribuieapitagoreismuluin matematic. Denumireademrimeincomensurabilseexprimnlimba greacprintr-unuldintermenii:asimmetron-mrimicarenuauo msurcomun,arreton-mrimicarenupotfiexprimateprin numerentregiialogon-ceeacenusepoateexprimaprinlogosca raport de dou numere ntregi. Sepresupunecprimulnumriraionalaprutnmatematica fost2 ,iardescoperirealuiafostprobabillegatdeaplicarea teoremeiluiPitagorantr-untriunghidreptunghicisoscelcucateta a=1.TeoremaluiPitagoraneconduceastfellasegmente incomensurabile, deoarece nu se poate gsi o msur comun pentru laturaidiagonalaunuiptrat.Imposibilitateadeaexprimape 2 printr-unraportdedounumerentregiadusnunumaila cutarea calculului su prin aproximaie, ci i la demonstrarea acestei imposibiliti. OmetoddedemonstraieestedatdeEuclid,ncartea10din Elementele,prinreducerelaabsurd,folosindteoriaparuluii imparului, demonstraie pe care o gsim i n manualele colare. Nuesteexcluscanumruliraional2 sfifostgsitnteoria armonieincutareasemioctavei,ceeaceesteechivalentcugsirea medieigeometriceanumerelor1i2.ntremediaaritmetic ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 282aa bm+= imediaarmonic 2habma b=+adounumereaibse poatestabiliproporiamuzical ham am b= ,iarpentrua=1ib=2se obin 3 4,2 3a hm m = =care verific proporia respectiv.Pentru a avea armonie(consonan)intervaluluneioctave(lungimeacorzilorse raporteazca1/2)trebuiempritndouintervaleinegalecvarta (3/4)icvinta(2/3)duplegea1/2=3/42/3.Imprireaoctavein douintervaleegale xyarda,dupaceeailege 122x x yy y x= = .Darlaunraport 12allungimilorcorzilornu se obine consonan ci zgomot. De aici vine ideea c2 nu poate fi exprimat prin raportul a dou numere ntregi. Pentruacalculaprinaproximaie2 putemdescompune numrul2nfactoriinegali,deexemplu2=12,apoicalculm 32am = i 43hm = isformmdinaceste4numereoproporie armonic2 4/ 33/ 2 1= .Diferena 3 4 12 3 6 = estemaimicdect diferena2-1=1.Prinurmare, 32 i 43potfiprivitecavalori aproximative ale lui2 prin adaos i respectiv prin lips. Continund acest procedeu obinem 171, 41(6)12 = i 241, 411717 = , care difer ntre ele doar cu 1204 .a.m.d. putem obine orice aproximaie dorim. ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 29 Descoperireamrimilorincomensurabileaprovocato adevratcrizafundamentelornmatematicagreac,fiindn contradicie flagrantcuideeapecaresesprijinntreguledificiual coliipitagoreice,caresusineclabazatuturorlucrurilorst numrulntreg.InvturasusinutcuattaconvingeredePitagora icoalasanumaiputeafirecunoscutcaadevrat.Descoperirea segmentelorincomensurabilechiardectrepitagoreiciafostmult timp ascuns i pstrat ca un mare secret. Importanadescopeririiiraionalitiiafostdepartedeafijust apreciatdectretoimatematicieniivremii.Uniiauconsiderat apariia numerelor iraionale o prpastie peste care nici calculul, nici logicanusuntnstaresarunceopunte,iarexistenanumrului iraional2 a fost privit mult timp ca o excepie scandaloas, inut ascunspentruanufirspndit.PentruAristotelns,descoperirea numerelor iraionale a provocat doar mirarea pe care o produce orice descoperire tiinific adevrat .

Prof. Simona erb Colegiul Tehnic Aurel Vijoli ,Fgra Altmetoddedeterminareainverseiuneimatrice Estecunoscutdeterminareainverseiuneimatriceptratice nesingulare, cu ajutorul relaiei 11detA AA = ,undeAeste matricea adjunct a matricei A. Inceleceurmeazvoiprezentaoaltmetoddedeterminarea inversei unei matrice prin rezolvarea unui sistem Cramer.Considerm ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 30ecuaia matriceal AX = Y (1), unde A este o matrice nesingular de tip (n,n),a crei invers vrem s-o determinm,1 12 2;n nx yx yX Yx y = = . ..Ecuaia(1)esteechivalentcuunsistem Cramer,carerezolvatprindiferitemetode(substituie,reducere, metoda lui Gauss etc.) obinem 1ni ij jjx b y==,cu1, i n = , care se scrie matriceal X = BY (2). Inlocuind (2) n (1) avem A(BY) = Y, care se mai scrie (AB)Y = Y,de unde nAB I = (3). Inlocuind (1) n (2) avem X = BAX sau X(BA) = X, deunde . nBA I = (4).Din(3)i(4)avem nAB BA I = = ,ceeace nseamn c 1. A B=Practic,pentrudeterminareainverseiuneimatriceAprocedm astfel:-scriemsistemuldeecuaiiliniareundecoeficienii necunoscutelorsuntelementelematriceiA,iartermeniiliberisunt nite parametri.- rezolvm sistemul prin diferite metode n raport cunecunoscutelei,aranjndsoluiiledupparametri,matricea format cu coeficienii parametrilor este matricea invers cutat. Exemplu: S se determine inversa matricei 1 2 12 1 21 1 1A = . Alctuim sistemul1 2 3 11 2 3 21 2 3 322 2x x x yx x x yx x x y + =+ + =+ =.Rezolvnd acest sistem cuARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 31 regula lui Cramer sau cu orice alt metod, obinem: ( )( )( )1 1 2 32 1 23 1 2 313 51014 21013 510x y y yx y yx y y y= + += += + Matricea cutat este: 13 1 514 2 0101 3 5A = . Bibliografie: E. Arghiriade Intoducere n algebrProf. Aurel Aldea , C. N. Doamna Stanca, Fagaras AplicatiialeteoremeiluiLagrange Teorema Fie I un interval din R si f:I R o functie derivabila.Atunci f constanta f ' =0 Sa se demonstreze egalitatile: a) 21cos (1 cos 2 )2x x = + ,xR b) 21sin (1 cos 2 )2x x = ,xR c) 221arccos 2 ,1xarctgx x Rx= + ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 32d)22 , 12arcsin1 sgn 2 , 1arctgx xxx arctgx x = +

Rezolvari 21), )f(x)=cos cos 2 ,21' (x)=-2sinxcosx- ( 2) sin 2 0,2a b fie x x derivabilaf x x R = f :RR, 1 1 f -este constanta si f(0)= ( )2 2deci f x = xR *22221- x) 1,1 x1-x functia f(x)=arccos 2 ,1 x si f(0)=0, este suficient sa aratam caf 0,Rc deoarece x Rconsideram arctgx x Rf para+ + + = * **'( ) 0,constanta pe si f(1)=0f(x)=0,dar f x x R f Rx R+ ++= 1 221 22)f ( ) arcsin , ( ) 2 ,1. fderivabila pe R-{-1,1}, fderivabila pe R sixd fie x f x arctgx x Rxfct= = + 221 222 222, 12(1 ) 21f '( ) , '( ) ,2 1(1 )(1 ), 11xxxx f x x Rxx xxx += = = + + + ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 331 2 1 21 2 1 21 2( ) ' 0 ( 1,1)constanta ( 1,1) ( )(0) 0 ( 1,1)analog,1deci f f pe f f pe sif f f f pef f pentru x = = = + = + ~ Prof. Dorin Baba Grupul Scolar Industrial. St. O. Iosif , Rupea Inegalitatidemonstratecuajutorulderivatelordeordinsuperior PropozitieFieIunintervaldecapetea,b R si f: I Ro functie de n ori derivabila. Daca f(a+) 0, f (a+) 0, ... , ( 1)fn+( )0 a + si( )fn (x) >0, ( ) ( , ) x a b ,atunci f(x)>0( ), x a b Solutie( )f ( ) 0nx > ( ) ( , ) x a b si( 1)fn(a+) 0rezulta( 1)fn(x)>0 x ( , ) a b .Avem ( 1)fn(x) >0( ) ( , ) x a b si ( 2)fn(a+) 0 rezulta( 2)fn (x)>0( ) ( , ) x a b ,Continuand deducem ca f(x) >0 ( ) ( , ) x a b Corolar 1 Aratati ca xe>1+1!x+ ... + nxn!,( )*x+ RSolutie Fief(x)=x *x xe 1 ... , x1! n!n+ R f (x)=2 1e 1 ... ; '(0 ) 01! 2! ( 1)!nxx x xx fn > + =

f (x) =2 21 ... ; 0 "(0 ) 01! 2! ( 2)!nxx x xe x fn > + = ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 34 (n)f (x) = x-1e x>0( )( ) 0, (0, )nf x x > ( ) 0 f x >(0, ) x Corolar 23 5sin3! 5!x xx x < +*( )x+ RSolutieFie3 5( ) sin ; (0, )3! 5!x xf x x x x = + +2 4'( ) cos 1 ; 02! 4!x xf x x x = + > '(0 ) 0 f + =3"( ) sin ; 0; "(0 ) 01! 3!x xf x x x f = + > + =2(3) (3)( ) cos 1; 0; ( ) 02!xf x x x f x = + > =(4)( ) sin 0 f x x x = > evident (4)(0 ) 0 f + =(5)( ) cos 1; 0 f x x x = >Dar(5)(4)( ) 0( ) 0, (0, )(0 ) 0f xf x xf< < + =

Corolar 3 2 3ln(1 )2 3x xx x + < + *x+ R Solutie Fie 2 3( ) ln(1 )2 3x xf x x x = + + 21'( ) 1 , '(0 ) 01f x x x fx= + + =+ ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 352(3) (3)3(4)41"( ) 1 2 , "(0 ) 0(1 )2( ) 2, (0 ) 0(1 )6( ) , 0(1 )f x x fxf x fxf x xx= + + =+= + =+= >+. Deci(4)f (x)0,atunci f(x)0 Prof. Gieanina Sin, Colegiul National Doamna Stanca,Fagaras Functiihiperbolice Definitie:Functiilehiperboliceshx(sinushiperbolicdex),ch x(cosinushiperbolicdex),thx(tangentahiperbolicadex)sicth x(cotangenta hiperbolica de x) se definesc prin: 1) sh:R R , sh x=2x xe e ;2) ch:R [1, ), ch x= ;2x xe e+ 3) th:R (-1,1), th x= ;x xx xe ee e+ 4)cth:R-{0} R , cth x=x xx xe ee e+

Observandcafunctiilehiperbolicesuntcombinatiiliniareale aplicatiilorxxe ,xxe,xR,studiulproprietatilorfunctiilor hiperbolice devine un simplu exercitiu. Au loc egalitatile: 2 2ch sh 1,sh( ) sh ch ch sh ; x x x y x x x y = = th thch( ) ch chy sh sh , th(x y)= 1 th thx yx y x x yx y = ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 36Aplicatie.Se considera functiile: xshx,xchx a)Studiati variatia functiilor .b)Studiati inversabilitatea functiilor si determinati inversele acestora.c)Calculati aria domeniului D={(x,y)/x (0,),shxk .Atunci exista o cutie care va contine cel putin doua obiecte. Formageneralizata:seconsiderapobiectecaretrebuieplasate in c cutiisi un nr natural ncare verifica p > nc. Atunci, indiferent dedispunereaobiectelor,vaexistaocutiecarevacontinecelputin n+1 obiecte. Mentionam ca nu tinem cont de faptul care cutie contine cel putin douaobiecte.Lafelnuesteimportantcateobiectesuntinaceasta cutie, precum si cate asemeneacutii avem. Este important ca exista cel putin o cutie, cu cel putin doua obiecte (doua sau mai multe).Inliteraturaacestprincipiupoatefiintalnitsicudenumirile: "principiulsertarelorsiobiectelor","principiuliepurilorsicustilor" etc.ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 39Exemplificam acest principiu, rezolvand cateva probleme. Problema1.Sasedemonstrezecaprintreorice11numere naturale exista doua numere a caror diferenta este divizibila prin 10. Solutie. Consideram 10 cutii etichetate cu numerele 0,1,2,3,4,,9 care reprezinta resturile impartirii la 10. Repatizam in aceste cutii 11 numerenaturalearbitrare,astfel:inaceeasicutieseplaseaza numerele cu acelasi rest la impartireacu 10. Cum numere ("obiecte") suntmaimultedecatcutii,conformprincipiuluiDirichlet,existao cutiececontinemaimultdecatunobiect.Deciexista(celputin) douanumereplasateinaceeasicutie.Prinurmare,existadoua numere cu acelasi rest de impartire prin 10. Atunci, diferenta lor este divizibila prin 10.Problema2.Intr-osalasuntnpersoane(n2).Sase demonstreze ca printre ele se vor gasi doi oameni cu acelasi numar de cunoscuti(sepresupunecadacapersoanaAestecunoscutalluiB, atuncisiBestecunoscutalluiA;nimeninuesteconsideratfiind cunoscut al lui insusi).Solutie. Desemnam prin m numarul persoanelor care au cel putin ocunostintainsala(acesteasivorfi"obiectele").Fiecaredintre aceste m persoane poate avea 1,2,..., m -1 cunoscuti ("cutiile" vor fi numaruldecunostinte).ConformprincipiuluiDirichletexistadoua persoane cu acelasi numar de cunoscuti. Problema3.Sasearatecaprintren+1numerenaturalemai mici decat 2n, exista doua avand raportul o putere a lui 2.Solutie.Punemnumereledatesubforma 12 ak ,unde 1a este impar , iar 1ail vom lua numarul cutiei in care se va plasanumarul 12 ak .Cumnumereimparemaimicidecat2nsuntn,atunci conform principiului cutiei exista douanumere din cele n+1ce vor fi plasate in aceeasi cutie , deci catul acestora va fi o putere a lui 2.Problema 4. Sa se arate, ca printre orice (n + 2) numere naturale exista doua numere cu suma sau diferenta divizibila prin 2n.ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 40Problema 5. Sa se arate, ca din orice trei numere prime, mai mari decat 3, se pot alege doua cu proprietatea ca suma sau diferenta lor se divide cu 12. Bibliografie: M.Ganga,Probleme elementare pentru gimnaziu si liceu,Ed.Mathpress,2003 Prof. Marcela Ionut , C. N. Radu Negru , Fagaras ConstruciapoligoanelorregulateStudiul poligoanelor regulate a nceput o dat cu apariia problemelordeacoperireaplanuluicupiesedeaceeaiformi mrime,iprinncercriledediviziunea cerculuinpricongruenteiacontinuatcu lucrrileluiArhimedeprivindcalculul lungimiicercului(unpoligonregulatcuun numr infinit de laturi). Unpoligonesteregulatdacaretoate laturiledeaceeailungimeitoateunghiurile congruente. A1A2=A 2A3=A 3A4==A nA1 m( 1)= m( 2)= m( 3)= =m( n) Proprieti : -oricepoligonregulatesteinscriptibil(sepoatenscrientr-un cerc); -unghiullacentrucorespunztoruneilaturiaunuipoligon regulat are msura n

360, unde n >2 este numrul de laturi; -msuraunghiurilorunuipoligonregulatconvexeste nn 2180

; Programadematematicdegimnaziu,cticeadeliceu,nu conine n mod explicit titluriA1A2A3A4A5ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 41referitoarelaConstruciilegeometrice,darelesuntutilizatecel maiadeseanmomentulnvriipoligoanelorregulatepentrua-i ajuta pe elevi s perceap i s-i sedimenteze mai bine proprietile acestora,legturiledintreelementelepoligonuluiregulatiraza cerculuicircumscrislui.Incontinuarevorfiprezentatemoduride construcieapoligoanelorregulatestudiatengimnaziui construcia pentagonului regulat, decagonului regulat, cunoscnd raza cerculuicircumscrispoligonului.Problemeledeconstruciea poligoanelor regulate au o legtur direct cu mprirea cercului ntr-un numr de pricongruente. Construcialaturiihexagonuluiregulatnscrisintr-uncerc dat. Ceamaisimpl(iceamai cunoscut) diviziunea cercului este ceaprincareserealizeaz6pri congruente. Prin aceast mprire s-audeterminatvrfurilehexagonului regulat nscris ntr-un cerc dat. Evident construcia unui hexagon regulatdelaturdatlsereducela construciaunuicerccurazade lungime l i mprirea apoi a circumferinei n 6 pri congruente. Construciatriunghiului echilateralnscrisintr-un cerc dat. Ca oconsecin imediat a mpririicerculuin6pri congruente, numrnd din 2 n 2puncteledediviziune, obinemvrfuriletriunghiului echilateral nscris cercului dat. DABCEFDABCEF ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 42Construciaunuitriunghiechilaraldeolaturdatesteosimpl problem de construciea unui triunghi, caz L.L.L.. Prof.Ana Dragomir Colegiul Tehnic "Dr. Al Barbat", Victoria A.Exercitiisiproblemerezolvate 1.Pe un domeniu pe care expresiile au sens, sa se demonstreze identitatile: a)1 11 1sin(2 1) cos(2 1) sin(2 1)sin 2 2cos(2 ) 2sin(2 )n n nn n nx xx x x = + b)1 cos cos3 cos 7 sin152 4 8 16cos cos 2 cos 4 cos8 sin16x x x xx x x x x+ + + = c) 1111 cos cos(2 1) 2 sin(2 1)2 ... 2 ;cos cos 2 cos(2 ) sin(2 )n n nnn nx x xx x x x + + + =n>0;nN Demonstratie a) 1 1sin(2 1) sin(2 2 1)sin 2 sin 2n n nn nx xx x + = = =1 1 1 11 1sin 2 cos(2 1) sin(2 1) cos 22sin 2 cos 2n n n nn nx x x xx x + = =1 1 1 11 1 1 1sin 2 cos(2 1) sin(2 1) cos 22sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2n n n nn n n nx x x xx x x x + =ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 43=1 11 1cos(2 1) sin(2 1)2cos 2 2sin 2n nn nxx x + Demonstratie c) P(1): 1 2sin 1 2sin( )cos sin 2 cos 2sin cosx xAx x x x x= = Presupunem P(k) adevarat si demonstram P(k+1) adevarat P(k): 1 111 cos 2 cos(2 1) 2 sin(2 1)2 ...cos cos 2 cos(2 ) sin 2k k k kk kx x xx x x x + + + =P(k+1): 1 111 cos 2 cos(2 1) 2 cos(2 1)2 ...cos cos 2 cos(2 ) cos(2 )k k k kk kx xx x x x + + + + =1 112 sin(2 1)sin 2k kkxx+ ++ = Demonstrez P(k + 1) adevarat 1 111 cos 2 cos(2 1) 2 cos(2 1)2 ...cos cos 2 cos(2 ) cos(2 )k k k kk kx xx x x x + + + + =2 sin(2 1) 2 sin(2 1)sin 2 cos(2 )k k k kk kxx x + =( )( )1 112 sin 2 1sin 2k kkx+ ++

P(k+1) adevarata P(n) adevaratanN 2. Fie x,y,z reale pozitive a) Aratati ca 21 1 14xx yz y z + + ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 44b) Demonstrati ca 2 2 21 1 1 12x y zx y z x yz y xz z xy + + + + + + + c) Generalizare :Daca 1 2, ,..,nx x x (0,) aratati ca 121 2 3xx x x ++222 3 4xx x x +++222 1nn n nxx x x ++121 1nn nxx x x ++21 2nnxx x x + 1 21 1 1 1...2nx x x + + + a) 21 1 14xx yz y z + + 244x z yyzx yz yz+ +24xyzz yx yz ++ 2 2 2 2( 2 ) 4 x yz xyz x z yz x y y z + + + + 2 2 2 20 x z xyz x y xyz yz xyz y z xyz + + + xz(x-y)+xy(x-z)+ ( ) ( ) yz z x yz y x + + 0 ( )( ) ( )( ) x y xz yz x z xy yz + 0 2 2( ) ( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) 0( ) x y z x y x z x z y z x y y x z A + + b) din a) 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 14 4 4x y zx yz y z y xz x z z xy x y + + + + + + + +

2 2 21 2 2 24x y zx yz y xz z xy x y z + + + + + + +

2 2 21 1 1 12x y zx yz y xz z xy x y z + + + + + + + ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 45c) Cazul general 121 2 3 2 31 1 14xx x x x x + + 222 3 4 3 41 1 14xx x x x x + + 222 1 11 1 14nn n n n nxx x x x x + + 121 1 11 1 14nn n nxx x x x x + + 21 2 1 21 1 14nnxx x x x x + + (+) 1 2 2 12 2 2 2 21 2 3 2 3 4 2 1 1 1 1 2...n n nn n n n n nx x x x xx x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + +

1 21 1 1 1...2nx x x + + +

Prof. Felicia Betiu Colegiul National Radu Negru ,Fagaras B.Problemepropuse1)Determinatimaximulsiminimulsumeidintreunnr.real nenegativ si inversul sau. 2)Saseinscrieintr-uncercderazaruntriunghiisosceldearie maxima. 3)Sasedetermineuntriunghiincaresecunosc:masuraunui unghi , lungimealaturii opuse si este de arie maxima. 4)Sa se determine un triunghi de arie data ,cu perimetru minim. ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 465)FieAunpunctpeuncercdatC(O,r).Determinatipozitia punctului deintersectiedintrediametrulAOsicoardaBCastselincataria triunghiuluiABCsa fie minimasiBCsafie paralela cu tangentalacercdusa in punctul A. 6)Determinatilungimilecatetelorunuitriunghidreptunghiccu ipotenuzadatadelungimei,astfelincatvolumulcorpuluiobtinut prin rotirea triunghiului in jurul unei catete sa fie maxim. 7) Progresii aritmetice- conditii necesare si suficiente Fie sirul (an).3, , , n k n n k N < ,k>0.Demonstrati urmatoarele echivalente: 1.1 2 2 3 1 11 1 1 1.................k k kka a a a a a a a+ + =2.

111 21 10.........2 , 3,naturalnk nnn kka a aC a n nn +=+ += 3.11 2( )... , 32nna a na a a n++ + + = 4.1 2 3 1 12 2 ... 2 ( )( 1), 3,n n na a a a a a a n n n N+ + + + + = + 5. 1 2 2 3 1 11 1 1 1... , 3,an n nnn n Na a a a a a a+ + + = + + + + 6.11 2a ... , 3, , ,2k n kna aa a n n k n n k N +++ + + = < Problemele17suntpropusedeprof.DorinBabaGrupulSc.St.O.Iosif,Rupea ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 47 CLASA a IX-a 8) Se consider mulimile A = {x = 3n 4 ,nN } ; B = {x = 171 4m , mN} i C = {x/x = 12p 1 ,pN, 14 0 p }. S se demonstreze c AB = C. 9)a) S se determine funcia f:RR, care verifica inegalitatea f(x) 5x 4 2x f(x + 1) + x. b) Sa se determine m R pentru careZ x mx x + , 0 42.10)S se rezolve n R ecuaia: ( )( )2 2 25 2 7 3 2 11 3 x x x x x = + + Problemele 8-10 suntpropuse de prof. Aurel Aldea C. N. Doamna Stanca , Fagaras 11) Daca ( ), , , 0, a b c d sa se demonstreze inegalitatea: 3 3 322 2 2 2 2 2b c da abcdb a c a b d a b c+ + + + + + + + + 12) Daca 1 2 3 4 5, , , , x x x x x R si 1 2 3 4 532x x x x x+ + + + =,sa se demonstreze ca1 2 3 4 5sin cos sin cos sin 1 x x x x x + + + + 13) Daca, , (0, ) a b c ,sa se demonstreze inegalitatiile: 62 2 23) ;1 1 1a abcabca b c + + ( )32 2 22 2 272) 2 31 1 11b a b ca b ca b c+ + + + + + + Problemele 11-13 suntpropusede prof. Gabriela Boeriu, C.N. Radu Negru, Fagaras ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 48 CLASA a X-a 14)a)Determinaifunciaf:(0, ) Zceverificrelaia 1 ) ( ) (5 5+< x f x fxb) Calculai suma =1241) (kk kf . c) Dac( ) ( ),n m m ny x f y x f = s se demonstreze c min yxm n5log , < 1 15)Sserezolveecuaia:4 2 2 2} { ] [= + +x x x,unde[x]reprezint partea ntreag a lui x , iar {x} reprezint partea fracionar a lui x .

16)Sseaflevalorileparametruluirealm,astfelnctecuaia 0 1 2 2 ) 1 ( ) 3 ( 42= + + + m x m x m x s aib rdcini reale .

Problemele 14-16 suntpropuse de prof. Aurel Aldea C. N. Doamna Stanca , Fagaras 17) Dac 0 1 21, , ,....,nx x x x = sunt rdcinile ecuaiei 11,nx n N+ = , s se calculeze suma ,,1pkn ppkxS p Nx= . Problema 17 este propusa de Alin Cosma elev , clasa a XII-a ,C. N. Doamna Stanca , Fagaras ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 49 CLASA a XI-a 18) Se consider irulan= . .ori n ori n 2 .... 222 4 ..... 444.S se calculeze 5 10 3 10 2lim2+ n nnna, nN* . Problema 18 estepropusa de prof. Aurel Aldea C. N. Doamna Stanca , Fagaras CLASA a XII-a 19)Fie f,g :RR,cu proprietile : a) f admite primitive pe R. b) g(x) = f(2 + 3 x ) . S se determine primitivele funciei g .

20)Seconsiderfunciafderivabilitangentalagraficntr-un punct M. Dac N este punctul de intersecie al tangentei la grafic cu axa Ox i P este proiecia ortogonal a punctului M pe axa Ox, s se determine funcia f, astfel nct NP s fie constant. 21) Sa se calculeze I =+1121 coscossin arccos dxxxx Problemele 19-21 suntpropuse de prof. Aurel Aldea , C. N. Doamna Stanca , Fagaras 22)S se calculeze integrala I = 22 3122 1xxdxx x e + Problema22estepropusadeAlinCosma,elev,clasaaXIIa,C.N.DoamnaStanca,FagarasARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 50 2009AnulInternaionalalAstronomiei Anul2009afostdeclaratAnulInternaionalal Astronomiei(AIA),dectreUniuneaAstronomicInternaionali UNESCO,cuscopuldeastimulainteresulmondial,nspecialn rndul tinerilor , pentru astronomie i tiin. SubtemacentralDescopersingurUniversul,AIA2009, celebreaz prima utilizare astronomic a telescopului de ctre Galileo Galilei.Acum400deaniGalileoandreptatpentruprimaoaruna dintre lunetele sale ctre bolta nstelat i a fcut descoperiri uluitoare careauschimbatpentrutotdeaunaconcepiaomeniriidesprelume: muni i cratere pe Lun, o mulime de stele invizibile cu ochiul liber i satelii n jurul lui Jupiter (foto 1). Observatoareleastronomicedinntreagalumes-auangajatna dezvluimodulncaresuntformate planetele i stelele, felul n care galaxiile interacioneazievolueazice structuriformareUniversulnostru. ViziuneaAIA2009estedeajuta ceteniilumiidea-iredescoperilocul n Univers, prin intermediul cerului de zi i de noapte i, prin aceasta, de a trezi un sentimentpersonaldeuimirei descoperire.Toioameniitrebuies devincontienideimpactul astronomiei i al tiinelor fundamentele asupra vieii noastre de zi cu zi i de a nelege mai bine modul n care cunoaterea tiinific poate contribui la o societate mai echitabil i mai panic. ActivitileAIAvoravealoclanivelregionaliglobali, nspecial,lanivelnaionalilocal.nfiecarearaufostformate NoduriNaionalepentrupregtireaactivitilordin2009.Aceste Foto 1ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 51Noduristabilesccolaborrintreastronomiprofesionitiiamatori, centretiinifice,educatoriicomunicatoritiinificipentru pregtirea activitilor pentru 2009. Activiti care vor fi derulate n anul 2009: -Agenda cosmic- este o activitate global care se refer la viea cotidienaaastronomilorprofesioniti.Publiculipoatedaastfel seama despre ceea ce nseamn s fii astronom, i cum se desfoar adevrata munc de cercetare.-Globul pamantesc noaptea -o campanie global pentru a observa i a nregistra numrul de stele vizibile pe cer, ca reper pentru msurarea cantitii de poluare luminoas dintr-un anumit loc. -100oredeastronomie-unevenimentmondial,carearedrept scopcaunnumrctmaimaredeoamenisseuiteprintr-un telescop, aa cum a fcut Galileo n urm cu 400 de ani. Evenimente astronomice n 2009 Cea mai lung eclips total de soare din secolul 21, care va avea loc la 22 iulie 2009, i va dura 6 minute i 39 secunde, pe un coridor ngust dintre India, Bangladesh i China. ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 52 Lamijloculluniinoiembrie2009esteateptatoploaie puternic de meteori Leonide, iar previziunile indic pn la un numr incredibil de 500 de stele cztoare pe or. La mijlocul lunii octombrie, n emisfera, Jupiter se va afla la apus,unmomentperfectpentruaartapubliculuiaceast planet gigant i satelii si. Prof. Adriana Pamp Colegiul Tehnic Aurel Vijoli, Fgra IsaacNewtonData naterii: 4 ianuarie 1643 / 25 decembrie 1642 Loculnaterii:Woolsthorpe-by-Colsterworth,Lincolnshire, Anglia Data decesului:31 martie / 20 martie 1727 Locul decesului: Kensington, Londra IsaacNewtonafostunrenumitomdetiinenglez, matematician, fizician i astronom, preedinte al Royal Society. Opera Lucrri n domeniul opticii ntre 1670 i 1672 ,Newton s-a ocupat mai mult cu problemele de optic.nacesttimpastudiatrefracialuminii,demonstrndco prismdesticlpoatedescompuneluminaalbntr-unspectrude culoriicadugareauneilentileiauneialteprismepoate recompuneluminaalb.Pebazaacesteidescopeririaconstruitun telescop cu reflexie, care a fost prezentat n 1671 la Royal Society. Teoria gravitaiei nurmastudiilorsaleasupragravitaieiiaefecteloreiasupra orbitelor planetelor, public lucrarea De Motu Corporum (Asupra micrii corpurilor, 1684). ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 53nlucrareaPhilosophiaenaturalisprincipiamathematica ("Principiilematematicealefilosofieinaturale",1687),Newton stabilete legile micrii (Legile lui Newton), referitoare la ineria de repausimicareilaprincipiulaciune-reaciune.Folosetepentru prima dat termenul latin gravitas ( greutate ), pentru determinarea analitic a forelor de atracie i definete Legea atraciei universale. Opere filosofice i religioase Newtonascrisnumeroaseopusculecusubiectefilosoficei religioaseasuprainterpretriiunortextedinBiblie.Lucrrilesale TheChronologyofAncientKingdomsAmended iObservations UponthePropheciesofDanielandtheApocalypseofSt.Johnau fost publicate dup moartea sa. Eponime asociate n fizic: Unitatea de msur a forei n Sistemul Internaional:1N = 1kg * m/s2 . Unitatea de msur a momentului forei: [M]S.I. = N * m. TubulluiNewton,folositpentrudemonstrareacnvid obiectele de mas diferit cad cu aceeai vitez.Legile lui Newton referitoare la micarea mecanic.n matematic: BinomulluiNewton,formuladedezvoltareaseriei:(x+y)n= Cn0 xn-0y0+Cn1xn-1y1+Cn2xnn-2y2+Cn3xn-3y3+...+Cnnxn-nyn; Coeficienii binomiali: Cnk. Ainiiatconceptuldelimit,dederivat(derivatauneifuncii ntr-unpunctsemnificratacucaresemodificvaloareafunciei atuncicndsemodificargumentulf(x))ideintegral(nanaliza matematic,integralauneifunciiesteogeneralizareanoiunilorde arie, mas, volum i sum ( )baf x dx ).Newtoneste,alturideLeibniz,inventatorulcalculului diferenial i integral. ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 54n optic Inelele lui Newton, datorit fenomenului de interferen.DisculluiNewton,undispozitivcuajutorulcruiase demonstreazcsuprapunereatuturorculorilordinspectru reconstituie lumina alb. Prof. Cornelia Ciurchea, ColegiulTehnic Aurel Vijoli ,Fgra MatematicieniromaniSpiru Haret (n. 15 februarie 1851, Iai, d. 17 decembrie 1912, Bucureti),academician,matematician,pedagogromn,reformator al nvmntului romnesc.n septembrie 1862, a intrat la Liceul Sf. SavadinBucureti,undeapetrecutcincianidinapteintern.Ca profesor,SpiruHaretapredatlaUniversitateadinBucureti,la FacultateadeStiine,Seciafizico-matematici,mecanicaraional, din 1878 pn n 1910. La coala de Poduri i Sosele, Spiru Haret a fostnumitprofesorlaanulpreparator,predndtrigonometria, geometriaanalitic,geometriaelementarplaninspaiui geometria descriptiv, pn n 1885. Din 1885 i pn n 1910,SpiruHaret nu a mai predat la coala de Poduri i Sosele dect geometria analitic. SpiruHaretapredat,deasemenea,mecanicaraionallacoala deOfierideArtilerieiGeniu,din1881(datanfiinriisecieide artilerieigeniu)pnn1890.Profeseazpnn1910,cndse pensioneaz, ba chiar i dup aceea, pn la moarte, innd prelegeri de popularizare la Universitatea popular. n 1910 public Mecanica social, la Paris i Bucureti, utiliznd pentru prima oar, matematica n explicarea i nelegerea fenomenelor sociale. ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 55MarilerealizrialeluiSpiruHaretnusunttotuintiin.Din 1879sefacecunoscutdrept"omalcolii",urmndoviade inspector i de om politic, lucrnd n favoarea colii i a educaiei. El a fost poate cel mai mare reformator al colii romneti din secolul al XIX-lea. Prof. Lavinia Prunea Gr.Sc. dr I.Senchea ,Fagaras Matematicainfiecarezi? .Problemanr.1(Detreiori45) :Dintr-unnumarcusuma cifrelor de 45, scade altul a carui suma a cifrelorsa fie tot 45, astfel ca sa obtii un alt numar cu suma cifrelor egala cu 45. Raspunsul problemei nr. 1 : 987 654 321 (suma cifrelor = 45) 123 456 789 (---\\--- ---\\-----\\--) 864 197 532 (---\\--- ---\\-----\\--) Problemanr.2(Magiematematica) :Alegetidouanumere,unul mai mare decat celalalt cu o unitate.Ridicati ambele numere la patrat siscadetirezultatulmaimicdincelmaimare.Scazanddinaceasta diferentacifra1siimpartind-ocu2,vetiaflanumarulmaimicales ded-voastra,iaradaugandlaelcifra1vetiaflasicelalaltnumar ales.Demonstrati problema ? Raspunsul problemei nr. 2 : Operatia magica este urmatoarea: ( x + 1)(x + 1) xx = xx + 2x + 1 xx = 2x + 1 = D (diferenta),de unde rezulta :x = (D1) : 2, in care x-este nr. cel mai mic ales, D- diferenta , x+1 nr. mai mare cu o unitate. ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 56Problema nr. 3 (Varsta firului de par) : Stiticatparareinmedieunompesuprafatacapuluisau ? Aproximativ150000defire.S-adeterminat,deasemenea,catpar pierdeelinmediepeluna :aproximativ3000defire.Cunoscand acestedate,putetispunecatdureaza desigurinmedie,viatafiecarui fir de par ? Raspunsul problemei nr. 3 : Este usor de inteles ca cel mai tarziu cade acel fir de par care in momentuldefataestecelmaitanar,adicaacaruivarstaestedeo zi.Savedempestecattimpiivavenirandulsacada.Inprimaluna, dincele150000defiredeparcareinmomentuldefataseaflape cap,cad3000.Inprimeledoualunicad6000,iarincursulunuian 123 000= 36 000.Vor trece desigur 4 ani si ceva pana va veni randul ultimului fir de par sa cada.In acest fel s-a determinat varsta medie a unui fir de par. Problema nr. 4 (Pamantul si orbita sa) : Pamantul se roteste imprejurul Soarelui la o distanta medie de 150 000000km.Imaginati-vacaaceastadepartares-arlungicuun metru.Cucats-armariinacestcazdrumulPamantuluiinjurul Soareluisiceintervaldetimpartrebuiadaugatlaunan ? Raspunsul problemei nr. 4 : DacarazaorbiteiPamantului(consideratacerc)senoteaza cu R , atunci lungimea ei este 6,28R (adica 2R ).Prin marirea razei cu 1 m, noua lungime a orbitei va fi egala cu 6,28(R+1)=6,28R+6,28 , deci ea creste cu 6,28 m.Din aceeasi cauza ,anul se va mari cu 1 : 5 000 s . AndreeaBucur , Emima Rus ,Clasa a XI-a , GrupulSc. St. O. Iosif , Rupea ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 57CubulluiRubik ErnoRubikesteinventatorulanenumarate"jocuri"prezentate pe scurt ,precum si al faimosului Cub, care ii poarta numele (Rubik's Cube).. "Jucariile" lui Rubik Rubik a inventat o multime de jocuri, dintre care amintesc: Cubul luiRubik(3X3X3),altetipuridecuburi(2X2X2,4X4X4,5X5X5), Dominoul lui Rubik, Labirintul lui Rubik, Iluzia lui Rubik, Ceasul lui Rubik. Am incercat sa schitez aici cateva dintre acestea. Cubul 2X2X2 Dominoullui Rubik Cubul 4X4X4 Istoria Cubului RubikCubul a fost inventat de Erno Rubik, caruia ii poarta numele. La acea vreme, Rubik era profesor la Departamentul de design interior al AcademieideartedinBudapesta.ErnoRubikerapasionatde geometrie, in special de studiul formelor tridimesionale, atat in teorie catsiinpractica.Intimpulcursurilor,obisnuiasa-siexprimeideile prinmodelerealizatedindiversemateriale,atragandastfelatentia elevilor sai. Astfel a luat nastere si Cubul, in anul 1974. Mecanismul dininteriorulCubuluiadatcevabataidecapinventatoruluisau, ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 58formasafiindschimbatadecatevaori.Formafinalaesteuna cilindrica,carepermitemiscareafiecareifelii.Duparealizarea Cubului, Rubik l-a aratat studentilor si prietenilor sai, impactul fiind instantaneu. Desiintampinagreutati,cuajutoruladoioamenibinecotatiin industria de jucarii (Lehel Takacz si Ferencz Manczur), Cubul apare inmagazineledinUngarialasfarsitulanului1977.Incepesafie devinacunoscut,in1978aparandprimelecercurialepasionatilor acestuia. Desi Cubul se raspandeste repede in Ungaria, el nu poate sa iasadingraniteletarii.Decunoasterealuipeplaninternational(in specialsprevest)seocupaLacziTiborsiTomKremer,ambiide origine maghiara, dar care traiau in strainatate.Cu o oarecare greutate, caci Cubul nu era vazut ca o jucarie care putea fi vanduta in masa, ci maidegrabacaunaadresataoamenilorinteligenti,in1979se semneazauncontractpentru1miliondeCuburiinafaragranitelor tarii.In acelasi timp, matematicianul englez David Singmaster afla de existentaCubuluisidevinefoarteinteresatdeacesta.Iidedicaun articolin1979,acestafiindprimularticolcareapareinafara Ungariei.Inciudaacestorincercariderecunoasterepeplan international,CubulluiRubikaparelaLondra,Paris,Nurnbergsi NewYorkabiainianuarie-februarie1980.Areunimpactimediat, misterulrestaurariicelor6fetealeCubuluifascinandtoateclasele sociale. Este intalnit in restaurante, scoli si facultati. Cei care reuseau sa-lrestaurezesausedovedeauceimaicapabilisafacaacestlucru formaucercuri,cluburi,organizaucompetitii.Primacompetitie internationalaareloclaBudapesta,pe5iunie1982.Laaceastaiau parte13concurenti,primele3locurifiindocupatede:MinhThai (USA)22.95s,RazouxSchultz(Elvetia)24.32s,ZoltanLabas (Ungaria)24.49s.Cubulconstituia(numailadatarespectiva) subiectulazecidecarti.In1981esteintroduscaexponatinMuzeul deArteModernedelaNewYork,iarin1982devinetermenal DictionaruluiOxford.Innumaicativaanisevindeinpeste100de milioanedeexemplare(numarulrealalvanzarilorestemultmai ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 59mare,darnupoateficunoscutdincauzanumaruluimaredeCuburi pirat).Dupa"explozia"provocatadeCub,acestaincepesa-sipiarda popularitatea,vanzarileincepsascada.Multireprezentantiai industrieidejucariinuilmaipromoveaza,pierzandu-siinteresul. InsaTomKremer,prinpropriacompanieSevenTowns,cumpara toate drepturile asupra Cubului si il reintroduce pe piata in 1995. Cateva date numerice NumarultotalalconfiguratiilorcarepotapareapeCubeste extrem de mare, lucru care ingreuneaza restaurarea sa. Din cele 27 de cubuletedincareesteformat,7nusepotdeplasa.Ramandeci20 (cele 8 colturi si 12 cubulete asezate pe muchii). Ele pot fi permutate in8!x12!moduri.Trebuiesaluaminsaincalculsiorientarea acestora,elefiindcoloratediferit.Incazulcolturilor,exista3fete colorate diferit, iar in cazul cubusoarelor de pe muchii numai cate 2. Numaruldeorientariposibilepentrufetelecolturiloreste38,iar pentru cele ale cubuletelor de pe margine 212 .Numarul total ar deveni astfel 8!x12!x212 x38 . Constructia cubului nu permite insa efectuarea tuturor acestor miscari, numarul total al miscarilor posibile fiind : 43 252 003 274 489 856 000 Numarul configuratiilor posibile pe Cub cresteodatacumarimeaacestuia.Astfel,incazulcubului4X4X4, numarul total al configuratiilor posibile este format din 46 de cifre: 7 401196841564901869874093974498574336000000000 Incazulcubului5X5X5,numarultotalalconfiguratiilorposibile este format din ... 65 de cifre. Prof. Maria Szegedi Grupul Sc.Industrial St. O. Iosif , Rupea ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 60Legendanumerelorprietene Sespunectaredemult,ntr-oanumearNumeria,triao preafrumoas fat, nct la soare te puteai uita dar la dnsa ba. Ea se numea 220. Prinii ei, 2620 i 2924, o iubeau cu toat fiina lor i o susineau n pasiunea ei. Hobby-ul fetei era patinajul artistic, un sport care o fcea extrem de fericit. Era o patinatoare de elit, participa la concursuri, ctiga , mergea n turnee, i totul decurgea bine n viaa ei de patinatoare. ntr-o zi ns, pe cnd se antrena, antrenorul ei care se numea 28, a anunat-o c are nevoie deun partener pentru proba de dans la Olimpiada ce urmeaz. -Bine, dar....este o problem , eu...tii i dumneavoastr! Este greu s m potrivesc cu cineva ntr-un timp aa de scurt. -Stai linitit , l-am i gsit. Este 284. Teoria mea nu m nal. Scoaseofoaiedehrtiepecareerascris: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110= 284. Mai n josul paginii, era altceva schiat:1+2+4+71+142=220 . Dupceciti,220ridicochiiiiaintiasupra antrenorului,considerat numr perfect: -i ce vrea asta s nsemne? - Ei bine, ascult! Suma divizorilor mei mai mici dect mine este 28, adiceu:1+2+4+7+14=28.iltiiipemarelecampion6, consideratnumrperfect,aresumadivizorilormaimicicael,6: 1+2+3=6.Priniiti,2620si2924,nusuntnumereperfectecai mine, dar sunt numere prietene, poi proba. Mai precis, dou numere sunt prietene dac suma divizorilormai mici dect numrul respectiv esteegalcucelde-aldoileanumr,iinvers.Aacumsepreatie c n cazul prietenilor buni, fiecare cunoateintimitatea celuilalt. Iar numerele perfecte sunt prietene cu ele nsele. -Teoriam-auimit,haideisvedempractic,zisenencreztoare fata. ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 61Antrenamenteleaunceput,Olimpiadaauctigat-oiauurmat ialtemedalii.220i284,operechedenumereprietene,eraude nenvins, invincibile. Toatlumeaicutapartenerul,conformteorieiantrenorului: 1184 cu 1210, 5020 cu 5564 , 12285 cu 14595 , 67095 cu 87633, i multe alte perechi de numere prietenese formar de atunci. De nu credei verificai-l pe antrenor: 2n-1 (2n -1)- forma general a unui numr perfect, unde n i 2n -1 sunt numere prime.

Cristian A.I.Morar, elev clasa a VI-a coala Gen. Nr. 7, Fgra Stiaticazeitafrumusetiisanascutdingeometrie?Dintotceaucreatvechiigreci,probabilcadefaimaceamai mare se bucura nepieritoarele Legende ale Olimpului. Renastereaadescatusatenergiacreatoareaoamenilor,iar titaniiacesteia,LeonardodaVinci,Michelangelo,RafaeloSanzios-auaplecatcuveneratieasupracuceririlorstiintificesiartisticeale Antichitatii.PrintrecelebriipictoriaiRenasteriis-anumaratsi Sandro di Mariano Filipeti, cunoscut sub numele de Boticelli. Mitologial-ainspiratdinplinpeBoticellisiprintretablourile sale cele mai cunoscute se numara si Nasterea Afroditei. LegendaspunecaAfodita,zeitafrumusetii,s-anascutdin spuma apelor albastre ale Mediteranei pe tarmul insulei Cipru. Multe necazuri avea sa aduca aceasta zeita eroilor Eladei,mai ales troienilor. Studiile ulterioare au dovedit ca de fapt Afrodita s-a nascut din GEOMETRIE! Lucrul acesta nu trebuie sa para nefiresc, tinand cont de pasiunea grecilor pentru aceasta veche stiinta. Boticelli insusi a fost cel care a divulgatsecretul.Nusestiedacaaavutsaunuunmodelpentru picturaacestuitablousauafostdoarrolulimaginatieisale.Oricum, ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 62formeleeisuntperfecte!Perfectepentrucanudomnestedeloc simetria!(Estefoartedepartede90-60-90,masuriatatdecautatesi mai ales atat de ravnite de tinerele de astazi). Armonia corpului Venerei consta in alegerea proportiilor bustului, bazinului,picioarelorincombinatiidatedeasanumitulnumarde aur.Acestaestesolutiapozitivaaecuatiei 21 0 = , 5 12+= .Dardespreacestnumardeaurpecaresipreotii egipteniilcunosteausicarearfistatlabazaconstructieipiramidei lui Keops, dupa spusele lui Herodot, vom povesti cu alta ocazie Sarevenimlapictura:dacaamrealizaoscara,corespunzatoare puterilor 2 3 4 5 6 7, , , , , , alenumaruluideaur,am descopericativatermeniaialtuisircelebruinmatematica,sircu proprietati curioase: sirul lui Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, care are proprietatile:2=1+1 3=2+1 5=3+2 Deci in general: un= un-1+ un-2, pentru n=3, 4, Dacascriemdinnouecuatianumaruluideaurinaltaforma, adica:

21 + = , din care deducem: 2 32 3 4 + =+ = 2 1 n n n + =Asadar,sirul:1, 2, ,...n ,careesteoprogresiegeometricade ratie ,esteunsirdetipFibonacci.Dacaneintoarcemlascara tabloului,vomrecunoastecativatermeniconsecutiviaisirului ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 63Fibonacci.AceastainseamnacaZeitaFrumusetiiaretoatepartile corpuluiproportionalecunumaruldeaursaucuputerileacestiua. Ca sa mai clarificam rolul numarului de aur in pictura, mai trebuie saspunemcasirulluiFibonaccisemainumesteLegeacresterii organice.Daca am calcula limita acestui sir, am da tot peste numarul de aur!OareBoticeliiastatintottimpulcatapictatcuunmetruintr-omanasi cu pana in cealalta, pentru a calcula termenii acestui sir sau doargeniulluiartisticl-aajutatsaoredeapeVeneraimbracata toata in sirul lui Fibonacci?! Atiprivitvreodatacochiliaunuimelc?Ativazutdesigurcaare forma unei spirale, dar nu orice spirala, ci una logaritmica! Ea a fost studiata pentru prima data de Descartes si de Torricelli, dar cel care i-adescoperitproprietatilecelemaiimportanteafostIakobBernoulli (1654-1705).Bernoulliaaratatcaspirelespiraleilogaritmicese dilata conform legii cresterii organice. Aceasta inseamna ca:OA OB OC ODOB OC OD OE = = = = ,adicasegmenteleOA,OB, OC,formeaza o sectiune de aur. Bietul melc, habar nu are ce matematica poarta pe cochilie! Stiati de ce este asa de mandru paunul de coada lui? Pentru ca si ochiurile cozii sale sunt distribuite tot pe doua spirale logaritmice. Statisticamatematicaadoveditinceledinurmavalabilitatea,ca model, a legii cresterii organice. Iatadecicamcarearfiexplicatiapreferinteipentrusectiuneade aur si in arta: omul s-a izbit de ea in natura si ,fara sa stie, a reprodus-o si in pictura, sculptura, arhitectura. Nimic neobisnuit sau mistic, o simpla lege a naturii care si-a gasit in acelasi timp si explicatia si aplicatia. Cazurileraresuntfericite(saumaidegrabainvers?!),totusiele exista! ARISTOTELIANA,nr.1/2009ISSN20661223___________________________________________________________________________________________________________________________________________CerculmetodicdematematicaliceeFagarasRupeaVictoria 64Inlocdeincheierevapropunemoproblemadistractiva:dacao perechedeiepuridanasterelaoaltaperecheindecursdeoluna, cate perechi de iepuri vor fi dupa un an.INDICATIE: iepurii respecta legea cresterii organice! Bibliografie: Campan Florica, Povesti despre numere maiestre, Ed Albatros, 1981 Pedoe Dan, Geometry and the Liberal Arts Voda Viorel ,Vraja geometriei demodate. Ed. Albatros, 1983 Prof. Gabriela Predoiu, Grupul Sc.drI.Senchea , Fagaras tiaic... ...AlbertEinsteinadaturmtoareaformulasuccesului: X=A+B+C (X=succesul n via, A=munca, B=odihna, C=tiina de-a tcea atunci cnd trebuie) ? ...primiidoctorinmatematicdelanoidintaraaufostPaul Tanco(1872,Graz),IonBozoceanu(1873,Bruxelles),tefan Hepites(1873,Paris),SpiruHaret(1878,Paris),DavidEmmanuel (1879, Paris), Constantin Gogu (1882, Paris) ? ... la Liceul Sfnta Sava din Bucuresti lipseau manuale colare ? Unuldintreeleviaremediataceastlipsredactndpentrueli colegiiluiunmanualdealgebrialtuldetrigonometrie.Manualul elevului Spiru Haret, refcut n anii studeniei, a