NOÉ CARMONA MORENO

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓNMULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓNENSEÑANZA Y APRENDIZAJE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

DESDE PRIMER GRADODESDE PRIMER GRADODE PRIMARIADE PRIMARIA

Premisa;Premisa;

El aprendizaje de la aritmética y la matemática en El aprendizaje de la aritmética y la matemática en general, se convierte frecuentemente en un general, se convierte frecuentemente en un martirio para los alumnos dentro de la educación martirio para los alumnos dentro de la educación formal, hay principios y conceptos que se formal, hay principios y conceptos que se comprenden hasta edades adultas ya que las comprenden hasta edades adultas ya que las formas tradicionales de la enseñanza bloquean el formas tradicionales de la enseñanza bloquean el desarrollo intelectual, pues se prepara al cerebro desarrollo intelectual, pues se prepara al cerebro para realizar mecanizaciones desde muy corta para realizar mecanizaciones desde muy corta edad, lo que provoca que si el individuo se le edad, lo que provoca que si el individuo se le dificulta la capacidad de retención de información, dificulta la capacidad de retención de información, tiende irremediablemente al fracaso en el tiende irremediablemente al fracaso en el aprendizaje de las matemáticas. aprendizaje de las matemáticas.

Consideraciones previas…Consideraciones previas…• Las matemáticas es una creación humana Las matemáticas es una creación humana

basada en abstracciones, que solo se basada en abstracciones, que solo se pueden abordar en sus inicios con pueden abordar en sus inicios con situaciones concretas de la vida cotidiana situaciones concretas de la vida cotidiana y acercada a la realidad del niño. Evita y acercada a la realidad del niño. Evita enseñar los números sin referencia enseñar los números sin referencia concretaconcreta

Consideraciones previas…Consideraciones previas…

• Que el aprendizaje de las matemáticas para Que el aprendizaje de las matemáticas para desarrollarlo como competencia es un desarrollarlo como competencia es un PROCESO LENTO Y LARGO. (no hay prisa) PROCESO LENTO Y LARGO. (no hay prisa)

• Que las actividades sugeridas se trabajan Que las actividades sugeridas se trabajan durante períodos hasta lograr la apropiación durante períodos hasta lograr la apropiación del conocimiento, sobre todo los primeros del conocimiento, sobre todo los primeros aprendizajes planteados en el reforzamiento aprendizajes planteados en el reforzamiento de los conocimientos previos.de los conocimientos previos.

• Que no se trata de que aprenda propiamente Que no se trata de que aprenda propiamente el algoritmo, “en primera instancia”, se el algoritmo, “en primera instancia”, se pretende que genere el razonamiento pretende que genere el razonamiento deductivo y llevarlo a la necesidad de realizar deductivo y llevarlo a la necesidad de realizar el proceso algorítmico.el proceso algorítmico.

Consideraciones previas…Consideraciones previas…

• El adecuado y correcto aprendizaje de los El adecuado y correcto aprendizaje de los principios matemáticos y en particular de la principios matemáticos y en particular de la aritmética en los primeros años, le facilitará aritmética en los primeros años, le facilitará en el futuro el aprendizajes cada vez más en el futuro el aprendizajes cada vez más complejos.complejos.

• Antes de iniciar sobre el proceso del Antes de iniciar sobre el proceso del algoritmo, se debe confirmar que el niño ya algoritmo, se debe confirmar que el niño ya tenga el manejo de los siguientes aspectos;tenga el manejo de los siguientes aspectos;

• Concepto de númeroConcepto de número• Correspondencia uno a unoCorrespondencia uno a uno• Combinación de números y su valor Combinación de números y su valor

posicional de dos cifras.posicional de dos cifras.

• La numeración está compuesta La numeración está compuesta básicamente por diez representaciones básicamente por diez representaciones gráficas, la combinación de las mismas gráficas, la combinación de las mismas conforman el infinito numérico.conforman el infinito numérico.

33 7 2 17 2 1

4 8 0 4 8 0

5 95 9

66Como podrán observar la numeración no se encuentra en el orden Como podrán observar la numeración no se encuentra en el orden

lógico conocido, el propósito es de que el niño conozca la lógico conocido, el propósito es de que el niño conozca la representación gráfica y su correspondencia (valor) de manera representación gráfica y su correspondencia (valor) de manera natural. natural.

Concepto de número y Concepto de número y cantidadcantidad• 3 = & & &3 = & & &

• 5 = & & & & &5 = & & & & &

• 7 = & & & & & & &7 = & & & & & & &

• 1 = &1 = &

• 4 = & & & &4 = & & & &

• 6 = & & & & & &6 = & & & & & &

• 9 = & & & & & & & & &9 = & & & & & & & & &

• 8 = & & & & & & & & 8 = & & & & & & & &

• 2 = & &2 = & &

Correspondencia uno a unoCorrespondencia uno a uno

33 = & & &= & & &

1 + 1 + 1= 31 + 1 + 1= 3

Combinación de números y valor Combinación de números y valor posicionalposicional

30

Valor posicional…Valor posicional…

• 113 = 3 = 110+ 30+ 3

• 331 = 1 = 330+10+1• Cuando el niño tenga pleno dominio del concepto Cuando el niño tenga pleno dominio del concepto

del valor posicional, podrá comprender con mayor del valor posicional, podrá comprender con mayor facilidad y con una actitud reflexiva y razonada facilidad y con una actitud reflexiva y razonada los algoritmos en las operaciones aritméticas.los algoritmos en las operaciones aritméticas.

MatemáticasMatemáticas

• Siempre debe quedar muy claro que para Siempre debe quedar muy claro que para desarrollar el razonamiento lógico desarrollar el razonamiento lógico matemático es necesario plantear matemático es necesario plantear situaciones problemáticas para generar el situaciones problemáticas para generar el conflicto cognitivo y considerar además que conflicto cognitivo y considerar además que lo importante no es el algoritmo solo, es más lo importante no es el algoritmo solo, es más importante cuando el niño descubre que tipo importante cuando el niño descubre que tipo de operaciones y elementos debe tomar en de operaciones y elementos debe tomar en cuenta para después aplicar la operación cuenta para después aplicar la operación aritmética y el algoritmo adecuado. ¡Ése es aritmética y el algoritmo adecuado. ¡Ése es un verdadero problema!. un verdadero problema!.

¿Cómo iniciar el apoyo para los niños ¿Cómo iniciar el apoyo para los niños en el aprendizaje de aritmética?en el aprendizaje de aritmética?• Se recomiendan actividades concretas donde interactúe Se recomiendan actividades concretas donde interactúe

con el objeto de estudio o él sea parte como objeto de con el objeto de estudio o él sea parte como objeto de estudio, ejemplo;estudio, ejemplo;

• Necesitamos hacer jugo de naranja y para llenar el Necesitamos hacer jugo de naranja y para llenar el vaso Juan trajo 3 (tres) naranjas, Pedro 5 (cinco) vaso Juan trajo 3 (tres) naranjas, Pedro 5 (cinco) naranjas y María 6 (seis) naranjas, si el vaso se llena naranjas y María 6 (seis) naranjas, si el vaso se llena con nueve ¿cuántas naranjas sobran?con nueve ¿cuántas naranjas sobran?

• Es necesario reunir a los niños(as) en pequeños grupos y Es necesario reunir a los niños(as) en pequeños grupos y que busque y expliquen su propio proceso, es evidente que que busque y expliquen su propio proceso, es evidente que en éste planteamiento se generan dos operaciones en éste planteamiento se generan dos operaciones aritméticas la suma y resta.aritméticas la suma y resta.

• Identificar conocimientos previos y la capacidad de deducir. Identificar conocimientos previos y la capacidad de deducir. • ¿Qué hacen y cómo lo hacen?¿Qué hacen y cómo lo hacen?• La explicación para llegar a la respuesta es lo más La explicación para llegar a la respuesta es lo más

significativo…significativo…• Los procesos mentalesLos procesos mentales (sin representación gráfica del (sin representación gráfica del

número) es lo que se fortalece.número) es lo que se fortalece.

Procesos mentalesProcesos mentales

• Las actividades sugeridas en un principio Las actividades sugeridas en un principio deben favorecer los procesos mentales, ya que deben favorecer los procesos mentales, ya que es acción cotidiana y gradualmente se es acción cotidiana y gradualmente se desarrolla con la representación numérica.desarrolla con la representación numérica.

• No se pretende que el docente explique el No se pretende que el docente explique el proceso que se llevó acabo, proceso que se llevó acabo, es a través de la es a través de la explicación de los niños como el maestro explicación de los niños como el maestro irá ilustrando con números y signos lo irá ilustrando con números y signos lo que ellos expresan.que ellos expresan.

• Desarrollar la oralidad en la expresión Desarrollar la oralidad en la expresión matemática (proceso mental) matemática (proceso mental)

EjemploEjemplo

• Primera explicación;Primera explicación;• Nosotros juntamos todas las naranjas era Nosotros juntamos todas las naranjas era

14 y luego quitamos 9 de una por una y 14 y luego quitamos 9 de una por una y nos quedaron 5…nos quedaron 5…

• 1,2,31,2,3,,4,5,6,7,84,5,6,7,8,9,10, 11,12,13,14.,9,10, 11,12,13,14.• 1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,11,12,13,14 10,11,12,13,14• 3+5+6= 14 - 9 =53+5+6= 14 - 9 =5• Es necesario describir paso por paso la Es necesario describir paso por paso la

explicación de los niños (as)explicación de los niños (as)

EjemploEjemplo

• Segunda explicación;Segunda explicación;• Nosotros juntamos primero las naranjas de Juan que Nosotros juntamos primero las naranjas de Juan que

era 3 y las de Pedro que era 5, y nos salieron 8, era 3 y las de Pedro que era 5, y nos salieron 8, después juntamos las de María 6 y se juntaron 14, después juntamos las de María 6 y se juntaron 14, cuando quitamos las nueve nos quedaron 5. cuando quitamos las nueve nos quedaron 5.

• 1,2,31,2,3,,4,5,6,7,84,5,6,7,8. = 8. = 8• 1,2,3,4,5,6. = 61,2,3,4,5,6. = 6

• 3+5= 8 8 + 6 = 143+5= 8 8 + 6 = 14• 1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9….. 10,11,12,13,14.….. 10,11,12,13,14.• 9 - 9 - 14 = 514 = 5• Es necesario describir paso por paso la explicación de Es necesario describir paso por paso la explicación de

los niños (as)los niños (as)

Las diferentes estrategias para la solución Las diferentes estrategias para la solución del problema planteado se socializan con la del problema planteado se socializan con la

ilustración del docente, durante éste proceso ilustración del docente, durante éste proceso los niños podrán seleccionar la mejor o más los niños podrán seleccionar la mejor o más sencilla formula para resolver el problema.sencilla formula para resolver el problema.

Se debe propiciar el debate en lo que el Se debe propiciar el debate en lo que el maestro siempre podrá preguntamaestro siempre podrá pregunta

¿cómo lo hicieron? ¿porqué lo hicieron así? ¿cómo lo hicieron? ¿porqué lo hicieron así? ¿De qué otra manera se puede hacer?¿De qué otra manera se puede hacer?

No le des la respuesta, incluso cuando exista No le des la respuesta, incluso cuando exista error, oriéntalo a que descubra su error y error, oriéntalo a que descubra su error y

deduzca y encuentre la respuesta correcta.deduzca y encuentre la respuesta correcta.

En la inducción a la aritmética…En la inducción a la aritmética…

• Evita las mecanizaciones como las tablas y los Evita las mecanizaciones como las tablas y los algoritmos sin reflexión y razonamiento previo.algoritmos sin reflexión y razonamiento previo.

• Conforme se trabaje sobre situaciones reales, Conforme se trabaje sobre situaciones reales, paulatinamente el niño construirá sus propias paulatinamente el niño construirá sus propias mecanizaciones pero con un razonamiento lógico.mecanizaciones pero con un razonamiento lógico.

• No existe ninguna argumentación teórica para No existe ninguna argumentación teórica para afirmar que los niños primero deben aprender “la afirmar que los niños primero deben aprender “la tabla del 2, que la del 4, o 5…”tabla del 2, que la del 4, o 5…”

• Las actividades pueden ser integrales con las Las actividades pueden ser integrales con las diferentes operaciones aritméticas. (sigue diferentes operaciones aritméticas. (sigue ejemplo)ejemplo)

Ejercicios de algoritmos…Ejercicios de algoritmos…Planteamiento del problema.Planteamiento del problema.

• En mi casa mi hermano Chuy y Lalo En mi casa mi hermano Chuy y Lalo compraron globos para mi fiesta, entre los compraron globos para mi fiesta, entre los dos juntaron dos juntaron 115 globos, cada uno costó 5 globos, cada uno costó $3.00, Chuy llevó 8…$3.00, Chuy llevó 8…

• ¿Cuántos llevó Lalo?¿Cuántos llevó Lalo?• 115-8= 7 7+8= 5-8= 7 7+8= 115 5 115-7= 85-7= 8• En éste caso es necesario inducir a los niños En éste caso es necesario inducir a los niños

a realizar la diversidad de operaciones a realizar la diversidad de operaciones aritméticas con el propósito que los niños aritméticas con el propósito que los niños vean que existen diferentes estrategias o vean que existen diferentes estrategias o caminos para la resolución del problema. caminos para la resolución del problema. Siempre con material concreto y si es Siempre con material concreto y si es posible que lo manipulen.posible que lo manipulen.

Segunda situación problemática.Segunda situación problemática.

• En mi casa mi hermano Chuy y Lalo En mi casa mi hermano Chuy y Lalo compraron globos para mi fiesta, entre los compraron globos para mi fiesta, entre los dos juntaron 15 globos, cada uno costó dos juntaron 15 globos, cada uno costó $3.00, Chuy llevó 8…$3.00, Chuy llevó 8…

• ¿Cuánto dinero gastó Chuy al comprar los 8 ¿Cuánto dinero gastó Chuy al comprar los 8 globos?globos?

• 3+3+3+3+3+3+3+3= 243+3+3+3+3+3+3+3= 24

• 1,2,3,1,2,3,4,5,6,4,5,6,7,8,9,7,8,9,10,11,12,10,11,12,13,14,15,13,14,15,16,17,1816,17,18,,19,20,21,19,20,21,22,23,24.22,23,24.

• Entonces 8 veces el 3 es = 24 Entonces 8 veces el 3 es = 24 8X3=248X3=24

• Pero también 3 veces el 8= 24 3X8=24Pero también 3 veces el 8= 24 3X8=24

Tercera situación Tercera situación problemática.problemática.• En mi casa mi hermano Chuy y Lalo En mi casa mi hermano Chuy y Lalo

compraron globos para mi fiesta, entre los compraron globos para mi fiesta, entre los dos juntaron 15 globos, cada uno costó dos juntaron 15 globos, cada uno costó $3.00, Chuy llevó 8…$3.00, Chuy llevó 8…

• ¿Cuánto dinero gastó Lalo al comprar los 7 ¿Cuánto dinero gastó Lalo al comprar los 7 globos?globos?

• 3+3+3+3+3+3+3= 213+3+3+3+3+3+3= 21

• 1,2,3,1,2,3,4,5,6,4,5,6,7,8,9,7,8,9,10,11,12,10,11,12,13,14,15,13,14,15,16,17,1816,17,18,,19,20,2119,20,21..

• Entonces 7 veces el 3 es = 21 Entonces 7 veces el 3 es = 21 7X3=217X3=21

• Pero también 3 veces el 7= 21 3X7=21Pero también 3 veces el 7= 21 3X7=21

Cuarta situación problemática.Cuarta situación problemática.

• En mi casa mi hermano Chuy y Lalo compraron En mi casa mi hermano Chuy y Lalo compraron globos para mi fiesta, entre los dos juntaron 15 globos para mi fiesta, entre los dos juntaron 15 globos, cada uno costó $3.00…globos, cada uno costó $3.00…

• ¿Cuánto dinero gastó Chuy y Lalo al comprar los ¿Cuánto dinero gastó Chuy y Lalo al comprar los 15 globos en total?15 globos en total?

• 3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3= 453+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3= 45• 1,2,3,1,2,3,4,5,6,4,5,6,7,8,9,7,8,9,10,11,12,10,11,12,13,14,15,13,14,15,16,17,18,16,17,18,19,19,

20,2120,21,22,23,24,,22,23,24,25,26,27,25,26,27,28,29,30,28,29,30,31,32,33,31,32,33,34, 34, 35,36,35,36,37,38,39,37,38,39,40,41,42,40,41,42,43,44,45.43,44,45.

• Entonces 15 veces el 3 es = 45 Entonces 15 veces el 3 es = 45 15X3=4515X3=45• Pero también 3 veces el 15 = 45 3X15=45Pero también 3 veces el 15 = 45 3X15=45

Quinta situación problemática.Quinta situación problemática.

• En mi casa mi hermano Chuy y Lalo compraron En mi casa mi hermano Chuy y Lalo compraron globos para mi fiesta, entre los dos juntaron globos para mi fiesta, entre los dos juntaron globos, cada uno costó $3.00, Chuy gastó globos, cada uno costó $3.00, Chuy gastó

• $ 24.00…$ 24.00…

• ¿Cuánto globos compró Chuy?¿Cuánto globos compró Chuy?

• 3+3+3+3+3+3+3+3=24 (ésta puede ser una 3+3+3+3+3+3+3+3=24 (ésta puede ser una lógica)lógica)

• 1,2,3,1,2,3,4,5,6,4,5,6,7,8,9,7,8,9,10,11,12,10,11,12,13,14,15,13,14,15,16,17,18,16,17,18,19,19,20, 2120, 21,22,23,24,22,23,24..

• Entonces 24 repartido en grupos de 3 = 8Entonces 24 repartido en grupos de 3 = 8

• 24 3=8 24 8=3 3X8=24 24 3=8 24 8=3 3X8=24 8X3=248X3=24

Sexta situación problemática.Sexta situación problemática.

• En mi casa mi hermano Chuy y Lalo compraron En mi casa mi hermano Chuy y Lalo compraron globos para mi fiesta, entre los dos juntaron globos para mi fiesta, entre los dos juntaron globos, cada uno costó $3.00, Lalo gastó globos, cada uno costó $3.00, Lalo gastó

• $ 21.00…$ 21.00…• ¿Cuánto globos compró Lalo?¿Cuánto globos compró Lalo?• 3+3+3+3+3+3+3=21 (ésta puede ser una 3+3+3+3+3+3+3=21 (ésta puede ser una

lógica)lógica)• 1,2,3,1,2,3,4,5,6,4,5,6,7,8,9,7,8,9,10,11,12,10,11,12,13,14,15,13,14,15,16,17,18,16,17,18,11

9,20, 219,20, 21..• Entonces 21 repartido en grupos de 3 = 7Entonces 21 repartido en grupos de 3 = 7• 21 3=7 21 7=3 3X7=21 21 3=7 21 7=3 3X7=21

7X3=217X3=21

Séptima situación Séptima situación problemática.problemática.• En mi casa mi hermano Chuy y Lalo compraron En mi casa mi hermano Chuy y Lalo compraron

globos para mi fiesta, entre los dos juntaron globos para mi fiesta, entre los dos juntaron globos, cada uno costó $3.00, Chuy gastó $24 y globos, cada uno costó $3.00, Chuy gastó $24 y Lalo gastó Lalo gastó

• $ 21.00…$ 21.00…• ¿Cuánto globos compraron entre los dos?¿Cuánto globos compraron entre los dos?• 3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3= 45 3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3= 45 • (ésta puede ser una lógica)(ésta puede ser una lógica)• 1,2,3,1,2,3,4,5,6,4,5,6,7,8,9,7,8,9,10,11,12,10,11,12,13,14,15,13,14,15,16,17,18,16,17,18,19,20,19,20,

2121,22,23,24,,22,23,24,25,26,27,25,26,27,28,29,30,28,29,30,31,32,33,31,32,33,34,35,36,34,35,36,337,38,39,7,38,39,40,41,42,40,41,42,43,44,45.43,44,45.

• 24+21=4524+21=45• Entonces 45 repartido en grupos de 3 = 15Entonces 45 repartido en grupos de 3 = 15• 45 3=15 45 15=3 3X15=45 45 3=15 45 15=3 3X15=45

15X3=4515X3=45

Éste es el resultado de una Éste es el resultado de una situación problemática…situación problemática…• 15-8= 7 7+8= 15 15-7= 815-8= 7 7+8= 15 15-7= 8• Entonces 8 veces el 3 es = 24 8X3= 24Entonces 8 veces el 3 es = 24 8X3= 24• Pero también 3 veces el 8= 24 3X8= 24Pero también 3 veces el 8= 24 3X8= 24• Entonces 7 veces el 3 es = 21 7X3= 21Entonces 7 veces el 3 es = 21 7X3= 21• Pero también 3 veces el 7= 21 3X7= 21Pero también 3 veces el 7= 21 3X7= 21• Entonces 15 veces el 3 es = 45 15X3=45Entonces 15 veces el 3 es = 45 15X3=45• Pero también 3 veces el 15 = 45 3X15=45Pero también 3 veces el 15 = 45 3X15=45• Entonces 24 repartido en grupos de 3 = 8Entonces 24 repartido en grupos de 3 = 8• 3/24=8 8/24=3 3X8=24 8X3= 243/24=8 8/24=3 3X8=24 8X3= 24• Entonces 21 repartido en grupos de 3 = 7Entonces 21 repartido en grupos de 3 = 7• 21 3=7 21 7=3 3X7=21 7X3= 2121 3=7 21 7=3 3X7=21 7X3= 21• 24+21=4524+21=45• Entonces 45 repartido en grupos de 3 = 15Entonces 45 repartido en grupos de 3 = 15• 45 3 =15 45 15=3 3X15=45 15X3=4545 3 =15 45 15=3 3X15=45 15X3=45

• En la multiplicación de éstos En la multiplicación de éstos dígitos dígitos el resultado el resultado es un es un solo dígito. solo dígito. (y los dígitos (y los dígitos multiplicados por el 1)multiplicados por el 1)

• Todos los demás números Todos los demás números multiplicados el resultado multiplicados el resultado invariablemente su resultado invariablemente su resultado será de dos dígitos. Es será de dos dígitos. Es entonces donde cobra entonces donde cobra relevancia el estudio y relevancia el estudio y comprensión del valor comprensión del valor posicional. posicional.

2x3=62x3=6

3X2=63X2=6

4x2=84x2=8

2X4=82X4=8

2X2=42X2=4

3X3=93X3=9

Aplicación del algoritmo de la Aplicación del algoritmo de la multiplicación…multiplicación…

• DD U U• 3X4=3X4=112 2 1 1 2 2• Equivalencia Equivalencia 110 2 =0 2 =110+2=0+2=1122• 3X24= 723X24= 72• Equivalencia Equivalencia 770 2 =0 2 =770+2=0+2=7722 2244 X3X3• _________ _________ 3X4= 3X4= 112 3 x20 = 2 3 x20 = 660 = 0 = 112+2+660= 0= 7722

772 2 • cuando multiplicamos 3X4 = cuando multiplicamos 3X4 = 112 y decimos 2 y llevamos 1, 2 y decimos 2 y llevamos 1,

cuando en realidad es cuando en realidad es 110, el cual se suma al 60 = a 0, el cual se suma al 60 = a 770+ 2=0+ 2=772 2

Sobre el valor posicional en el Sobre el valor posicional en el algoritmo de la multiplicación…algoritmo de la multiplicación…

• 55 22 4 X 3 = 4 X 3 = 11557722 55 22 4 4 X 3X 3 ______________ 3X4= 3X4=112 3X2=6 3X5=2 3X2=6 3X5=1155 c d uc d u 11 2 3X 4 = 2 3X 4 = 11 2 2 + + 66 0 3X 0 3X 220 = 0 = 66 0 0 11 55 00 0 3X 0 3X55000 =0 =11 55 00 0 0_________ _________ 11 55 77 2 2• Al ir agregando un número más al multiplicando Al ir agregando un número más al multiplicando 6655224 el 4 el

procedimiento seguirá siendo el mismo. procedimiento seguirá siendo el mismo. 886655224, 4, 33886655224…4…

Observar el proceso del algoritmo Observar el proceso del algoritmo con la unidad del multiplicador…con la unidad del multiplicador…

• 55 22 4 X 4 X4 4 3 = 3 = 1155772+ 2+ 2200996600 55 22 4 4 XX44 3 3 _______ 4X4=_______ 4X4=116 4X2=8 4X5=6 4X2=8 4X5=2200 c d uc d u 11 66 0 0 440X 4 = 0X 4 = 11 6600 + + 88 00 0 0 440X 0X 220 = 0 = 88 0000 22 00 00 00 0 0 440X0X55000 = 0 = 220 0 00 0000_________ _________ 22 00 99 66 0 0 • Al ir agregando un número más al multiplicador Al ir agregando un número más al multiplicador 443 el 3 el

procedimiento seguirá siendo el mismo. procedimiento seguirá siendo el mismo. 66443, 3, 5566443…3…

Observar el proceso del Observar el proceso del algoritmo… con la decena del algoritmo… con la decena del multiplicador. multiplicador.

• 55 2 2 44

XX44 3 3

______________

c d uc d u

+ + 11 55 77 2 2

22 00 99 66 0 0

________________________________

22 22 55 33 2 2

Observar el proceso del Observar el proceso del algoritmo… con dos cifras. algoritmo… con dos cifras.

DIVISIÓNDIVISIÓN

POR SER UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA QUE REQUIERE DE POR SER UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA QUE REQUIERE DE LAS TRES ANTERIORES, SE SUPONE MÁS COMPLEJA, SIN LAS TRES ANTERIORES, SE SUPONE MÁS COMPLEJA, SIN

EMBARGO DEBEMOS CONSIDERAR DESARROLLARLO CON EMBARGO DEBEMOS CONSIDERAR DESARROLLARLO CON UN SISTEMA (MÉTODO) SENCILLO PRÁCTICO CON LAS UN SISTEMA (MÉTODO) SENCILLO PRÁCTICO CON LAS MISMAS REFERENCIAS CONTEXTUALES, SITUACIONES MISMAS REFERENCIAS CONTEXTUALES, SITUACIONES

REALES DE LOS ALUMNOS ANTES DEL ALGORÍTMO REALES DE LOS ALUMNOS ANTES DEL ALGORÍTMO COMPLETO.COMPLETO.

• Aplicar sinónimos frecuentemente hasta Aplicar sinónimos frecuentemente hasta reafirmar el concepto técnico (repartir, reafirmar el concepto técnico (repartir, dividir, distribuir, separar en grupos de…)dividir, distribuir, separar en grupos de…)

• Antes de aplicar el algoritmo complejo Antes de aplicar el algoritmo complejo reafirmar operaciones exactas, ejemplo.reafirmar operaciones exactas, ejemplo.

6 3= 2 6 2= 3 8 4= 2 8 2= 46 3= 2 6 2= 3 8 4= 2 8 2= 4 * * Tienes 6 dulces y se los repartes a 3 amigos ¿cuántos les das a cada Tienes 6 dulces y se los repartes a 3 amigos ¿cuántos les das a cada

uno?uno?

* Tienes 6 pesos y se lo repartes a tus dos hermanos ¿cuánto alcanza * Tienes 6 pesos y se lo repartes a tus dos hermanos ¿cuánto alcanza cada uno? cada uno?

* Un vaso con jugo de naranja lo haces con cuatro naranjas ¿cuántos * Un vaso con jugo de naranja lo haces con cuatro naranjas ¿cuántos vasos con vasos con jugo completas con 8 naranjas?jugo completas con 8 naranjas?

* Tienes 8 naranjas y logras hacer 2 vasos con jugo ¿cuántas naranjas * Tienes 8 naranjas y logras hacer 2 vasos con jugo ¿cuántas naranjas necesitaste necesitaste para cada vaso? para cada vaso?

Recomendaciones…Recomendaciones…

• Hay 15 juguetes, donde se reparten en 5 Hay 15 juguetes, donde se reparten en 5 cajas… ¿cuántos juguetes pondrás en cada cajas… ¿cuántos juguetes pondrás en cada caja?caja?

•

•

• = 3= 3• La correspondencia de uno en uno será muy La correspondencia de uno en uno será muy

posible la estrategia.posible la estrategia.

Distribuye… primer paso.Distribuye… primer paso.

• Hay 5 cajas donde se repartirán 15 juguetes, Hay 5 cajas donde se repartirán 15 juguetes, ¿cuántos juguetes pondrás en cada caja para ¿cuántos juguetes pondrás en cada caja para que estén iguales?que estén iguales?

•

•

• = 3= 3

Distribuye… primer paso.Distribuye… primer paso.

• La situación problemática se presenta de dos formas, La situación problemática se presenta de dos formas, lo importante es que el niño en ambas, desarrolle lo importante es que el niño en ambas, desarrolle estrategias para que llegue al mismo resultado y estrategias para que llegue al mismo resultado y obtenga sus propias deducciones.obtenga sus propias deducciones.

• Estrategias…Estrategias…• La correspondencia de uno en uno será muy posible la La correspondencia de uno en uno será muy posible la

estrategia.estrategia.• Llena una caja de dos en dos y posteriormente reparte Llena una caja de dos en dos y posteriormente reparte

de uno en uno hasta terminar.de uno en uno hasta terminar.• Llena la primera caja hasta que no exista espacio e Llena la primera caja hasta que no exista espacio e

inicia otro razonamiento, es decir todos los procesos inicia otro razonamiento, es decir todos los procesos son válidos se acompaña de reflexión y preguntas del son válidos se acompaña de reflexión y preguntas del docente ¿cuántas cajas te faltan por llenar? ¿te están docente ¿cuántas cajas te faltan por llenar? ¿te están sobrando? ¿todas tienen lo mismo?...sobrando? ¿todas tienen lo mismo?...

Posibles estrategias…Posibles estrategias…

• ¿Cuántos juguetes tienes? ¿Cuántas cajas ¿Cuántos juguetes tienes? ¿Cuántas cajas tienes? Entonces si tienes 15 juguetes y los tienes? Entonces si tienes 15 juguetes y los repartes en 5 cajas habrá 3 juguetes en cada repartes en 5 cajas habrá 3 juguetes en cada caja…caja…

•

•

• 15 5 15 5 • = 3= 3

Distribuye… primer paso.Distribuye… primer paso.

• Hay que llenar 5 cajas con 3 juguetes Hay que llenar 5 cajas con 3 juguetes cada una…cada una…

•

• 5X3 = 155X3 = 15

Distribuye… primer paso.Distribuye… primer paso.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

•

•

• 15 5 = 315 5 = 3• 5 X 3 = 155 X 3 = 15

Hay 5 cajas donde se repartirán 15 juguetes, ¿cuántos Hay 5 cajas donde se repartirán 15 juguetes, ¿cuántos juguetes pondrás en cada caja para que estén iguales?juguetes pondrás en cada caja para que estén iguales?Hay 5 cajas donde se pondrán 3 juguetes en cada caja, ¿cuántos Hay 5 cajas donde se pondrán 3 juguetes en cada caja, ¿cuántos juguetes tendrás en total?juguetes tendrás en total?

• 4 2= 2 4 2= 2 6 2 = 3 6 2 = 3 8 2 = 48 2 = 4• 6 3= 2 6 3= 2 9 3 = 3 9 3 = 3 8 4= 28 4= 2• 12 4 = 3 12 3 = 4 12 4 = 3 12 3 = 4 • 12 6 = 2 12 2 = 612 6 = 2 12 2 = 6• 10 5 = 2 10 5 = 2 • El propósito en éstos ejercicios es que el El propósito en éstos ejercicios es que el

resultado “cociente” sea exacto para poder resultado “cociente” sea exacto para poder invertir o conmutar un número para que invertir o conmutar un número para que deduzca el resultado. deduzca el resultado.

• (no se proponen las actividades en un orden específico, se trata que (no se proponen las actividades en un orden específico, se trata que

ellos lo identifiquen)ellos lo identifiquen)

Es recomendable que en todos los ejercicios se proponga una Es recomendable que en todos los ejercicios se proponga una situación problemática, por más sencilla que ésta sea.situación problemática, por más sencilla que ésta sea.Posteriormente cuando el niño se familiarice se puede aplicar Posteriormente cuando el niño se familiarice se puede aplicar actividades directas sin que éstas se conviertan en rutinarias.actividades directas sin que éstas se conviertan en rutinarias.

• 12 4= 3 no sobra nada12 4= 3 no sobra nada

• 13 4= 3 sobra 113 4= 3 sobra 1

• 14 4= 3 sobran 214 4= 3 sobran 2

• 15 4= 3 sobran 315 4= 3 sobran 3

• 16 4 = 4 no sobran16 4 = 4 no sobran

• 12 6 = 2 no sobra nada12 6 = 2 no sobra nada

• 15 6 = 2 sobra 315 6 = 2 sobra 3

• 17 6 = 2 sobra 517 6 = 2 sobra 5

Para entrar en el algoritmo de la división se recomienda el siguiente Para entrar en el algoritmo de la división se recomienda el siguiente paso… los niños los deben realizar mediante un proceso concreto paso… los niños los deben realizar mediante un proceso concreto (con objetos)(con objetos)

Éste proceso mental simple, es en realidad un proceso muy significativo, ya que será la base para el algoritmo completo.

• 3 cociente 3 cociente

• 4 124 12

• 0 dividendo0 dividendo

divisor residuodivisor residuo

dividendo dividendo

12 4 12 4

0 3 cociente0 3 cociente

residuo residuo

Proceso con el algoritmo…Proceso con el algoritmo…

• Dividendo; la cantidad la cual se va a repartir. Dividendo; la cantidad la cual se va a repartir. 1212

• Divisor ; la cantidad de partes que se reparte. 4Divisor ; la cantidad de partes que se reparte. 4

• Cociente; la cantidad de elementos que se Cociente; la cantidad de elementos que se agrupan en cada parte… 3agrupan en cada parte… 3

• Residuo; los sobrantes que no completa otro Residuo; los sobrantes que no completa otro elemento el cociente… 0elemento el cociente… 0

• DIVIDENDO ES; la multiplicación del divisor X el DIVIDENDO ES; la multiplicación del divisor X el cociente + el residuo. (4X3)+0= 12cociente + el residuo. (4X3)+0= 12

Al usar los términos adecuados es conveniente se expliquen durante Al usar los términos adecuados es conveniente se expliquen durante el tiempo que sea necesario para que el niño comprenda sobre todo el tiempo que sea necesario para que el niño comprenda sobre todo su función o bien el papel que juega cada parte…su función o bien el papel que juega cada parte…

• 3 3

7 24 24 77 24 24 7• 3 3 33 3 3• 3X7= 21+ 3= 243X7= 21+ 3= 24• La pregunta debe ser; si tenemos 24 La pregunta debe ser; si tenemos 24

elementos y los queremos repartir en 7 elementos y los queremos repartir en 7 grupos ¿cuántos elementos tendría cada grupos ¿cuántos elementos tendría cada grupo y cuánto sobran?grupo y cuánto sobran?

• Éste principio básico del algoritmo se repite, Éste principio básico del algoritmo se repite, en realidad no sufre alteraciones, es el en realidad no sufre alteraciones, es el mismo procedimiento…mismo procedimiento…

La importancia de cómo se formula la pregunta, marca la diferencia…La importancia de cómo se formula la pregunta, marca la diferencia…

• 33

• 72 24572 245

• 2929• Primer paso; tengo 24, ¿cuántos grupos puedo hacer de 7? = 3.Primer paso; tengo 24, ¿cuántos grupos puedo hacer de 7? = 3.

• Paso dos; multiplica 3X72= 216Paso dos; multiplica 3X72= 216

• Paso tres; tengo 245 – 216= 29Paso tres; tengo 245 – 216= 29

• Paso cuatro 245 – 29 = 216Paso cuatro 245 – 29 = 216

• Es importante que si el primer número del divisor es mayor al primero Es importante que si el primer número del divisor es mayor al primero del dividendo se toman otro dígito más, en el ejemplo, 24 del del dividendo se toman otro dígito más, en el ejemplo, 24 del dividendo.dividendo.

• De 7 el 24, de 72 el 245. para poder repartir siendo De 7 el 24, de 72 el 245. para poder repartir siendo divisible.divisible.

• Ejemplo; 9 / 7 = 1 y sobran 2 7 / 9= no completo un solo Ejemplo; 9 / 7 = 1 y sobran 2 7 / 9= no completo un solo grupogrupo

• 3 X 33 X 3• 72 2456 72 2 4 5 672 2456 72 2 4 5 6• 29 - 2 1 6 29 - 2 1 6 • = 2 9= 2 9• 2 9 6 2 9 6 • 3X 72=216-245=29…se agrega el 6= 2963X 72=216-245=29…se agrega el 6= 296• Observemos que el 72 es superior que el 24, por lo que no se Observemos que el 72 es superior que el 24, por lo que no se

puede dividir y se toma el numero siguiente para para formar puede dividir y se toma el numero siguiente para para formar un número superior 245 y así poder repartir en grupos de 72 y un número superior 245 y así poder repartir en grupos de 72 y la división base se inicia con 24 entre 7. la división base se inicia con 24 entre 7.

• En el residuo quedan 29, cantidad que no se puede dividir en En el residuo quedan 29, cantidad que no se puede dividir en grupos de 72, por lo que se toma el número siguiente que es el grupos de 72, por lo que se toma el número siguiente que es el 6 y se forma 296, de nueva cuenta se divide 29 entre 7.6 y se forma 296, de nueva cuenta se divide 29 entre 7.

• X X 66

• 45 45 2525478478• 1.- 1.- 2525/45, no procede. Entonces la operación debe ser /45, no procede. Entonces la operación debe ser 25254/45=4/45=

• 2.- 2.- 2525/4 = /4 = 66, * éste es el resultado inicial, sin embargo se debe señalar que al , * éste es el resultado inicial, sin embargo se debe señalar que al seguir el procedimiento del algoritmo se presenta el siguiente problema…seguir el procedimiento del algoritmo se presenta el siguiente problema…

• 45 45 252544

• X X 66 -- 270270

• 270 270 quitarle quitarle 270270 a a 25254 y el numero es menor y no procede, 4 y el numero es menor y no procede, por lo que se puede deducir un número inferior en el cociente, es decir en lugar por lo que se puede deducir un número inferior en el cociente, es decir en lugar del del 6, 6, puede ser 5, y se realiza la misma operación. Ejemplo siguiente. puede ser 5, y se realiza la misma operación. Ejemplo siguiente.

Procedimiento del algoritmo de la Procedimiento del algoritmo de la división…división…

• X X 55

• 45 45 2525478478• 1.- 1.- 2525/45, no procede. Entonces la operación debe ser /45, no procede. Entonces la operación debe ser 25254/45=4/45=

• 2.- 2.- 2525/4 = /4 = 55, * éste es el resultado inicial…, * éste es el resultado inicial…

• 45 45 252544

• X X 55 -- 225225

• 225 225 029029

• X X 5 5

• 45 45 2 5 2 5 4 7 84 7 8

• = -= -2 2 52 2 5

• 0 2 9 0 2 9 7 …… se reinicia el proceso, es el mismo hasta 7 …… se reinicia el proceso, es el mismo hasta agotar la cantidad del dividendo y tener el resultado; veamos el ejemplo agotar la cantidad del dividendo y tener el resultado; veamos el ejemplo completo en la siguiente.completo en la siguiente.

Procedimiento del algoritmo de la Procedimiento del algoritmo de la división…división…

• 5 6 6• 4 5 2 5 4 7 8• 0 2 9 7• 2 7 8• 0 8• 566 X 45= 25470 + 08= 25478• 1.- 254 / 45, se simplifica para iniciar 25 / 4 = 5 (previa explicación si

fuera el 6)• 2.- 5 X 45= 225 254 – 225 = 029• 3.- A 029, se le agrega el 7 (dividendo) 297, para hacerlo divisible entre 45.• 4.- 29 /4 = 6• 5.- 6 X 45= 270 297 -270= 27 • 6.- 27 se le agrega el 8, se forma 278 para hacerlo divisible entre 45.• 7.- 27 / 4 = 6• 8.- 6 X 45= 270 278- 270= 08

Proceso explicado…Proceso explicado…

Proceso simplificado…Proceso simplificado…

• 2, 4, 6.__,10… • (2+2=4+2=6+2=8+2=10)

• 3, 6,__,12, 15… • (3+3=6+3=9+3=12+3=15) • 3,5,7,9,___,13… • (3+2=5+2=7+2=9+2=11+2=13) • 2,5,8,11,___17… • (2+3=5+3=8+3=11+3=14+3=17)

• 4,9,14,___,24… • (4+5=9+5=14+5=19+5=24)

• 2,3,5,8,12,___, 23,30…• (2+1=3+2=5+3=8+4=12+5=17+6=23+7=30)

• 3,6,9,12,16,20,24,29,34,___,45…• (3+3=6+3=9+3=12+4=16+4=20+4=24+5=29+5=34+5=39+6=45)• Gradualmente se eleva la dificultad…

Sugerencia de actividades que sustituyan los procesos Sugerencia de actividades que sustituyan los procesos tradicionales (tablas, “problemas” series…) tradicionales (tablas, “problemas” series…) SECUENCIASSECUENCIASADISIÓN (SUMA)ADISIÓN (SUMA)

• 12,9,____,3. • (12-3=9-3=6-3=3)

• 24,19,14,___4. • (24-5=19-5=14-5=9-5=4)

• 37,____,23,16,9,2. • (37-7=30-7=23-7=16-7=9-7=2)

• 44, 36,___20,12,4. • (44-8=36-8=28-8=20-8=12-8=4)

• 32,27,23,20,___,17. • (32-5=27-4=23-3=20-2=18-1=17)

• 54,52,49,45,40,___27,19…• (54-2=52-3=49-4=45-5=40-6=34-7=27-8=19)

• 67,63,59,54,49,43,___,30,22,13…• (67-4=63-4=59-5=54-5=49-6=43-6=37-7=30-8=22-9=13)

Sustracción (resta)Sustracción (resta)

• 2,6,18,36,___,324…• (2x3=6x3=18x3=36x3=108x3=324)

• 4,8,16,32,___,128…• (4x2=8x2=16x2=32x2=64x2=128)

• 5,15, 45,___, 405…• 5x3=15x3=45x3=135x3=405)

• 3,12,48,____, 768…• (3x4=12x4=48x4=192x4=768)

• 4,4,8,24,____, 480…• (4x1=4x2=8x3=24x4=96x5=480)

• 6,30,120,____720,720.• (6x5=30x4=120x3=360x2=720x1=720

Multiplicación…Multiplicación…

• 8,4,_.8,4,_.• (8/2=4/2=2)(8/2=4/2=2)

• 12,6,__.12,6,__.• (12/2=6/2=3)(12/2=6/2=3)

• 20,10,__.20,10,__.• (20/2=10/2=5)(20/2=10/2=5)

• 16,8,___,2.16,8,___,2.• (16/2=8/2=4/2=2)(16/2=8/2=4/2=2)

• 48,12,___,1.48,12,___,1.• (48/4=12/4=4/4=1)(48/4=12/4=4/4=1)

• 27,___,3,1.27,___,3,1.• (27/3=9/3=3/3=1(27/3=9/3=3/3=1

• 45,15,__,.45,15,__,.• (45/3=15/3=5(45/3=15/3=5

• 48,12,__.48,12,__.• (48/4=12/4=3)(48/4=12/4=3)

DIVISIÓN…DIVISIÓN…

• 324,108,___,12,4.324,108,___,12,4.

• 324/3=108/3=36/3=12/3=4324/3=108/3=36/3=12/3=4

• 512,128,___,8,2.512,128,___,8,2.

• 512/4=128/4=32/4=8/4=2512/4=128/4=32/4=8/4=2

• 2880,480,___,24,8,4.2880,480,___,24,8,4.

• 2880/6=480/5=96/4=24/3=8/2=4. 2880/6=480/5=96/4=24/3=8/2=4.

DIVISIÓNDIVISIÓN