aritmetica 3

7/21/2019 Aritmetica 3

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Primer Año

Aritmética 1

INDICE

Razones y Proporciones …………… 03Reparto Proporcional ………………. 15Porcentaje …………………………… 24 Asuntos Comerciales ………………. 36Promedios ……………..…………… 45a!nitudes Proporcionales ……….. 5"#nter$s %imple ………………………. "0iscel&neas …………………………. '0



6 ( 2 ) 4* a l o r d e l a R a z o n

2 + , $ r m i n o - c o n s e c u e n t e1 + , $ r m i n o - a n t e c e d e n t e

/

Primer Año

TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES

Razón o Relación.-s el resultado de la composici n ue se esta lece entre las cantidadesdadas. ic a comparaci n se puede dar de dos 7ormas8

1) 9allando en cuanto e:cede una cantidad respecto de otra -por mediode la resta . jem8 6(2 ) 4

2) 9allando en cuanto contiene una cantidad a otra -por medio de ladi;isi n . jem8 6<2 ) 3

Por lo tanto decimos ue una raz n puede ser8 Aritm$tica o por di7erencia= o>eometr?a o por cociente.

• Razón Arit !tica o "or #i$erencia.-

s la di7erencia ue se da entre 2 cantidades. Como su operaci n &sicaes la sustracci n o resta= @a Raz n Aritm$tica se puede dar de 2 7ormas8separando las cantidades por el si!no de la sustracci n - ( o por medio deun punto - . jem.8

%e lee 8 B6 e:cede a 2 en 4 D B6 es mayor ue 2 en 4 D B2 es menor ue 6en 4 = etc.

Pro"ie%a%e& %e la Razón Arit !tica.-

%on las mismas propiedades ue en la resta o sustracci n.

1 %i al antecedente de la R.A. se le suma o resta una cantidad= entoncesel ;alor de la Raz n uedar& aumentado o disminuido en dic acantidad= respecti;amente. jem.8

35"E

14216-34236426%i −=−−+=−+=−

2 %i el consecuente de la R.A. uedase aumentado o disminuido encierta cantidad= entonces el ;alor de la Raz n uedara disminuido= enel primer caso= o aumentado= en el 2do caso= en dic a cantidad. jm.8

Aritmética 3



Primer Año

3351

1412-6-1412-6426%i −=−+−+=−−−=−−−

3 %i al antecedente y al consecuente de una R.A. %e le suma o se leresta una misma cantidad= entonces el ;alor de la Raz n no se ;er&a7ectado -permanecer& constante .

jm8

412-16-412-16426%i153"

=−−−=+−+=−

−−

• Razón 'eo !trica o "or Cociente.-

s la Raz n ue se esta lece por medio del cociente ue se o tiene al di;idir 2 cantidades. %e pueden representar de 2 modos8 en 7orma de 7racci n o por medio de 2 puntos= si!no de la di;isi n -a< ÷ jem8

6 8 2 ) 3* a l o r d e la R a z o n

2 + , $ r m i n o - c o n s e c u e n t e

1 + , $ r m i n o - a n t e c e d e n t e/

6 < 2 ) 3

%e lee B6 contiene a 2 en 3 D B 6 contiene 3 ;eces a 2 D B2 esta incluido en6= 3 ;eces etc.

Pro"ie%a%e& %e la Razón 'eo !trica.-%on las mismas propiedades ue en las 7racciones.

1 %i el antecedente de la R.>. = ueda multiplicada o di;idida por unacantidad= el ;alor de la Raz n uedar& tam i$n multiplicado o di;ididopor la misma cantidad= respecti;amente.jem.8

Aritmética 4

A Am os,$rminos o se lessuma o se les restala misma cantidad



Primer Año

1

2

15

30

3832386

-5.325.6

326

%i ===2 %i el consecuente de un R.>. ueda multiplicado o di;idido= por una

cantidad entonces el ;alor de la Raz n uedar& di;idido= en el 1er casoD o multiplicado= en el 2do caso= por esa misma cantidad. jm8

61

16

283282

6-3.33.2

6326%i ===

3 %i el antecedente ya la consecuente de una R.>. se les multiplica o seles di;ide por una misma cantidad= entonces el ;alor de la Raz npermanecer& constante. jm.

3582586

-34.24.6

326

%i

5<6

5<2

24

'

===

PROPORCIONES.-%on i!ualdades ue se esta lecen entre 2 Razones de la misma clase. @asproporciones pueden ser8

) Pro"orcione& Arit !tica& o E*+i%i$erencia: s la i!ualdad ue seesta lece entre 2 Razones Aritm$ticas= Fna uidi7erencia se escri ede 2 7ormas si!uientes 8a G ) c G d -; a . 88 c . d D a D D d /

, T!r ino& %e +na P.A:

D c ) a n t e c e d e n t e sD d ) c o n s e c u e n t e s

a D d ) t . e : t r e m o sD c ) t . m e d i o s

( ) c ( da1 - i e . r o 2 - i e . r o

a % e l e e H a e s a c o m o c e s a d H

aA

, Pro"ie%a% /+n%a ental: B n toda e uidi7erencia la suma de lose:tremos es i!ual a la suma de los medios .

%i a G ) c G d es P.A. a d ) c . jm8 ' G 6 ) 11 G E E ' )11 6 1" ) 1"

Aritmética 5



Primer Año

, Cla&e& %e E*+i%i$erencia&:

1) E. #irecta 8 s a uella cuyos ,$rminos medios no son i!uales• Iorma >eneral8 a G ) c G d jm.. E G " ) ' G 6

onde 8 d 8 4ta di7erencial respecto a Ba D B D Bc a D D c 8 3era di7erencial o ,ercia i7erencial= respecto

de Ba D B D Bc -a≠ ≠c ≠d .

2) E. Cont0n+a: s a uella cuyos ,$rminos medios son i!uales.• Iorma >eneral8 a G ) G c jm.. 11 G ' ) ' G 5

onde 8 8 edia di7erencial respecto de Ba D B D Bc a D c 8 3era ,ercia di7erencial= respecto

a Ba D B D Bc -a≠ ≠c .

J s.8 edia i7erencial o Aritm$tica2

ca +=

2) Pro"orcione& 'eo !trica& o E*+icociente&: %on las i!ualdades ue seesta lecen entre 2 Razones !eom$tricas. Fna Proporci n !eom$trica se

puede representar de 2 maneras 8 a 8 88 c 8 d -; -a< ) -c<d ., T!r ino& %e +na P.':

D c ) A n t e c e d e n t e sD d ) C o n s e c u e n t e s

a D d ) , . e : t r e m o sD c ) , . e d io s

8 8 8 c 8 da1 + m i e m r o 2 + m i e m r o

a

/

• %e lee Ba es a como c es a d

, Pro"ie%a% /+n%a ental: B n todo e uicociente el producto de lose:tremos es i!ual al producto de los medios .

Aritmética 6



Primer Año

30630651.65".1'1"51

61'

8jmD.>.Punaes

d

cacad

d

ca%i

===

=↔==

, Cla&e& %e E*+icociente&:

() E. #i&creta 8 a uella cuyos ,$rminos medios no son i!uales10 8 2 ) 125 8 25

• Iorma >eneral8 a 8 88 c 8 donde 8 d 8 4ta proporcional respecto de a Ba D B D Bc

a D D c 8 3era o tercia proporcional= respectode Ba D B y Bc -a≠ ≠c≠d .

) E. Cont0n+a: a uella cuyos ,$rminos medios son i!uales . jm.832 8 16 88 16 8 '

• Iorma >eneral8 a 8 88 8 c

onde 8 8 edia proporcional respecto de Ba D B D Bc a D c 8 3era o ,ercia proporcional= respecto a Ba D B y Bc -a≠ ≠c .J s.8 edia Proporcional o >eom$tricas c.a =

Tran&$or acione& %e Pro"orcione& 'eo !trica&.- Fna P.>. puede su7rir asta ' trans7ormaciones distintas y le!itimas entre s?-una trans7ormaci n es le!itima cuando su propiedad 7undamentalpermanece constante en ;alor num$rico .

%ea la proporci n >eom$trica8 Ddca = sus ;ariaciones le!?timas ser&n.

Aritmética 7



Primer Año

Da

dc

4Dac

d3D

acd

2Ddc

a1 ====

Dcd

a'yD

dac

"Dca

d6D

dca

5 ====

jm8 la proporci n D'

161632 = puede escri irse de ' modos8

D16

'

32

164D

16

32

'

163D

32

16

16

'2D

'

16

16

321 ====

D16'

3216

'D1632

'16

"D3216

16'

6D'

161632

5 ====

O &.: Cuando la Pro!resi n >eom$trica es continua= las 7ormas distintasser&n 4 8 todas le!?timas.

Co "aración %e Pro"orcione& 'eo !trica&.-

1 %i 2 proporciones !eom$tricas tienen raz n comKn= las otras 2 Razones

7ormar&n proporci n !eom$trica . jm.8105

42

21

105

-21

42 ===

2 %i 2 proporciones !eom$tricas tiene antecedentes i!uales= losconsecuentes 7ormar&n proporci n !eom$trica. jm.8

12

4

6

23

4

12-3

2

6

12

3

4

1-

6

3

2

1 =====

3 %i 2 proporciones !eom$tricas tienen consecuentes i!uales= losantecedentes 7ormar&n proporci n !eom$trica. jm.8

'456

10'"2

12'4

'56

-12

10''

"2 ===

Aritmética 8



ultiplicandoantecedentes yconsecuentes

Primer Año

4 l producto ue se o tiene al multiplicar= t$rmino a t$rmino= distintasproporciones !eom$tricas da lu!ar a una proporci n !eom$trica. jm8

E6.54'64.68uepor .>.Punaes'64E6

546

D'64E6

12':

1'6:

42-

546

32:

E3:

21

12'

32D

1'6

E3D

42

21

==

==→===

5 Con los 4 ,$rminos de 2 productos i!uales se puede 7ormar una

proporci n !eom$trica. jm.8 6 : 3 ) 2 : E <>62

E3 =

Pro"ie%a%e& %e la& Pro"orcione& 'eo !trica&.-

%ea la proporci n Ddca = se cumple8

dcdc

aa

dca

%i."

dca

dca

dca

%i.6dd

caca

dca

%i.5

dcdc

aa

dca

%i.4dca

dca

dca

%i.3

cdc

aa

dca

%i.2d

dcadca

%i.1

+

−=

+

−=

=±

±=

−

+=

−

+=

−

+=

−

+===

±

±=

±=

±=

±=

±=

O"eracione& con la& Pro"orcione& 'eo !trica&.-

Aritmética 9



Primer Año

LLLL

dca

dca

%i5dca

dca

%i4

cte-RL<dL<c

L<L<a

dca

%i3

cte-RdLcL

LaL

dca

%i2

LRLdLc

LLa

dca

%i1

==

=

=

==

==

±±±=±

±=

Serie %e Razone& E*+i alente& S.R.E.).-%on las i!ualdades ue se esta lecen entre los !rupos de proporciones ueposeen la misma constante de Raz n. Puede ser de 2 7ormas8

1) S.R.E. Arit !tica&: %i la i!ualdad se esta lece entre 2 o m&sproporciones aritm$ticas.jm8 ' G 5 ) " G 4 ) 11 G ' ) 6 G 3 )........

1' G 15 ) 15 G 12 ) 12 G E ) E G 6 )........

2) S.R.E. 'eo !trica&: %i la i!ualdad se esta lece entre 2 m&sproporciones !eom$tricas.

jm8 .cte-L.......ed

dc

ca ====

Pro"ie%a%e& %e la& S.R.E.':

,)n

RA/JM %HMH

N-......cde

/.....a cdcte-N

/.....

ed

dc

ca

%i =α=α=====

%e Cumple 8 L/D.....DLcDLDLa 2n-1n-n α=α=α=α= −−

onde8• 3 ) Cte. e proporcionalidad -L /• a 4 1+ antecedente

Aritmética 10

%iendo8

• R ) el ;alor de la Raz n• N ) constante -L /



Primer Año

• N ) O ,otal de Razones !eom$tricas• = Fltimo consecuente.

,) L.......7 d

/......ecaL

/.....

7 e

dca

%i =α±±±±±±±±=α====

,) ppppp

ppppL

.......ed

/......ecaL

/.....

7 e

dca

%i =α±±±±

±±±±=α====

onde8 L ) cte. e proporcionalidad - . D P /

Aritmética 11



Primer Año

PRO56EMAS PARA 6A C6ASE

1) os nKmeros son entre s? como "es a 13= si el menor se le suma140= para ue el ;alor de laraz n no se altere= el ;alor delotro nKmero de e uintuplicarse.9allar el ;alor de los 2 nKmeros.R"ta.-

2) os nKmeros son entre s? como 5a ' D si la suma de sus cuadradoses "12 y su di7erencia es 26QCu&l es el nKmero menorR"ta.-

() @a suma= la di7erencia y elproducto de dos nKmeros est&nen la misma relaci n con losnKmeros 11D 3 y 560. 9allar elmayor de los nKmeros.R"ta.-

) n una proporci n continua!eom$trica los t$rminos e:tremosson entre s? como 4 es a E. si lost$rminos de la primera raz nsuman 40. 9allar la suma de losconsecuentes de dic aproporci n.R"ta.-

7) n una proporci n !eom$tricadiscreta la di7erencia entre losmedios es 14. 9allar uno de lost$rminos medios si se sa e ue elproducto de los 4 t$rminos de laproporci n es 2601.R"ta.-

8) n una reuni n social por cada 5om res adultos ue in!resan=in!resan 6 niSos y por cada 3mujeres adultas ue entran=in!resan ' niSas. %i en totalin!resaron unos 5"2 niSos y elnKmero de om res es al nKmerode mujeres como " es a

4QCu&ntos om res asistieron adic a reuni nR"ta.-

9) ,enemos dos terrenos8 1 terrenorectan!ular y el otro en 7ormacuadrada. %i uno de los lados delprimero es al lado del menor delse!undo es como 3 es a 2 Q n uerelaci n est&n sus per?metros= si sus&reas son i!ualesR"ta.-

) %i a cada uno de los 4 t$rminos deuna proporci n se le uita unacantidad misma= se o tiene 20D 2'D32D 44. 9allar la suma de lost$rminos de dic a proporci n.R"ta.-

;) %e tiene 3 nKmeros enteros ueson entre s? como 4D "D E. %i elcuadrado de la suma de los 2menores nKmeros menos elcuadrado del mayor da 360. 9allar la suma de los 3 nKmeros.R"ta.-

1<) QCu&l es el nKmero entre el tercioproporcional y el tercio di7erencialde E y 5R"ta.-

11) 9allar la Raz n de unaproporci n !eom$trica continua=sa iendo ue la suma de sust$rminos e:tremos es a sudi7erencia como 25 es a 24R"ta.-

12) n una serie de tres Razones!eom$tricas conti!uas e i!ualesla suma de los antecedentes es14" y la suma de las tresRazones es E<5.9allar la sumade los consecuentes.

Aritmética 12



Primer Año

R"ta.-

1() n una competencia deo st&culos de '00 metros= Andr$s y Telisario ;encen aCarlos y anilo por 50 metros. nla misma distancia Andr$s !ana aTelisario por 100 metros y Carlosa anilo por 160 metros. QPor cu&nto !anara Carlos a Telisarioen una carrera de 1125 metrosR"ta.-

1 ) ,enemos 3 nKmeros enteros AD Ty C ,ales ue A es a T como 4 esa 5 y T es a C como 10 es a 11 %ila di7erencia entre A y C es 36QCu&l es el mayor de esos 2nKmerosR"ta.-

17) %i el ;alor de la Raz n aritm$ticay !eom$trica de 2 nKmeros es 5QCu&l es la suma de dic osnKmerosR"ta.-

18) %e tiene la si!uiente serie deRazones !eom$tricas eui;alentes8

10c

"5a ==9allar la suma de los antecedentes.R"ta.-

19) @a ciudad de Tel7ast esta di;ididaen 2 andos a ra?z de la in;asi nan!lo estadounidense a #raL= los

ue est&n a 7a;or y los ue est&nen contra de la reyerta=respecti;amenteD de manera talue la po laci n de los primerosy la po laci n de los se!undos

est&n en la relaci n de " a 3. %ide uno de los andos se pasan al

otro unas 60 personas= la raz nde las po laciones ue est&n a7a;or y en contra de la !uerra=respecti;amente se in;ierte QCu&les la po laci n total de la ciudadR"ta.-

1 ) ,res nKmeros naturales AD T y C=%on tales ue A es a T como 4 esa 5 y T y C est&n en raz n de 10 a

11 .%i se cumple ue A G C ) 36QCu&l es le mayor de losnKmeros entre A y CR"ta.-

1;) n un clu social se lle;a a ca ouna reuni n donde asisten unas400 personas entre 9om res yujeres= asistiendo por cada 3de los primerosD 2 de losse!undos. %i a ca o de 2 orasla relaci n entre om res ymujeres es de 2 a 1 QCu&ntasparejas se retiraron

R"ta.-

2<) @a media Aritm$tica de 2nKmeros A y T es 12. %i seesta lece una proporci ncontinua con estos nKmeros= lacual tiene raz n i!ual a 3<5D ladi7erencia ue se dar& entre lost$rminos e:tremos ser&8R"ta.-

PRO56EMAS PARA 6A CASA

Aritmética 13



Primer Año

1) %i -a <-a( )2=6 y si a y son los menores enteros= la

Raz n entre las razonesaritm$ticas y !eom$tricas dedic os nKmeros ser&8

a 1=2 2=2 c 3=2

d 4=2 e M.A

2) @a suma de los t$rminos deuna proporci n !eom$tricadiscreta es 320 y la relaci nentre la suma deantecedentes y la suma deconsecuentes es como " es a1 QCu&l es la suma de losconsecuentes y la Raz n de laproporci n

a E2 4" c 41d "4 e 54

() %i A es la cuarta proporcionalde 5<6 D U y 2<3 y T es terceraproporcional de 1<' y 1<6QCu&l es la terceraproporcional de T y A

a 5<23 2<4E c 1<4'd '<4E e E<50

) n una proporci n de Raz ni!ual a V el producto de losconsecuentes es ''0. %i losantecedentes est&n en lamisma Raz n de 5 a 11 9allar la suma de los t$rminos dedic a proporci n.

a 112 '4 c 336d 224 e 504

7) n una proporci n de Raz nmenor a la unidad= la terceraproporcional es 24. %i laRaz n aritm$tica de lost$rminos e:tremos es i!ual a

1' QCu&nto ;ale la mediaproporcional

a 3 6 c Ed 12 e 15

8) @a raz n de 2 nKmeros es lamisma ue U y 1<3 D y los 2<3del producto de esos dosnKmeros es 1152 lue!o= ladi7erencia ue e:iste entre los2 nKmeros es8

a 12 24 c 36a 4' a M.A

9) @a di7erencia ue se e7ectKa a2 nKmeros enteros y elcociente de esos nKmerosest&n en la misma raz n comoel nKmero menor -de losnom rados es a 10. @a menor semisuma de dic os nKmerosser&8

a 10 E=' c E=5d E=2 e '

) Con los datos a continuaci n8

i -a< )-c<d )-e<7ii a c e ) "2iii d 7 ) 32

9allar8 e7 cda ++

a 36 15 c 4'd 24 e 30

;) %i se cumple8

mps89allar N

Rn r DL

sr p

nm

2

22 ====

Aritmética 14



Primer Año

a L L<R c R<L

d 1 e R1<) n una proporci n donde cada

uno de los 3 t$rminos es elcu&druple al t$rmino inmediato-los t$rminos ue cumplen sonel 1+ D 2+ y 3+ la suma de los 4t$rminos es 340. QCu&l es elt$rmino menor

a 10 ' c 6d 4 e 2

11) %i 64I9N>W

yNW

9>

I===

9allar el cociente de la sumade los cuadrados de losantecedentes y la suma de loscuadrados de losconsecuentes de la seriemostrada.

a 4 16 c 'd 64 e 40E6

12) n un concurso de aile elnKmero de om res y elnKmeros de mujeres est&n enla misma relaci n ue 5 y 4 =pero en un instantedeterminado del concurso elnKmero de om res ueailan es al nKmero deom res ue ailan es al

nKmero de nKmero deom res ue no ailan como5 es 3= por tanto= el nKmero de

mujeres ue no ailan es alnKmero de om res ue no

ailan como8a 25<" 5<' c 25<12d "<25 e "<15

1() ,res nKmeros a D y c sonproporcionales a E D 12 y 65.%i la cuarta proporcional de a D y c es 520. QCu&l es la

tercera proporcional de a y

a 24 45 c E6d 2" e 32

1 ) %i -p< ) -r<t ) L = 9allar el;alor de8

ttr 2tp 222 ++

D

en 7unci n de L.

a L 2L c L2

d -Nl. 2 e Nl.

17) Calcular8

250inu

16#MFW

333

333

++++++=

%i - F<u ) - M<n ) - #<i ) 2<5

a '<125 16<625 c 2<25d "2<625 e E<"1

TEMA: REPARTO PROPORCIONA6

Conce"to.-s una re!la en la cual a ciertas cantidades se les puede repartir en 7ormadirecta o in;ersamente proporcional a otras cantidades= las cuales reci en el

Aritmética 15



Primer Año

nom re de B7actores de proporcionalidad = de tal manera ue todas estas7ormas una serie de Razones i!uales.

Notación.- Repartir un nKmero entero BM en partes proporcionales a B D Br D Bs D ....D Bz

%ean Ba B Bc D.....D B las partes del nKmero BM proporcionales a B D Br DBs D.....D Bz tal ue 8 a c ..... ) M.

a -dp D -dp r D c -dp s D.....D -dp Lz

....sc

r a

z =α====

• onde8 L ) constante de proporcionalidad -L

J s.8 la operaci n del Reparto es an&lo!a para el Reparto in;erso.

Re=la Pr>ctica.- Al nKmero BM se le di;iden en nKmeros proporcionales a los ?ndices Ba BBc . enominaremos B: a la parte de BM ue es proporcional a Ba D By a laparte proporcional B y Bz a la parte proporcional Bc = respecti;amente= demanera tal ue8 1) : y z ) M D 2) : > y > z D y () a > > c. @os puntos2) y() permiten 7ormar con las cantidades y con los ?ndices de proporcionalidaduna serie de Razones !eom$tricas e ui;alentes.

%i :> y > z - a > > c czy

a: ==

Aplicando una de las propiedades de las Razones !eom$tricas 8

cz

cazy:

Dy

cazy:

Da:

cazy:

czy

a: =++

++=++++=++

++==

Pero 8 : y z ) M

cacM

/Dca

MyD

caaM

:++=++=++=

Cla&e& %e Re"arto.-

Aritmética 16



Primer Año

I) Re"arto Pro"orcional Si "le RPS).-

1) Re"arto Pro"orcional #irecto Si "le o #irecta ente Pro"orcional:%e esta lece cuando parte ue pertenece a una cantidad es directamenteproporcional con cada ?ndice de proporcionalidad. Presenta 3 casos8,) #e +n N? ero entero a otro N? ero entero. ( %e usa la Re!la

pr&ctica para cada caso.

jm.8 Reparto de 1' en 2 MKmeros proporcionales a 2 y 4.%i 1' ) : y = aplicando la Re!la >eneral 8 -:<2 ) -y<3X ) 2 -1' : ) 6 D y ) 4 -1' y )12

6 6 @os MKmeros del Reparto son 8 6 y 12.

,) #e +n N? ero entero a +n N? ero Racional: %e omo!enizan los?ndices 7raccionarios y se aplica la 7orma !eneral para cada parteconsiderando Knicamente a los numeradores de cada 7racci n.

jm.8 Repartir 154 en partes directamente proporcionales a 2<3D U D 1<5D 1<6.Reduciendo esas 7racciones al ?nimo ComKn enominador82<3 D U D 1<5 D 1<6 D<> 40<60 D 15<60 D 12<60 D 10<60 .Prescindimos el enominador ComKn -60 = se aplica la Re!lapr&ctica para cada caso8

40uD

10121540154-12

zD10121540

154-15yD

10121540154-40

:+

=+++

=+++

=+++

=

: ) '0 D y ) 30 D z )24 D u ) 20

Aritmética 17

R e p a r t o P r o p o r c io n a l

R . P . % i m p l e

R . P . C o m p u e s t o

R e ! la d e C o m p a S ? a

5 i r e c t o

# n ; e r s o

% i m p l eC o m p u e s t a



Primer Año

,) #e +n N? ero entero a +n N? ero Real: %e consideran los casosentre los nKmeros enteros y el caso entre el nKmero entero y elnKmero racional.

Re=la 'eneral: %e multiplica el nKmero ue se uiere repartir por cada uno de los ?ndices de Proporcionalidad y se di;ide por la sumade estos Kltimos.

jem.8 Repartir 150 en partes directamente proporcionales a 5 D 6 y E.

5=6"E65

150-EzD45

E65150-6

yD5=3"E65

150-5: =++==++==++=

: ) 3"=5 D y) 45 D z ) 6"=5

2) Re"arto Pro"orcional Si "le In er&o o In er&a ente Pro"orcional:%e esta lece cuando cada parte es in;ersamente proporcional con cada?ndice de in;ersi n -?ndice de las ma!nitudes in;ersamenteproporcionales . Presenta 3 casos8

,) e un nKmero entero a otro nKmero entero.,) e un nKmero entero a otro nKmero Racional.,) e un nKmero entero a otro nKmero Real.

n los casos se in;ierten los nKmeros dados y se reparte el nKmero uese uiere di;idir en partes ue son directamente proporcionales a los?ndices de in;ersi n de los nKmeros ya in;ersos.

jem.8 Repartir 240 en partes in;ersamente proporcionales a a ≤ D 6 D '.• #n;irtiendo los ?ndices de in;ersi n 8 1<5 D 1<6 D 1<'<> omo!enizando8

24<120 D 20<120 D 15<20. -120 ) m?nimo ComKn enominador .• Aplicando uno de los casos del Reparto %imple irecto -Reparto entre

MKmeros enteros 8

%i : y z ) 240

Aritmética 18



Primer Año

5E1

5E21

5E3" 61zD'1yDE":

5E1

61zD5E21

'1yD5E3"

E":

152024240-15

zD152024

240-20yD

152024240-24

:

===

=== ++=

++=

++=

II) Re"arto Pro"orcional Co "+e&to RPC).-

s a uel donde una cantidad es di;idida en partes ue son directamenteproporcionales a otras cantidades -?ndices de proporcionalidad y= a su ;ezpueden ser directas o in;ersamente proporcionales a otras cantidades-?ndices de in;ersi n .

jem.8

Repartir 1"0 en partes d.p. con 4D 5 y 6 e i.p a 2 D 4 D 6.

1"0 ) : y z ) D multiplicamos los ?ndices directamente proporcionales a1"0 por las in;ersas de los ?ndices in;ersamente proporcionales a 1"0.

1"0 ) : y z - : ) -dp 4 . Y : -dp 2 y ) -dp 5 . U y -dp 5<4 z ) -dp 6 . 1<6 z -dp 1

Reduciendo los nue;os ?ndices a su m?nimo comKn enominador8X -dp 2 <> : -dp '<4 D y -dp 5<4<> y -dp 5<4D z -dp 1<> z -dp 4<4Repartiendo 1"0 en partes directamente proporcionales a ' D 5D 48

40zD50yD'0:

401" 4-1"0zD501" 5-1"0yD'01" '-1"0:

===

======

Aritmética 19



Primer Año


1) QCu&l ser& la medida de cadauno de los &n!ulos de unrom oide= si estos sonproporcionales a 1 D 4 D 5 D ' Drespecti;amente

R"ta.-

2) Ale:a a repartido ciertacantidad de dinero entre sustres so rinos= en partes ue

son directamenteproporcionales a los nKmeros4 D 5 y ". %i el tercero areci ido 42 soles m&s ue elprimero Q u$ cantidad dedinero reparti

R"ta.-

() Repartir a 1560 en 3 partestales ue la primera de ellassea a la tercera como " es a 3y ue la primera y la se!undaest&n en la misma relaci nue los nKmeros 5 y 4 .

R"ta.-

) Fn comerciante reparti unasuma de dinero entre sus tresermanos D de 10 = 12 y 14

aSos respecti;amente. %i elReparto 7ue in;ersamente

proporcional a las edades=siendo el de mayor edad elue reci e 420 soles. QCu&l

es la suma ue reparti

R"ta.-

7) %i se di;ide 23520 en partes.P. a las ra?ces cuadradasde "5= 12 y 25 e #.P. a las

ra?ces cuadradas de 2"D12 y"5 respecti;amente. @a mayor parte es8

R"ta.-

8) @as edades ue tienen 5primos en 2+ !rado por ;?acarnal son nKmeros enterosconsecuti;os= si se reparteuna cantidad cierta de dinero

entre ellos en 7ormadirectamente proporcional asus edadesD si al menor lecorresponde la mitad de loue le toca al mayor y eltercero le toca treinta y unsoles con ;einte c$ntimosQCu&nto le corresponder& aluinto

R"ta.-

9) Antonio reparte una cantidadde manera tal ue cada unade las partes reci e el do leue la anterior= siendo ec oel reparto entre 4 personas= ladi7erencia ue se esta leceentre la cuarta y la primeraparte es s<. 120 mayor ue ladi7erencia entre la tercera y lase!unda. 9allar la menor delas partes en ue se repartidic a cantidad.

R"ta.-

Aritmética 20



Primer Año

) %e reparte el nKmero 24'0 en3 parte ue sean directamente

proporcionales a los nKmerosm3 D m2 y m= si la menor dedic as partes es '0 QCu&lser& la parte mayor

R"ta.-

;) Cuando un om re ;a aalmorzar a un restaurante y leatienden una mujer y unom re= le da do le propina ala mujer ue al om re= y si leatienden el om re y unmuc ac o= le da do le propinaal om re ue al muc ac o.%i un d?a le atienden elom re= la mujer y elmuc ac o y da "0 centa;osde propina QCu&nto de ereci ir cada uno

R"ta.-

1<) Wuan Carlos a repartido ciertacantidad de dinero entre susami!os8 A elardo= Tenjam?n yClaudio= de modo tal ue laspartes ue estos reci en sonrespecti;amenteproporcionales a 4 D 5 D y 6. %ila parte ue le corresponde a

A elardo es 20 soles= QCu&lesson las partes ue lecorresponden a Tenjam?n y aClaudio= respecti;amente

R"ta.-

11) Fn padre dispone en sutestamento ue est& su7ortuna constituida por unacasa ue esta ;aluada en s<.4' mil dos y dos autom ;iles;aluados en s<. 1500 cada unoue sea repartida entre sus

ijos -3 de tal manera ue elijo mayor ten!a ' partes de

la erencia= el mediano 6 y elmenor de ellosD 3 QCu&nto lecorresponder& al se!undo

R"ta.-

12) ,res ermanos ad uieren unapropiedad en '5 mil soles y=al!unos meses despu$s= la;enden en 100 mil soles. %i laspartes ue impusieron sonproporcionales a los nKmeros 3 D4 y '. QCu&nto !an cada unoR"ta.-

1() %e reparte 24 en 3 partesdirectamente proporcionales a2 D 4 y 6 QCu&les son dic aspartes ar como respuesta lamayor.

R"ta.-

1 ) n el Planeamiento dePresupuesto >eneral de laRepK lica para el aSo 2004=en concordancia con la pol?ticadescentralizadora por partedel !o ierno= se a dispuestoacer el reparto de mododirectamente proporcional conlas necesidades &sicas decada Re!i n. %i se consideransolo tres Re!iones= por lapol?tica !u ernamentalmencionada= notaremos ueel reparto del Presupuesto esdirectamente proporcional alos nKmeros8 n= n2 y n3. %i lare!i n con menor presupuestoreci e 500 soles QCu&ntoreci ir& el se!undo

R"ta.-

Aritmética 21



Primer Año

17) i;idir E5 en 3 partes de modo

tal ue la primera parte es a lase!unda parte como 4 es a 3 yue la se!unda parte es a latercera como 6 es a 5. ar comorespuesta la di7erencia entre laparte mayor y la parte menor.

R"ta.-

18) Fn ami!o de mi ermano reparte23' olas entre cuatro muc ac osen partes in;ersamenteproporcionales a sus edades ueson 2 D 5 y ' aSosrespecti;amente= comorecompensa por sus uenasconductas QCu&ntas olas reci ir&cada uno ar como respuesta lasuma de las cantidades delprimero y del tercero.

R"ta.-

19) Fn campesino cajamar uinotiene unas 2"5 a;es entre!allos= !allinas y palomas. lnKmero de !allinas es al de!allos como " es a 3 y elnKmero de palomas es al de!allinas como 5 es a 2QCu&ntas a;es de cadaespecie tiene

R"ta.-

1 ) %e esta lece un reparto dedinero entre 3 personas= en

7orma directamente proporcionala sus edades= las cuales son 3nKmeros enteros. @ue!o sereparte la misma cantidad dedinero= pero de modoin;ersamente proporcional a lamisma 3 cantidades. @ue!o lase!unda persona reci e en else!undo reparto8R"ta.-

1;) ,res ;ecinos de la ur anizaci nayoraz!o deciden pintar las7ac adas de sus casas siendo elcosto total de 136E soles. @ae:tensi n de la 7ac ada delprimero es los 3<5 del tercero= yla del se!undo es los "<2 de ladel primero. %i el !asto sereparte en 7orma directamenteproporcional a la e:tensi n delas 7ac adas QCu&nto le acorrespondido a onar al tercero

R"ta.-2<) @a %eSora Carmen Rosa

F!artec e al 7allecer le! unaerencia de s<. 14 400 para

repartirla proporcionalmente alas edades de sus ijos8auricio= C arles y Waimestuardo. @a edad de Waimestuardo es el do le de la deauricio y a C arles lecorrespondi s<. 4200. %i lasuma de las edades de estas 3personas es "2 aSos. QCu&l esla edad de Waime stuardo

R"ta.-

Aritmética 22



Primer Año

Aritmética 23



Primer Año


1) Nel;in= anolo y Zilliamdispon?an de un terreno= siendolas partes ue lescorrespond?an a cada a cadauno respecti;amenteproporcionales a 2=5 D 1=5 y 2. %iNel;in ;ende unos 200m 2de unterreno a anolo am ostendr?an terrenos i!uales QCu&les el &rea del sector del terrenoue le correspond?a a Zilliama 1000 '00 c 600d 400 e 200

2) %i se reparten s<. 2"0 entre 3personas de modo ue la partecorrespondiente a la se!undapersona sea los 2<3 de la partecorrespondiente a la primerapersona y adem&s la partecorrespondiente a la tercerapersona es i!ual a la semisumade las otras dos partes Q u$parte le corresponde a lase!unda personaa s<.E0 s<. 1' c s<.10'd s<. '4 e s.< "2

() Al repartir s<. "20 en 7ormadirectamente proporcional a m Dn D 3n D En D 2"n D..... 3znD elmenor ;alor 7ue 1' QCu&l ser&el ;alor de Bza 2 3 c 4d 5 e 6

) Al erto reparte cierta cantidadde dinero entre sus 3 ijos en7orma directamente proporcionala los nKmeros mnD nmD nnD detal manera ue los dos primerosreci ir&n 22' y 33E d laresrespecti;amente QCu&l es lacantidad ue se reparti

a [<.1450 %<.EE5c [<. 1045 d %<.1304=5e [<. 1215

7) i;idimos una cantidad en 3partes ue son directamenteproporcionales a tres nKmeros=de modo tal ue $stos lle!an aser8 13200 D 33000 y 52'00 %i elreparto se e7ectKa en 7ormain;ersamente proporcional a losmismo tres nKmeros QCu&lser?a la se!unda partea 35000 3300 c 15000d 24000 e 60000

8) %e di;ide 2210 en cuatronKmeros tales ue el se!undo yel tercero est$n en la mismarelaci n ue " y 11= el tercero yel cuarto est&n en la mismarelaci n ue los nKmeros 4 yBm y la primera es a la se!undacomo 3 es a 5. %i el cuartonKmero es 1100 QCu&l es el;alor de Bma 11 12 c 'd 44 e 33

9) %e reparte una cantidad en 3partes de tal manera ue $stassean proporcionales a losnKmeros 3 D 5 y '. %i la terceraparte es mayor ue la se!undaparte en "' unidades QCu&l 7ue lacantidad total ue se repartia 426 32' c 416d 461 e 24'

) %e reparte un cierto nKmero endos cantidades= las cuales sondirectamente proporcionales alos nKmeros 3 y 5. %i lase!unda parte es mayor en 42unidades mas ue la primera

Aritmética 24



Primer Año

parte.QCu&l es el nKmero uese reparti

a 16' 1"2 c 1E4d 1'6 e M.A

;) A elardo reparte s<205 entresus 3 mejores ami!os= de talmanera ue la primera reci etanta cantidad de la se!undacomo 2 es 5D y el se!undoreci e las V partes del tercero.QCu&nto reci i la primera deesas 3 personas

a 30 45 c 60d "5 e E0

1<) ,res muc ac os tienen s<. '0 elprimeroD s<. 40= el se!undo y s<. 30el tercero. Con;ienen entre!ar entre todos 30 soles a los po res=contri uyendo cada uno en7unci n a lo ue tienen QCu&ntopondr& cada uno ar comorespuesta lo ue pone el se!undo.a 1' soles 16 solesc 10 soles d 6 solesd ' soles

11) n un cole!io ay 130 alumnos=de los cuales ay cu&druplenKmero de estadounidensesue de espaSoles y do lenKmero de cu anos ue deestadounidenses QCu&ntosespaSoles ay en el cole!ioa 50 10 c E0d 40 e '012) %e a comprado 2 autom ;ilesde [ 3400 y se an pa!ado en

raz n directa a la ;elocidad uepuedan desarrollar= ue esproporcional a los nKmeros 60 y"0= y en raz n in;ersa a sutiempo de ser;icio ue es de 3 y5 aSos= respecti;amenteQCu&nto se a pa!ado por cadauno ar como respuesta ladi7erencia entre estos.

a E00 '00 c "00d 600 e 500

1() ,res cuadrillas de J reros anrealizado un tra ajo por el uese a pa!ado s<. 516 .@aprimera cuadrilla consta a de10 9om res y se tra ajdurante 12 d?asD la se!unda= de6 om res= tra aj ' d?as y latercera= de 5 om res= tra ajpor 1' d?as.QCu&nto de ereci ir la tercera cuadrilla

a E6 soles 240 c 2"6d 1'0 e 336

1 ) %e reparte 26 en dos partesproporcionales a 3 y 4 ein;ersamente proporcional a 6 y5. QCu&l es la parte mayor

a 12 10 c 16d 13 e 11

17) Repartir E5 en 2 partes .P. a0=4 y 0=6 e #.P. a 1=4 y 2 Y. ar como respuesta la di7erenciaentre ellos.

a 5 6 c "d ' e E

Aritmética 25



Primer Año

TEMA: PORCENTA@E

Intro%+cción.-@a e:presi n B..... por ciento es deri;ada de la e:presi n latina B......per centum = apareciendo en las principales o ras de aritm$tica en la #talia delsi!lo X* y su si!no -\ 7ue 7ruto de una sucesi;a mutilaci n a tra;$s de lostiempos= de la a re;iatura de 100 -cto D apareciendo $ste en un li ro decomercio y ciencias mercantiles en el aSo 16'5.

#e$inición.-l tanto por ciento ;iene a ser o una= o ;arias= de las cien partes en las cualesse di;ide una cierta cantidad. Por ejemplo= si decimos ue el 10\ de 100 esi!ual a 10D es por ue $ste se sustenta en el ec o de ue al nKmero 100 sele di;iden en 100 partes re!ulares -per7ectamente i!uales = de manera tal uese consideran de dic as partes a unas diez. @as partes ue se puedenconsiderar respecto de una determinada cantidad pueden ser tanto como7raccionarias.

Notación: %i a\ de es i!ual a c 8 c-

100

ac\a ==

E e "lo: 9allar el " por ciento de '1 8 6"=5'1.100

"'1\" =

Pro"ie%a%e& %el Tanto Por Ciento.-

1 ,oda cantidad representa el 100\ de s? misma. M) 100\ M .

2 @os porcentajes de di7erentes cantidades se pueden sumar o restar demodo al!e raico= es decir= solamente se pueden operar porcentajes ueoperen a una misma cantidad α\M β\M ( γ \M )- α β γ MD.

#on%e: αDβDγ 43\ 2"\ G 15\ ) 55\

Aritmética 26



Primer Año

Relación Entre 6a Teor0a %el Porcenta e B 6a& /raccione&.-• @as ;ariaciones porcentuales -cam ios ue e:perimenta una determinada

cantidad= con respecto de su ;alor ori!inal se pueden e:presar comouna 7racci n en la cual el numerador es a u$lla cantidad a operar y eldenominador es el nKmero respecto al cual se de a ser la repartici n -enel tanto por ciento= el indicador e ui;ale a 100= por ejemplo .

• Para con;ertir una determinada 7racci n a porcentaje= asta conmultiplicar dic a 7racci n con el nKmero al cual se a de repartir dic a7racci n. jemplo 8

,) Con;ertir 1<5 a tanto por ciento 8 1<5 -100 ) 20\ → se lee 8 B;einte por ciento .

,) Con;ertir 4<E a tanto por 2" 8 4<E -2" ) 12→ Bdoce por ;eintisiete .

,) Con;ertir E5\ a 7racci n 8 -E5<100 ) 1E<20

,) Con;ertir 3 por 10 a 7racci n 8 3 por 10<> 3<10

O &.

, Tanto "or C+anto: %i en un inicio decimos ue el tanto por ciento de ciertacantidad era una mas de las partes -las cien en ue se pueden di;idir dic a cantidadDal tanto "or c+anto se le de7ine como una o ;arias partesue se toman en cuenta de un nKmero determinado de partes en las cualesse puede di;idir una determinada cantidad.

Notación: %i el a por de c es i!ual a d8 dc-a = D donde ≠ 100.

9allar el 3 por 5 de "58 45"5-53 =

Aritmética 27



Primer Año

, Tanto "or il: e manera an&lo!a a las de7iniciones del tanto por cuanto ydel tanto por ciento= podremos concluir ue el tanto por mil es cada una delas mil partes en ue se di;ide una cantidad.

Notación: %i el a por 1000 de es i!ual a c8 c-1000

a = D donde ≠

100.

9allar el tanto por mil -el 25 por mil de 23008 5=5"2300-1000

25 =

, Tanto "or ciento %el tanto "or ciento: %e denomina as? al c&lculo delporcentaje so re otro porcentaje ( y as?= sucesi;amente G de ciertacantidad. jemplo 89allar el 30\ del 40\ del 60\ de 3100 8-30<100 -40<100 -60<100 -3100 ) 223=2

O"eracione& S+ce&i a& %el Tanto Por Ciento .-n asuntos relacionados con el porcentaje pueden presentarse casos uein;olucren un aumento o disminuci n de cierta cantidad ue se mani7iesta

por medio de un porcentaje so re la cantidad indicada.Por ejemplo8

%i un indi;iduo conta a con una cuenta de a orros de '0 000 nue;os solesen el Tanco %antander G Central 9ispano -T%C9 y cuando lle!a a dic oanco decide e:traer todos sus a orros G los oc enta mil nue;os soles= yreci e cien mil soles en ;ez de los oc enta mil nue;os soles iniciales=entonces estar?a reci iendo un incremento de ;einte mil soles= es decir=Reci e +n incre ento %el 27 einticinco "or ciento) de total de su

cuenta de a orros.Ca&o& Partic+lare&:1 %i realizo dos aumentos sucesi;os del \ y del M\ = el incremento Knico

ser&8

100

M:M A F ++=

Aritmética 28



Primer Año

donde8 Au )Aumento incremento ]nico2 %i realizo dos descuentos sucesi;os del \ y del M\ = el descuento

Knico ser&8

100M:

MF +=

u ) escuento ]nico

E e "lo:

, Wuan Carlos compro 10 N!. de AzKcar y lo ;ende aciendo dos incrementossucesi;os del 30\ y del 40\ so re el precio de ;enta. 9allar el incremento]nico ue se esta leci en la ;enta del AzKcar.Sean lo& incre ento& %el (< B %el < 8 AF)30 40 30.40<100) '2 -A F

l incremento Knico ser& del '2\

, Ale:ander= je7e del personal de la Ia rica ^ono7rio= tiene encomendadoreducir el sueldo &sico de sus empleados. %i lle!a a esta lecer dosdescuentos del 40\ y del 25\= el descuento Knico ser&8Sean M4 < D N4 27 8 F)40 25(40 . 25<100 ) 55 - F

l escuento Knico ser& el 55\

O &.@as relaciones para incrementos y descuentos indicadas anteriormente= solocumplen para dos incrementos y dos descuentos sucesi;os= respecti;amente.

Para conocer el incremento o descuento sucesi;o ue se esta lece cuandose da una serie de incrementos o descuentos sucesi;os= respecti;amente= seproduce la relaci n a continuaci n mencionada8

\100100

C100-T100- A100- A 1nF −+++= −

Aritmética 29

• A D T D C ) Aumento%ucesi;os.

• n ) Cantidad ,otal de #ncrementos• Au ) #ncremento ]nico



Primer Año

E e "lo:

1 %e producen dos incrementos sucesi;os de 30 y 40\.9allar elincremento ]nico8

1001'2100100

140-130- A100

100

40100-30100- A F12F −=−=−++= −

l #ncremento ]nico 8 '2\

\100100

C100-T100- A100-1nF −−−−= −

E e "lo:

1 %e producen dos descuentos sucesi;os del 40\ y del 25\.9allar eldescuento ]nico8

10045100100

"5-60-100

100

25100-40100-F12F −=−=−−−= −

l escuento ]nico 8 (55\ -la cantidad se redujo en 55\

El Si=no - ) e& in%ica%or %el %e&c+ento %cto).

Aritmética 30

• A D T D C ) escuento%ucesi;os

• n ) Cantidad ,otal dedescuentos

• u ) escuento Knico



Primer Año

PRO56EMAS PARA 6A C6ASE1) Fn a!ricultor del *alle del Colca

compro una cierta cantidad detri!o. *endi las dos terceraspartes de este con un ene7iciodel 10\ y la mitad del resto deltri!o a precio de costo. %icuando la ;enta lle!o a su 7in= ela!ricultor o tu;o el e ui;alentea la in;ersi n QCu&l 7ue elporcentaje total de p$rdidaocurrido en la ;entaR"ta.-

2) Para acer unos mil l&pices sere uieren unos 50 Lilo!ramosde madera= del cual se pierdeun '\ en la 7a ricaci nD de unl&piz se pierde por el usoapro:imadamente un 20 por ciento. %i se reuniesen lascantidades perdidas por el usode unos mil l&pices y sedestinaran como materia dereciclaje QCu&ntos l&pices selle!ar?an a acer

R"ta.-

() n un tonel de la ,a ernaueirolo ue contiene unacantidad indeterminada de ;inotinto= se adicionanapro:imadamente unos 4'0litros de a!ua. espu$s de

cierto per?odo de tiempo see:trae el 20 por ciento de dic amezcla entre el ;ino y el a!ua yse reemplaza $ste por a!uaDresultando lue!o ue lacantidad de ;ino ue se o tienede la nue;a mezcla constituyeel 16 por ciento del total de la

mezcla. Calcular la cantidadtotal de ;ino G inicial G ue ten?ael tonel.

R"ta.-

) Fn comerciante del CampoIerial de esa Redonda decide;ender un o jeto aumentandosu precio en un 20 por ciento. Alca o de unos d?as re aja eseprecio en un 10 por ciento= perosiete d?as despu$s aumentanue;amente= el nue;o precio esun 25 por cientoD mas el d?asi!uiente decide re ajar esteKltimo precio a un '0 por ciento.#ndicar si el comerciante !ana opierde e indicar cuanto es eseporcentaje.

R"ta.-

7) %e a estimado ue unamezcladora de concreto de lampresa Constructora >raSa yontero %.A. su7re unadepreciaci n de diez por cientopor cada aSo de uso respecto alprecio ue ten?a al comenzar cadaaSo. %i cuatro aSos despu$s elprecio de la mezcladora estu;oespeci7icado en trece mil ciento;eintid s nue;os soles= indicar elcosto ori!inal de la mezcladora encuesti n.

R"ta.-8) n la competencia preliminar

del *i!$simo Jcta;oCampeonato undial de ,iro=uno de los participantes lo!ra

Aritmética 31



Primer Año

con;ertir unos diez y sietelancos consecuti;os QCu&ntosde e 7allar para ue surendimiento sea del oc enta ycinco por ciento

R"ta.-

9) Wos$ #!nacio ;ende un e uipode cocina !anando por dic a;enta el ;einte por ciento delprecio con el cual se dio a uella;entaD de $sta= entre!a el ;eintepor ciento a Carmelo por sus%er;icios prestados y= de lorestante= utiliz posteriormenteel diez por ciento para pa!ar eltransporte del e uipo de cocinaacia el domicilio del nue;o

propietario= o teniendo as? una!anancia neta de cientocuarenta y cuatro soles QCu&l7ue el precio de costo del e uipode cocina

R"ta.-

) Fn #n!eniero #ndustriale!resado de la Fni;ersidadMacional del Callao comprasillas a s<.32 cada una para elcentro de Producci n de suIacultad. Fna ;ez all?= anunciala ;enta de dic as sillas a %soles= de modo tal ue cuandorealice un descuento del 20\ asus cliente potenciales= pueda!anar el 20\ so re ;entaCalcular el ;alor de B%

R"ta.-

;) oce o reros de construcci n Ci;il G uienes poseen el mismorendimiento se comprometen arealizar una o ra para el Iondo i*i;ienda en= apro:imadamente=uince d?as. Cuando dic oso reros a;anzaron la mitad de lao ra= por disposici n de la

mpresa Constructora= oc o deesos o reros son ruscamentedespedidos. %i la mpresaConstructora es conciente de uela se!unda etapa de la o ra G loue 7alta por construir G re uiere eldo le del es7uerzo realizado paraconstruir lo ya a;anzadoD Calcular el rendimiento ue de en tener loscinco nue;os o reros Gcoincidentemente tam i$n deConstrucci n Ci;il G respecto alrendimiento de los primeros= uese an de contratar= de tal maneraue la o ra en ejecuci n se

termine en el plazo esta lecido.R"ta.-

1<) A liza et D al comprar unalusa= de er?an acerle un

descuento del 20\ mientrasue a smeralda= al comprar unpantal n de er?an a erledescontado el 10\ del costo delpantal n. _l por la premuralle!a a e ui;ocarse= de talmanera ue liza et de epa!ar s<.2 m&s y smeralda= s<.5 menos G el ;endedor ace eldescuento al re;$s G 9allar ladi7erencia de las cantidades uepa!aron smeralda y liza et .

R"ta.-

11) %e le encomend a una mpresa=por encar!o del >o ierno Central=realizar el mantenimiento de unacarretera en la %el;a Alta deldepartamento de la @i ertad= lacual uedo daSada por las llu;iasincesantes ue se produc?an endic a re!i n.

Para lle;ar a ca o elmantenimiento de dic a carretera=

Aritmética 32



Primer Año

se tu;o ue e:traer tierra ca;andouna zanjaD lue!o la tierra su7ri unesponjamiento del 30\ y Ddespu$sD un asentamiento del20\. %i el ca;ado dur unos 2'd?as Q Cu&nto tiempo u ieradurado el ca;ado si elesponjamiento 7uera del 40\

R"ta.-

12) n la @i rer?a @au C un se tieneuna o7erta en la ;enta de los li ros.Cada @i ro cuesta s<.3D pero si las;entas superan los s<.24= a r?a undescuento del 24\. Adem&s= para;entas por encima de los 60 soles=el descuento ser?a del 3'\ y para;entas mayores a los 13' soles= eldescuento ser?a del '5\.n la @i rer?a _poca= para ;entade li ros en el mismo inter;alo losdescuentos son = respecti;amenteDde 3\ D 5\ y del '\. Fnapersona= en su primera comprao tu;o un descuento del 24\ D enla se!unda 3'\ y en la tercera'5\ y o ser; ue si su compra lau iera realizado en la otra tiendau iera !astado s<.143=1 m&s. %i elnKmero de li ros ue compr es elmenor posi le= allar el nKmerototal de dic os li ros.

R"ta.-1() %e an mezclado tres

sustancias u?micas cuyosprecios son proporcionales a

1D5 y 12 D de tal manera ue seusa un 20\ m&s de la se!undasustancia respecto de laprimera y de la tercera un 40\=m&s ue la se!undaD si se sa eue el precio por Lilo!ramo dela mezcla es mayor en s<.2" uela di7erencia de los precios delas dos primeras sustancias.

Calcular si !ana o pierdeD si al;ender un precio 7ijo=

aumentando su costo en 60\ yen la ;enta ace dosdescuentos sucesi;os del 25\-#ndicar= adem&s= lascantidades

R"ta.-

1 ) Ro erto desea ad uirir ciertoproducto= cuando solicita undescuento= la ;endedora leace uno del 20\ m&s el 30\de su precio. ntonces= eldescuento ue se ace Qes del50\

R"ta.-

17) %i el precio de un par de!uantes lue!o de a $rseleec o dos descuentos

sucesi;os del 10\ y del 30\ esde unos sesenta y tres solesQCu&l es el precio ue ten?anlos !uantes antes de producirsedic o descuento

R"ta.-18) n cierta mpresa el sueldo

m?nimo es de s<. 250 y elm&:imo es de s<.300. %e sa e=adem&s= ue ;einte empleados!anan= por lo menos= s<. 2E0soles pero menos de s<. 300.%esenta y oc o empleados!anan= por lo menos= s<. 2"0 D135 empleados !anan por lomenos s<.260 y el resto deempleados !anan menos deunos 260 soles= siendo $stos

Aritmética 33



Primer Año

Kltimos el 10\ del totalQCu&ntos empleados !anan

menos de s<.2"0R"ta.-

19) >erard compra una pieza detela= al por menor= ue ;ende dela si!uiente manera8 %<.' con unene7icio de 60 soles el metro ylo restante con 40 soles deene7icio por metro. @a!anancia total por la ;enta es

de s<.6300= el cual representa el15\ del precio de compra.QCu&l es la lon!itud de la piezay el precio de compra ar como respuesta el cuadrado delas sumas de las ci7ras de losresultados

R"ta.-

1 ) Cuando el lado de un cuadradose incrementa en 20\. Resultaue el &rea aumenta en 1"6m 2.Calcular la lon!itud inicial delcuadrado.R"ta.-

1;) Fn estudiante de la Iacultad de@etras y Ciencias 9umanas dela Cuatricentenaria Fni;ersidadMacional ayor de %an arcos

lee durante una semana el 60\de un li ro m&s 20 p&!inas. n

la se!unda semana lee el 10\de lo ue 7alta y en la tercerasemana lee las no;enta p&!inasrestantes.Qcu&ntas p&!inastiene dic o li ro

R"ta.-

2<) n la Iiesta de Cac im os de laFni;ersidad Real= Ponti7icia yayor de %an Irancisco Wa;ier de C u uisaca= en Toli;ia= eltotal de c icas ue salen aailar lo acen con el 6\ del

total de c icos. Adem&s= #;&nIerrer G uno de los cac im os Go ser;o ue si u ieran 20c icas m&s= el nKmero depersonas ue ailan respectode las ue no ailan estar?an enla relaci n de 2 a 1 QCuantoscac im os ;arones ueasistieron a dic a 7iesta noest&n ailando

R"ta.-

Aritmética 34



Primer Año


1) n una reuni n del CluRe!atas @ima se o ser;a ueel nKmero de mujeres esta enrelaci n de 1 a 2 con elnKmero de om res= lue!o seretiran el 35\ de los om resy lle!an unas E0 mujeresresultando ue los om res ymujeres est&n en relaci n de 1a 1. Calcular el nKmero depersonas ue a r?a alprincipio de la reuni n.

a '00 '50 c E00d E50 e 1000

2) %e tiene un recipiente de ;idriolleno de Ron= del cual see:trae el 20\ y se reemplazacon a!uaD lue!o de lo o tenidose e:traer el 25\ y sereemplaza con a!ua= de modotal ue la di7erencia entre los;olKmenes de Ron y de a!uaes de 32 litros QCu&l es el;olumen inicial del recipiente

a 120 140 c 160d 1'0 e 200

() Fn litro de mezcla esta7ormado por "5\ de alco ol y25\ de a!ua= por lo cual pesaunos E60 !ramos= sa iendo

ue un litro de a!ua pesa1000 !ramos. eterminar elpeso= en !ramos= de un litrode la mezcla ue tiene 15\ de

Alco ol y '5\ de A!ua -noconsiderar la contracci n de lamezcla .a EE5 EE2 c E'"d E"4 e E6'

) Fn ;endedor de manzanascompra unos 152L! de ellas as<. 1=50 cada N!. espu$s delo!rar ;ender '2L!a s<. 1='0cada N!.D !uarda el resto por ;arios aSos= de modo tal uese lle!a a malo!rar apro:imadamente el 30\.Calcular el precio al cual sede e ;ender el N!. de lo ueueda para ue se puedao tener un total de s<. 42=1soles de !anancia.

a 3 soles 2=E c 2=6d 2=5 e 2

7) n una tienda a los clientesles acen dos descuentos del10\ y del 20\= de modo talue lle!an a !anar el 40\. %iun art?culo se compra en s<36QCu&l es el precio ue de e7ijarse para concretar su;enta

a s<.40 s<.60 c s<.56d s<."0 e s<.5'

8) Fna Ia rica de ]tiles paraescritorio produce l&pices=cuyo costo se distri uye de lasi!uiente manera8 60\ en

materia prima 30\ en manode o ra y el resto en !astos!enerales D de modo tal ueen la ;enta o tiene como!anancia el e ui;alente al20\ del precio costo. e idoa una ;ariaci n de precios=sus costos aumentaron de lasi!uiente manera8 50\ enmateria prima= 40\ en manode o ra y sus !astos

Aritmética 35



Primer Año

!enerales en un 20\. %ia ora su !anancia neta ser?a

del 30\ del costoD calcular eltanto por ciento de los l&pices=respecto al precio ori!inal deestos -Calcular el nue;oporcentaje en ue se aumentael precio de ;enta de losl&pices

a 56\ 45\ c 53\d '0\ e "0\

9) l departamento de %er;icio%ocial del %er;icio Macionalpara el Adiestramiento para el,ra aja #ndustrial -% MA,#re aja las pensiones aa uellos estudiantes uecuentan con ajos recursosecon micos en un 30 por ciento y aumenta en un 40 por ciento al resto de alumnado.%i el monto total de laspensiones de la totalidad dealumnos del % MA,# uedadisminuido en un 10 por ciento.Q u$ porcentaje de laspensiones G el total Grepresenta lo pa!ado por losestudiantes de ajos recursosecon micos

a 3'\ 22\ c 60\d "0\ e 55=5\

) Carlos razona de la si!uiente

manera8 para poder cancelar mi deuda con Wusep meprestar$ dinero de @ucy con lacual mi deuda con ellaaumenta en un 40\D pero si lelle!ase a pa!ar 420 mil soles=mi deuda con Wusep lle!ar?a al"0\ por pa!arle. QCu&nto esla deuda ue tiene Carlos conWusep

a 100 mil 200 c 300d 400 e 500

;) os recipientes BL y Bcontienen aya uasca= elrecipiente BL est& lleno lamitadD el recipiente B = en untercio de su ;olumen= as? uese completan con a!ua elcontenido de am osrecipientes -sus capacidades Dla mezcla ue se ori!ina se;ierte en el recipiente BM . %ise sa e ue las relacionesentre las capacidades de N y es como 1 es a 2 Ddeterminar el porcentaje deaya uasca ue contiene lamezcla en el recipiente BM .

a 54\ 61\ c 3E\d "1\ e 36\

1<) Andrei acude a una tienda deelectrodom$sticos y compracierto art?culo por el precio des<. 6E" D lue!o de unos 5 aSosre!resa a la misma tienda ycompra el mismo art?culopa!ando a ora E00\ delprecio anterior. %i el letrero delart?culo dec?a descuento del23=5\ m&s el 1'\ indicandodos descuentos sucesi;osQCu&l 7ue el precio de lista delse!undo art?culo comprado

a 10 mil 50 mil c 40 mild 3' mil e 5 mil

11) n una #ndustria secon7eccionaran mil art?culosde ropa8 el 60\ de ellos7ueron 7a ricados por lama uina BA y lo restante por la ma uina BT .%i conocemosue el 5\ de lo 7a ricado por

Aritmética 36



Primer Año

BA es material de7ectuoso y el4\ de lo 7a ricado por BT

cumple dic a condici n.9allar la cantidad total deart?culos de ropa de7ectuosos.

a 50 E1 c 45d 46 e 3E

12) %i a un nKmero se leincrementa el 20\ y a lanue;a cantidad se le reduce el20\Q u$ se puede a7irmar con respecto a la cantidadinicial

a Aumenta 10\isminuye 10\

c isminuye 42d isminuye 'e Mo ;ar?a

1() >io;anni le dice a Anderson 8Bentre tu dinero y elm?o acemos 1125 solesD siu iera reci ido 30\ menosde lo ue te corresponde=nuestras cantidades ser?ani!uales si es ue yo reci iera20\ menos. QCu&nto tienecada uno .

a > 8 s<. 425 D A 8 s<. "00> 8 s<. 400 D A 8 s<. "25

c > 8 s<. 525 D A 8 s<. 600d > 8 s<. 440 D A 8 s<. 6'5e > 8 s<. 340 D A 8 s<. "'5

1 ) Al sueldo de un empleador dela mpresa TacLus y Wo nston%.A se le ace un incremento

del 20\ al comenzar el aSo yDen el mes de Wulio reci e unincremento del 10\ so re eltotal. Calcular el porcentaje desu sueldo G ue perci ir& en A!osto con respecto a susueldo perci ido el aSoanterior.

a 12'\ 130\ c 103\d 125\ e 132\

17) Q n ue tanto por cientoaumentar& el ;olumen de uncilindro cuando la altura sereduce en 20\ y la lon!ituddel radio de la ase aumentaen 25\

a 10\ 25\ c 15\

Aritmética 37



Primer Año

d 30\ e 20\

Aritmética 38



Primer Año

TEMA: AS NTOS COMERCIA6ES

Intro%+cción.-

Fna ,ransacci n comercial es el intercam io de ienes y ser;icios a cam iode dinero ue se esta lece entre dos mas personas= de manera ue lapersona ue ;ende dic o ien o dic o ser;icio puede o tener G comoconsecuencia de la transacci n G un ene7icio o una p$rdida de supatrimonio.

Para poder en7rentar distintas situaciones relacionadas con los asuntoscomerciales= e& $+n%a ental B &+$iciente el correcto conocimiento de la%e$inición %e "orcenta eD aun ue tam i$n es necesario conocer lasde7iniciones de las relaciones 7inancieras dadas a continuaci n8

1) Precio %e Fenta P ): es a uel con el cual se cotiza un determinadoart?culo. jem8 si en el mercado o ser;amos ue el Lilo de AzKcar cuestas<.1=50 entonces decimos ue s<.1=50 es el precio de ;enta del azKcar.

2) Precio %e Co&to ó %e Co "ra Pc) : es a uel con el cual se ad uiere undeterminado art?culo para su posterior uso. As? por ejemplo= si

compramos un costal de 10 Lilos de arroz a 12 soles= es decir= s<. 1=20por cada Lilo de arroz= decimos ue 12 es el precio de costo por ue ese7ue el precio esta lecido para poder ad uirir dic o producto.

() Precio /i a%oG %e Cat>lo=o ó Precio %e 6i&ta Pl) : es el preciodeterminado en una lista o cat&lo!o de di;ersas compaS?as oesta lecimientos comerciales. jemplo8 @os precios de una determinadamarca de zapatillas de ;estir en una tienda de ropa.

) 'ananciaG 5ene$icioG Renta o tili%a% ') es la cantidad ue seo tiene cuando se ;ende cierto elemento a un precio mayor de lo uecosto ori!inalmente. jemplo8 %i un tele;isor se compra a 200 d lares ylue!o se ;ende a 300 d lares= a lamos de una utilidad de 100 d lares.

7) P!r%i%a P) : es la cantidad ue se o tiene cuando se ;ende ciertoelemento a un precio menor ue lo ue costo ori!inalmente. jemplo8 %ise compra un tele;isor a 300 d lares y se ;ende en 250 d lares=a lamos de una p$rdida de 50 d lares.

Aritmética 39



Primer Año

8) #e&c+ento %ctoD#) :Pa!o de un documento no ;encido= al cual se leredujo el costo G en una cantidad acordada por am as partes G comointer$s del dinero.

O &.:

1 %e determina al precio de ;enta como la suma del precio de costo y la!anancia.

P 4 Pc H ' D %on%e P; > Pc

2 %e determina al precio de costo como la suma del precio de ;enta y lap$rdida.

Pc 4 P H P D %on%e P; < Pc

3 %e de7ine al precio de lista como la suma del precio de ;enta y el

descuento.P6 4 P H # D %on%e P; < P@

• A%e >& : %iemprete>eneralmen

P@-7 DPc-7 PDPc-7 > ===

• %i el precio de lista no se altera= el precio de ;enta y el precio de listatienen los mismos ;alores

Aritmética 40



Primer Año


1) Fn tra ajador de una cadena deelectrodom$sticos realiza una;enta de un sistema B9ome,ealt er o teniendo=apro:imadamente= el 24\ de lautilidad cuando concreta la ;entade los 3<5 del total de lamercader?aD pero al ;ender el 40\restante lle! a perder el 25\ desu costo. %i al culminar la jornadala ;enta total de la mercader?a 7uede seiscientos ;eintis$is milcuatrocientos nue;os soles -s<.626400 . 9allar el importe de lacompra de la mercader?a.

R"ta.-

2) Fn comerciante del ercado

ayorista de Ceres compra arinaa 15 soles el sacoD !an&ndose al;ender 33 1<3\ del costo. Calcular el precio con el cual se ;endi laarina si cada saco tienecapacidad para unos 100 Lilos -por cada Lilo .

R"ta.-

() Claudia `n!ela decide incursionar en el ne!ocio de la compra y ;entade d lares americanos= de talmodo ue ten?a pre;isto o tener de ene7icio apro:imadamente el20\ de la cantidad ue in;irti Dpero cuando lle!a al Wir n JcoSa =en pleno Centro 9ist rico de @ima

G @a Catedral de los Cam istas G

se da con la sorpresa ue de e;ender sus d lares americanos al"5\ del precio de ;enta ori!inal=ue era= precisamente= el precioue estimo para o tener esean elado 20 por ciento. 9allar eltanto por ciento de la !anancia dela ;enta ue lle!a a o tener.R"ta.-

) Fn comerciante del mporioComercial B@os #n7ormales dePac acutec decide ;ender undeterminado art?culo de modo talue o tiene apro:imadamente el;einte por ciento del precio de costocomo utilidad y= con dic a !ananciadecidi comprar otro art?culo paratiempo despu$s= ;enderlo para!anar as? el 25\ del precio de;enta. 9allar la relaci n en la ue sean de encontrar los precios de;enta de am os art?culos.R"ta.-

7) Fn ;endedor de la tienda delectrodom$sticos BCAR%Adecide aplicar a la l?nea deelectrodom$sticos tres descuentossucesi;os el 20\D 25\ y 20\ demanera tal ue el nue;o precio de;enta lle!a a su7rir= lue!o= tresincrementos sucesi;os del 20\D25\ y del 20\ de manera tal ueel nue;o precio de ;enta esdi7erente del precio de ;entaori!inal en 204 nue;os soles QCu&l7ue el precio de ;enta ori!inal .

R"ta.-

Aritmética 41



Primer Año

8) Para la construcci n de la nue;asede de la Ti lioteca Central

BPedro /uler en la ciudadFni;ersitaria de laCuatricentenaria Fni;ersidadMacional ayor de %an arcos secompraron ladrillos a 160 nue;osel millar. %i en cierta parte deledi7icio 7ueron necesarios unostrescientos sesenta ladrillos= loscuales representaron el 0=3\ deltotal de ladrillos ue compraron.

9allar la cantidad ue se in;irti enla compra de los ladrillos.

R"ta.-

9) n la Ponti7icia Fni;ersidadWa;eriana de Colom ia= en eldepartamento !eneral de %er;icio%ocial decide re ajar laspensiones de enseSanza aa uellos estudiantes de escasosrecursos econ micos a un '0\ eincrementa en un 30\ al losalumnos. %i por esta pol?tica elmonto total de las pensionesueda disminuido en un 10 por ciento Q u$ porcentaje de lapensi n total representa la pensi nuni;ersitaria pa!ada por a uellosestudiantes ue no se ;ierona7ectados por dic a reducci n .

R"ta.-

) Fn o jeto encontrado en el,ransatl&ntico B,itanic est&;aluado= se!Kn una 7amos?simacasa de anti! edades de@i;erpool= en #n!laterra= en 1" mil

2'0 li ras esterlinas. %i dic a casade anti! edades decidiera realizar

un concurso en la cual= entre los;alios?simos o jetos= se pusiera ensu asta pK lica al o jetoencontrado en el ,itanic QCu&lser?a su precio ase sa iendo uesi al ;enderlo se acen dosdescuentos sucesi;os del 10\ ydel 20\= de modo tal ue la casade anti! edades lo!re !anar el 10por ciento del 20 por ciento del

precio ori!inalR"ta.-

;) Zaldir %&enz tiene cierta cantidadde dinero= si el primer d?a decide!astar el 43\ de su sueldo como

ju!ador estelar de ese e uipazo dePlay%tation llamado Alianza @imaDCalcular el porcentaje de lo ue leueda a BZally ue de er?a !astar el se!undo d?a G en juer!as ytrampas G para ue le uedeapro:imadamente el 2'=5\ deldinero ue co ro ori!inalmente.

R"ta.-

1<) Fn comerciante de la tienda deelectrodom$sticos B6AC RACAO tiene unas trescomputadoras P M,#F #* marcaCompa = lo!rando ;ender dos deellas en 360 d lares americanoscada una de ellas= lo!rando as?o tener un ene7icio econ mico Gen una de ellas G del 20 por "0 desu costo y perdiendo en la ;entade la se!unda computadora el 20

Aritmética 42



Primer Año

por 100 del precio de ;enta. %i latercera computadora le costo el 10

por ciento de la primera m&s el '0por ciento de la se!unda Q u$porcentaje de !anancia o p$rdidade e o tener el comerciante deB6A C RACAO para ue en la;enta total el ene7icio y la p$rdidasea nula

R"ta.-

11) l mismo comerciante ue ;endilas computadoras en el pro lemaanterior de est& !u?a e7ectKa la;enta del 40 por ciento de losart?culos ue compr de la tiendade electrodom$sticos BRIP6EYMA de tal modo ue o tieneuna utilidad del 40 por ciento delprecio de costoD ;ende adem&s el20 por ciento de lo restanteperdiendo el 20 por cientoD lue!o lacuarta parte de lo ue lle!a a tener la re!alar& a uno de sus ermanosy lo restante lo ;endi al mismoprecio de costo -sin !anar niperder . %i en toda la ;enta o tieneun ene7icio de s<. 4'0 QCu&ntosart?culos compra si cada uno deestos costa a 10 nue;os soles

R"ta.-

12) os autom ;iles cuestan juntosunos trescientos mil d laresamericanos -F%[ el primero sede;alKa en 10 por ciento de sucosto inicial cada aSo= mientrasue el se!undo autom;il sede;alKa G econ micamente

a lando G en 12 por ciento al aSo.%i un aSo despu$s el primer

autom ;il se de;alKoeconmicamente unos E mil 600d lares americanos menos ue else!undo. 9allar el precio delautom ;il m&s arato.

R"ta.-

1() n una 7& rica de con7ecci n te:tilde la ciudad de Puerto Jrdaz= en la

RepK lica Toli;ariana de*enezuela= los costos deproducci n se reparten delsi!uiente modo8 el treinta por cientodel total se in;ierte en mano deo ra y el diez por ciento restante sereparte en !astos !enerales= demodo tal ue el 60\ de laproducci n total se distri uye en laad uisicin de materia primaD as?los productos ue con7eccionan la7a rica los ;ende o teniendo el 20por ciento del costo.Como consecuencia de la crisisue asola a *enezuela en el&mito econ mico se da una;ariaci n de precios tal ue suscostos se incrementaron de lasi!uiente manera8 50\ del total sederi;a a la materia prima - ilos=tejidos= entre otras = 40\ del costototal se deri;a a la mano de o ra ylos !astos !enerales su7ren= enconsecuencia= un incremento deldiez por ciento respecto. %i las!anancias reportadas lle!an a ser el 30\ del costo. 9allar el tantopor ciento en ue se incrementa elprecio de ;enta de los art?culos de

Aritmética 43



Primer Año

con7ecci n ue produce la 7a ricaantes mencionada.

R"ta.-1 ) Al ;ender un determinado art?culo

se acen descuentos sucesi;os del10\ y 20\ pero aKn se !ana el20\. 9allar el costo de dic oart?culo si sa emos ue al 7ijar enun inicio su precio el costo se da unincremento de 500 nue;os soles.

R"ta.-

17) %o re el precio de ;enta de unart?culo se re ajo el 20\ del 30 \y aKn uedar& un mar!en de!anancia del 40\ del costo.9allar el precio de ;enta ue sedijo si el precio de costo 7ue s<. E4000

R"ta.-

18) n una o7erta un comerciantedisminuye el precio de un art?culoen 25\= por tal moti;o la demandaaumenta en un 60\Q n ueporcentaje ;ar?a la recaudaci n

R"ta.-

19) %i compro un li ro para= despu$sde leerlo= lo ;endo o teniendo20\ de utilidad G aciendo pre;iodescuento de 20\ ( D 9allar elporcentaje ue se de e re ajar elprecio inicialmente 7ijado para ue

pueda o tenerse el 14\ del preciode costo.

R"ta.-1 ) i ermano ;ende a su ami!o el

usurero un arte7acto al uedescuenta el 10\D pero antesde concretarse la ;enta cam iade idea y le recar!a el 10\Dpero 7inalmente ;uel;e ae7ectuar el descuento del 10\de manera tal ue se lle!a apa!ar 'E10 nue;os pesos.9allar el precio ori!inal.

R"ta.-

1;) i ermano desea promocionar las ;entas de BCarta!oRepresentaciones %.A.C.o7reciendo para la ocasi n undescuento del 20\D pero comoen realidad no uiere re ajar elprecio= de e entonces acerlesun incremento pre;io a estosQ n ue porcentaje lo ar&

R"ta.-

2<) Xiomara a ;endido sucamioneta itsu is i onteroo teniendo el 60\ de la ;entacomo utilidad. %# lo u iera;endido !anando 60\ del costoa r?a perdido 11340 soles.

9allar el costo inicial de lacamioneta.

Aritmética 44



Primer Año

R"ta.-

Aritmética 45



Primer Año


1) uise ;ender una Radio conun recar!o del 15\.#nicialmente se pensa a !anar el 20 por ciento del costo m&sel 25\ de la ;enta. %i7inalmente lo!r$ una utilidadneta de 25 200 euros. 9allar elimporte por el recar!oimpuesto a la Radio.

a 6000 6600 c "200d 6300 e 13200

2) Alessandro decide ad uirir 15piezas de tela de 30 metroscada una a s<. 25"=6 el metro=de manera tal ue pretendeo tener un ene7icio 7inal del25\ del precio de compra. %ia ;endido ya unos 2"0metros de tela a s<. 230 elmetro. QA c mo a de ;ender el metro de lo restante parao tener el ene7icio ue se apropuesto .

a s<.350 s<.3'0 c s<.400d s<.420 e s<.460

() Cuando se concreta eltraspaso de un o jeto!an&ndose el 30\ del costose !ana unos s<. 6000 m&s

ue si se ;ende !anando el20\ del precio de ;enta= QAcomo se de e ;ender dic oo jeto para !anar el 30\ delprecio de costo m&s el 20\del precio de ;enta .

a 1'5000 1E5000c 1E0000 d 1"5000e 1'0000

) e un !rupo de personas= el"5\ de $stas son a7icionadasal cine de Ciencia 7icci n= 50personas lo son de pel?culasdram&ticas y el 10\ restanteson a7icionadas a am aspel?culas a la ;ez. Calcular elnKmero total de personas y elnKmero de estas ue sona7icionados= a la ;ez= deldrama y la ciencia 7icci n.

a 100D10 200D20c 200D10 d 400D20e M.A.

7) Fn empleado del inisterioPK lico lle!a a multiplicar elcosto de un art?culo por un7actor BN de modo ue lle!a a7ijar un precio de listaD as?=aciendo incluso un

Aritmética 46



Primer Año

descuento del 25\. se lo!ra!anar aKn el 40\ del preciodel cual se lle!a a ;ender .9allar BN .

a 20<E 20<13 c 20<11d 21<20 e 32<20

8) e las minas BAntamina yBbanacoc a se e:trae co reDel de la primera se da un 65\de co re = mientras ue el dela se!unda= un 54\. %i semezclan am os minerales uese e:traen= en el d?a= de cadamina= se o tiene un mineralue posee un 60\ de Co re.%i la e:tracci n de la toneladam$trica se co re del primer mineral cuesta unos [ 1"=50 ydel se!undo= [ 14="5 y en la;enta se lo!ra un ene7iciototal a los 2<11 de los !astosde e:tracci n. Calcular lacantidad e:tra?da de cadamina durante el mes deMo;iem re= si sa emos ue

en dic o mes se a lo!rado!anar apro:imadamente[ 3E00.

a 1' y 15 tn. 35 y 25c 24 y 25 d 12 y 10e 24 y 20

9) Mo uise ;ender una casa= apesar de ue me o7rec?an por ella [ 3'40D con lo cual!anar?a el 2'\ del costo= perotiempo despu$s lle!u$ a;enderla por [ 3"50 Q u$tanto por ciento del costo !an$al acer la ;enta .

a 40\ 35\ c 30\d 25\ e 20\

) Fn om re ;endi dosca allos co rando s<. 5400 por cada uno. n uno de ellos!an el 20\ de lo ue le costoy en el otro perdi el 20\ delo ue le costo QCu&ntoperdi .

a 200 soles "26 c 450d E15 e 13E

;) *end? dos casas a s< "200cada unaD si en una perd? el25\ de la ;enta y en la otra

!an$ el 25\ del costoQCu&nto perd? .

a s<.166=E6 s<.16"c s<.166 d s<.166="6e s<.166=56

Aritmética 47



Primer Año

1<) Fna persona dispuso de s<.600 de la si!uiente manera8 el30\ los in;irti en li ros= el12\ en paseos= el 1'\ enropa= el 15\ en limosnas y elresto lo reparti en partesi!uales a tres parientesQCu&nto reci i cada uno deellos

a s<.50 s<.40 c s<.30d s<."0 e s<.'0

11) Fn om re= al morir= disponeue su 7ortuna se dispon!a dela si!uiente 7orma 8 de los 20000 d lares ue ten?a en ;ida=el 35\ es destinado a suermano mayor D el 40\ = a suermano menor y el resto a unasilo Qcu&nto le correspondeal asilo .

a [<.'"00 [<."'00c [<."0'0 d [<.'0"0e [<."00'

12) l precio de un o jeto es de

s<.'E" D si la !anancia ruta esdel 15\ del costo y la!anancia neta 7uese s<.E".QCu&l es el !asto ue lle!a aocasionar la ;enta del o jeto .

a 15 soles 1' c 20

d 33 e 451() 9allar el costo ue posee un

o jeto si se sa e ue al;enderlo en 16 d lares sepierde un porcentaje i!ual alcosto.

a 15 soles 1' solesc 33 soles d 20 soles

e 6" soles

1 ) Al ;enderse un art?culo seo ser;a ue el precio de costom&s la ;enta representan el120\ de la utilidad. %i elart?culo se ;endi a 11 milsolesD 9allar el precio decosto.

a 200 soles 600c 400 d '00

e 1000

17) %e 7ija un precio a un reloj demodo ue se !ana el 25\ delcosto. %i se descuenta el 25\del 16\ de la ;enta. 9allar ele ui;alente de la !anancia.

a 16\ Pc. 1"\ c 1'\d 1E\ e 20\

Aritmética 48



Primer Año

E e "lo: 9allar el promedio >eom$trico ue resulta de la sucesi n8 10D12 D 15 D 1E

60=13>.P1E.15.12.101E.15.12.10>.P 2 24 ≈→=

III) Pro e%io Ar ónico 9.P ).-s el ;alor num$rico ue resulta de la in;ersa de la suma de los

Rec?procos de cada t$rmino de la sucesi n ue ori!ina un promedioaritm$tico.

n4321n321 a1

.....a1

a1

a1

a1

nP9

na1

.....a1

a1

a1

1P9

++++++++=

n321

n321a...aaa

a......a.a.a.nP9

+++=

E e "lo : 9allar el promedio Arm nico de los t$rminos de la sucesi n810 D 12 D 15 D 1E

E4=E9.PD1E151210

1E.15.12.10.49.P 1ED15D12D10- =

+++=

IF) Pro e%io Pon%era%o P.P )

%e presenta cuando una de las cantidades= o ;arias de las cantidades= serepiten en un nKmero mayor o i!ual a 2 ;eces. @os Par&metros deponderaci n indican un ;alor adicional a ciertas cantidades respecto deotrasD ejemplo8 pesos= medidas= cali7icaciones= etc. Como ya loindicamos= el promedio Ponderado puede ser8

Aritmética 51

B l nKmero de t$rminos de la sucesi nmultiplicado por el producto de esost$rminos y el producto es di;idido en lasuma de los t$rminos de la sucesi n )



Primer Año

Aritmética 52



• a1 D a2....aL 8 ,$rminos de lasucesi n.

• m DnD....z 8 Par&metros dePonderaci n -mDnD...Dz M

Primer Año

1) Pro e%io Pon%era%o Arit !tico PA.P ):

z...nmza....namaPPA L21

++++++=

2) Pro e%io Pon%era%o 'eo !trico P>.P )

z...nm zL

n2

n1 a.......a.aPP> +++=

() Pro e%io Pon%era%o Ar ónico P9.P )

• E e "lo: %e compran las si!uientes cantidades de azKcar a los

correspondientes precios ue se indican a continuaci n= 30 N!. a s<. 1=5cada Lilo D 20 N!. a s<. 1=2 cada Lilo D 10 N!. a s<. 1=6 cada Lilo. Calcular elprecio promedio de la mezcla8

641=1.<sP.PD102030

6=1-102=1-205=1-30P.P =

++++=

Pro"ie%a%e& 'enerale& %el Pro e%io.-

I) Para el "ro e%io Arit !tico A.P ):

1)%i el promedio de una serie de ;alores su7re un aumento o disminuci n desu ;alor es por ue cada uno de los t$rminos de una sucesi n a su7rido elaumento o la disminuci n= respecti;amente= de su ;alor en una ciertacantidad.

tetanconsNPPA La.....DDLaDLa- n21 =•=±±±

Aritmética 53

• #on%e : a≠ a2 ≠ a3 ≠.... ≠ aL

z-a1....n-

a1m-

a1

z...nmPP9

L21+++

+++=

• #on%e : P.P =

{ } ;ecesm

11n aD......aa =

;ecesz

nn;ecesn

22 aD....aDaD....a



Primer Año

• E e "lo:

l promedio de 3 nKmeros es 30D si cada uno de ellos su7re unincremento de 3 unidades QCu&l ser& el nue;o promedio

%ean los nKmeros A D T y C D donde8 E0CT A303

CT A =++=++

%i se da ;ariaci n8

l nue;o promedio es ) 33

2)%i cada uno de los t$rminos de una sucesi n es multiplicado o di;idido su;alor por una misma cantidad= entonces el ;alor del promedio se ;er&

multiplicado o di;idido por esa misma cantidad.

LPPADL<PPA LnaD......L3aDL2aDL1a-Lna

D......L3a

DL2a

DL1a

- ==

• E e "lo: el ejemplo anterior8,) %ean los nKmeros A D T y C donde 8

E0CT A303

CT A =++=++

%i se da la ;ariaci n8

3<E0E0unocadaa3entrei;idiendo

30CT A-3<1pero=E03C3<T3< A3<CD3<TD3< A =++=++

l nue;o promedio ser?a8 30P =

Aritmética 54

A 3 D T 3 D C 3 A T C E3

A T C3

3 ) 3 0 3

3 0



Primer Año

e la propiedad -#* 8'D4-'D4-'D4-'D4- 9.6249.A> ==

le;ando al cuadrado8 3<1699632 'D4-'D4- ==Compro ando8 3<169D'4<'-4-29 'D4-'D4- =+=- emostraci n .

Aritmética 56



Primer Año


1) B alumnos rindieron un e:amen.espu$s de la cali7icaci n se ;ioue la nota promedio de losalumnos de dic a secci n 7ue BPpara los alumnos apro ados y Bpara los alumnos desapro ados-entre ellos . %i la nota promediode los alumnos ue rindieron une:amen -los B alumnos 7ue BZQCu&ntos alumnos a r&napro ado el e:amen

R"ta.-2) Fn indi;iduo a !anado en 4 d?as 8

" soles el primer d?a D 4=40 soles else!undo d?a D el tercer d?a= E solesy 10 soles al 4to d?a. QCu&l es su!anancia mediaR"ta.-

() Fn om re camina duranteunos 5 d?as de la si!uientemanera8 12 Lil metros al primer d?a= 14 Lil metros durante el 2dod?a= 16 Nm. el tercer d?aD en elcuarto d?a recorri 20 Lil metrosy el uinto d?a lo!ro caminar 23Lil metros QCu&l ser& ladistancia recorrida por d?aR"ta.-

) l promedio arm nico de 10nKmeros es 5 D el promedioarm nico de otros 20 nKmeros es10 y el promedio arm nico de 30nKmeros es 6. 9allar el promedioarm nico de los 60 nKmeros.R"ta.-

7) @a media aritm$tica y la media!eom$trica de 2 nKmeros est&n en larelaci n de 25 a 24 QCu&l es larelacin !eom$trica de los nKmerosR"ta.-

8) @a media aritm$tica de 25nKmeros es 2"D si a cada unode los nKmeros se les multiplicapor 6 y lue!o se les adicionaunas uince unidades= el nue;opromedio aritm$tico ser&8R"ta.-

9) %e a esta lecido una prue ade personal a los empleados de

A;?cola %an Iernando= cuyosresultados indican ue los 26om res ue la oran all? tienenunos 2" aSos como edadpromedio QCu&l ser& el nKmerode mujeres ue la oran en la

A;?cola = si la edad promedio deltotal del personal ue la ora endic o centro de tra ajo es deunos 26 aSos -edad promediode mujeres 8 25 aSosR"ta.-

) l promedio de notas de lapromoci n 2002 G ## de laIacultad de #n!enier?a inera=>eol !ica y etalur!ia de laFni;ersidad Macional de#n!enier?a es de 13='. %i elpromedio de los alumnos es de14=2 y el de las alumnas es de13=5 Q n ue relaci n estar&determinado el nKmero dealumnos y el nKmero dealumnas -nKmero total ue

estudian en dic a 7acultadR"ta.-;) %i P es el promedio

!eom$trico de 40 nKmerosentero positi;os de 2 ci7ras y es

el promedio !eom$trico delos 60 nKmeros G de 2 ci7ras Gsi!uientes QCu&l ser& elpromedio de los 100 nKmerosconsiderados

Aritmética 57



Primer Año

R"ta.-

1<) l promedio Aritm$tico de 51nKmeros naturales consecuti;oses i!ual a "5 D si para ue elpromedio aritm$tico de losnKmeros ue uedan= lue!o dea erse eliminado dos de ellos=sea "4 QCu&les son esosnKmeros -considerar esosnKmeros como consecuti;os

R"ta.-

11) @a di7erencia ue se esta leceentre las in;ersas de lospromedios aritm$ticos yarm nicos de dos nKmerosconsecuti;os est&n en larelaci n de 6 a 1 respecto a ladi7erencia de la media arm nicay la media aritm$tica de dic osnKmeros Qcu&l ser& la media!eom$trica de esos nKmeros

R"ta.-

12) adas la media aritm$tica=!eom$trica y arm nica de 2;alores y M se a7irma losi!uiente8

• @a media !eom$trica 7orma unaproporci n !eom$trica con la mediaarm nica y la media aritm$tica.

• @a media arm nica es mayor o

i!ual ue la media !eom$trica yesta es a su ;ez mayor o i!ual uela media aritm$tica -cuando y Madoptan ;alores ne!ati;os .

• %i la media aritm$tica= la media!eom$trica y la media arm nicaadoptan un mismo ;alor=entonces y M toman adem&sel mismo ;alor

QCu&l de estas a7irmaciones esla correcta

R"ta.-

1() %i>lay12> EnD"m-nDm- == ++

siendo n mayor ue m D y %i m yn adoptan ;alores enterospositi;os. 9allar n G m

R"ta.-

1 ) l costo de 2 art?culos deprimera necesidad es tal ue elproducto de esta lecer los 3promedios -aritm$tico =!eom$trico = arm nico de estosart?culos G Respecto a suscostos G es 512. %i uno de lostres promedios de los costos de$stos dos art?culos es 6=4 QCu&les el mayor de dic ospromedios y Cual es su ;alor

R"ta.-

17) n un arrio popular u icado enel distrito limeSo de *illa ariadel ,riun7o se a esta lecidouna encuesta a unas ;einte7amilias= concerniente al in!resoecon mico de cada una deellas= si oc o 7amilias perci enunos 1'0 nue;os solesD 67amilias su sisten con 1E0

solesD 3 7amilias G del mismoarrio G tienen un in!resoe ui;alente a la suma de loperci ido por las catorce7amilias anteriormentee;aluadas menos 1"0 nue;ossoles D y las tres 7amiliasrestantes reci en unos 500nue;os soles en la relaci n de

Aritmética 58



Primer Año

12 a 13 a 7a;or de una de esastres ultimas 7amilias QCu&l es el

in!reso promedio por 7amiliaR"ta.-

18) @a edad promedio de BPalumnos estudiantes de uintoaSo de secundaria del cole!ioariano #!nacio Prado es de BNaSos= siendo todos ellos menor de B aSos. QCu&l ser& lam?nima edad ue de er?a tener=por lo menos= uno de esosalumnos

R"ta.-

19) %e reKnen despu$s de muc otiempo cinco ermanos= dondelas edades de tres de ellos son" D 13 y 15. l promedio de lasedades su7re un incremento de

4=1 aSos si se prescinde en elc&lculo= de las edades de lastres edades nom radas 9allar el promedio arm nico de lasedades de las otras dospersonas si se toma en cuentaue el producto de esas dos

edades es 252.

R"ta.-1 ) @a media de las edades de dos

personas= las cuales se di7erencianen 20 aSos est& en relaci n de

msm +

con la media arm nica de

esas 2 edades Calcular la mayor de las edades.

R"ta.-1;) @a di7erencia de los in!resos de

dos personas ju iladas por laley 1EEE0 y 20530 del %istemaMacional de Pensiones es des<.36. %i la suma de la mediaaritm$tica y la media !eom$tricade am os in!resos es 162QCu&l es el mayor in!reso

R"ta.-2<) n una 7a rica Reproductora de

iscos Compactos -C y deiscos de ;ideo i!ital - *

se ela or la ta la mostrada acontinuaci n8

Tipo deObreros

Pagopor día

(s/.)

Díastrabajados por

Unidad deProducto

MoCali7icado

15 2 5

%emiCali7icado

20 3 3

Cali7icado 30 5 6C *

%e pide determinar el costopromedio de la mano de o ra Gpor d?a G para ue la producci nde C y * sea posi le.R"ta.-


1) Para una competencia decanotaje se toma en cuenta uela ;elocidad promedio de las

a!uas del R?o %anta= en lostramos Caraz G bun!ay= bun!ay

Aritmética 59



Primer Año

G Car uaz y Car uaz G Recuayes de 20D 40 y 30 Lm< .

Adem&s= se considera ue eltramo Caraz G bun!ay y el tramobun!ay G Car uaz est&n en larelaci n de 1 a 2 y el tramoCar uaz G Recuay es= en lon!itud=dos ;eces mayor ue la lon!ituddel tramo Caraz G bun!ay.Calcular la ;elocidad promedio delas a!uas del R?o %anta en eltramo Caraz G Recuay.

a 30=0 Lm< 2'=0 c 25='d 32=5 e 3'=4

2) l promedio o tenido al analizar oc o cantidades es 1"<'.Calcular el m&:imo ;alor uepodr?a tomar= por lo menos= unade esas cantidades= si sa emosue nin!una de ellas es menor ue la semisuma de la menor yde la mayor entre estas7racciones8 2<3 D 6<" D Y D 4<".

a 4'<1" 13<' c 51<'d 4E<4 e 50<11

() n el aula Ic( 102 de laIacultad de ,ecnolo!?a de laFni;ersidad Macional deducaci n B nri ue >uzm&n y*alle G @a Cantuta= la edadpromedio de los estudiantes esBe aSos. %i = a su ;ez= la edadpromedio de los estudiantes;arones y las estudiantesmujeres es B; y Bm aSos.

Calcular el porcentaje de lasestudiantes mujeres respectode los estudiantes ;arones en lamencionada secci n.

a \100.em;e

−−

\100.;e;m

−−

c \100.mem;

−−

d \100.m;me

−−

e \100.eme;

−−

) l promedio de un conjunto de;alores num$ricos es BP . %i seeliminan unos 31 ;alores cuyasuma es 52"= el promedio delos ;alores ue uedan no sealtera. Para ue este promediono se altere se de en a!re!ar unos " nue;os ;aloresnum$ricos= de tal modo ue lasuma de estos sea8a 123 11E c 11'd 111 e 106

7) n la si!uiente serie num$rica 81 D 3 D 2 D 6 D 3 D E D 4 = 12 D 515D........D 3n QCu&l de e ser el

;alor de Bn = de tal modo ue elpromedio aritm$tico de la seriesea mayor ue 11E=2 y menor ue 120=1a 131 625 c 12'd 11E e 41E

8) 9allar la cantidad de pares denKmeros enteros donde secumple siempre ue el productode sus tres promedios es 25004".

a 5 6 c "d ' e E

9) Fno de los !uardias de se!uridadde la estaci n del ,ransmilenioo ser;o= mientras camina a a lolar!o de la ;?a del ,ren ue cadauince minutos lle!a a asta suposici n uno de los trenes= y cadacinco minutos= el otro tren pasa apor su posici n en la direcci n

Aritmética 60



Primer Año

contraria si el !uardia de se!uridady cada uno de los trenes sedesplazan con ;elocidad constante. 9allar el inter;alo de tiempo enue dic os trenes sal?an de lasestaciones terminales del,ransmilenio.

a 6 min. "=5 c Ed 12 e 14

) #ndicar el ;alor de ;erdad o de7alsedad en cada proposici n8i l promedio de G 5D ('D (10D

12 y 11 es i!ual a cero.ii Para 2 cantidades=

Knicamente= se cumple ue la

9y>%iendoD>9:A =

sus promedios8 aritm$ticoD!eom$trico y arm nico.

iii %i la media aritm$tica y lamedia arm nica de doscantidades son=respecti;amente D 2=5 y 6=4Dentonces la media!eom$trica de dic ascantidades es i!ual a 4.

a *** I** c *I*d **I e III

;) Ale:ander se $sta preparandopara cali7icar= en atletismo= paralas olimpiadas de Atenas 2004.Wos$ Antonio= su ;ecino yami!o= desde la in7ancia= leo ser;o durante tres d?as=o teniendo as? los si!uientesdatos8urante el primer d?a8 Recorritres tramos con ;elocidades ueson proporcionales a 11 D 12 D y13 empleando cada uno de lostramos el mismo tiempo.urante el se!undo d?a8Recorri G tam i$n ( trestramos de la misma lon!itud

entre s?= con ;elocidades ueson proporcionales a 2 D 3 y 6.

urante el tercer d?a 8 Recorrilos primeros 500 metrosempleando unos cuatrominutos= lue!o otros 500 metrosempleando tres minutos yempleo 5 minutos para losKltimos 200 metros.

Adem&s= Wos$ Antonio pudodarse cuneta ue con las;elocidades promedio de

Ale:ander= de los tres d?as= sepuede 7ormar una proporci n!eom$trica continua.Calcular la suma de las;elocidades promedio si $stasson las menores posi les.

a 154 163 c 1"0d 1'' e 1E6

1<) Fn trailer de 6 ruedas de e recorrer el ,rayecto @ima G ,um es -1040Nm. D si es ue lle;ase un

compartimiento posterior y utilizase=adem&s las ruedas del repuestoue lle;a dic o compartimientoDcada rueda recorrer?a unos E140Nm. G promediando ( D pero si lle;aun compartimiento adicional alanterior= el Recorrido promedio decada rueda ser?a de ''0 Nm.empleando las ruedas de repuestode dic o compartimiento tam i$n.

Calcular el nKmero total de ruedasue lle;a a cada compartimientodel trailer en menci n.a 24 3 c 1"d ' e 10

11) Al calcular el promedio!eom$trico de tres nKmerospares y consecuti;os se o tiene13=' D.....D y al calcular elpromedio arm nico de tres

Aritmética 61



Primer Año

nKmeros impares consecuti;oses 14='.QCu&l ser& el p.

Aritm$tico de los seis nKmerosantes mencionados

a 13 13=5 c 14d 14=5 e 15

12) %i la di7erencia entre la mediaaritm$tica y la media !eom$tricaest& comprendida entre 5 y " Gsiendo un nKmero entero D y=adem&s= el cociente de la di;isi nentre los nKmeros in;olucrados enlas operaciones anteriormentemencionadas tiene al!una relaci ncon la di7erencia de esos dosnKmeros -2 = ue est&ncomprendida entre 20 y 30 QCu&lser& dic o cocientea 11 10 c Ed ' e "

1() %ean : D y D z D A cuatro ma!nitudesue !uardan relaci n deproporcionalidad= de tal modo ueen el si!uiente recuadro8

X ' 10 12 6 12 m "b 12 15 1' 1' 1' 15 P/ 5 5 5 10 10 12 10

A E E n n 4n 36 "2E

Calcular8 m G n P

a 15 16 c 1"

d 1' e 1E1 ) ,enemos dos ma!nitudes # y =

de tal modo ue

• %i ≤ E # - P .• %i E≤ ≤ 36 # -#P .• %i ≥ 36 #2 -#P . Adem&s

= cuando # ) ' D ) 3 D ycuando # ) : ) '1

%i B7 es una 7unci n deproporcionalidad tal uecumple8 7 -5 7 -: ) "2D

Calcular 7-3 : 7 -3<4 : 7 -5<16

a 360 420 c 4'0d 540 e 600

17) Calcular BL si es ue secumple ue el promedio de losBL t$rminos de la serie 8

∑=++

L

1i2L-1L-L es i!ual a

2310.

a 20 1E c 1'd 1" e 16

Aritmética 62



Primer Año

TEMA: MA'NIT #ES PROPORCIONA6ES

Intro%+cción.-

@as de7iniciones de las ma!nitudes proporcionales= como ac&pite de la teor?adel Reparto Proporcional= tienen car&cter estrictamente matem&tico por uelos conceptos de las ma!nitudes G sean directa o in;ersamenteproporcionales G no se cumplen siempre en el an&lisis matem&tico.

Conce"to& Pre io&.-

1) Ma=nit+%: s todo a uello ue tiende a su7rir al!Kn tipo de ;ariaci nproporcional y es usado como patr n de medida de cierta unidad. jem.8asa - D @on!itud -@ y ,iempo -t

2) Canti%a%:s toda a uella unidad con el cual se limita cuantitati;amenteel ;alor de una ma!nitud jem.860 N!. D 200m D 3's. Fna cantidad= por sunaturaleza= puede ser8

a) Canti%a% Con&tante: A uella cantidad ue tiene un ;alor 7ijo odeterminado. jem.8 l costo de la edici n diaria de un peri dico.

) Canti%a% Faria le: A uella cantidad cuyos ;alores se alteran. jem8l costo de una cierta cantidad de Nilo!ramos de AzKcar.

() /+nción $): %e dice ue una cantidad es 7unci n de otra cuando dic acantidad -la primera depende de la otra cantidad -la se!undaNotación : B 4 $ J) la primera cantidad= por tanto= es ;aria le respectoa la se!unda.

Conce"to %e Ma=nit+%e& Pro"orcionale&.-%on las comparaciones ue se esta lecen entre los ;alores ue adoptan un!rupo de ma!nitudes mayor o i!ual a 2 D teniendo una relaci n ue por naturaleza puede ser directa o in;ersa entre s?. Por tanto las a!nitudesProporcionales pueden ser8

1 a!nitudes Proporcionales irectamente.

2 a!nitudes Proporcionales #n;ersamente.

Aritmética 63



• /+nción %e "ro"orcionali%a%#irecta:%i y ) 7-: y ) L-: 7-: ) L-:y ) *aria le ependienteL ) Constante: ) *aria le #ndependiente

KSi A a+ entaD 5 a+ enta Si A%i& in+BeD 5 %i& in+BeL

• #on%e: a1 ≠ a2 ≠ a3 ≠....an ≠ 1 ≠ 2 ≠ 3 ≠.... n ≠

- +σ=σ RDtetancons

Primer Año

I) Ma=nit+%e& Pro"orcionale& #irecta ente o Ma=nit+%e& #irecta entePro"orcionale&%e esta lece cuando 2 mas cantidades su7ren la misma ;ariaci nproporcional= 1D 2D 3D......D Bn ;eces respecto a su ;alor ori!inal= es decir=si una de ellas se multiplica o suma y<o resta o di;ide la misma constanteDla otra su7rir?a= respecti;amente la misma ;ariaci n.

Pro"ie%a% $+n%a ental: B os cantidades ser&n directamenteproporcionales si y solo si el cociente de esos dos nKmeros sea unacantidad constante -constante de proporcionalidad

jem.8 %i -10<5 )2 y -'0<40 ) 2 entonces 10 -dp 5 y '0 -dp 40

- irectamente Proporcional

'r>$ico: P+nto& Colineale&#i&contin+o& -no incluyen al ori!en

E e "lo: l nKmero de o reros con la di7icultad de la o raD la ;elocidadcon la distanciaD la o ra con el rendimiento D etc.

Aritmética 64

(

(

(12

aa

a

D

1

2

n

n

-

-2

2a

1 D1a

A

T

N ) , !

D- n an

+

a ! n i t u d e s * a lo r e s P o s i l e s

1 2 3a a a aD . . . . . .D D

D D D . . . . . .1 2 3 n

A

Tn

J p e r a c i n a t e m a t i c a



• #on%e: a1 ≠ a2 ≠ a3 ≠....an ≠ 1 ≠ 2 ≠ 3 ≠.... n ≠

- +σ=σ RDtetancons

• /+nción %e "ro"orcionali%a%Iner&a:%i y ) L̂ <: y ) 7-: 7-: ) L -̂1<: y ) *aria le ependiente L̂ ) Constante : ) *aria le ependiente

O &. @as &reas ajo la !r&7ica de la

ma!nitud in;ersamente proporcionalson siempre i!uales.

• 3 4 Potencia de #n;ersin constante

Primer Año

II) Ma=nit+%e& %e Pro"orción Iner&a o Ma=nit+%e& Iner&aente Pro"orcionale&%e esta lecen cuando 2 mas cantidades su7ren ;ariaci n opuesta

proporcional 8 1 D 2 D.... D Bn ;eces respecto a su ;alor ori!inalD es decir= siuna de ellas se multiplica o suma con una constante= o si se resta odi;ide con una misma constante D la otra su7rir?a la ;ariaci n opuesta= esdecir= se di;ide o resta y<o suma o multiplica respecti;amente.

Pro"ie%a% $+n%a ental: B os cantidades ser&n in;ersamenteproporcionales si y solo si el producto de esas 2 cantidades sea i!ual auna cantidad constante -potencia de in;ersi n

jem.8 %i 1' . 4 )"2 y 6 . 12 )"2 entonces 1' -ip 5 y 6 -ip 12

-#n;ersamente Proporcional

'r>$ico: i"!r ola E*+il>teraA&0ntota A la& 5a&e& E e&)

1

2

a

a

a

n

n

A

T

(

(

(

(

(

a3

4a

1 2 3 4

s1

D- a n

D- a

D- a

D- a

D- n a

1

2 4

3 3

4 2

1

N ) %^

Si A a+ entaD 5 %i& in+Be. Si 5 %i& in+Be A a+ enta

Aritmética 65

a ! n i t u d e s * a l o r e s P o s i l e s

1 2 3a a a aD . . . . . .D D

D D D . . . . . .1 2 3 n

A

Tn

# n ; e r s a d e J p e r a c i n a t e m a t i c a

1 <



Primer Año

E e "lo: MKmero de o reros ;s Rendimientos= nKmeros de o reros ;s.,iempoD ;elocidad ;s. ,iempoD nKmero de o jetos ;s. CostoD etc.

O &. @as ma!nitudes proporcionales pueden 7ormar proporciones a partir de supropiedad 7undamental y= por lo tanto= cumplen con todas las propiedades delas Proporciones >eom$tricasD de este modo8

• %e 7orman proporciones de acuerdo a la naturaleza de la ma!nitud -%i esdirectamente proporcional sin in;ertir al!una de ellas.

• %i la ma!nitud es in;ersamente proporcional= se 7orman proporcionesin;irtiendo una de ellas.

Pro"ie%a%e& %e la& Ma=nit+%e& Pro"orcionale&.-

1 B%i dos cantidades son in;ersamente proporcionales entre s? entoncesuna de esas cantidades es directamente proporcional a la in;ersa de laotra cantidad .

%i A -ip T A -dp -1<T

2 B%i dos cantidades son directamente proporciones entre s? entonces unade esas cantidades es in;ersamente proporcional a la in;ersa de la otracantidad

%i A -dp T A -ip -1<T

3 B l orden donde se u ican las cantidades no altera la ma!nitudproporcional .

%i A -dp T≈ T -dp A y A-ip ≈ T -ip A

4 B%i dos cantidades son directa o in;ersamente proporcionales entoncestodas las potencias de dic as cantidades tam i$n ser&n directa oin;ersamente proporcionales .

Aritmética 66



Primer Año

%i A -dp T An -dp Tn D donde 8 n / A -ip T An -ip Tn

5 B%i dos cantidades son directa o in;ersamente proporcionales entre s?=entonces todas las ra?ces enteras de dic as cantidades ser&n=respecti;amente= directa o in;ersamente. proporcionales .

nn

nn

Tip- ATip- A

/nDdondeTdp- ATdp- A%i

6 %ean 3 ma!nitudes8 AD T D C%i A -dp T -c ) cte y %i A -dp c -T) cte = entonces A -dp T G C

%i A -dp T -c ) cte y %i A -ip c -T) cte = entonces A -dp T G C(1

Tran& i&ione&.-

1) Tran& i&ión "or $a a& o correa&:

5 1 5 2

Z

C a d e n a

C a t a l i n a

P i n- d i e n t e

P i S o n

R

R e l a c i o n % e T r a n & i c i ó n

nR a d i o

n K m e r o d e d ie n t e s

5 i& m e t r o - 5 ) 2 R

O d e ; u e l t a s

1R1 Z 2

2

Z

5R

)

)))

5 1

5 2

Z 2

Z 1)

Aritmética 67



Primer Año

2) Tran& i&ión "or en=rana e&:

R

% iR 2n

@ u e ! o 8

R12

1

2 Z

R2 R1 2 R2

1 n2

n1= -i p 21=

Z- 21= - 2n1= ) c t e

() R+e%a& +ni%a& "or +na $a a:

) Tran& i&ión "or en=rana e&:

21

3 4 ..........

% i H n H ) # P A R . > i r o e s i ! u a l

% i H n H ) P A R > i r o e s c o n t r a r i o - R e s p e c t o a l p r im e r o

Aritmética 68

I a j a

R1

R2

% iR n1 R2 1 n2)



Primer Año


1) ,enemos 2 ma!nitudes P y tales ue P es in;ersamenteproporcional a 2. %i P ;ar?a en22 unidades cuando aumentaen un 20\= si disminuye su;alor en un 25\ Q n cuanto;ariar?a PR"ta.-

2) %i el peso de 6 Lilates de oro cuestas<. 1E'00 QCu&l ser& el peso de unpedazo de oro ue cuesta 55 milsoles= si su precio y el cuadrado desu peso est&n en relaci ndirectamente proporcionalO &: 1 Lilate 0.25 !.R"ta.-

() A y T son ma!nitudes de maneratal ue se cumple8

A ip T2 -si T ≤ 24 D %i A ) 360= T ) ' A dp T2 -si T ≥ 24QCu&nto ser& el ;alor de Acuando T es i!ual a 600R"ta.-

) n el si!uiente !ra7ico 8 9allar8

((

(

R"ta.-

7) %e tienen 4 ruedas8 P D D R D % demodo tal ue las dos primeras tienenun eje comKn= la se!unda y latercera constituyen transmisi n= por en!ranajes y la tercera y la cuartatienen= tam i$n= un eje comKn.%i P !ira "5 RPs y % !ira 1<3 de loue !ira P QCu&ntos pines tendr& larueda si tiene 20 pines menos uela tercera ruedaR"ta.-

8) l ;olumen de un paralelep?pedorectan!ular es *D si susdimensiones todas ;aria les son D I Dy > para el anc o= el lar!o yla altura= respecti;amente. %i I es#P a y > no depende de = secumple ue8R"ta.-

9) B> es proporcional a 9 G # = B9 esproporcional a BW e B# esproporcional a W2. %i W ) 2 D > ) 4' ycuando W ) % D > ) 30 QCu&lesser&n los ;alores de W con loscuales > es i!ual a cero

R"ta.-

) @as proa ilidades de in!reso a la7acultad de ,eolo!?a= Ponti7icia y Ci;ilde @ima se e:presa en mododirectamente proporcional a los aSosde permanencia en su centro PreFni;ersitario y en modo proporcionalin;erso a la edad del postulante y a sucontrol emocional.%i Ale:ander tiene un !rado decontrol emocional en proporci n de 5a 2D respecto a onato= adem&s ue Ale:ander tiene una pro a ilidad dein!reso del 50\ a sus 1' aSos deedad y 2 aSos de estudios en elcentro Pre Fni;ersitario QCu&l ser& laposi ilidad de in!reso de onato si asus 15 aSos de edad lle;a 1 aSo deestudios en el centro PreFni;ersitarioR"ta.-

;) %i es i!ual a la suma de dosnKmeros de las cuales uno esproporcional a 2 y el otro esin;ersamente proporcional a 2 ypara ) 1 D ) 6 y si ) Yentonces ) E 9allar para ) √2R"ta.-

1<) l %er;icio Macional deeteriolo!?a e 9idro!ra7?a del PerK

Aritmética 70



Primer Año

(

(

(

R"ta.-

19) Considerando el si!uiente !ra7ico8

(

(

Considerando ue la producci nde una 7a rica se determina enmodo directamente proporcionalal nKmero de o reros ue estaposee -el primer an&lisis se diocon o reros e:perimentados ylue!o con o reros no;atosQCu&l ser?a la producci n uerealizar?an 60 o reros

e:perimentados y cuantoso reros nue;os se tendr?an uere uerir para producir con ellos1"60 art?culos

R"ta.-

1 ) Calcular : y en el presente!r&7ico8

A ' : bT 12 1' 36

((

(

R"ta.-

1;) os en!ranajes est&n unidos por medio de una 7aja de,ransmisi n. l primer en!ranajeposee 4' dientes y se mue;e a 30Re;oluciones por minuto y else!undo tiene 12 pin. %i el primer en!ranaje lle!a a dar 6 ;ueltas=allar el nKmero de ;ueltas ueda el se!undo en!ranaje y eltiempo ue est$ emplea.

R"ta.-

2<) %e tienen dos en!ranajes encontacto de las cuales uno deellos posee 12 pin y el otro eltriple nKmero del primero. %i el

primer en!ranaje da 3 ;eces m&smenos ' ;ueltas ue el se!undoen!ranaje QCu&ntas ;ueltas dar&$ste

R"ta.-

Aritmética 72



Primer Año


1) %i 7 -4 7 -6 ) 20= siendo 7 la7unci n de proporcionalidadD9allar el ;alor de si8 ) 7 -21<5 . 7 -5 . 7 -"

a 36"5 11"6 c 3240d 2425 e 5"60

2) n los si!uientes cuadros8

A 4 8 12( ! cte)

A 44 1"# 11$ % 18 2" 4 2 8

%i T es constante en else!undo cuadro y= adem&s secumple ue a ) 4 cuandoT ) 6 y C ) 3. Cuando T ) " yC ) 1. QCu&nto ;aldr& A .

a 36 40 c 42d 45 e 4'

() 9allar el peso de un diamante-en !ramos si su ;alor es de112=5 soles y= adem&s= undiamante de 6 !ramos ;ale unos"=2 soles y el ;alor del diamante=en am os casos= es proporcionalal cu o de su peso.

a 15!rs. 21 c 1E=23d 13=66 e E=24

) ,enemos 4 ma!nitudes de lascuales ueda indicado ue laprimera ma!nitud -@ ;ar?a enmodo proporcional directo conel cuadrado del ;alor de lase!unda ma!nitud - y alcu o del ;alor de la tercerama!nitud -M y en modoproporcional in;erso a la ra?zcuadrada del ;alor de la cuartama!nitud. el cuadro ue se

e:presa a continuaci n indicar el ;alor de R % -Cuantaa!nitud ) P

Ma=nit+%e& Canti%a%e&@ R 10' 324

% 2 4M 2R 3R %P 25 E 16

a 120 260 c 330d 415 e 4'0

7) l costo de un terreno u icadoen Ciene!uilla ;ar?a en 7ormain;ersamente proporcional alcuadrado del ;alor de ladistancia ue e:iste entre estey el centro de la Ciudad y;ar?a en 7orma proporcionaldirecta al ;alor de su &rea. %idic o terreno cuesta 500 mil7rancos suizos y otro terreno=de do le &rea= $sta situado auna distancia e ui;alente aldo le de la anterior= QCu&ntocostar& este Kltimo

a "5E'0 "4E00c 62"00 d 62500e 60200

8) Por medio de e: austi;osan&lisis estad?sticos se alle!ado a la conclusi n ue elrendimiento de cierto empleado;ar?a en 7orma directamenteproporcional al ;alor de sucociente intelectual y en 7ormain;ersamente proporcional alcuadrado del ;alor de su edad.%i Iernando= de 20 aSos deedad ace en promedio un total

Aritmética 73



Primer Año

de 25 mil empanadassemanales= se desea sa er a

u$ edad $l ar?a 24 milempanadas semanales si esue su coe7iciente intelectualaumenta cada aSo 10\respecto al ;alor ue ten?a a los20 aSos.

a 22 23 c 24d 25 e 26

9) @a cantidad de o reros ue sonre ueridos para la construcci nde un edi7icio est&n endependencia del ;olumen delconcreto ue es utilizado endic a o ra= del cociente dedi7icultad impuesto por los#n!enieros Ci;iles en su #n7ormeante la constructora= del nKmerode d?as y del nKmero de orasdiarias de la or.%i el ;olumen del concretoutilizado se reduce a sus 2<3partes= el nKmero de d?astra ajados -pactados en elcontrato se triplica y la cantidadde oras de tra ajo diarias seduplica = 9allar la relaci n en uese a r&n de encontrar losnKmeros de o reros re ueridosen am os casos.

a 1 8 15 1 8 20 c 1 8 30d 1 8 50 e M.A.

) ,res o reros de construcci nCi;il tra ajan en el Pro!rama B i*i;ienda . l propietario de lao ra otor!a uincenalmente una!rati7icaci n de 52 laresamericanos para repartirlos entrelos tra ajadores. n la uincenaen ue tra ajan Antonio yTartolom$ G 2 de los o reros Gcorresponde a Antonio el triplede la !rati7icaci n ue a

Tartolom$. n la uincena uetra aja Tartolom$ y Ce7erino=

$ste co ra el e ui;alente a untercio de la cantidad ue co raa u$l. QCu&nto co rar?aTartolom$ en la uincena en uetra ajan estos tres o rerosa 42 lares 36 c 12d " e 4

;) ,res ma!nitudes : D y D z esta lecenlas si!uientes relaciones8

X 1 ' 2" 64y 1 0=5 3=0 0=25 -z ) cte

X 1 2 3 4z 0=25 1 2=25 4

-y) cte%i se cumple ue z ) 16cuando : ) 4 y y ) E D cuandoy ) 3 y z ) 4 QCu&l ser& el;alor de B:a 36 54 c Ed '1 e 2"

1<) Fna ;aca ue esta atada a un&r ol por medio de una so!ade12m de lon!itud alcanza acomer unos 60 N!. de pasto. %ise alar!a la so!a unos 6 metrosm&s QCu&ntos Lilo!ramosadicionales lle!ar?a a comera 55 60 c 65d "0 e "5

11) e 2 Nilos de sal ue seintrodujeron en un recipientecon a!ua= al ca o de 2minutos se an disuelto unos'00 !rs. eterminar lacantidad ue uedar& por

Aritmética 74



Primer Año

disol;erse al ca o de 2minutos si se sa e ue la

cantidad de sal ue no sedisuel;e es in;ersamenteproporcional al cuadrado deltiempo e:presado en minutos.

a 300!rs. 250 c 200d 150 e 100

12) Fn Wu!ador BA de illar da 20caram olas para 100 a otro

ju!ador BT y $ste le da a BC 40caram olas para 100.QCu&ntascaram olas para 100 tendr?a uedarle BA a BC si es ue lle!asena en7rentarse

a 50 : 100 60 : 100c 52 : 100 d 40 : 100e 4' : 100

1() A y T son dos ma!nitudes ueson in;ersamenteproporcionales para ;aloresde T menores o i!uales a 50Dpero A es directamenteproporcional a T para mayoreso i!uales ;alores a 50. %i A esi!ual a '0 cuando T es i!ual a25D allar el ;alor de A cuandoel ;alor de T es 25.

a 60 12 c 64d 4' e "2

1 ) %e ;ende determinadacantidad de Jro en

determinadas condiciones deproporcionalidadD para un

peso de 13 !ramos= su ;alor es de 1'5E soles y si el peso7ue de 1" !ramos su ;alor ser?a de unos 31"E solesQCu&l ser& el precio de ;entade una 7racci n de Jro cuyopeso es de 20 !ramos

a s<.4100 s<.4200c s<.4400 d s<.5200e s<.5500

17) l precio de 2 Ru ?es ;ar?a comoel cuadrado del ;alor de su pesoDtres anillos G del mismo peso Gue tienen todos un Ru ? est&n;alorizados en A D TD C soles=pesando dic os Ru ?es 3 D 4 y 5soles= respecti;amenteD si elcosto por el tra ajo ue e7ectKaun joyero es el mismo para cadaanillo Q Cu&nto costar& un Ru ?ue pesa un Lilate

a 12

T A − +

2CT A −+

c T2

C A − + d

2TC A −+

e 3CT A ++

Aritmética 75



Primer Año

TEMA: INTER S SIMP6E

Intro%+cción.-

l ori!en de las transacciones comerciales en las ue estu;o in;olucrado elinter$s -tam i$n conocido como Fsura es incierto. l inter$s ue se aplicanen el comercio medie;al lle!a a asta un 43\ anual y el tipo de inter$s enuna operaci n comercial comKn ;aria a entre un 12\ y un 24\ anual.Cuando lle!o a 7undarse= en 140"= lo ue a r?a de ser el primer ancocomercial de la istoria= la casa de %an >ior!io de >$no;a= el inter$s ue seco ra a no e:ced?a el 10\.

Cuando una persona toma de otra cierta cantidad de dinero= a pr$stamo= acam io de pa!arle +na in%e nización o al uiler del dinero prestado encierto per?odo de tiempo = se dice entonces ue le pa!a +n inter!& acordadopor am as partes.

#e$inicione& Pre ia&

1) Pre&ta i&ta: a uella persona ue= pre;io con;enio= otor!a ciertacantidad de dinero -pr$stamo a otra.

2) Pre&tatario: a uella persona ue reci e la cantidad otor!ada por elprestamista. jem8 %i Wulio decide prestar a Pepe unos 20 d laresamericanos con un inter$s de 2 por ciento mensual= Wulio ar?a la la or deprestamista y Pepe= de prestatario.

() Monto : es la suma de la cantidad in;ertida con el inter$s.) Ca"ital : es la cantidad de dinero ue se in;ierte en una transacci n

comercial D es la cantidad so re la cual se impone el inter$s.7) Ta&a %e Inter!& : es el porcentaje de inter$s -en unidades monetarias

del dinero ue se a prestado.8) Tie "o : es el nKmero de per?odos en los cuales permanece el capital en

el ne!ocio.Conce"to %e inter!&.-

l inter$s es de7inido como la !anancia= la renta= el ene7icio o la utilidad uese produce por un capital= el cual a sido impuesto a una determinada tasade inter$s durante cierto tiempo.

Aritmética 76



Primer Año

E e "lo&:

1) QCu&l es la suma ue al 5 1<5 a producido 104 soles en ' meses. Aplicando la 7 rmula del Capital cuando el tiempo se e:presa en meses.

3000'-5<26-

104-1200C

t#1200

C ===

R"ta.- el capital es de 3000 soles

2) 9allar el inter$s de 600 soles al n3 Y en 4 aSos. Aplicando la 7ormula del inter$s en 7unci n al tiempo e:presado en aSos8

'4100

2<"-4-600-#

100Ct

# ===

R"ta.- el inter$s es de '4 soles

() %i 600 pesos 7ueron impuestos al 2\D produciendo 600 pesos. 9allar eltiempo en el cual dic o dinero estu;o in;ertido.

52-6000-600-100

tc#100

t ===

R"ta.- el dinero 7ue in;ertido durante 5 aSos.

Aritmética 79



Primer Año


1) Rudolp impone ciertacantidad como capitalD el cual=imponi$ndose esta al 12\trimestral lle!a a producir 1""0 soles menos= en 5meses= ue el mismo capitalimpuesto al 1'\ cuatrimestraldurante unos 160 d?as. 9allar dic o capital .R"ta.-

2) %i la suma de un mill n deyenes se di;idiese en dospartes= de modo tal ue al ser impuestos8 la primera parte aun "\ y la otra al E\ anualproduzcan am as partes elmismo inter$s. Calcular ladi7erencia ue e:iste entream as partes.R"ta.-

() Cierto capital de cuarenta milnue;os pesos estu;o impuestodurante cierto tiempo-e:presado en aSos= meses yd?as . Con el correr de los

aSos se co r un 5\ anualDpor los meses= un 4\ y por losd?as se lle! a co rar un 3\.Calcular la utilidad producidade manera total por dic ocapital= si sa emos ue lle! aproducir unos tres miloc ocientos cuarenta nue;os

pesos m&s ue si u ieracolocado todo el tiempo elcapital al 3\.

R"ta.-

) 9emos impuesto un capital acierta tasa y= oc o mesesdespu$s= produce un inter$se ui;alente al 40\ del mostoQ urante cu&nto tiempo de eprestarse dic o dinero paraue $ste= a la misma tasa deinter$s= lo!re !enerar unarenta e ui;alente al '0\ delmonto

R"ta.-

7) @os 5<E de un capital ueimpuso Paulo al 5\ mensual.n un ne!ocio de a arrotes =lle!a a producir al messi!uiente s<. 145 m&s ue elresto del Capital ue =curiosamente= a sidoimpuesto durante el mismo

per?odo de tiempo a la mismatasa de inter$s. Calcular el;alor del capital.

R"ta.-

8) Wuan Al7onso >arc?a lle!a apa!ar 4 li ras esterlinas al

Aritmética 80



Primer Año

mes por 4'0 li ras esterlinasue lle! a tomar en ipotecaso re una casa y PedroCarcuro pa!a 3 li rasesterlinas al mes por lasno;ecientas li ras esterlinasue tom en ipoteca so re

un solar. Calcular el mayor porcentaje -tasa de inter$sso re el cual se icieronam os pr$stamos y en cu&ntoe:cede una de las tasas deinter$s respecto de la otra.

R"ta.-

9) ario Rodr?!uez izo unpr$stamo de oc o mil liras al

6\ de tasa de inter$s y pa!unas 360 liras de inter$sDmientras ue %e asti&nRold&n lle! a acer otropr$stamo de "000 liras al 5\=de tal manera ue pa! 350liras de inter$s QCu&l de losdos seSores tard m&stiempo en de;ol;er el dinero y

cu&nto tiempo m&s .

R"ta.-

) Por un capital e ui;alente aoc o mil sucres prestado al'\= e pa!ado '0 sucres= deintereses. %i u iera pa!adode inter$s '5 1<3 QCu&ntotiempo u iera tenido yo eldinero .

R"ta.-

;) Fn indi;iduo presta a suermano unos 4500 solesdurante 13 meses y 10 d?asD yal ca o de ese tiempo= elami!o le entre!a 4"00 soles=importe del capital prestado yde los intereses acumulados.Calcular la tasa de inter$sanual con el cual se lle; aca o la operaci n.

R"ta.-

1<) i primo in;ierte en una minadel departamento de @a@i ertad unos 4500 soles al12\ anual yD transcurridostres aSos= 5 meses y ' d?as deiniciada= le entre!an el capitalprestado y sus interesesacumulados durante esetiempo QCu&nto reci ir& .

R"ta.-

Aritmética 81



Primer Año

11) ^;an le presta a su ami!ouna suma al 0=5\ anual y= alca o de dos aSos y 5 mesesel ami!o le entre!a s<.26610=importe del capital prestado ysus intereses acumuladosQ u$ suma presto ^;an a suami!o

R"ta.-

12) %e toma al 4 \ una suma el 3de a ril y el dos de julio delmismo aSo se de;uel;en '0'soles= importe del capitalreci ido y sus interesesacumulados durante ese

tiempo. QCu&l 7ue el capitalprestado .

R"ta.-

1() %e impone cierta suma al 14\anual y al ca o de dos mesesy diez d?as se retiran s<. 1'4E=importe del capital prestado ysus intereses acumuladosdurante ese tiempo QCu&l esla suma impuesta .

R"ta.-

1 ) Fn capital impuesto a inter$ssimple durante seis mesesprodujo un monto de 15'22soles. %i el mismo capital seu iera impuesto lo!rando unR$dito i!ual durante 10meses= el monto u iera sidos<. 16""0. si aumentamos latasa al nKmero entero m&spr :imo. 9allar el monto

o tenido cinco mesesdespu$s .

R"ta.-

17) Fna empresa te:til dispuso deun capital de "5 mil para un&rea ue produjo el 5\ anualy para la ad uisici n de unterreno ue renta aanualmente al 4\. %a iendoue la 7& rica dio E"' soles

m&s en el primer aSo.eterminar el ;alor delterreno.

R"ta.-

18) Fna persona ;ende sucomputadora y el dinero ueo tiene por su ;enta lo prestadurante un aSo y nue;e mesesal 5\ anual. @ue!o= el inter$s!anado lo reparte entre sus

Aritmética 82



Primer Año

tres ijos= a uno de ellos le diolos 3<" D a el otro los 4<11 y alultimo 64 soles. %i lacomputadora le costo s<.3500a dic a persona. Calcular si!ano o perdi en la ;enta -eindicar cu&nto

R"ta.-

19) %e a realizado un pr$stamode unos s<. 2600 al 10\ deinter$s mensual se acuerdaue cada mes se de e pa!ar el inter$s y una cantidad 7ijade BL soles. @a sorpresa 7ueue al se:to mes se cancela elpr$stamo pa!ando BL soles.l pa!o total del pr$stamo 7ue8

R"ta.-

1 ) Fn capital de 662 soles sepresta a un inter$s de 10\mensual. @a deuda de e ser cancelada con 3 cuotasmensuales del mismo monto.

%i consideramos ue el inter$sse aplica so re el saldoadecuado= allar la cuotamensual.

R"ta.-

1;) iranda deposita a s<.1000 alanco ue le pa!a un 20\

capitaliza le anualmentedurante dos aSos= pero siu iese in;ertido dic o dineroen otro ne!ocio ue leotor!a a u m\ durante elmismo tiempo= !anar?a 600soles m&s. Jtro capital de36000 soles estu;o impuesto

durante cierto tiempo= demodo ue por los aSos sea ono -n<13 \D por los mesesD-n<4 \ y por los d?as m\.Calcular el inter$s producidopor este Kltimo capital si esue si se u iese impuesto aln\ todo ese tiempo producir?a'640 m&s soles ue si seu iera impuesto al -n (5 \

todo el tiempo.

R"ta.-

2<) os capitales di7ieren en 2000yenes. l primero es impuesto

al 16\ anual y el se!undo al20\. %i un aSo despu$s seproducen montos i!ualesQCu&l es el mayor capital .

R"ta.-

Aritmética 83



Primer Año


1) Fn capital impuesto a inter$ssimple durante medio aSoocasionan un monto de 15'22nue;os soles. %i el mismocapital se impondr?a al mismoR$dito durante unos diezmeses= el monto u iese sidode 16""0 soles. %iaumentamos la tasa alnKmero entero m&s cercanoposi le. Calcular el montoo tenido en 5 meses -Rpta.(suma de ci7ras .

a E 21 c 13d 1' e 12

2) Fn monto producido por uncapital durante medio aSo= alinter$s simple= es de 50 milsoles= pero lue!o de ' mesesm&s lle!ar?a a ser de 55000soles QCu&l 7ue la taza deinter$s .

a 12\ 20=4\ c 16=2\d 15=2\ e 23=2\

() Fn capital de cien mil soles sein;ierte as?8 20 mil soles al4\ D 40 mil soles al "\. %i elinter$s anual 7inal 7ue de s<.4'00= allar la tasa a la ueimpuesta el Resto del Capital.

a 3\ 2\ c 5\d 10\ e '\

) Fn corredor de olsa tiene 10mil soles= de los cuales unaparte la coloca al 5\ y la otraal 6\ o teniendo en total -enun aSo s<. 560de renta. 9allar la menor de las partes.

a s<.4000 5000 c 6000d 3000 e 2500

7) 9allar el capital al 4\ anualdurante 5 meses produceunos 1100 soles menos ueimpuesto al 4\ mensualdurante el mismo tiempo.

a s<.5000 40000 c 60000d 6000 e 125"5

8) %i dos capitales son entre s?como 2 y 3D los tiempos son dpa 3 y 4 y las tasas est&n enraz n de 4 a 5. allar la relaci nen la cual est&n los intereses.

a 3 a 4 2 a 5 c 6 a 1d 5 a 2 e 1 a 6

9) Fn alumno de la FMA% solicitaun pr$stamo a proyecci nsocial para ejecutar unproyecto de modo tal ue secompromete a pa!ar uninter$s simple de "\ anual.

a "20 '50=66 c "44=66d E00=46 e '0E=22

) os capitales en relaci n de 4a " se colocan8 la primera al

Aritmética 84



Primer Año

35\ y la se!unda a ciertatasa= la cual de e calcularseD

si adem&s= tiempo despu$s= elinter$s del se!undo lle!a a ser el triple del primero.

a 30\ 36\ c 60\d 45\ e 40\

;) %e coloc a inter$s simple doscantidades8 una de 6\ y otraal '\. %i am as cantidadesest&n en relaci n de 3<5 a 2<"y los capitales e interesesreunidos suman= despu$s de130 mesesD 15EE50 soles.9allar la suma de lascantidades iniciales.

a 63 mil 30 c E0d E3 e E5

1<) ,res capitales suman 42100soles= in;ertidos durante 4aSos se con;ierten -por el

inter$s en 22200 solesD10'00 y 1"520 solesrespecti;amente. 9allar la tasay el mayor capital.

a E milD5\ E000D10\c 14600D5\ d 1'500D10\e 1'500D5\

11) Wuan y Carlos ju!aron a laloter?a con un illete de 50soles y les toco 60 mil soles.Wuan impuso su parte al 4\ yCarlos al 5\ y sus rentasanuales entre am os 7ueronde 2"60 soles. eterminar elimporte de uno de ellos en elillete.

a 20 soles 30=' c 15d 10 e 40=5

12) %i un capital se duplica por latasa G triplicada ( = el inter$s

o tenido ser?a 26 mil solesmayor al ori!inal. 9allar elinter$s inicial.

a 6300 5200 c "600d 4500 e 4'00

1() Fn capital colocado por 2 aSosprodujo un inter$s i!ual al 10\del monto. 9allar ueporcentaje del monto es elinter$s producido por un capitala la misma tasa en 12 aSos.a 15\ 20\ c 25\d 40\ e 45\

1 ) Fn capital se importa en 3partes i!uales al 14 D 1" y 1E\anual. 9allar el tiempo en uese producir& un inter$s i!ual alcapital .

a 5 aSos. 6 c "d ' e E

17) @os 2<" de un capital impuestoal 4\ y el resto a 4=5\ori!inan un monto de 36525un aSo despu$s. 9allar elcapital inicial.

a 20 mil 31 mil c 1" mild 24 mil e 35 mil

Aritmética 85



Primer Año

MISCE6 NEA

01. Fn cajero de anco durante 4aSos !an 3600 soles demodo tal ue en cada aSo!an la mitad de lo !anado elaSo anterior. QCu&nto !an ensu primer aSo

a 2600 soles 2100c 1E20 d 1"'6

e 155102. Al multiplicar 24 . 5m por 2"= su

cantidad de di;isores uedaincrementada en E0. 9allar el;alor de Bm .

a 5 6c " d 'e E

03. 9allar la cantidad de di;isoresprimos ue presenta elnKmero 24453.

a 20 16c 12 d 'e 4

04 4 t d

a 15 cmD 106 tr. 1' cmD 102 tr.c 25 cmD 200 tr. d 10 cmD 11E tr.e 15 cmD 11E tr.

05. %ean A y T dos nKmerosenteros positi;os= si elpromedio de am os es i!ual a64= allar el nKmero de;alores distintos ue puede

tomar BA .a 131 130c 12E d 12'e 12"

06. 9allar la suma total de lasci7ras de N= si8N ) 1 12 123 … 123456"'E

a 33 2"c 24 d 30e 2'

0". Fna rueda de 42 dientesen!rana con otra de Bd dientes=de modo tal ue sus;elocidades son 25RP y 2100RP9 R l i

aritmetica 3

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