aritmetica 5° 4 b

53 54COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5 to Año Secundaria ARITMÉTICA 5 to Año Secundaria

MAGNITUDES PROPORCIONALES:

I. Magnitudes directamente proporcionales

Ejemplo: Son magnitudes directamente proporcionales.

a) El número y su precio cuando se paga a razón del número.

Así:

• Si: 1 cuaderno cuesta S/.6; 3 cuadernos costarán: 3 x S/.6 ) S/.18.(Esto quiere decir que a más cuadernos más dinero).

Si: 8 caramelos cuestan S/.2; 4 caramelos costarán S/.1.(Esto quiere decir que a menos caramelos menos dinero).

b) El tiempo y las unidades de trabajo realizado.

Así:

• Si: una cuadrilla de obreros hacen en 3 días 10 metros de una obra, en 6 días harán 20 metros de dicha obra.(Esto quiere decir que más días harán más metros de obra).

c) El tiempo de trabajo y el salario percibido.

Así:

• Si: un obrero por 5 días de trabajo percibe S/.80, por 3 días percibirá S/.48.(Esto quiere decir que a menos días recibirá menos salario).

Luego; las magnitudes directamente proporcionales:

• Si aumenta una de ellas; aumenta la otra.• Si disminuye una de ellas; disminuye la

otra.

II. MAGNITUDEA INVERSAMENTE PROPORCIONALES:

Ejemplo: Son magnitudes inversamente proporcionales.

a) El numero de obreros y el tiempo necesario para hacer una obra.

Así:

Si: 7 obreros hacen una obra en 4 días; 14 obreros harían la misma obra en 2 días. (Esto quiere decir que el doble número de obreros necesitará la mitad del tiempo para hacer la obra).

b) Los días del trabajo y las horas diarias que se trabajan.

Así:

Si: trabajando 10 horas diarias se necesitan 6 días para hacer una obra, trabajando 5 horas diarias se terminará la obra en 12 días.

(Esto quiere decir que menos horas de trabajo se necesitaría más días para hacer la obra).

c) La velocidad de un automóvil y el tiempo empleado en recorrer una distancia.

Así:

Si un automóvil a una velocidad de 50 Km/h necesita 8 horas para recorrer una distancia, a la velocidad de 100 Km/h necesitaría 4 horas para recorrer la misma distancia.(Esto quiere decir que mayor velocidad necesitaría menos tiempo),

Luego, las magnitudes inversamente proporcionales:

• Si aumenta una de ellas, disminuye la otra.• Si disminuye una de ellas, aumenta la otra.

IMPORTANTE:

a) Una magnitud puede ser directa o inversamente proporcional a otras magnitudes. Así:

• El precio de una pieza de tela es directamente proporcional a su calidad, longitud y ancho.

• El área de un rectángulo es directamente proporcional a su base y altura.

• La velocidad es directamente proporcional al espacio recorrido e inversamente proporcional al tiempo.

b) Las magnitudes directamente proporcionales van de más a más, o de menos a menos (+ a +; - a -).

c) Las magnitudes inversamente proporcionales va de más a menos o menos a más (+ a -; - a +).

REGLA DE TRES

• La Regla de Tres.- Es una operación que tiene por objeto, dados dos o más pares de cantidades proporcionales siendo una desconocida o incógnita, hallar el valor de está última.La Regla de Tres puede ser: Simple y compuesta.Es simple cuando intervienen dos pares de cantidades proporcionales.Es compuesta cuando intervienen tres o más pares de cantidades proporcionales.

A.Regla de tres simple

En la Regla de Tres simple intervienen tres cantidades conocidas o datos y una desconocida o incógnita. Esta regla que puede ser: Directa o Inversa, según las cantidades que intervienen sean directa o inversamente proporcionales.

• Supuesto y Pregunta.

En toda Regla de Tres hay dos filas de términos o números. El supuesto formado por los términos conocidos del problema va generalmente en la parte superior. La pregunta formada por los términos que contiene a la incógnita del problema va en la parte inferior.

Ejemplo: Si: 5 lapiceros cuestan S/.20. ¿Cuánto costaran 12 lapiceros?

Supuesto: 5 lapiceros S/. 20Pregunta: 12 lapiceros S/.x• El supuesto está formado por 5 lapiceros y

S/.20; la pregunta por 12 lapiceros y la incógnita por S/.x

• Métodos de Resolución:

Todo problema que se plantea por una regla de tres puede resolver por tres métodos:

I. Método de Reducción a al mitadII. Método de las proposiciones y

S5AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AR34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

IV

Dos magnitudes son diferentes proporcionalmente cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra resulta multiplicada o dividida por el mimo número.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número la otra resulta dividida y al dividir una de ellas la otra resulta multiplicada por el mismo número.

REGLA DE


III. Método Práctico

I. MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD.

• Regla de Tres Simple Directa

Ejemplo 1Si: 6 sillas cuestan S/.180. ¿Cuánto costaran 10 sillas?

Resolución:

Supuesto: 6 sillas S/.180

Pregunta: 10 sillas x

RAZONANDO:

Si: 6 sillas cuestan S/ 180

1 silla costará: S/.1806

= S/.30

Luego;

10 Sillas costarán 10 x =

Rpta.

Ejemplo 2Si: 20 chocolates cuestan S/.80. ¿Cuánto costarán

6 chocolates?Resolución:

Supuesto: 20 chocolates S/.80

Pregunta: 6 chocolates x

RAZONANDO:

Si: 20 Chocolates cuestan S/.80

1 chocolate costará: S/.8020

= S/.4

Luego;

6 chocolates costarán: 6 x =

Rpta.

• Regla de Tres Inversa

Ejemplo 1.Si: 8 obreros terminan una obra en 15 días. ¿En cuántos días terminará la misma obra 12 obreros?

Resolución:

Supuesto: 8 obreros S/.80

Pregunta: 12 obreros x

RAZONANDO:

Si: 8 obreros hacen la obra en 15 días

1 obrero lo hará en: 15 x 8 = 120 días

Luego;

12 obreros harán la obra en:

12

días120=

Rpta.Ejemplo 2Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros tardan 18 días para terminar una obra, trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminaría la misma obra?

Resolución:

Supuesto: 10 h/d S/.80

Pregunta: 6 h/d x

RAZONANDO:

Si: trabajando 10 h/d tardan 18 días

Trabajando 1h/d tardarían: 18 x 10 = 180 días

Luego;

Trabajando 6 h/d tardarían:

6

días180 =

Rpta.

II. MÉTODO DE LAS PROPOSICIONES:

• Regla de Tres Simple Directa.

Ejemplo. Si: 25 pollos cuestan S/.112, 50. ¿Cuánto se pagará por 14 pollos?

Resolución:

Supuesto: 25 pollos S/.80

Pregunta: 14 pollos x

RAZONANDO:

Si: 25 pollos cuestan S/.112, 50 por menos pollos (14) se pagará menos soles. Estas cantidades proporcionales van de menos a menos (-a-), es decir son cantidades directamente proporcionales. Por consiguiente la Regla de Tres Directa.

Formamos una preposición escribiendo la razón directa de las primeras cantidades de (pollos) igual a la razón directa de las segundas cantidades (soles); Asi:

x

50,112

14

25 =

Despejando “x” se obtiene:

x = 6325

)250,11(14 =

Rpta.

• Regla de Tres Inversa:

Ejemplo. Si: trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros demoran 18 días para terminar una obra, trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminarán la misma obra?

Resolución:

Supuesto: 10 h/d 18 días

Pregunta: 6 h/d x

RAZONANDO:

Trabajando 10 h/d demoran 18 días, trabajando menos horas diarias (6) lo terminarán más días. Vemos que estas cantidades proporcionales van de menos a más (- a +); sea que son inversamente proporcionales; consiguiente la Regla de Tres es Inversa.

Entonces se forma una proporción escribiendo la razón directa de las primeras cantidades (h/d) igual a la razón inversa de las segundas cantidades (días).

Así: 18

x

6

10 =

Despejando “x” se obtiene:

días306

18.10x ==

∴ Rpta.

III.MÉTODO PRÁCTICO

Regla:

1) Se examina si la Regla de Tres es directa o inversa. Si las cantidades proporcionales van


S/.30 S/.3000

S/.4 S/.24

10 días

30 días

x= S/.63

x = 30 días


de más a más o de menos a menos, la Regla es Directa; si van de más a menos o de menos a más la Regla es Inversa.

2) Si la Regla de Tres es Directa; se multiplican los datos en aspa y se divide entre el otro dato; este conciente es el valor de la incógnita.

Si la Regla de Tres es inversa; se multiplican los datos del supuesto y se divide entre el otro dato de la pregunta; este conciente es el valor de la incógnita. (ver cuadro)

Regla de tres simple:

a

c

b

x

Directa

x = b.ca

Inversa

x = a.bc

• Regla de Tres Simple Directa:

Ejemplo: Si 3 metros de tela cuesta S/.120. ¿Cuánto se pagará por 5,5 metros de la misma tela?

Resolución:

Supuesto:

Pregunta:

3 m

5,5m

S/.120

x

más a más

RAZOMANDO:

Si por 3 metros se paga S/.120 por más metros se pagará más soles (+ a +); la Regla de tres es directa.

Luego;

220./Sm3

m5,5.120./Sx ==

Rpta.

• Regla de Tres Simple Inversa:

Ejemplo: Si: 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 15 días?

Resolución:

Supuesto:

Pregunta:

3 días

15días

21 obreros

x obreros

más a menos

RAZONANDO:

Si en 10 días hacen la obra 21 obreros; para hacerlo en más días se necesitarán menos obreros (+ a -) la Regla de Tres es Inversa.

Luego;

obreros14días15

días10.obreros21x ==

Rpta.

PROBLEMOS RESUELTOS

Problema 1: Un automóvil tarda 8 horas en recorrer un trayecto yendo a 90 Km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 Km/h?

Resolución: l

Yendo a: tarda 8 horas

Yendo a: tarda x horas

La duración del trayecto es inversamente proporcional a la velocidad, lo que se indica por l coloca en cima de la columna de las velocidades.

Por tanto:

horas1260

8.90x:dondede;

8

x

60

90 ===

∴ Rpta.

Problema 2: Si 12 metros de cable cuestan 42 soles. ¿Cuánto costarán 16 metros del mismo cable?

Resolución:

Sí: Cuestan S/.42

Cuestan S/.x

Costo es directamente proporcional al Número de metros lo que se indica por la letra encima de la columna metros.

Tanto:

soles5612

16.42x:dondede;

x

42

16

12 ===

∴ Rpta.

Problemas 3: Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días. ¿Cuántos obreros que añadir para que la obra se termine en 8 días?

Resolución:

Si x = # de obreros que hay que añadir para la obra se termine en 8 días.

Tanto: l

Si: 20 obreros

(20 + x) obreros

Número de obreros es inversamente proporcional al número de días. (Quiere decir a obreros menos), lo que indica por la l encima de la columna días.

Tanto:

8

14.20x20:dondede;

20

x20

8

14=+

+=

20 + x = 35

Rpta.

Problema 4: Un ganadero tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días. Los corderos debe vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la ración.

Resolución:

Si: x = # de corderos que puede vender

Luego; l

Si: 640 corderos

(640 - x) corderos


Por los 5,5 metros de la misma tela se pagará S/220

Para hacer la misma obra en 15 días se necesitan 14 obreros.

90 Km/h

60 K/h

x = 12 horas

12 m

16 m

x = 56 soles

14 días

8 días

x = 15 obreros

65 días

(65+15) días = 80 días


El número de corderos es inversamente proporcionalal número de días. (Quiere decir que menos corderos tendrán alimentos para más días), lo que se indica por la letra l encima de la columna días.

Por tanto:

80

65.640x640:dondede;

640

x640

80

65=−

−=

640 – x = 520

Rpta.

Problema 5. Manuel y Sara recorren cierta distancia y los tiempos que emplean están en la

razón 21

15. La velocidad de Manuel es de 56

Km/h. ¿Cuál es la velocidad de Sara?

Resolución: l

Tiempos velocidadesManuel:

Sara:

El tiempo es inversamente proporcional a la velocidad. (Quiere decir mayor velocidad menos tiempo); lo que se indica por la letra l encima de la columna tiempo.

Por tanto:

40x21

56.15x:dondede;

56

x

21

15===

Rpta.

Problema 6: Dos ruedas cuyos diámetros, son 1,5m y 2,4m están movidas por una correa,

cuando la menor dá 220 resoluciones. ¿Cuántas revoluciones dá la mayor?

Resolución:

D = 2,4 m

d= 1,5 m

"x" Rev.

220 Rev

1,5 m2,4 m

220 Rev.x Rev.

l

Los diámetros son inversamente proporcionales al número de resoluciones.(Quiere decir que a menor diámetro la rueda dará más vueltas o resoluciones). Lo que se indica por la letra lencima de la columna metros.

Por tanto:

4,2

220.5,1x:dondede;

220

x

4,2

15 ==

Rpta.

Problema 7: Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de 4 cm de aristas, después de 54 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12 cm de arista habrá construido? Resolución:

La relación que debemos tener presente, es entre el volumen y el tiempo; puesto que Nataly construye un cubo; veamos:

4 cm

4 cm

4 cm

Para construir este cubode 4 cm de arista demora6 horas osea:

En 6 horas (4 cm) .....(1)3

Luego;

Sea: “x” el número de horas que demoraría en construir un cubo de 12 cm de arista.

Ósea:

En x horas (12cm)3….(2)

De las expresiones (1) y (2); obtenemos: D

En 6 horas

En x horas

Tiempos Volumen

Los volúmenes son directamente proporcionales a los tiempos. (Quiere decir que a más volumen, más tiempo). Lo que se indica por la letra D encima de la columna volúmenes.

Por tanto:

3

3

3

cm4

cm12.6x:dondede;

)cm12(

)cm4(

x

6

==

x = 6. (27)

∴

Entonces: En 54 horas habrá hecho:

3

1

horas162

horas54 =

PRÁCTICA DE CLASE

01.Juan es el triple de rápido que Pedro. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 9 días. ¿En cuántos días hace el trabajo Juan trabajando solo?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

02.Se hace disolver 250 gr de azúcar en 5 lts. de agua. ¿Cuántos litros de agua deben añadirse a esta mezcla para que en un litro de la nueva mezcla exista 8 gr de azúcar?

a) 26,24 lts. b) 26,42 lts c) 26,25 lts d) 26,26 lts e) 25,26 lts

03.Cesitar al comprar una docena de lapiceros recibe 3 de regalo y al vender una decena, da 2 de regalo. Si en total Cesitar compró 1944 lapiceros. ¿Cuántos docenas de lapiceros vendió Cesitar?

a) 173 b) 162 c) 202 d) 243 e) 196

04.Un caballo atado a un poste con una cuerda de 2 m tarda 8 h en comer todo el pasto que está a su alcance. ¿Cuántas horas requiere este caballo para consumir todo el pasto que esta a su alcance, si la cuerda fuese de 3 m?

a) 12 hr b) 14 hr c) 16 hr d) 18 hr e) 24 hr.

05.Con 5 Kg de arena se pueden formar 8 cubos de 8 cm de arista. ¿Cuántos cubos de 4 cm de arista se podrán formar con 10 Kg de arena?

a) 32 b) 64 c) 128 d) 8 e) 26

06.Una compañía industrial posee 3 máquinas de 84% de rendimiento para producir 1600 envases cada 6 días de 8 horas diarias de trabajo. Si se desea producir 3000 envases en


x= 120 corderos

21

15 56 Km/h x Km/h

x = 40 Km/h

x = 137,5 Rev

(4cm)3

(12 cm)3

x = 162 horas


4 días trabajando 7 horas diarias. ¿Cuántas máquinas de 90% se requiere?

a) 8 b) 7 c) 4 d) 6 e) 9

07.Una cuadrilla de 35 obreros puede terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo se les junta cierto número de obreros de otro grupo, de modo que en 15 días terminan lo que falta de la obra, ¿Cuántos obreros eran del segundo grupo?

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

08.Una cuadrilla de 15 obreros pueden hacer una obra en 25 jornadas de 8 horas diarias, pasadas 5 jornadas se les pidió que lo terminarán 5 días antes de lo proyectado, esto motivó aumentar el número de horas de trabajo diario y contratar más obreros, ¿Cuál es el menor número de obreros que se debe contratar?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

09.Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja, la primera en 9 días, la segunda en 10 días y la tercera en 12 días. Se emplean a la vez ¼ de la primera, 1/3 de la segunda y 3/5 de la tercera. ¿En cuánto tiempo se hará la zanja?

a) 9 días b) 8 días c) 7 días d) 10 días e) 12 días

10.Un grupo de 24 obreros pueden construir una zanja de 80m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de profundidad en 16 días trabajando 6h/d. ¿En cuántos días 20 obreros trabajando 8h/d pueden hacer una zanja cuyo ancho sea 0,5 m más; 0,5 m menos de profundidad y 40 m más de largo?

a) 15 días b) 18 días c) 20 díasd) 12 días e) 10 días

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

01.Un reloj da tantas campanadas como las horas que marca. Si en dar las 5 hrs tarda 10 segundos. ¿Cuánto tarda en dar las 8hrs?

a) 16 seg b) 15 seg c) 17,5 seg d) 18 seg e) 14,5 seg

02.Una guarnición tiene víveres para 121 días si se aumenta 1/3 el número de individuos de la guarnición. ¿Cuánto debe disminuirse la ración para que los víveres duren el mismo tiempo?

a) ¾ b) 1/5 c) ¼ d) 1/3 e) 2/5

03.Se piensa construir una pared con 15 hombres en 20 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios contratar, si se quiere concluir la pared 8 días antes?

a) 32 b) 18 c)* 20 d) 25 e) 10

04.Un individuo por hacer 20 artículos cobra S/. 300. ¿Cuánto cobrará por hacer 18 artículos similares, si cada uno de estos demandan en su confección los 8/10 del tiempo que le demandaba hacer los primeros?a) S/. 216 b) 240 ) 256 d) 260 ) N.A.

05.Dos obreros hacen 350 obras en 7 días. ¿Cuántos obreros del mismo rendimiento que los obreros anteriores pueden hacer 600 obras en 4 días?

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

06.Se sabe que “x + 6” máquinas pueden hacer un trabajo en 20 días y que con 3 máquinas adicionales se puede hacer el mismo trabajo en 5 días menos. ¿En qué tiempo se podrá hacer el trabajo con “x” máquinas?

a) 40 días b) 50 días c) 45 díasd) 60 días e) 75 días

07.Si “a” obreros tienen víveres para “m” días, si estos víveres deben alcanzar “4m” días. ¿Cuántos hombres deben disminuir?

a) a/9 b) a/7 c) 3a/5 d) 3a/4 e) a/2

08.Un carpintero ha construido una mesa en 16 días. Si hubiera trabajado 4 horas menos habría empleado 8 días más para hacer la mesa. ¿Cuántas horas hubiera trabajado por día?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

09.80 obreros trabajan 8 h/d construyendo 480 m2 de una obra en 15 días. ¿Cuántos días requieren 120 obreros, trabajando 10 h/d para hacer 960m2 de la misma obra?

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

10.1600 hombres tienen víveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada hombre. ¿Cuántos días durarán los víveres, si cada hombre toma 2 raciones diarias?

a) 12 b) 13 c) 20 d) 15 e) 8

11.¿Cuántos obreros se necesitan para hacer 200 rollos de alambre en 4 días, trabajando 12 horas por día, si sabemos que en otra oportunidad 14 obreros pudieron hacer 100 rollos de la misma calidad en 8 días, trabajando 6 horas por día?

a) 56 b) 28 c) 42 d) 14 e) 26

12.Trabajando 10 h/d durante 15 días, 5 obreros consumen 50 kg de arroz. ¿Cuántos kg serían necesarios para mantener trabajando 9 h/d durante 85 días, 3 obreros más?

a) 158 b) 408 c) 145

d) 135 e) 402

13.Ocho obreros trabajando 10 h/d durante 5 días, pueden arar un terreno cuadrado de 400 m de lado. ¿Cuántos obreros de doble rendimiento será necesario para que en 6 días de 8 h/d pueden arar otro terreno de 480 m de lado?

a) 2 b) 7 c) 6 d) 3 e) 4

14.80 0breros pueden hacer una obra en 20 días trabajando 2 h/d. ¿Cuántos obreros doblemente hábiles pueden hacer una obra 4 veces más dificultosa que la anterior en 40 días?

a) 60 b) 50 c) 100 d) 40 e) 80

15.Un grupo de 20 obreros ha hecho 2/5 de una obra en 24 días. Si se retiran 4 obreros. ¿Cuánto tiempo emplearán los restantes para hacer lo que le falta de la obra?


16.Veinte obreros han hecho 1/3 de un trabajo en 12 días. En ese momento abandonan el trabajo 8 obreros. ¿Cuantos días se empleó en hacer la obra?

a) 28 b) 52 c) 40 d) 64 e) 30

17.Un reservorio de 8 m de radio y 12 m de altura abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál debe ser el radio de un reservorio de 6 m de altura que debe abastecer a 50 personas durante 2 meses?

a) 16 m b) 15 c) 14 d) 12 e) 10

18.Si una cuadrilla de 20 hombres pueden hacer un trabajo en 15 días. Otra formada por 10 hombres hace el mismo trabajo en 30 días. ¿Cuántos hombres más se necesitarán para



realizar el trabajo en las 3/5 partes del tiempo empleado por 30 hombres?

a) 30 b) 20 c) 15 d) 25 e) N.a.

19.Si 36 peones, en 15 días de 8 h/d pueden sembrar rosas en un terreno cuadrado de 240m de lado. En cuántos días, 24 peones trabajando 10 h/d podrán sembrar en un terreno cuadrado de 180 m de lado cuya dureza a la cava es los 4/3 del anterior.a) 13.5 días b) 12 días c) 12,5 días d) 13 días e) N.a.

20.Ocho obreros pueden preparar una cancha de bulbito de 12 m de ancho y 25 m de largo en 5 días trabajando 10 h/d. Si 4 de los obreros aumentaran su rendimiento en 25% en qué tiempo podrán hacer otra cancha de bulbito de 18 m de ancho y 24 m de largo, trabajando 2 h/D menos cada día?


21.Dos cuadrillas de obreros pueden hacer una misma obra por separado. La 1ra. De 18 hombres lo pueden hacer en 20 días trabajando 8 h/d ; la 2da. De 15 hombres lo pueden hacer en 18 días trabajando 10 h/d. Si el contratista forma un grupo mixto: 8 hombres de la 1ra. Con 15 de la 2da. Para que trabajen 10 h/d. ¿En cuántos días terminarán dicha obra?


22.Se pensó terminar una obra en 45 días empleando 30 obreros laborando 8 h/d. Luego de 24 días de trabajo se pidió terminar la obra 12 días antes del plazo fijado. ¿Cuántos obreros más se necesitarán si se aumentó en 2 hrs la jornada de trabajo?

a) 26 b) 24 c) 22 d) 20 e) 18

TAREA DOMICILIARIA

01.Ocho carpinteros cuya habilidad es como 5 son capaces de hacer 10 mesas y 18 sillas en 24 días. ¿Cuántos carpinteros cuya habilidad es como 7 son capaces de hacer 12 mesas y 20 sillas en 16 días, si se sabe que el hacer 1 mesa es lo mismo que hacer 3 sillas?

a) 10 b) 12 c) 9 d) 8 e) N.a.

02.Una cuadrilla de 60 hombres se comprometieron en hacer una obra en “n” días. Luego de hacer la mitad de la obra 20 obreros aumentan su eficiencia en 25% terminando la obra 3 días antes de lo previsto. Hallar “n”

a) 70 b) 73 c) 75 d) 78 e) N.a.

03.Sabiendo que 20 hombres pueden hacer una pista de 80 km en 12 días. Después de cierto tiempo de trabajo se decide aumentar la longitud en 40 km para lo cual se contratan 10 obreros más acabando la obra a los 15 días de empezada. ¿A los cuántos días se aumentó el personal?

a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 10

04.Se tienen 16 máquinas cuyo rendimiento es del 90% y produce 4800 artículos en 6 días trabajando 10 h/d. S i se desea producir 1200 artículos en 8 días trabajando 9 h/d. ¿Cuántas máquinas cuyo rendimiento es del 60%, se requieren?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

05.Quince albañiles de 75% de rendimiento pueden levantar un edificio en 30 días trabajando 10 h/d. Después de 6 días de trabajo se retiran 5 albañiles y los que quedan

trabajan con un rendimiento de 90% y 12 horas diarias. ¿Entregarán la obra a tiempo o con retraso?

a) 1 día antes b) 2 días antes c) 1 día después d) 2 días despuése) a tiempo.

06.Una cuadrilla de 18 obreros de un mismo rendimiento se compromete a hacer una obra en 30 días, pero cuando hacen las 2/5 partes de la obra, 10 de ellos abandonan. ¿Qué rendimiento con respecto a los primeros deben tener los 8 nuevos que se contraten para terminar la obra en el plazo pedido?

a) 20’% más b) 40% más c) 48% másd) 25% más e) 30% más

07.Un grupo de 20 obreros se comprometen hacer una zanja de 12 m de largo. 9 m de ancho y 4 m de profundidad en 18 días, si al término del octavo día se le pide que la profundidad de la zanja sea de 6 m. ¿Con cuántos obreros tendrán que reforzarse para hacer lo que falta de la obra ampliada en el tiempo fijado?

a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) N.a.

08.Para realizar una obra en 60 días se contrató una cuadrilla de 48 obreros. Luego de 15 días de labor se les pidió terminar la obra 9 días antes del plazo ya establecido para lo cual se contrató “n” obreros que son 20% más eficientes que los primeros y que van a reemplazar a 12 obreros.

a) 18 b) 15 c) 20 d) 21 e) 12

09.Un grupo de obreros se comprometen hacer una obra en 12 días. Después de hacer ¼ de la obra se les pide que terminen la obra en 3 días antes del plazo estipulado. ¿Con cuántos obreros se deben reforzar para terminar la obra en el nuevo plazo?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.a.

10.Se sabe que 30 carpinteros en 6 días pueden hacer 90 mesas ó 150 sillas. Hallar x sabiendo que 20 de estos carpinteros en 15 días han hacho 120 mesas y x sillas.

a) 48 b) 45 c) 50 d) 56 e) 54

11.Un grupo de obreros hacen una obra en 15 días trabajando 10 h/d al 4to día deciden terminar la obra en 3 días antes de lo establecido por lo que aumenta en 1 hr el trabajo diario y el número de obreros en 5. ¿Cuántos obreros trabajaron inicialmente?

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

12.Un pozo de 6 m de diámetro y 9 m de profundidad fue hecha por 18 hombres en 20 días. Si se quiere aumentar en 1 m de radio del pozo y el trabajo será hecho por 14 hombres. ¿Qué tiempo demandaría?


13.Un constructor contrata 2 cuadrillas de obreros para hacer 12 casas. La 1ra cuadrilla consta de 10 hombres que trabajan 9 h/d y la segunda cuadrilla de 7 obreros que trabajan 6 h/d. Las 2 cuadrillas juntas terminan las casas en 17 días. ¿Cuántos días necesitan 11 obreros trabajando 8,5 h/d para levantar 7 casas?

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16


53 54

15% del (12% de C) + 4% del (12% de C)

se suman

= 19% del (12% de C)

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5 to Año Secundaria ARITMÉTICA 5 to Año Secundaria

• La expresión “Por ciento” viene de la frase latina “Percentum”, y de ella deriva la palabra porcentaje.

• Se denomina porcentaje o tanto por ciento, al número de unidades que se toma de cada 100.

• si decimos “el 70 por ciento de las respuestas de una prueba son concretas”. Queremos significar que de 100 preguntas, 70 son correctas. Se podrá usar 70/100 en vez de la frase “70 por ciento”.

• La frase “por ciento” se usa cuando una razón está expresada con un denominador 100.

100

1x70

100

70cientopor70 ==

• En vez de la expresión “por ciento” se usa el símbolo %. Este símbolo es una abreviatura de 1/100.

%70

100

1x70

100

70 ==

%25

100

1x25

100

25 ==

Ejemplos

1<> 1x 100 % <> 100%2<> 2x 100 % <> 200%4<> 4x 100 % <> 400%

%50%100x2

1

2

1 ><><

%75%100x4

3

4

4><><

%40%100x5

2

5

2><><

Ejemplo 1.

a) 20% A + 40% A = 60% Ab) 50% A – 28 % A = 22% Ac) 26% B – 14 % B + 5% B = 17 % B

Ejemplo 2:

a)

b) Una cantidad más su 30% = 130% de la cantidad

c) Mi edad másel 23% de ella

Problemas fundamentales sobre porcentaje

Los problemas fundamentales de tanto por ciento pueden reducirse a la siguiente expresión:

Se:

P% = Nos indica el número de centésimos a tomar.

N = Representa la cantidad de la cual hay que tomarlas.

R = Es el resultado de la operación.

A continuación mencionamos algunos puntos que se nos presenta al resolver problemas de tanto por ciento.

Primer caso:

cuando en: P% de N = R

Se conocen: P% y N

Se desconoce: R

Ejemplo 1: Hallar el 40% de 900

Resolución:

40% de 900 = R

40 x 900 = R 100

Aplicando obtenemos:

40 x 9 = R ∴

Ejemplo 2: Hallar el 0,002% de 36 000

Resolución:

0,002% x 36 00 = R

0,002 x 36 000 = R 100

Aplicando obtenemos:

0,002% x 360 = R

2 x 360 = R1000

R100

36x2 ∴

Ejemplo 3: Hallar el 10% del 25% de 400000

Resolución:

10% del 25% de 400 000 = R


PORCENTAJ

Nota: Todo número puede ser expresado como un porcentaje, multiplicado dicho número x 100%

Nota: Se puede sumar o restar porcentajes de una misma cantidad.

P% x N= R

R = 360

R = 0, 72


10 x 25 400 000 = R 100 100

Simplificando obtenemos:

10 x 25 x 40 = 40 = R ∴

EJERCICIO DE APLICACIÓN

01.Hallar el 0,05% de 4200

a) 0,12 b) 0,021 c) 21 x 10-1

d) 2, 01 e) N.a.

02.Hallar el 27% de 6 000.

a) 1 640 b) 1 620 c) 162d) 16,2 e) N.a

03.Hallar el 5

3% de 3 x 10

a) 1,8 b) 1 800 c) 180d) 0,18 e) N.a

04.Hallar el %3

2de (la mitad de 100, aumentado

en 50)

a) 1,5 b) 15 c) 150d) 75 e) 25

05.Hallar el 0,03% del 0,2% de 24 x 106

a) 144 b) 14,4 c) 1440d) 104 e) N.a.

06.El 20% del 30% del 0,001 de 60 x 104 es:

a) 0,36 b) 3 600 c) 3,6d) 36 e) N.a.

07.Si: Nataly recibe de propina el 28% de 60 de soles; y vanessa recibe de propina el 32% de 50 soles. ¿Quién recibe más dinero?

a) Nataly b) Vanessa c) Igualesd) No se sabe e) Ninguna anterior

08.Entre tú y yo tenemos 600 manzanas, si tú me dieras el 15% de las tuyas yo tendría 430 manzanas. ¿Cuántas manzanas tengo?

a) 200 b) 400 c) 450d) 350 e) N.a

09.Sí:

A = 20% del 5% de 36 x 103

B = 0,03% del 0,2% de 107

Hallar; el 50% del 32% del A% de B.

a) 34,56 b) 345,6c) 3456 x 10-3 d) 4356 x 10-2

e) Ninguna.

10.Si:

A = 8

5del 0,04% de 120 000

B = 0, 06% de los 5

4% de 2 x 107

Hallar el 0,025% del 40% de (A + B)

a) 126 x10-3 b) 12,3c) 1260 x 10-5 d) 126e) Ninguna

Segundo caso:


Se conocen: P% y R

Se desconoce: N

Ejemplo 1: ¿25% de que número es 60?

Resolución:

Sea “N” el número buscado, entonces:

25% de N = 60

25 x N = 60 100

Despejando “N” obtenemos:

4x6025

100x60N ==

∴

Ejemplo 2: ¿0,06% de qué número es 24?

Resolución:

Sea “N” el número buscado, entonces:

0,06% de N = 24

0,06 x N = 24 ⇒ 0,06% de N = 2400 100

6 x N = 2400 100

100x400N6

100x2400=

∴

Ejemplo 3: si tuviera 20% de la edad que tengo tendría 48 años. ¿Qué edad tengo en la actualidad?

Resolución:

Sea: mi edad actual = e<> 100% e

Recordemos que la totalidad de una cantidad es siempre el 100% de ella misma. Del enunciado, obtenemos:

e + 20% e = 48 años

100% e + 20% e = 48 años

120% e = 48 años ⇓ 120 e = 48 años 100

años12

10x48e =

(Edad actual)

Ejemplo 4: Si vendiera mi libro de razonamiento en un 30% menos, costaba175 soles. ¿Cuál es el precio real del libro?

Sea:

El precio real del libro = P <> 100% P del enunciado, obtenemos:

P – 30% P = 17,5 soles

100% P - 20% P = 17,5 soles

70% P = 17,5 soles ⇓ 70 P = 17,5 soles

100

P = 175 soles 7

∴

EJERCICIOS DE APLICCIÓN

01.¿36% de qué numero es 144?

a) 40 b) 400 c) 360d) 1 440 e) N.a

02.¿0,45% de qué número es 9?

a) 200 b) 2 000 c) 20d) 2 x 104 e) N.a

03.¿El 30% de 2/3 % de qué número es 16?


R = 10 000

Nota: Las palabras “de”, “del”,o “de los” matemáticamente significan multiplicación y la palabra “es” significativa igualdad.

N = 240

N = 40 000

e = 40 años

P = 25 soles


a) 0,08 b) 0,0018 c) 8 x 103

d) 800 e) N.a

04.12

9del%

9

4% de qué número es 5 x 10-5

a) 15 b) 1500 c) 1,5d) 15 x 103 e¨) 0,15

05.¿El 20% de número es el 40% del 5% de 600?

a) 600 b) 6 c) 60d) 6 x 103 e) N.a

06.El 15% del 40% de los 5/8 de un número es equivalente al 25% del 0,02% de 2250. El número. El número es:

a) 3 b) 30 c) 300d) 3000 e) N.a

07.¿Cuál es el mayor?

a) Un número cuyo 60% es 240b) Un número cuyo 80% es 64c) Un número cuyo 5% del 40% es 80d) Un número cuyo 0,03% es 15e) Un número cuyo 0,05% del 6% es 0,003

a) a b) b c) dd) d e) e

08.Si Olga tuviera el 35% menos de la edad que tiene, tendría 13 años. ¿Cuántos años tendrá dentro de 8 años?

a) 20 b) 25 c) 28d) 26 e) N.a

09.Una señora va al mercado, donde al comprar un cierto número d naranjas le regalan un 5% de las que compró, obteniendo así 420 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?

a) 200 b) 300 c) 400d) 360 e) N.a

10.Manuel reparte su forma de la siguiente manera; a Nataly le da fortuna, a vanessa el 20% y a cesar los 112 soles restantes. ¿A quien le tocó más dinero?

a) Nataly b) Vanessa c) Césard) Manuel e) N.a

Tercer caso:


Se conocen: N y R

Se desconoce: P%

Ejercicio 1: ¿Qué porcentaje de 120 es 48?

Resolución:

Sea: “P%” el porcentaje buscado

P% de 120 = 48

P x 120 = 48 ⇒ P = 48 x 10 = 4 x 10 100 12

∴

Ejercicio 2: ¿Qué porcentaje de 320 es 64?

Resolución:

Sea: P% el porcentaje buscado

P% de 320 = 64

P x 320 = 64 ⇒ P = 64 x 10 = 2 x 10 100 32

∴

Ejercicio 3: ¿Qué porcentaje de 0,025 es 0,005?

Resolución:


P% de 0,025 = 0,005

P x 0,025 = 0,005 100

⇓ ⇓P x 25 = 5

100 1000 1000

P = 5 x 100 = 100 = 20 ⇒ 25 5

∴

Ejemplo 4: ¿Qué % de 40 es 8?

Resolución:


P% de 40 = 8

P x 40 = 8 ⇒ P = 8 x 10 = 2x10=20 100 4

∴

Ejercicios: Calcular que % es 40 de 160

Resolución:


p% de 160 es 40

P x 160 = 40 100

P = 40 x 10 = 10 x 10 = 25 16 4

∴

Ejercicio 6: Si al vender uno de mis libros en Soles gano 8 soles ¿Cuál es el tanto por ciento de las ganancias?

Resolución:

Sabemos que:

Ganancia = Precio Venta - Precio Costo

8 = 28 - PcDonde:

Pc = 20 (Precio de costo del libro)

Ahora, diremos lo siguiente: El precio de costo representa el 100%

Luego;

Si: 20 100% 8 x

∴

Ejemplo 7: Una casa comercial vende un televisor en 120 dólares perdiendo en la venta 5 dólares. ¿Qué tanto por ciento perdió?


P = 40

Este resultado significa que es el 40%, el signo de % se sobre entiende.

P = 20%

P = 20%

Nota: Este tipo de problema también sabe pedirse como incógnita, en lugar de la palabra: que porcentaje so nos pide que % veamos algunos ejemplos:

P = 20%

P = 25%

Ganancia = 40%

Nota: No olvidemos que toda ganancia o pérdida se calcula con respecto al precio de costo (a no ser que se nos indique otra cosa).


Resolución:

Sabemos que:

Pérdida = Precio Costo - Precio Venta

5 = Pc - 120Donde:

∴

Luego;

Si: 125 dólares 100%

5 dólares x

Por regla de tres:

25

%100

dólares125

%100xdólares5x ==

⇒ ∴

Ejercicio 8: ¿Qué % del 15% del 8% de 600 es el 20% de 0,5% de 1 440?

Resolución

P% del 15% del 8% de 600 = 20% de 0,5% de 1 440

P 15 8 20 0,5100 100 100 100 100

x 600 = x x xx 1440

48 x 15 x P = 20 x 5 x 1 44010

P = 20 x 5 x 144 20 x 1 3 48 x 15 1 x 3

=

∴

Ejercicio 9: ¿60 qué % es del 50% del 20% de 4000?

Resolución:

P% del 50% del 20% de 4000 es 60

P 50 20 x 4000 = 60 100 100 100

P x 400 = 60 ⇒ P = 60 = 15 100 4

∴

Ejercicio 10: En la figura mostrada: qué porcentaje del área sombreada es el área no sombreada. (BC // AD)

bB C

A D4b

Resolución:

b

B C

A D

4b

m n

S4 S5

S3S2S1

q q r

Como se observará “h” es altura para todos los triángulos mostrados.

Calculo del Área Sombreada:

A. Somb. = S1 + S2 + S3

A. Somb = 2

hxr

2

hxq

2

hxp ++

A. Somb. = 2

h (p + q +r).

∴

Calculo del Área No Sombreada:

A. no Sombreada = S4 + S5

A. no Sombreada = 2

hxn

2

hm +

A. no sombreada = 2

h x (m + n)

∴

Luego diremos:

Si: Área Somb. 100%

Área no Somb. x

Por regla de tres:

.SombArea

%100x.SomnoÁreax =

∴ Rpta.

Otra Forma: Para hallar el tanto por ciento en forma directa se procede de la siguiente manera:

Incógnita: Qué porcentaje del área sombreada es el área no sombreada.

PRACTICA DE CLASE

01.Operativo Básico

a) Si en un aula de 80 alumnos, 55 son mujeres. Hallar el porcentaje de hombres.

b) Si en un salón de clases, el 25% son mujeres y hay 48 hombres. Hallar el número de mujeres y el total de la clase.

c) ¿Qué porcentaje de 600 es 450?d) ¿120 es el 20% menos de qué número?

02.Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la nueva cantidad se le disminuye también su 20%, se puede afirmar con respecto a la cantidad inicial que:

a) Aumenta 10% b) Disminuye 10%c) No varía d) Disminuye 4%e) Disminuye 8%

03.Si el 120% de A es igual al 80% de B, el 25% menos de B es igual al 60% más de C. ¿Qué porcentaje de A es el 64% de C?

a) 45% b) 60% c) 20% d) 40% e) 50%

04.¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número es el 30 % del 20% de los 2/5 del mismo número?

a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% e) 10%

05.Si el lado de un cuadrado aumenta en 20% ¿En qué porcentaje aumenta su área?

a) 20% b) 30% c) 36%d) 44% e) 48%

06.En una oferta un comerciante disminuye el precio de un artículo en 25%, motivo por cual la demanda aumenta en 60%. ¿En qué porcentaje varía la recaudación?

a) Aumenta en 10% b) Disminuye en 20% c) Aumenta en 20% d) Disminuye en 10%e) N.a

07.Dos artículos “A” y “B” se vendían cada uno de ellos en 1200 soles; ganando en el primero


Pc = 125 dólares

x = 4 Pérdida = 4%

P = 20%

P = 15%

A.Somb = 2

h(4b) = 2bh

Área no Somb. = 2

hx (b) =

2

bh

x =

%25bh2

%100x2

bh

=

x = 25%


el 20% de su costo y perdiendo en el segundo el 20% de su costo. ¿En dicho negocio se ganó o se perdió y cuánto?

a) Se perdió 100 soles.b) Se ganó 400 solesc) Se ganó 200 soles.d) Se perdió 400 soles.e) No se gana ni se pierde.

08.¿A cómo vendo lo que me costó “a” soles para ganar el “b%” del precio de venta?

a) b/a b) a

b

100

100 −c) 2b –a

d) b

a

−100

100

e) a

b

+100

100

09.En un supermercado para determinar el precio de lista de los artículos, se multiplica los costo por un cierto factor K, de tal manera, que pueden descontar 20% más 20% y aún ganar el 80% del costo. Hallar el factor “k”.

a) 54/32 b) 45/16 c) 9/4 d) 9/32 e) 16/45

10.¿En cuánto por ciento es M mayor que N?.

a)

%100

− NM

b)

%)(100

−

N

NM

c)

%)(

)(100

−

+NM

NM

d)

+%

MN

M

e)

%100

N

EJERCIOS PROPUESTOS Nº 02

01.Hallar el 25% del 120% del 60% del 15 por 45 de 1500.

a) 90 b) 60 c) 80 d) 120 e) 150

02.En una reunión social, el 75% de los hombres es igual al 45% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de personas son mujeres?

a) 37,5% b) 62,5% c) 56,5% d) 43,5% e) 43,5%

03.Si la base de un triángulo se triplica y su altura se duplica. ¿En que porcentaje aumenta su área?

a) 200% b) 300% c) 400%d) 500% e) 600%

04.Si el largo y el ancho de un rectángulo aumentan en 20% y 25% respectivamente, su área aumenta 2400m2. Hallar su área inicial

a) 3600m2 b) 4800 c) 3200d) 4500 e) 7200

05.En unas elecciones el 48 % de lo que votaron por A es, igual al 72 % de los que votaron por B ¿Qué porcentaje del total votaron por B?

a) 68% b) 56% c) 50% d) 40% e) 60%

06.En un corral se observó, que del total: el 40% son patos, el 35% conejos y el resto pavos. Si el número de patos se triplica y se duplican la de los otros dos. ¿Qué porcentaje del nuevo total son pavos?

a) 20,83% b) 40,6% c) 29,16% d) 50% e) N.a

07.En una caja de herramientas el 36% son pernos, el 44% son clavos y el resto son bisagras. Si se duplica el número de bisagras. ¿Qué porcentaje del nuevo total son pernos?

a) 18% b) 24% c) 27%d) 30% e) 32%

08.Calcular el 20% del 30% del 80% del 50 por 80 de 6000.

a) 150 b) 180 c) 200 d) 240 e) N.a

09.En la academia el 40% son mujeres, el 30% de mujeres y el 70% de hombres van de paseo, luego el porcentaje de alumnos que no va al paseo es

a) 46% b) 54% c) 42% d) 58% e) 48%

10.Calcular el descuento único que reemplace a los tres descuentos sucesivos de 15%, 20% y 25%

a) 51% b) 50% c) 49%d) 48% e) 47%

11.¿El 25% de 280 es el 40% más de qué número?

a) 35 b) 70 c) 50 d) 60 e) 80

12.En una reunión los hombres exceden en 50% a las mujeres, si las mujeres aumentan 5%. ¿En que porcentaje deben aumentar los hombres para que el total de personas aumente 20%?

a) 20% b) 30% c) 50% d) 40% e) 45%

13.El ingreso total de una pareja de esposos

asciende a s/3375 al mes. El gasta el 70% de su sueldo y ella el 62,5% del suyos, ahorrando ambos la misma cantidad ¿Cuál es la diferencia de sueldos?

a) S/.375 b) S/.365 c) S/.355 d) S/.345 e) S/.335

14.Por equivocación, a un empleado se le descontó el 20% de su sueldo ¿Qué tanto por ciento se le debe aumentar para devolverlo a su sueldo original, más una bonificación del 8 %?

a) 24% b) 35% c) 32% d) 17% e) 36%

15.Si el perímetro de una región circular aumenta en 20% .¿En qué porcentaje aumenta su área?.

a) 30% b) 32% c) 48% d) 44% e) 20%

16.La suma de tres números A, B y C es 1870. A es el 30% de B y el B y C disminuyen en un 80% y 50% respectivamente se hacen iguales. Calcular el mayor de los números.

a) 120 b) 1100 c) 2100 d) 2200 e) 2000

17.¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número es el 30% del 20% de los 2/5 del mismo número?

a) 2% b) 10% c) 20% d) 24% e) 15%

18.Una botella de vino cuesta S/. 8,40 pero la botella sola cuesta S/. 6,00 menos que el vino. ¿En qué porcentaje es mayor el costo del vino con respecto al costo de la botella?

a) 500% b) 400% c) 600% d) 320% e) 300%

19.Si el 40% de los que votan a favor de una moción es el 60% de los que votan en contra. ¿Qué parte de los votantes aprueban la moción?

a) 4/5 b) 3/5 c) 2/3 d) ½ e) 1/10

20.Al precio de costo de un objeto se le recarga el 25%. ¿Cuál es el mayor porcentaje de



rebaja que se puede hacer sobre el precio de venta, para no perder?

a) 16% b) 20% c) 80% d) 12% e) 25%21.Para fijar el precio de venta de un TV se

incrementó su costo en 60%, pero al momento de venderlo se hizo un descuento del 20%, observándose que si se hubiera hecho sobre el incremento estaría ganando $100 de más. ¿En cuánto se vendió el TV?

A) $ 640 b) $ 720 c) $ 460 d) $ 320 e) $ 620

22.Un articulo se ha vendido en S/ 1200 ganando el 20% del costo más 15% del precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho artículo.

a) S/.780 b) S/.850 c) S/.860 d) S/.830 e) S/.910

TAREA DOMICILIARIA

01. Una máquina industrial que costó $ 75000 se deprecia cada año 10% de su valor; pero, por el mantenimiento que se le da se revalúa anualmente 20%. Al cabo de 1 año, la máquina costará:

a) $ 81000 b) $ 86000 C) $ 84650d) $ 82640 e) $ 87480

02.Una máquina agrícola que costó $25000 se deprecia cada año 8%, pero por el mantenimiento que se le da se revalúa anualmente 15%.Al cabo d 1 año, la máquina costará:

a) $.22950 b) $.26450 c) $.23550 d) $.27000 e) $.25850

03.Si el lado de un cuadrado aumenta en 10%, el área varía en 63 m2. Hallar el área original del cuadrado

a) 300M2 b) 270 c) 240

d) 210 e) 180

04.Si el largo de un rectángulo aumenta en 25% ¿En qué porcentaje debe disminuir su ancho para que el área no varíe?

a) 16% b) 18% c) 20% d) 24% e) 22%

05.Si 20 lt de agua contiene 30% de sal. ¿Cuántos litros de agua se deben evaporar para que la nueva solución contenga 75% de sal?

a) 8 lt b) 12 c) 6 d) 10 e) 9

06.A una fiesta asisten hombres y mujeres, el 25% son hombres y el resto mujeres. Sise retiran el 40% de los hombres y el 50% de las mujeres. ¿Qué porcentaje de mujeres que quedan son la de hombres que quedan?

a) 40% b) 80% c) 50% d) 30% e) 53%

07.Un boxeador decide retirarse cuando tenga un 90% de triunfos en su carrera. Si a peleado100 veces, obteniendo 85 triunfos. ¿Cuál es el número mínimo de peleas adicionales necesarias para que el boxeador se pueda retirar?

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

08.La suma de tres números A,B y C ES 1870.

A es el 30% de B y C disminuyen en un 80% y 50% respectivamente se hacen iguales. Calcular el mayor de los números.

a) 1200 b) 1100 c) 2100 d) 2200 e) 2000

09.En una universidad particular ; el departamento de Servicio Social, decide rebajar las pensiones de enseñanza a los

estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar un 30% al resto. Si el monto total de las pensiones queda disminuido en un 10% con esta política. ¿Qué porcentaje de la pensión total representa la pensión pagada por los estudiantes de menores recursos económicos?

a) 50% b) 82% c) 79% d) 80% e) 85%

10.Al inicio de 1985 una población tiene 10000 habitantes, el consumo de agua por persona y por hora es de 10 litros. La población crece a un ritmo de 20% anual. Determinar el lado de la base cuadrada de un reservorio de 3/84m de altura capaz de satisfacer la demanda diaria de la población al inicio de 1989.

a) 7 b) 8 c) 25 d) 35 e) 36

En las transacciones comerciales o bancarias, cuando una persona presta una suma de dinero, recibe por éste préstamo, un beneficio, una cantidad que se conoce con el nombre de interés y se designa por: “I”.

La cantidad de dinero en préstamo se llama capital y se designa por “C”.

El periodo por el cual se presta el capital se denomina tiempo y se designa por: “T”.

El interés o ganancia que produce 100 soles en un cierto tiempo se llama tanto por ciento, o rédito y se designa por: “r”.

La centésima parte del tanto por ciento, ósea r/100, es el interés que produce 1 sol en dicho intervalo de tiempo se llama tanto por uno y se designa por “i”.

La suma del capital más el interés se llama Monto y se designa por “M”.

CLASES DE INTERES:

1. Interés Simple.- Cuando los intereses se retiran perteneciendo el capital constante en cada unidad de tiempo.

2. Interés compuesto.- Cuando los intereses no se retiran, los intereses se van acumulando al capital primitivo formando nuevos capitales, se dice entonces que los intereses se capitalizan.

TASADE INTERES ANUAL

La tasa de interés anual viene expresado para diferentes períodos de tiempo y esto debe ser expresada en forma anual.

Ejemplo:


REGLA DE


15% semestral <> 15.2 = 30% anual6% mensual <> 6.12 = 72% anual10% trimestral <> 10.4 = 40% anual

48% bianual <> 2

48 = 24% anual

FORMULAS AL r% ANUAL DE INTERÉS SIMPLE:

“t” en años

“t” en meses

“t” en días

Para las equivalencias usar:

• Mes comercial <> 30 días• Año comercial <> 360 días

FORMULA DE INTERÉS COMPUESTO

Donde si: tasa = r%, Entonces:

i = r/100

Ejemplo:

• Si r% = 35%, entonces: i = 0,35• Si r% = 20%, entonces: i = 0,20• Si r% = 42%, entonces: i = 0,42

Nota: Para despejar el tiempo aplicar logaritmos.

PROBLEMAS RESUELTOS

01.Si los 5/8 de un capital se imponen al 30% y el resto al 20%, se produciría anualmente S/.1900 más que si las mismas partes se hubieran impuesto con las tasas en orden invertido. ¿Cuál es el 12% del 5 por mil de dicho capital?

a) S/.42,2 b) S/.36,7 c) S/.73,2d) S/.45,6 e) S/.26,7

Solución:

Sea C el capital

1ra imposición anual:

C1 = 8

5 C C2 =

8

3 C

y1 = 30% y2 = 20%

⇒ I1 + I2 = 80

21C

2da Imposición Anual:

C1 = 8

5C C2 =

8

3C

y1 = 20% y2 = 30%

⇒ I1 + I2 = 80

19C

Por dato: 80

21C -

80

19 C = 1900

⇒ C = S/.76000

Luego, hallamos el 12% del 5 por mil de capital.

⇒ 6,4576000.1000

5.

100

12=

∴

02.Un capital impuesto al 0,20% diario, produce en 10 meses S/.870 más, que el mismo capital impuesto al 0,20% mensual durante el mismo tiempo. Hallar el capital.

a) S/.1300 b) S/.1400 c) S/.1500d) S/.1600 e) S/.1700

Solución:

1ra imposición:

C y = 0,20% diario <> 0,2 x 360 =72

t = 10 meses

⇒ I2 = 0,6 C2da Imposición:

Cy = 0,20% mensual <> 0,2 x 12 = 2,4t = 10 mes

⇒ I2 = 0,02 C

Luego, por tanto:

0,6 C – 0,02 C = 870⇒ C = 1500

∴

03.Se impone un capital a cierta tasa y en 8 meses produce un interés que es el 40% del monto. ¿Durante cuánto tiempo debe prestarse dicho dinero para que a la misma tasa de interés genere una renta igual al 80% del monto?

a) 4 años b) 2 años c) 3 añosd) 3.5 años e) 3 años y 8 meses

Solución:

• En 8 meses

I8m = 40% 8IC

m8M

+

⇒ 60% m1I8

m8I= 40% C

⇒ I1m = 12

1C

• En t meses

Itm = 80% tmIC

tmM

+

⇒ 20% m1It

tmI= 80% C

⇒ t . 12

1C = 4C

⇒ t = 48 m <> 4 años

∴

04.Se prestó un capital por 3 años y el monto fue S/.51000. Si se hubiera prestado por 5 años, se recibiría en total S/.75000. ¿Cuál fue la tasa semestral?

a) 20% b) 80% c) 40%d) 50% e) 16%

Solución:

Del enunciado

M3 años = C + año1I3

años3I= 51000… 1

M5 años = C + año1I5

años5I= 75000… 2

De 1 y 2

C = 15000


I =

100

r.t.C

I =

1200

r.t.C

I =

36000

r.t.C

M = C+ I

M = c. (1+i) t

Resulta 45,6

El capital es de S/.1500

En 4 años, su interés será el 80% del monto


I1 año = 12000

Sea, tasa semestral X% <> 2X% anual

Peso: I1 año = 12000

12000100

x2.1.15000=

⇒ X = 40

∴

05.Una persona dispone de “N” soles que lo ha dividido en 3 partes, tal que imponiéndolas al 18%, 36% y 45% respectivamente le genera el mismo interés bimestral. Calcular N, si la mayor diferencia entre dos de los capitales es S/.1200.

a) S/.4200 b) S/.4100 c) S/.4000d) S/.3900 e) S/.3800

Solución:

Sean las partes C1, C2 y C3 en las que se ha dividido N.

Como generan el mismo interés, se tiene:

C1 . 18 = C2 . 36 = C3 . 45 = K⇒ 2 C1 = 4 . C2 = 5 . C3 = K

Es decir: C1 =

5

KC;

4

KC;

2

K32 ==

La mayor diferencia = 1200

12005

K

2

K=−

⇒ K = 4000

Hallando los capitales:

C1 = 2000 ; C2 = 1000 ; C3 = 800ç

∴

06.Los 2/5 de un capital se han prestado al 1,5% bimestral durante 5 meses; los 3/8 del capital se han prestado al 0,25% trimestral durante medio año y el resto del capital se ha prestado a una tasa de interés, tal que en un año y medio ha generado un interés que es igual a la suma de los otros 2 intereses, obtenidos. Determinar dicha tasa de interés.

a) 5% b) 6% c) 7% d) 10% e) 8%

Solución:

Sea C, el capital total.

C = 3 C2

8r = 0,25% trimestral <> 1% anual

2

t = 6 meses2

II

C = 9 C3

40r = r

3

t = 18 meses3

III

C = 2 C1

5r = 1,5% bimestral <> 9% anual

1

t = 5 meses1

I

Pero: I3 = I1 + I2

1200

6.1.C8

3

1200

5.9.C5

2

1200

r18.C40

9

+=

⇒ r = 5

∴

07.Un capital de $ 40000 estuvo impuesto durante un cierto número de años, meses y días. Por los años se cobró el 5% anual, por los meses el 4% y por los días el 3%. Calcular la utilidad producida por dicho capital sabiendo que, si se hubiera tenido impuesto durante todo el tiempo al 5%, habría producido $ 3840 más que si se hubiera colocado todo el tiempo al 3%.

a) $ 9260 b) $ 9620 c) $ 9600d) $ 10000 e) $ 9500

Solución:

Si se hubiera impuesto durante todo el tiempo:

Al (5%) – Al (3%) = 3840

Hallamos el tiempo en años:

40000 . t . (5% - 3%) = 3840

t = 4,8 años <>

días18

meses9

años4

Ahora, calculamos los intereses por año, meses y días:

• Por años (5%)

I1 = 800./S100

5 4. . 4000=

• Por meses (4%)

I2 = 1200./S1200

4 9. . 4000=

• Por días (3%)

I3 = 60./S36000

3 18. . 4000=

Luego, la utilidad total será:8000 + 1200 + 60 = S/.9260

∴


Tasa: 40% semestral

El valor de N = S/.3800

Se impone al 5 % anual

Se ganará S/.9260


PRACTICA DE CLASE

01.Si los 5/8 de un capital se imponen al 30% y el resto al 20%, se produciría anualmente S/ 1900 más que si las mismas partes se hubieran impuesto con las tasas en orden invertido. ¿Cuál es el 12% del 5 por mil de dicho capital?

a) S/ 43,2 b) S/ 36,7 C) S/ 73,2d) S/ 45,6 e) S/ 26,7

02.Un capital impuesto al 0,20% diario, produce en 10 meses S/ 870 más, que el mismo capital impuesto al 0,20% mensual durante el mismo tiempo. Hallar el capital.

a) S/ 1300 b) S/ 1400 c) S/ 1500d) S/ 1600 e) S/ 1700

03.Se impone un capital a cierta tasa y en 8 meses produce un interés que es el 40% del monto. ¿Durante cuánto tiempo debe prestarse dicho dinero para que a la misma tasa de interés genere una renta igual al 80% del monto?

a) 4 años b) 2 años c) 3 años d) 3,5 años e) 3 años y 8 meses

04.Se prestó un capital por 3 años y el monto fue S/ 51000. Si se hubiera prestado por 5 años, se recibiría en total S/ 75000. ¿Cuál fue la tasa semestral?

a) 20% b) 80% c) 40% d) 50% e) 16%

05.Una persona dispone de “N“ soles que lo ha dividido en 3 partes, tal que imponiéndolas al 18%, 36% y 45% respectivamente le genera el mismo interés bimestral. Calcular N, si la mayor diferencia entre dos de los capitales es S/ 1200.

a) S/ 4200 b) S/ 4100 c) S/ 4000 d) S/ 3900 e) S/ 3800


01.Dos capitales impuestos a interés simple: uno al 24% y el otro al 20%, están en la relación de 5 a 7. El segundo capital produce un interés anual de S/ 2420 más que el otro. Calcular el menor capital.

a) S/ 12670 b) S/ 90500 c) S/ 12270 d) S/ 45800 e)*S/ 60500

02.Un capital es impuesto al 20% anual y al final del primer año retira los intereses y una parte del capital igual a los intereses; al final del segundo año se retiran los intereses y una parte del capital igual a los intereses y así sucesivamente. Si al final del tercer año se nota que el capital ha disminuido en S/ 12200. ¿Cuál es el capital inicial?

a) S/ 20000 b) S/ 22000 c) S/ 23000 d) S/ 25000 e) S/ 28000

03.Una persona ha impuesto S/ 10000 a interés simple, si hubiera estado 30 días más, el interés habría aumentado en S/ 50 y si el tanto por ciento hubiera disminuido en 0,8%, los intereses habrían disminuido en S/ 150. Hallar el tiempo que duró la imposición.

a) 600d b) 615d c) 645d d) 675d e) 685d

04.Un señor divide su capital en 3 partes iguales y los impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral respectivamente, logrando una renta anual de S/ 10000. ¿Cuál era su capital?

a) S/ 29000 b) S/ 75000 c) S/ 62000 d) S/ 32000 e) S/ 45000

05.Los 2/3 de un capital se imponen al 6% anual, los 3/4 del resto al 1,5% bimestral y el resto al 1% mensual. Si al cabo de 2 años 1 mes, se recibe en total S/ 8287,5. ¿Cuál era el capital original?

a) S/ 7200 b) S/ 4500 c) S/ 4800 d) S/ 5000 e) S/ 5100

06.En una entidad bancaria, los intereses se calculan del siguiente modo: por el millar se da el 30% bianual y por el restante el 4,5% semestral. ¿Qué utilidad habrá generado S/ 20800 en el lapso de un año?

A) S/ 1932 b) S/ 1742 c) S/ 1652 d) S/ 1562 e) S/ 1872

07.Un usurero vive de los intereses que produce su capital impuesto al 5%. Al final de cada año retira los intereses para cubrir sus gastos; pero, al final del octavo año además de los intereses retira $ 200 de su capital. Al hacer sus cuentas al finalizar el noveno año obtiene como gasto total $ 8650. ¿Cuál fue su capital?

a) $ 16000 b)*$ 18800 c) $ 24000 d) $ 26200 e) $ 32010

08.Una cierta suma de dinero ha sido colocado al 40% durante 2 años y 5 meses, produciendo un cierto interés. Durante cuánto tiempo sería

necesario colocarlo al %

2

137

para que reporte el mismo interés.

a) 2años 4meses b) 4años c) 7 años 8meses d) 5 años e) 2 años 6 meses y 28 días

09.Se tienen 2 capitales, donde el segundo es el doble que el primero; el primero produce un monto de S/ 22500 en 12 años 6 meses y el segundo un monto de S/ 40000 en 10 años, los 2 a la misma tasa de interés. Entonces, la tasa de interés es :

a) 12% b) 20% c) 10% d) 15% e) 18%

10.Tres capitales impuestos separadamente al 12,5% semestral, 4% bimestral y 5% trimestral respectivamente, generan la misma

renta. Hallar la suma de los 3 capitales, si el menor de los montos producidos en un año es S/ 3000.

a) S/ 7800 b) S/ 7900 c) S/ 8000 d) S/ 8100 e) S/ 8200

TAREA DOMICILIARIA

01.La octava parte de un capital se depositó al 35%, los 3/7 del resto al 40% y el saldo a cierta tasa que permitió obtener una utilidad anual de 45% sobre dicho capital. ¿A qué tasa se colocó el saldo?

a) 52,75% b) 51,75% c) 50,75% d) 50,25 e)*51,25%

02.Calcular el interés producido por un capital de S/ N al cabo de cierto tiempo impuesto al 30%. Si se sabe que impuesto al 95% produce S/ 44590 más que impuesto al 80% durante al mismo tiempo.

a) S/ 19650 b) S/ 19660 c) S/ 19670 d)*S/ 19680 e) S/ 19690

03.Dos capitales están en la relación de 5 a 8, el primer capital se colocó al 25 por 75 durante 8 meses y al segundo al 20 por 60 durante 20 meses, obteniéndose de esta manera un monto total de S/ 83500. ¿A cuánto ascendía el capital total?

a) S/ 58200 b) S/ 58300 c) S/ 58400d) S/ 58500 e) S/ 58600

04.A una persona se le dice: Sí impone la quinta parte de su dinero al 8% durante 4 meses; la mitad del resto al 5% durante 2 años y lo que queda al 2% durante 2 años, capitalizable cada año, obtendría un interés total de S/ 11500. Pero, dicha persona impuso todo su capital a interés simple al 5% durante 4 años. ¿Cuánto ganó o perdió por no aceptar la propuesta inicial?

a) Ganó S/ 26000 b) Perdió S/ 2600 c) Ganó S/ 14000 d) Perdió S/ 1400



e) Perdió S/ 520

05.Una persona tiene S/ 16000 que lo presta al 8% trimestral y otra tiene S/ 20000 que presta al 8% cuatrimestral. ¿Dentro de cuánto tiempo los montos serán iguales?

a) 10,5 años b) 11,5 años c) 12,5 añosd) 18,5 años e) 20 años

06.Una persona vende su auto, y el dinero lo presta por un año y 9 meses al 1,25% trimestral. Los intereses producidos lo reparte entre sus 3 hijas, a una de ellas le dio los 3/7; a la otra 4/11 y a la otra $ 64. ¿En cuánto vendió el auto?

a) $ 3265 b) $ 3815 c) $ 3015 d) $ 3020 e) $ 3520

07.Martín tenía impuesto un capital al 8% y no siendo suficiente los intereses para cubrir sus gastos, impuso su capital en una industria que le da el 10%. De esta manera ha podido aumentar sus gastos diarios en 2,5 soles ¿Cuál es su capital?

a) S/ 39000 b) S/ 45000 c) S/ 49500 d) S/ 55200 e) S/ 68000

08.Ana coloca parte de su dinero en una empresa al 30% y otra parte en una fábrica al 20%. Luego de calcular los intereses, invirtiendo las tasas, obtiene intereses iguales. Se desea saber que capital ha colocado en la fábrica, sabiendo que produce $ 500 menos que el colocado a la empresa en un año.

a) $ 2000 b) $ 3200 c) $ 4200 d) $ 5400 e) $ 6450

09.Se colocan 3 capitales a interés simple durante 5 años y se convierten respectivamente en: S/ 15840, S/ 14520 y S/ 12480. Hallar el mayor capital, sabiendo que suman S/ 37500.

a) S/ 12300 b) S/ 14100 c) S/ 15200

d) S/ 13600 e) S/ 13200

10.Después de prestar un capital por 3 años, se obtiene un monto igual al triple del capital prestado. Al prestar S/ 3000, a la misma tasa de interés por un año y 3 meses. ¿Cuál será el interés a recibir?

a) S/ 3000 b) S/ 2850 c) S/ 2750 d) S/ 2500 e) S/ 2250 11.La relación de los montos generados por 2

capitales es de 2 a 3; siendo su relación de tiempos de 1 a 3 respectivamente. Si el primero se colocó al 9% y el segundo al 0,25% mensual. ¿En qué relación se encuentran, la suma y diferencia de cuadrados de dichos capitales?

a) 2:3 b) 9:4 c) 4:9 d) 5:3 e)13:5

12.Hallar un capital, tal que al imponer sus 5/11 al 6% y el resto al 5%, retira anualmente $ 80 menos que si los 5/11 los colocara al 5% y el resto al 6%.

a) $ 80000 b) $ 88000 c) $ 90000d) $ 98000 e) $ 99000

13.Se imponen 2 capitales al 5%, durante 10

años; si la diferencia de ellos es $ 4000 y la suma de los intereses es $ 14000. Hallar el mayor de los capitales.

a) $ 13000 b) $ 21000 c) $ 17500 d) $ 16000 e) $ 25050

14.Una persona impuso la cuarta parte de su capital al 4% durante 5 años y el resto al 5% durante 6 años. La suma de los intereses producidos es igual a la ganancia que hubiera producido un capital de S/ 6446 al 6% durante 4 años. ¿Cuál es el capital impuesto por esa persona?

a) S/ 1036,6 b) S/ 1406,2 c) S/ 5625,6 d) S/ 1040,5 e) S/ 2812,8

Es una operación, que consiste en calcular el descuento por ser cobrado antes de su vencimiento.

Elementos:

D : DescuentoVn: Valor nominal

Va: Valor actual (Va = Vn – D)f.g: fecha de girof.d: fecha de descuentof.v: Fecha de vencimientot: tiempo (t = f.d f.v)r: tasa de descuento

Clases de Descuento:

Existen dos clases de descuento, según el capital que se asume. Si tomamos como referencia el valor nominal se denominará Descuento Comercial y si tomamos como referencia el valor Actual se denominará Descuento Racional.

1. Descuento Comercial (Dc)

Es el interés que generaría el valor nominal bajo una tasa de descuento durante el tiempo de vencimiento. Tambien se le llama Descuento Externo o Descuento Abusivo. El descuento comercial, está dado por:

“t” en años

“t” en meses

“t” en días

2. Descuento Racional (Dr)

Es el interés que generaría el valor Actual bajo una tasa durante el tiempo de vencimiento. Tambien se le llama Descuento Interno o Descuento Matemático. Es el descuento que se hace sobre el Vn del documento.El descuento racional está dado por:

“t” en años

“t” en meses

“t” en días

Nota:

a) El descuento Comercial (Dc), siempre es mayor que el Descuento racional (Dr).

b) Si se conocieran el descuento comercial (Dc) y el descuento racional (Dr), el valor nominal del documento está dado por:

Letras Equivalentes

Se dicen que dos letras L1 y L2 son equivalentes, cuando sus valores actuales son iguales, es decir:

Va1 = Va2

Vn1 – D1 = Vn2 – D2

Vencimiento Común

Si se tienen las letras: L1; L2: L3;…..: Ln ; de valores Vn1; Vn2; Vn3; …..; Vnn y sus respectivos tiempos de vencimiento: t 1; t2; t3;…tn ; entonces, estás letras pueden ser reemplazadas


Dc=

100

r.t.Vn

Dc=

1200

r.t.Vn

Dc=

36000

r.t.Vn

Dc=

r.t100

r.t.Vn

+Dc=

r.t1200

r.t.Vn

+Dc=

r.t36000

r.t.Vn

+

Dc > Dr

Vn =

DrDc

Dr.Dc

−

REGLA DE


por una única letra que vencerá dentro de un tiempo dado por:

n21

nn2211Vn.......VVn

t.Vn....tt.Vnt.Vn

+++++

PROBLEMAS RESUELTOS

01.El valor nominal de una letra es S/.4900, descontando racionalmente se obtiene por ella S/4375. ¿Cuánto se obtendría si el descuento fuese comercial al mismo porcentaje?

a) S/. 4220 b) S/.4300 c) S/.4324d) S/.4312 e) S/.4336

Solución:

Datos:

Vn = S/.4900; Dr = 4900 – 4375 = S/.525

Pero: Vn = DrDc

Dr.Dc

−

• Hallamos el Dc:

4900 = 525Dc

525.Dc

− ⇒ Dc = S/.588

Luego, el valor actual comercial:

4900 – 588 = S/.4312

∴

02.Un comerciante debe 3 letras a un mismo acreedor:

• La primera de S/.21000 que vence el 18 de Julio.

• La segunda de S/.35000 que vence el 7 de Agosto.

• La tercera de S/.1400 que vence el 16 de setiembre.

si quiere cancelar su deuda con un solo pago de S/.70000. ¿En qué fecha debe hacerlo?

a) 7 de agosto b) 9 de agostoc) 12 de agosto d) 15 de agostoe) 16 de agosto

Solución:

Haciendo una línea de tiempo:

S/.21000 S/.35000 S/.14000

18 Julio 7 agosto 16 de setiembre

20 días 40 días

Hallamos el vencimiento común y tomando referencia el 18 de Julio:

t = º140003500021000

60.14000.20.35000

+++

= 22

Es decir el pago único se realizará en 22 días.

⇒ 18 de Julio + 22 días = 9 de Agosto

∴

03.¿Cuál es la fecha de vencimiento de una letra, si los descuentos que sufren el 20 de mayo y el 21 de Junio son entre si como 15 es a 7?

a) 30 Junio b) 13 Agosto c) 30 Julio

d) 12 Agosto e) 19 Julio

Solución:Haciendo una línea de tiempo:

20 Mayo 21 Junio f.v. = ??

32 días (t - 32)

t dias

Por dato:

7

15

D

D

Jun21

May20 =

⇒ 7

15

32t

t=

−

t = 60 días

La fecha de vencimiento:

20 Mayo + 60 Días = 19 Julio

∴

04.Hallar el precio al contado de un artefacto, por el cual se firman 2 letras: una de $ 200 a 4 meses y otra de $ 240 a 5 meses, siendo la tasa de descuento de 24%.

a) $ 400 b) $ 410 c) $ 420d) $ 415 e) $ 404

Solución:

Para hallar el precio al contado, calculamos los valores actuales de cada letra:

r = 24%

4 m

r = 24%

V = $ 200n1

V = $ 240n2

5 m

184$1200

24.4-1 200 Va1 =

=

216$1200

24.5-1 240 Va2 =

=

⇒ Va1 + Va2 = $ 400

∴

05.El 5 de Abril de firmó una letra por S/.2250 con fecha de vencimiento el 4 de Julio, si se le descontó dicha letra el 17 de Mayo del mismo año. ¿Cuánto recibió por dicha letra, considerando una tasa de descuento del 11% semestral?

a) S/. 2120 b) S/.2184 c) S/.2234d) S/.3000 e) S/.3500

Solución:

Fecha de giro = 5 Abril Fecha de vencimiento = 4 Juli

48 díasFecha de descuento = 17 May

Vn= S/.2250

r = 11% semestral <> 22% anual

Hallamos el valor actual:

2184./S36000

22.4812250Va =

−=


Se recibirá S/.4312

Se efectuará el pago único el 9 de Agosto.

El descuento vence el 19 de Julio

El valor del artefacto al contado es $ 400

Se recibirá por dicha letra S/.2184


∴ 06.Una persona debe a otra una letra de S/.12000

pagadera a los 6 meses, conviene en pagar su deuda mediante 2 pagos iguales, que vence a los 2 y 8 meses respectivamente. ¿Cuál es el valor nominal se estos pagos, si se aplicara un descuento comercial de 40% anual?

a) S/.5460 b) S/.4860 c) S/.5740d) S/.5470 e) S/.5760

Solución:

Haciendo una línea de tiempo:

Inicialmente:6 m

V = 12000n1

V n

2 mV n

8 mForma:

Nueva

r = 40%

Hallar los valores actuales:

+=

1200

40.840.2-2V

1200

40.6-1 12000 n

9600 = Vn . 3

5

⇒ Vn = S/.5760

∴

PRACTICA DE CLASE

01.El valor nominal de una letra es S/ 4900, descontado racionalmente se obtiene por ella S/ 4375. ¿Cuánto se obtendría si el descuento fuese comercial al mismo porcentaje?

a) S/ 4220 b) S/ 4300 c) S/ 4324 d) S/ 4312 e) S/ 4336

02.Un comerciante debe 3 letras a un mismo acreedor:

• La primera de S/ 21000 que vence el 18 de Julio.

• La segunda de S/ 35000 que vence el 7 de Agosto.

• La tercera de S/ 14000 que vence el 16 de Setiembre.

• Si quiere cancelar su deuda con un solo pago

de S/ 70000. ¿En qué fecha debe hacerlo?

a) 7 de agosto b) 9 de agosto c) 12 de agosto d) 15 de agosto e) 16 de agosto.

03.¿Cuál es la fecha de vencimiento de una letra, si los descuentos que sufren el 20 de mayo y el 21de Junio son entre si como 15 es a 7? a) 30 Junio b) 13 Agosto c) 30 Juliod) 12 Agosto e) 19 Julio

04.Hallar el precio al contado de un artefacto, por el cual se firman 2 letras: una de $ 200 a 4 meses y otra de $ 240 a 5 meses, siendo la tasa de descuento de 24% .

a) $ 400 b) $ 410 c) $ 420

d) $ 415 e) $ 404

05.El 5 de Abril se firmó una letra por S/ 2250 con fecha de vencimiento el 4 de Julio, si se le descontó dicha letra el 17 de Mayo del mismo año. ¿Cuánto se recibió por dicha

letra, considerando una tasa de descuento del 11% semestral?

a) S/ 2120 b) S/ 2184 c) S/ 2234 d) S/ 3000 e) S/ 3500


01.Dos letras, una de S/ 1980 pagadera a los 60 días y otra de S/ 1800 pagadera a los 84 días son descontados al mismo porcentaje. ¿Cuál fue la tasa de descuento considerando que se recibió S/ 185,40 más por la primera que por la segunda?

a) 6,5% b) 3% c) 6% d) 4,5% e) 5%

02.¿Cuál es la tasa de descuento anual a la que ha sido descontado un efecto de comercio, sabiendo que al ser negociado 4 meses antes de su vencimiento se recibe el 84% de su valor nominal?

a) 50% b) 30% c) 60% d) 48% e) 30%

03.El banquero descuenta dos letras: 30 y 50 días respectivamente, ambas al 5%. Si los valores nominales están en la relación de 4 a 3. Hallar el valor actual de la segunda letra, si la suma de los descuentos es S/ 13,50.

a) S/ 1000 b) S/ 1072,5 c) S/ 1740d) S/ 1800 e) S/ 1200

04.Dentro de que tiempo, se podrá pagar con S/ 2500, colocados al 6% cuatrimensual, una letra de cambio que vence dentro de 2 años, descontable comercialmente al 15%. El valor nominal del documento es S/ 3000.

a) 2años b) 16 meses c) 18 meses 25 díasd) 10 meses 20 díase) 8 meses 15 días

05.En que fecha ha sido aceptada una letra de S/ 2340 al 18% y pagadera a los 45 días; si se sabe que al venderla el 16 de Mayo se recibe por ella S/ 2313,09.

a) 20 Abril b) 22 Abril c) 24Abrid) 26 Abril e) NA

06.Para cancelar una deuda de S/ 5350 se firman 25 letras mensuales, descontables al 10%. Hallar el valor nominal de cada letra.

a) S/ 60 b) S/ 120 c) S/ 240d) S/ 300 e) S/ 360

07.Una letra que vence dentro de 3 meses tiene un valor actual de S/ 60000. Si se descontara dentro de 30 días, el descuento sería S/ 900 mayor que si se descontara dentro de 45 días. Hallar el valor nominal de dicha letra.

a) S/ 60000 b) S/ 62500 d) S/ 63000 d) S/ 65400 e) NA

08.Una persona vende un artefacto cuyo precio al contado es S/ 2040; dando como pago al contado S/ 1500 y firmando 6 letras de S/ 300 cada una pagadero en 6 meses a partir del día de la venta. ¿Cuál es la tasa de descuento?

a) 10% b) 50% c) 20% d) 30% e)*40%

09.Si una letra de S/ 3600 se hubiera negociado 7 días después, su valor actual hubiera sido S/ 84 mayor. ¿Cuánto se recibió por ella, si se negoció 15 días antes de su vencimiento?

a) S/ 3420 b) S/ 3180 c) S/ 7340 d) S/ 3220 e) S/ 3350

10.Un comerciante debía 3 letras a un mismo acreedor. La primera de $280 que vence el 30 de Mayo; la segunda de $420 y la tercera de $350 que vence el 22 de Junio. Si finalmente cancela la deuda en un sólo pago de $1050 el


Cada letra debe ser de S/.5760


día 6 de Junio. ¿En qué fecha vencía la segunda letra?

a) 28 Mayo b) 30 Mayo c) 2 Junio d) 4 Junio e) 6 Junio

TAREA DOMICILIARIA

01.¿Cuánto menos se hubiera recibido por una letra de S/ 42000 si se hubiera descontado comercialmente, si al descontar racionalmente se obtiene S/ 40000?.

a) S/ 250 b) S/ 200 c) S/ 120 d) S/ 100 e) S/ 150

02.El valor nominal de una letra es los 4/5 del valor de la otra. Se han descontado comercialmente ambas al 4%, la primera por un mes y 10 días, la segunda por 3 meses. El descuento de ésta fue de S/ 20,50. ¿Cuál fue el descuento de la otra?

a) S/ 10,18 b) S/ 8,30 c) S/ 4,10d) S/ 3,14 e) S/ 8,38

03.¿Cuál es el valor actual de una letra de cambio de S/ 7200, pagadera el 12 de Setiembre y fue descontada el 20 de Junio del mismo año al 12%. El banco cobró el 1% de comisión y 2,5% por cambio de plazo.

a) S/ 6682,40 b) S/ 6746,40 c) S/ 6400 d) S/ 6500 e) S/ 6600

04.Calcular el valor nominal de una letra, que descontada por 4 meses al 5%, da una diferencia de S/ 2 entre el descuento comercial y el descuento racional.

a) S/ 7320 b) S/ 3230 c) S/ 7050 d) S/ 4025 e) S/ 7280

05.Un deudor tiene que pagar al Banco tres letras: La primera por S/ 8000 pagadera dentro de 30 días, la segunda de S/ 20000 pagadera en 60 días y la tercera de S/ 40000 con un plazo de 90 días. Dentro de cuánto tiempo debe ser pagada una letra única, cuyo valor nominal sea la suma de los valores

nominales de las tres letras, suponiendo que la tasa de interés es constante.


06.¿Cuál será el descuento comercial y el valor efectivo de un pagaré de S/ 7200 que vence el 15 de Noviembre y se negocia al 5% el 17 de Agosto del mismo año?

a) S/ 90 y S/ 6300 b) S/ 85 y S/ 7114 c) S/ 95 y S/ 7105 d) S/ 91 y S/ 7109e) S/ 99 y S/ 7110

07.Dos letras son descontadas, la primera por 140 días al 50% anual; la segunda por 150 días al 60% anual; el descuento de la primera es al de la segunda como 7 es a 5, y la diferencia de los valores nominales respectivos es $ 560. Dichas letras se desean reemplazar por otra a pagar en 200 días al 40%. Determinar el valor nominal de ésta letra reemplazante.

a) $ 1890 b) $ 1920 c) $ 1940 d) $ 1980 e) $ 1680

08.Un comerciante tiene tres letras por cancelar, la primera por S/ 8000 dentro de 40 días, la segunda por S/ 7000 y la tercera por S/ 5000 dentro de 3 meses 10 días. Se decide cambiar las letras por una sola cuyo valor nominal sea S/ 20000 y firmada para cancelar dentro de 75 días. ¿Dentro de cuánto tiempo vencía la segunda letra?


09.El descuento comercial y el descuento racional de una letra de cambio están en la relación de 4 a 3. ¿Qué porcentaje del valor nominal es el descuento racional?

a) 10% b) 15% c) 20%

d) 25% e) 30%

10.Por un artefacto, cuyo precio al contado es S/ 1880, se ha dado una cuota inicial de S/ 200 y se han firmado letras de igual valor nominal que vencen mensualmente. Hallar al cabo de que tiempo se terminará de cancelar el artefacto, si el valor de cada letra es S/ 1200 y se ha fijado una tasa del 10%.

a) 1 año b) 2 años, 2 meses c) 1 año, 3 meses d) 1 año, 5 meses e) 2 años

11.El menor valor actual de una letra es S/ 5940 y su menor descuento es el 10% de su valor actual. Si la letra vence en 8 meses y se descuenta al 15%. Calcular su mayor valor actual.

a) S/ 5900 b) S/ 6006 c) S/ 5994 d) S/ 6000 e) S/ 6500

12.Hoy se firma una letra de cambio por una deuda, considerando un interés simple del 30%, con vencimiento en 8 meses. ¿Qué tasa de descuento se debe aplicar a dicho efecto de comercio para que al descontarla comercialmente dentro de 2 meses no exista pérdida de dinero?

a) 25% b) 36% c) 48% d) 30% e) 35%

13.Una persona compra un artículo, cuyo precio al contado es S/ 6000, pagando S/ 2562 al contado y por el resto firmando letras mensuales de S/ 450 cada una. ¿Cuántas letras se firmó considerando un descuento comercial del 6% semestral?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

14.Si una letra se descontase el día de hoy, se pagaría el 80% de su valor nominal, pero si se hubiera pagado hace 4 meses 20 días, el valor

anterior hubiera disminuido en un 10%. ¿Qué tiempo falta para el vencimiento de la letra?

a) 6 meses, 20 días b) 8 meses, 10 días c) 9 meses, 10 días d) 11 meses, 20 díase) 1 año

15.Calcular el valor nominal de una letra, que descontada por un año al 12%, da una diferencia de S/ 36 entre el descuento abusivo y el descuento matemático.

a) S/ 2000 b) S/ 2300 c) S/ 2800d) S/3200 e) S/4200

Antes de pasar a estudiar el reparto proporcional, hablemos primero sobre magnitudes proporcionales.

I. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.“Dos magnitudes se llaman directamente proporcionales cuando el cociente de sus valores correspondientes es una cantidad constante”

Ejemplo1: En el movimiento uniforme, el espacio y el tiempo son magnitudes directamente proporcionales porque el cociente de sus valores correspondientes es para cada movimiento, una constante llamada velocidad.


REPARTO


Magni-tudes Valores Correspondientes

Espacioe1=20km

e2=40km

e3=60km

e4=80km

Tiempo t1=2h t2=4h t3=6h t4=8h

Luego:

4

4

3

3

2

2

1

1

t

e

t

e

t

e

t

e=== =Constante = Velocidad

∴ (t)Tiempo

(e)Espacio=Velocidad (V)

Ejemplo 2: La circunferencia y el diámetro son magnitudes directamente proporcionales, porque el cociente de sus valores correspondientes es la constante ( )

2 (5) = 102 (4) = 8

Magnitudes

Circunferencia

Valores Correspondientes

2 (5) = 10π πc1= 2 r=π2 (3) = 6π π

2= 2 r=

2 (4) = 8π πc π 2 c3= 2 r=π 3

X 4/3 X 5/4

Diámetro d = 2r =1 1 c = 2r =2 2 d = 2r =3 32 (3) = 6

X 4/3 X 5/4

Luego: 3

3

2

2

1

1

d

C

d

C

d

C== = Constante = π

∴

(D)nciacircunfereladeDiámetro

(C)nciacircunfereladeLongitud

= π

II. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES.“Dos magnitudes se llaman inversamente proporcionales, cuando el producto de sus valores correspondientes es una constante”

Ejemplo 1: En el movimiento uniforme la velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales porque el producto de sus valores correspondientes es, para cada movimiento, una constante llamada espacio.

Magni-tudes Valores Correspondientes

Veloci-dad

V1=30km/h

V2=60km/h

V3=80km/h

V4=40km/h

Tiempo t1=8h t2=4h t3=3h t4=6h

Luego: V1.T1=V2.t2=V3.t3=V4.t4=constante = Espacio

∴ Velocidad (V) . Tiempo (t) = Espacio(e)

(En este ejemplo (1), se cumple que: a mayor velocidad menor será el tiempo empleado.)

NOTA IMPORTANTE:Las definiciones anteriores son las que se deben aceptar bajo un punto de vista estrictamente matemático. Es corriente decir que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando van de más a más y son inversamente proporcionales cuando van de más a menos. Estos son criterios que se deben desechar, porque hay magnitudes que van de más a más o van de más a menos y sin embargo no son directa o inversamente proporcionales.

Ejemplo:La Mayor radio es evidente que tiene mayor área en el círculo sin embargo el radio y el circulo no son magnitudes, directamente proporcionales, como vamos a demostrar.

Magnitudes Valores CorrespondienteCírculo π.r2=π(3)2=9π πr2=π(4)2=16πRadios r = 3 r = 4

Estas dos magnitudes fueran directamente proporcionales. El cociente de sus valores correspondientes debería ser constante, lo que no es cierto, porque:

4

)4(

3

)3(

22

22

ππ

ππ

=

=

r

r

r

r= 3 π

= 4 π(No son iguales)

Propiedad Importante en las Magnitudes directamente Proporcionales

4321

4321

4

4

3

3

2

2

1

1

bbbb

aaaa

b

a

b

a

b

a

b

a

++++++==== =K (Constante)

Clasificación:

)(constante 26432

12864

6

12

4

8

3

6

2

4=

++++++

====

Reparto Proporcional:El reparto proporcional es una regla que tiene por objeto repartir una cantidad en partes, directa o inversamente proporcional a dos o más números dados

Solución:s:Número o suma que se debe repartirc:Factores de proporcionalidad (puede ser dos

o más)z:Partes o sumandos respectivamente

proporcionales a; a, b y c

S = x + y + z

Problema General:Repartir el número (N) en tres partes que sean directamente proporcionales a tres números dados a, b y c.

Resolución:Llamemos x, y, z a las partes buscadas, como estas partes deben ser directamente proporcionales a los números a, b y c el cociente debe ser constante, de acuerdo con la

definición de magnitudes directamente proporcionales:

c

z

b

y

a

x== = Constante

Por propiedad:

c

z

b

y

a

x

cba

zyx===

++++

...(I)

Sabemos que: x + y + z = N ...(II)

Hacemos que: a + b + c = S ...(III)

Reemplazamos (II) y (III) en (I):

c

z

b

y

a

x

S

N=== ;Donde:

S

Ncz

S

Nby

S

Nax

..

.

.

=

=

=

usar para

Fórmulas

Aplicación:Dividir el número 1 000 en 3 partes que sean directamente proporcionales a los números 2,3 y 5

Resolución:Llamemos x, y, z a las partes buscadas como estas partes deben ser directamente proporcionales a los números 2,3 y 5, el cociente debe ser constante de acuerdo a la



definición de magnitudes directamente proporcionales .

532

zyx== = Constante

Por propiedad:

532532

zyxzyx===

++++

; pero; x +y +z = 1000

532

zyx

10

0001===

Donde: 100 = 2

x x = 200

100 = 3

y y = 300

100 = 5

z z = 500

∴ Las tres partes buscadas son: 200, 300 y 500 Rpta.

Método Práctico:Dividir el número 1 000 en tres partes directamente proporcionales a los números 2,3 y 5.

Resolución:

Sean las 3 partes perdidas

5K

...(I)3K

2K

Luego:2K + 3K + 5K = 1 000 10K = 1 000 K = 100

Reemplazamos el valor de K=100; en (I), obteniendo:

2K = 2 (100) = 2003K = 3 (100) = 300 Rpta.5K = 5 (500) = 500

Nota:Si los números a, b y c son heterogéneos habrá que hacer los previamente homogéneos. Tales el caso en que los números a, b y c sean quebrados heterogéneos. En este caso se dá un común denominador y se toman solamente los numeradores.

Ejemplo:Repartir 858 en partes directamente

proporcionales a los números: 5

4

6

5:

4

3y

Resolución:Damos común denominador a los quebrados:

60

48;

60

50;

60

45

5

4;

6

5;

4

3=

Tomando sólo los numeradores, obtenemos:

485045

zyx== = Constante

Por propiedad:

485045485045

zyxzyx===

++++

;pero:

x + y + z =858

Donde:

485045143

858 zyx===

I)45143

858 x= x=

143

45.858 x =

270

II)50143

858 y= y=

143

50.858 y =

300

III)48143

858 z= z=

143

48.858 z =

288

∴ Las partes pedidas son: 270, 300 y 288Rpta.

Método Práctico:

K5

4

...(I)K6

5

K4

3

858

8585

4

6

5

4

3=+ kk

Damos común denominador en le primer miembro:

60

48K50K45K ++=858

= 858.60 K =6.60 ∴ K = 360

Reemplazando el valor de K =360, en (I); tenemos:

4

3

4

3=K (360) = 270

6

5

6

5=K (360) = 300 Rpta.

5

4

5

4=K (360) = 288

Reparto Proporcional Inverso:

Tema General:En un número (N) en 3 pares que sean directamente proporcionales a 3 números dados a, b y c.

Solución:Tenemos x, y, z las partes buscadas como las partes deben ser inversamente proporcionales a los números a, b y c, el producto que debe ser constante de acuerdo con la definición de magnitudes inversamente proporcionales.

x.a = y.b = z.c = constante

Igualdades pueden escribirse así:

c

z

b

y

a

x

/1/1/1== = Constante

Igualdades nos indican que las partes x, son directamente proporcionales a las de los números a, b, c. se tiene que las siguiente resolución general.

“Para dividir el número (N) en partes inversamente proporcionales a otros números dados a, b y c se divide el número “N”en partes; directamente proporcionales a las inversas de los números a, b y c, es decir a: 1/a; 1/b y 1/c”

Aplicación:Repartir 360 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números 3,4 y 6.

Resolución:Tomamos la inversa de los números 3, 4 y 6, obteniendo: 1/3; ¼ y 1/6.



Luego, damos común denominador a los quebrados:

12

2;

12

3;

12

4

6

1;

4

1;

3

1=

Tomando sólo los numeradores, obtenemos

que: 234

zyx== = Constante

Por Propiedad:

234234

zyxzyx===

++++

; pero

x+y+z=360

2

z

3

y

4

x

9

360===

Donde:

I)49

360 x= 40=

4

x x = 160

II)39

360 y= 40=

3

y y = 120

III)29

360 z= 40=

2

z z = 80


Método Práctico:

360

K6

K3

K4

... (I)

Donde:

643

KKK++ =360; Damos común

denominador en le primer miembro:

12

234 KKK ++=360 9K = 360.12

K=40.12 ∴K=480

Reemplazamos el valor de K=480, en (I), obteniendo:

3

480

3=

K=160

4

480

4=

K=120 Rpta.

6

480

6=K

= 80

Ejemplo:Repartir 735 en partes inversamente

proporcionales a: 5

3;

5

1 y 3.

Resolución:Se toman los inversos de los factores de proporcionalidad; osea:

La inversa de: 5

1

5

1es =5

La inversa de: 3

5

5

3es

La inversa de: 3 es 3

1

Damos común denominador a:

3

1,

3

5,

3

15

3

1,

3

5=5,

Se hace el reparto proporcional directo entre los numeradores:

= Constante515

zyx==

1

Por Propiedad:

151521

15151515

zyxzyx===

++++

735 zyx===

; pero: x+y+z = 735

Donde:

i)1521

735 x= 35=

15

x X = 525

ii)521

735 y= 35=

5

y Y = 175

iii)121

735 z= 35=

1

z Z = 35

Método Práctico:

735

K3

13

35

... (I)

K / = 5K

K / 5K3

=

K / 3 =

Donde:

5K +33

5 KK+ = 735; Damos común

denominador en el primer miembro :

7353

515=

++ KKK

21K = 735.3 K = 35.3 ∴ K = 105

Desplazamos el valor de K=105, en (I), sabiendo:5K = 5(105) = 525

3

)105(5

3

5 =K=175 Rpta.

3

105

3=

K=35

Casos Combinados de Reparto Proporcional

Ejemplo (1): Repartir 276 en 3 partes directamente proporcional a 2,4 y 5 e inversamente proporcional a 12, 18 y 20.

Solución:Factores directos son: 2, 4 y 5Hallamos la inversa a 12, 18 y 20

20

1;

18

1;

12

1

Común denominador a:

180

9;

180

10;

180

15

20

1;

18

1;

12

1=

sólo los numeradores y los multiplicamos por los factores directos 2,4 y 5 puesto que ambos ya son directos, obteniendo:

5

9

2

15

4

10

;; ;

⇓

×××45

95;

40

104;

30

152

⇓ ⇓985

(Sacamos quinta a casa término o sea dividimos entre 5, obteniendo)

el reparto sería:



986

zyx== = Constante

Por Propiedad:

98623

986986

zyxzyx===

++++

276 zyx===

; pero: x+y+z = 276

Donde:

I)623

276 x= 12 =

6

x x = 12

II)823

276 y= 12 =

8

y y =96

III)923

276 z= 12 =

9

z z = 108


Ejemplo 2: Repartir el número 1 560 en tres partes de modo que la primera sea a la tercera como 7 es a 3 y que la primera sea a la segunda como 5 es a 4.

Resolución:Sean:

...(I) 560 1 z yx

parteTercera z

parteSegunda y

partePrimera x

=++

===

Del enunciado; obtenemos:

i)3

7=

z

x Como “x” se repite tratamos

que sean homogéneos osea que tomen el mis o valor para eso multiplicamos “x 5” a los dos términos de (i) y “x 7” a los dos

términos de (ii) y “x 7”a los dos términos de (ii), obteniendo:

ii)4

5=

y

x

)(

28

35

7.4

7.5

15

35

5.3

5.7

II

y

x

y

x

z

x

z

x

=⇒=

=⇒=

Y=28K

X=35K

Z=15K

X=35K

ii)

i)

Reemplazamos los valores de x, y, z en (I):

35K + 28K +15K = 1 560 78K = 1 560 ∴ K = 20

Reemplazamos el valor de K=20; en (II); obteniendo:

x = 35K x = 35(20) x = 700

y = 28K y = 28(20) y = 560

z = 15K z = 15(20) z = 300


PROBLEMAS RESUELTOS

01.Repartir 288 en partes directamente proporcionales a 3 y 5.

Resolución:Sean las dos partes pedidas: x é y

288

y = 5K

x = 3K

... (I)

Luego:3K + 5K = 288 8K = 288 K = 36

Reemplazamos el valor de “K” en (I)

x = 3K x = 3(36) x = 108y = 5K y = 5(36) y = 180Rpta. Las partes pedidas son: 108 y 180

02.¿Cuál es la medida de cada ángulo de un cuadrilátero, si sus ángulos son directamente proporcionales a: 1,4,5 y 8 respectivamente?

Resolución:Sabemos que, en todo cuadrilátero la suma de sus 4 ángulos internos es igual a 360º, veamos:

1K + 4K + 5K + 8K = 360º 18K = 360º K = 20º

Luego los ángulos pedidos son:A = 5K A = 100ºB = 4K B = 80ºC = 1K C = 20ºD = 8K D = 160º

A

B

C

D

4K

5K 1K

8K

Rpta. La medida de cada ángulo de dicho cuadrilátero son: 100º, 80º, 20º y 160º.

03.Vanessa repartió cierta cantidad de dinero entre 3 niños en partes proporcionales a los números 4,5 y 7 si el tercero recibió 42 dólares más que el primero. ¿Qué cantidad de dinero repartió ?

Resolución:Sea:C = Cantidad de dinero a repartirseC =

(I) ... 16KC 7K5K4K C

7Kz

5K y

4K x

=∴++=

=

=

=

Del enunciado:

El tercero recibió sdólare 42

más que

el primero

Obtenemos: Z – x = 42 ⇓ ⇓7K – 4K = 42 3K = 42 ∴ K = 14

Reemplazando el valor de K=14, en (I)

C=16(4) ∴ C = 224

Rpta. La cantidad de dinero que repartió Vanessa fue de 224 dólares.



PRACTICA DE CLASE

01.Hallar la mayor parte que resulta de repartir 1740 en forma proporcional a los números 422; 282; 562.

a) 1456 b) 1546 c) 1564 d) 1465 e) 960

02.Repartir S/. 15500 IP a los números: 3 24 ;

3 81 y 3 375 . ¿Cuántos soles recibe el

mayor?

a) 7500 b) 5000 c) 4500 d) 3600 e) NA

03.Al repartir una cantidad en forma DP a 36; 60 y 45 e IP a 16; 24 y 60. Se observó, que la diferencia entre la mayor y menor de las partes es S/ 5600. La suma de cifras de la cantidad repartida es:

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

04.Se reparte el número 145800 en partes proporcionales a todos los números pares, desde 10 a 98. ¿Cuánto le toca al que es proporcional a 72?

a) 1111 b) 214 c) 4320 d) 1580 e) NA

05.Repartir 1750 en forma IP a los números 3; 15; 35; 63;.........;2499. Dar como respuesta, la tercera parte obtenida.

a) 102 b) 104 c) 106 d) 108 e) 110

06.Se reparte una cantidad proporcionalmente a los números 1; 2; 3 y 4; pero, luego se decide hacerlo proporcionalmente a 2; 3; 4 y 6 motivo por el cual una de las partes, disminuye en S/ 180. Hallar la parte del cuarto número.

a) S/ 2400 b) S/ 3080 c) S/ 3800 d) S/ 2160 e) S/ 2040

07.Tres socios A, B y C forman una empresa, aportando B el doble de A y C 25% más que B. Después de algunos meses, todos incrementan su capital en un 20% y cuando se reparten las utilidades, el que menos ganó obtuvo S/ 20000 de utilidad. La utilidad total es:

a) 100mil b) 105mil c) 110mil d) 115mil e) 120mil

08.Tres socios han ganado en un negocio $ 24000. El primero contribuyó con $ 25000, el segundo con $ 40000 durante 6 meses y el tercero con $ 20000 durante 8 meses. El primero tuvo una ganancia de $ 6000. Calcular el tiempo que tuvo impuesto su capital el primero.

a) 4m; 10d b) 5m; 10d c) 4m; 20d d) 5m; 20d e) NA

09.Tres personas se asociaron para establecer un negocio; la primera puso mercaderías y la segunda S/ 10000. Obtuvieron una ganancia de S/ 20000, de los cuales, la primera recibió S/ 8000 y la tercera S/ 7000. Calcular el importe de las mercaderías.

a) S/ 14000 b) S/ 16000 c) S/ 18000 d) S/ 12000 e) S/ 20000

10.Cuatro socios reúnen S/ 200000; de los cuales, el primero pone S/ 40000; el segundo los 3/4 de lo que puso el primero, el tercero los 5/3 de lo que puso el segundo y el cuarto lo restante. Explotan una industria durante 4 años. Si hay que repartir una ganancia de S/ 150000, calcular cuánto le tocó al cuarto socio.

a) S/ 40000 b) S/ 30000 c) S/ 50000 d) S/ 60000 e) S/ 56000

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 05

01.Dividir 2480 en partes que sean DP a los números 2n; 2n-1 y 2n+1 e IP a los números 3n-1; 3n+1 y 3n. Dar la menor de las partes.

a) 80 b) 120 c) 40 d) 960 e) 1440

02.Repartir 42 entre A; B y C de modo que la parte de A sea el doble de B y la de C, la suma de las partes de A y B. Entonces, el producto de las partes de A, B y C es:

a) 2058 b) 1050 c) 1110 d) 2110 e) N.a

03.Ricardo tiene 3 sobrinos de 15; 17 y 19 años respectivamente y se les deja S/ 24000 con la condición de que se dividan esta suma DP a las edades que tendrán dentro de 3 años. Una de las partes será:

a) S/ 6400 b) S/ 5600 c) S/ 8800 d) S/ 9600 e) S/ 10400

04.Repartir S/ 3936 entre tres personas, de modo que la parte de la primera sea a la segunda como 7 es a 6 y que la parte de la segunda sea a la tercera como 4 es a 5. La parte intermedia es:

a) 1344 b) 1152 c) 1536 d) 1056 e) 1440

05.José reparte semanalmente una propina de S/. 248 entre sus tres hijos en forma IP a sus edades que son: 15; 18 y 20 años respectivamente. Lo que recibe el menor excede a la del mayor en:

a) S/ 18 b) S/ 30 c) S/ 27 d) S/ 21 e) S/ 24

06.Repartir S/ 2712 entre tres personas de modo que, la parte de la primera sea a la de la segunda como 8 es a 5 y que la parte de la segunda a la tercera como 6 es a 7. La diferencia entre la mayor y menor de las partes es:

a) S/ 384 b) S/ 408 c) S/ 480 d) S/ 432 e) S/ 456

07.Repartir el número 1134 en tres partes, cuyos cuadrados sean DP a 8, 50 y 98. Dar la menor parte.

a) 160 b) 161 c) 162 d) 163 e) N.a

08.Al dividir 2352 en partes D.P. a las raíces cuadradas de 75; 12 y 27 e IP a las raíces cuadradas de 27; 12 y 75 respectivamente, la mayor parte es:

a) 1600 b) 1000 c) 1500d) 1800 e) 1200

09.Se ha repartido cierta cantidad entre tres personas, en partes proporcionales a los números 3, 4 y 5. Sabiendo que la tercera persona ha recibido 600 dólares más que la primera. ¿Qué cantidad se distribuyó?

a) 3600 b) 3200 c) 4000 d) 7200 e) 6400

10.Joaquín antes de morir deja a su hermana $ 8400 y una cláusula en su testamento. “Si mi hermana tiene una hija, dejo, para ésta los 2/3 y 1/3 para la madre; pero, si tiene un hijo, a éste le tocará 1/3 y 2/3 para la madre”. Sucede, que la hermana de Joaquín tiene un hijo y una hija. ¿Cuánto le tocará a la hija?

a) 1200 b) 2400 c) 3600d) 4800 e) N.a

11.A, B y C poseen juntos un terreno, siendo sus partes proporcionales a 4; 2,5 y 1,5. ”A” vende la mitad de su parte a “C” y éste vende 100m2 a “B”; por lo que las partes de ”B” y ”C” resultan iguales. Hallar el área correspondiente inicialmente a A.

a) 160m2 b) 400m2 c) 240m2 d) 220m2 e) 420m2

12.Se desea repartir una herencia entre tres hermanos, dos de ellos de 18 y 32 años.



Discuten si hacerlo directa o inversamente proporcional a sus edades; le piden al tercero que opine y él responde: ”Me da igual”. Determinar la herencia, si al tercero le tocó S/ 12000

a) S/ 39000 b) S/ 38000 c) S/ 37000 d) S/ 36000 e) S/ 35000

13.Diariamente se reparten S/ 330 entre 2 obreros A y B en forma DP a su rendimiento. Un día A recibe S/ 176 y B el resto; al otro día, A disminuye su eficiencia en un 25% y B la aumenta en un 20%. Hallar la diferencia entre las cantidades que recibirán A y B en este nuevo reparto.

a) S/ 54 b) S/ 55 c) S/ 56 d) S/ 57 e) S/ 58

14.Una cantidad de $ X se reparte entre 2 personas, de la siguiente forma: 2/5 del dinero en forma IP a 4 y 3; el resto de lo que queda IP a 4 y 5. Si la diferencia de lo que cada uno tuvo al final es de $ 80. Hallar X.

a) $ 8700 b) $ 8600 c)$*8400 d) $ 8500 e) $ 8900

15.Dos socios aportan S/ 1500 y S/ 3500 en una empresa. A los 6 meses se retira el primero; la empresa se liquidó al terminar el año y el primero ganó S/ 510. Hallar la ganancia del segundo.

a) S/ 2360 b) S/ 2370 c) S/ 2380 d) S/ 2390 e) S/ 2400

16.Dos personas A y B obtienen S/ 3700 de utilidad total en cierto negocio. ”A” contribuyó con S/ 900 durante 5 meses y ”B” con cierto capital durante 7 meses. Si ”B” ganó los 7/5 de lo que impuso. Determinar dicho capital.

a) S/ 1000 b) S/ 1500 c) S/ 2000 d) S/ 2500 e) S/ 2250

17.Tres socios intervienen en un negocio aportando capitales de S/ 2000, S/ 3000 y S/

7000 durante 2; 3 y 5 años respectivamente. Si el negocio quebró dejando una pérdida de S/ 48000. Halle la perdida del primer socio.

a) S/ 4000 b) S/ 40000 c) S/ 3500 d) S/ 35000 e) S/ 9000

TAREA DOMICILIARIA

01.Un tío antes de morir repartió su fortuna entre sus tres sobrinos en partes que son entre si como 7; 6 y 5. Por un segundo testamento, cambia su disposición y el reparto lo hacen proporcionalmente a los números 4; 3 y 2 de tal manera que uno de los sobrinos recibe $ 72000 más. Calcular el valor de la herencia.

a) $1269000 b) $1629000 c) $1962000 d) $1642000 e)*$1296000

02.Diariamente se reparte 2002 pesos entre 2 obreros A y B en forma DP en sus rendimientos. El lunes A recibió 462 pesos más que B. Al día siguiente disminuyó su rendimiento en 25% y B aumentó el suyo en 20%. Calcular ¿Cuánto recibió A el martes?

a) 1001 b) 1092 c) 910 d) 1274 e) 2002

03.En una carrera de 2000 m participan tres ciclistas A; B y C, cuyas velocidades son: 15m/s ; 18m/s y 20m/s. Después de 80 segundos de iniciada la carrera, se suspende y se decide repartir el premio proporcionalmente a sus velocidades e IP a las distancias que les faltaba recorrer para terminar la carrera. Si C recibió S/ 420 más que B. ¿Cuánto recibió A?

a) S/ 441 b) S/ 328 c) S/ 420 d) S/ 120 e) S/ 342

04.Las edades de 7 hermanos son números consecutivos. Si se reparte una suma de dinero en forma proporcional a sus edades, el menor recibe la mitad del mayor y el tercero recibe S/ 8000. ¿Cuál es la cantidad repartida?

a) S/ 50000 b) S/ 42000 c) S/ 56000

d) S/ 50400 e) S/ 70000

05.Se reparte una determinada cantidad de dinero entre 4 personas. Lo que le toca al primero es a lo del segundo como 2 es a 3; lo del segundo es a lo del tercero como 4 es a 5 y lo del tercero es a lo del último como 6 es a 7. Si el último recibió S/. 5600, la cantidad repartida es:

a) S/ 19000 b) S/ 19400 c) S/ 19600 d) S/ 16800 e) S/ 20000

06.Se reparte ”N” en forma proporcional a 2, ”a” y ”b”, observándose que la parte de “a” es 720 y es la media aritmética de las otras dos partes. Hallar ”N”.

a) 3120 b) 2840 c) 2160 d) 1620 e) 2130

07.Tres amigos compraron un billete de lotería de S/ 10. El primero contribuyó con S/ 3,4 ; el segundo con S/ 5,1 y el tercero con el resto. El billete salió premiado con S/ 50000 y dieron al lotero los 3/25 del premio. ¿Cuánto correspondió al primero de los amigos?

a) S/ 19460 b) S/ 18520 c) S/ 14960 d) S/ 15280 e) S/ 22500

08.Un padre decide repartir una herencia en forma DP a las edades de sus hijos: 6; 8 y 10 años. Pero, decide postergar el reparto hasta que el menor tenga la edad actual del mayor, por lo cual uno de los hijos recibe S/ 3200 más de lo que iba a recibir. ¿Cuánto recibió el mayor?

a) S/ 38400 b) S/ 48000 c) S/ 102400 d) S/ 32000 e)*S/ 44800

09.Tres obreros se reparten una gratificación en partes proporcionales a sus jornales, que son: S/ 2400; S/ 3000 y S/ 4200. No pareciéndoles justo el reparto, después de efectuado, acuerdan que fueran por partes iguales y para

ello, entrega el tercero S/ 10000 al segundo y éste una cierta cantidad al primero. ¿Cuál fue esa cantidad que el segundo entregó al primero?

a) S/ 8000 b) S/ 8120 c) S/ 8110 d) S/ 9000 e) S/ 9800

10.José decide repartir una suma de dinero entre sus tres sobrinos, proporcionales a sus edades de éstos, sabiendo que sus edades son números pares consecutivos. Si lo que le toca al mayor, es 5 veces de lo que le toca al menor, y ambas partes suman S/ 800. Determinar la suma que se repartió.

a) S/ 2000 b) S/ 1000 c) S/ 1500 d) S/ 2500 e) S/ 1200

11.Se reparte un número en forma DP a todos los divisores de 100; si la mayor de las partes es 2800. ¿Cuál es el número repartido?

a) 6076 b) 6067 c) 7066 d) 7660 e) 7606

12.Se reparte S/ 14400 entre 3 personas A, B y C, proporcionalmente a sus edades. Se sabe, que la edad de A es el doble que la de B y que a C le corresponde S/ 4200. Hallar la edad de A, sabiendo que la suma de las 3 edades es 72.

a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35



SOLUCIONARIO

NºEjercicios Propuestos

01 02 03 04 05

01. C E C A

02. C B D D A

03. C D B C

04. A B D A

05. E A C E

06. D A A C D

07. D B D C

08. A E E E

09. A C A A

10. D B A D

11. B B

12. B C

13. C B

14. E B C

15. C A C

16. C A C

17. A B A

18. B B

19. A A20. D B

21.

22. A

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL

copyright 2003


aritmetica 5° 4 b

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