Aritmeetiline jada

Koostas: Margit NuijaKool: Viljandi Paalalinna GümnaasiumMaakond: ViljandiÕppeaine: matemaatikaTöö teema: aritmeetiline jadaKlass: IV kooliaste, 11. klassJuhendas: Toomas Rähn

Aritmeetilise jada mõiste

Def. Aritmeetiliseks jadaks nim. arvujada, mille iga liige (alates teisest) võrdub eelneva liikme ja ühe jääva liidetava summaga.

Jääv liidetav (jada vahe) - d Esimene liige - a1

Liikmete arv - n

NB!

Näide: On antud jada 5, 8, 11, 14, 17, 20.a1 = 5d = 3n = 6

Üldliikme valem

Jada definitsioonist järeldub,et

a2 = a1 + da3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2da4 = a3 + d =(a1 + 2d) + d = a1 + 3d……………………………………..an = an-1 + d = ………….a1 + (n-1) d

an = a1 + (n-1)d

Jada vahe

• Kui d > 0, siis aritmeetiline jada on kasvav

• Kui d < 0, siis aritmeetiline jada on kahanev

• Kui d = 0, siis aritmeetiline jada on konstantne

Näide 1

Leida aritmeetilise jada 1; 5; 9; 13; … kahekümnes liige

d = 5-1 = 4a20 = 1 + (20 – 1) ·4 = 1 + 19 ·4 = 77

Vastus: Jada kahekümnes liige on 77.

Näide 2

Kas aritmeetilise jada 8; 5; 2; … mingi liige võib olla –40?Kui on, siis mitmes?

d = -3an = -40a1 = 8

-40 = 8 + (n – 1) ·(-3)-40 = 8 – 3n + 33n = 51n = 17

Vastus: Jah, -40 on jada 17. liige.

Näide 3Kas aritmeetilise jada 8; 5; 2; … mingi liige võib olla 0?Kui on, siis mitmes?

d = -3an = 0a1 = 8

0 = 8 + (n – 1) ·(-3)0 = 8 – 3n + 33n = 11n = 11/3

Vastus: Jadas ei esine liiget 0, sest nZ+.

Näide 4Aritmeetilise jada seitsmes liige on 15 ja viieteistkümnes

liige on 7. Leida üldliikme valem.

7

15

15

7

a

a

714

156

1

1

da

da

1

211

d

a

an = 21 + (n-1) ·(-1) = 21- n + 1 = 22- n

Vastus: an = 22 - n

Näide 5Paiguta arvude 18 ja –10 vahele kolm arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada viis järjestikust liiget.

a1 = 18n = 5a5 = -10

an = a1 + (n – 1) ·d-10 = 18 + (5 – 1) ·d-10 = 18 + 4d4d = -28d = -7

Vastus: 18; 11; 4; -3; -10

Aritmeetilise jada summa esimene valem

Sn =a1 + a2 + … +an

Sn =an + an-1 + … +a1

2Sn =(a1 + an) + (a2 +an-1) + … + an + a1

2Sn = (a1 +an) ·n

naa

S nn

21

Aritmeetilise jada summa teine valem

Kuna an = a1 + (n – 1)·d , siis

millest

ndnaa

Sn

2

)1(11

ndna

Sn

2

)1(2 1

Näide 7

Leida esimese 15 paaritu arvu summa

a1 = 1d = 2n = 15

2251515152

28215

2

2)115(12

nS

Vastus: Esimese 15 paaritu arvu summa on 225.

Jada on 1; 3; 5, …

Näide 8

Teadaolev vanim ülesanne jadadest, mis on pärit umbes aastast 3000 eKr ja leitud Ahmese papüüruselt.

Sada mõõtu vilja tuleb jaotada viie inimese vahel nii, et teine saaks niipalju rohkem esimesest, kui palju kolmas saab rohkem teisest, neljas rohkem kolmandast ja viies rohkem neljandast. Peale selle peavad kaks esimest saama 7 korda vähem kolmest ülejäänust. Kui palju vilja tuleb anda igaühele?

Kas sa saad selle ülesande lahendamisega hakkama?

Vastus: Vili tuleb jaotada järgmiselt:

3

138;

6

129;20;

6

510;

3

21

Aritmeetilise jada liikmete esimene omadus

Aritmeetilise jada iga liige (väljaarvatud esimene) on tema naaberliikmete aritmeetiline keskmine.

Näide: Olgu meil jada 4; 7; 10; 13; …, siis

.2

13710

2

1047

jne

Aritmeetilise jada liikmete teine omadus

Lõpliku aritmeetilise jada algusest ja lõpust võrdsetel kaugustel asetsevate liikmete summa on võrdne äärmiste liikmete summaga.

Näide: Olgu meil jada 1, 5; 9, 13, 17; 21; 25; 29

1 + 29 = 305 + 25 = 309 + 21 = 30

jne.

Edu teile!

Jõudu ja jaksu aritmeetilise jada ülesannete lahendamisel!