aritmética ii potencias y raíces
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Potencias y Raíces
Sebastián Lavanderos B.
Aritmética II
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Definición• Producto de Factores Iguales.• Formada por la base y el
exponente.
• Se lee a elevado a n.
𝑎𝑛=𝑎×…×𝑎⏟𝑛
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Propiedades Fundamentales
• Exponente Negativo:
𝑎−𝑛=1
𝑎𝑛
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Propiedades Fundamentales
• Exponente Negativo:
(𝑎𝑏 )−𝑛
=(𝑏𝑎 )𝑛
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Propiedades Fundamentales
• Exponente Fraccionario:
𝑎𝑏𝑐=
𝑐√𝑎𝑏
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Propiedades Fundamentales
• Exponente Cero (0):
𝑎0=1Excepción:
00=∄
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Propiedades Fundamentales
• Exponente 1:
𝑎1=𝑎
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Operatoria
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Multiplicación con igual base
• Se conserva la base y se suman los exponentes:
𝑎𝑚 ∙𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛
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División con igual base• Se conserva la base y se restan los
exponentes:
𝑎𝑚
𝑎𝑛 =𝑎𝑚−𝑛
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Producto de una Potencia
• Con igual exponente, multiplicamos las bases:
𝑎𝑥 ∙𝑏𝑥= (𝑎 ∙𝑏)𝑥
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Potencia de una Potencia
• Multiplicamos los exponentes:
(𝑎𝑏 )𝑐=𝑎𝑏 ∙ 𝑐
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Propiedad Distributiva• Para separar potencias en dos:
(𝑎 ∙𝑏 )𝑛=𝑎𝑛 ∙𝑏𝑛
(𝑎𝑏 )𝑛
= 𝑎𝑛
𝑏𝑛
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¡¡ESTO NO!!
(𝑎+𝑏 )𝑚≠𝑎𝑚+𝑏𝑚
(𝑎−𝑏)𝑚≠𝑎𝑚−𝑏𝑚
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Potencias de Base 10• 1 + tantos 0 como sea el orden del
exponente:
…
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Potencias Negativas• Exponente Par:
• Exponente Impar:
• Donde n es par y m es impar.
(−𝑎)𝑛=𝑎𝑛
(−𝑎)𝑚=−𝑎𝑚
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¡¡NO ES LO MISMO!!
(−𝑎)𝑛≠−𝑎𝑛
(−𝑎 )× (−𝑎)× (−𝑎)×…⏟𝑛
−(𝑎×𝑎×𝑎× ...)⏟𝑛
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Potencias Negativas
Base Exponente Potencia
+ Par +
+ Impar +
- Par +
- Impar -
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Raíces
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¿Qué es una Raíz?• Número que se multiplica por sí
mismo una determinada cantidad de veces para dar un resultado.
• Extraer la raíz = Resolver la raíz.• Operación Inversa de la Potencia.
𝑥𝑛=𝑎↔𝑛√𝑎=𝑥Potencia Raíz
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Partes de una Raíz
𝑏√𝑎=𝑥Índice
Cantidad Subradical
Valor
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Resolviendo una Raíz• ¿Qué número elevado al índice da
como resultado la cantidad subradical?𝑏√𝑎=𝑥¿Qué número elevado a b da como
resultado a?
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Propiedades de las Raíces
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Multiplicación de Raíces• Con igual índice:
𝑛√𝑎 ∙ 𝑛√𝑏=𝑛√𝑎 ∙𝑏
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División de Raíces• Con igual índice:
𝑛√𝑎𝑛√𝑏
=𝑛√ 𝑎𝑏
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Raíz de una Raíz• Se multiplican los índices, se
mantiene la base:
𝑚√𝑛√𝑎=(𝑚 ∙𝑛)√𝑎
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Potencia de Radicales
( 𝑏√𝑎)𝑛=𝑏√𝑎𝑛
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Simplificación de Raíces• Si los índices son iguales:
𝑛√𝑎𝑛=𝑎
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Operatoria de Índices• Simplificación o Amplificación del
índice, haciendo lo mismo dentro de la potencia:𝑚√𝑎𝑛=𝑥 ∙𝑛√𝑎𝑥 ∙𝑛
¡Mismo factor!Multiplicación o
División
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Ingresar números a la raíz
• Se ingresa elevado al índice de la raíz:
𝑥 𝑛√𝑎=𝑛√𝑥𝑛 ∙𝑎
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Para todas las propiedades
Sólo son válidas en caso de que las raíces estén definidas
en los Números Reales.
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Racionalizar
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¿Qué es Racionalizar?• Quitar las raíces de un denominador.• Multiplicación del factor conjugado.
𝑎𝑏√𝑐
= 𝑎𝑏√𝑐
∙ √𝑐√𝑐
=𝑎√𝑐𝑏𝑐
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Operatoria de Raíces
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Suma y Resta• Podemos sumar y restar radicales
solamente cuando estos tengan el mismo índice y contengan una misma base (subradical).
• Factorización.
3√2+5 √2−√2=√2 (3+5−1 )=7 √2
Factor Común: Factorizamos por
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Operaciones Combinadas
3√2+√50−√98
¿QUÉ?
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Operaciones Combinadas
• Buscamos una presentación distinta que sí podamos manejar.
• Tratamos de reducir las raíces lo más que se pueda.
3√2+√50−√98
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Operaciones Combinadas
√2
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Casos Especiales
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Raíces que no existen• Raíces Complejas:
𝑛√−𝑎=?Consideraciones:• n es par.• Si n es impar, la raíz tiene solución
real.
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¿Dudas?