arlausko konspektai

69
1. Materialaus taško ir jo būvio aprašymo sąvokos. Tiesaus ir tolygaus judėjimo greitis ir pagreitis.Vidutinis ir momentinis greitis Kinematika tiria judėjimą neatsižvelgiant į to judėjimo priežastis. Judėjimui aprašyti pasirenkama atskaitos sistema, bet reikia neužmiršti, kad skirtingose atskaitos sistemose judėjimas gali būti skirtingas, todel visada pasirenkama patogiausia. Pvz.: Kai kūnas juda Žemės paviršiuje – Žemė, Žemės judėjimas – atžvilgiu Saulės. Taigi visos atskaitos sistemos kinematiškai ekvivalenčios, o atskaitos sistemos pasirinkimas svarbus tik dinamikoje, kai atsižvegiama į kūną veikiančias jėgas. Materialus taškas – makroskopinis kūnas, kurio matmenys tokie maži, kad jų galima neįskaityti, o laikyti, kad visa kūno masė sukoncentruota viename geometriniame taške.Tai yra abstrakcija. Galima ar negalima, kokio nors kūno judėjimą nagrinėti kaip materialaus taško, priklauso nuo to, kokio pobūdžio problema yra nagrinėjama, bet ne nuo judėjimo pobūdžio. Tuo atveju svarbūs ne absoliutūs, o santykiniai kūno matmenys, t.y. kūno matmenų santykis su judėjimo atstumais. Pvz.: Žemę, nagrinėjant jos judėjimą apie Saulę galima laikyti materialiu tašku, nes orbitos spindulys R = 1,5 · 10 8 km, o Žemės r = 6,4 · 10 3 km, t.y. r/R = 4 ·10 -5 . Tačiau toks nagrinėjimas netinka Žemės sukimuisi apie savo ašį tirti, nes tokiu atveju Žemės negalima laikyti materialiuoju tašku. Materialaus taško makroskopiškumas suprantamas ta prasme, kad jo judėjimą galima būtų nagrinėti klasikinės mechanikos rėmuose. Tačiau daugeliu atveju ir mikro dalelių judėjimą galima nagrinėti naudojantis klasikinės machanikos dėsniais. Pvz.: Elektronų , protonų , jonų judėjimą elektriniuose ir magnetiniuose laukuose. Materialaus taško mechanika klasikinėje fizikoje yra mechanikos tyrimo pagrindas, nes klasikiniu požiūriu, bet kokį kūną arba kūnų sistemą, mintyse galima išskaidyti į mažas makroskopines, tarpusavyje sąveikaujančias dalis, laikant jas maetrialiais taškais, kurių judėjimą ir nagrinėti. Paimkime bet kokią atskaitos sistemą. Joje taško judėjimas bus pilnai aprašytas, jeigu bus žinoma jo padėtis bet kuriuo laiko momentu. Nurodome taško padėtį, pavyzdžiui Dekarto koordinačių sistemoje, koordinatėmis x, y, z . Taško judėjimas bus pilnai aprašytas, kai žinosime, kaip kinta koordinatės laike x = x(t), y = y(t), z = z(t) arba apibendrintu atveju r = r(t) . Taigi reikia įvesti greičio ir pagreičio sąvoką. Materialaus taško judėjimas vienmačiu atveju x = x(t). Tegu laiko momentu t taško padėtis buvo x 1 = x(t) , o per laiko intervalą t jis pasislinko į tašką x 2 = x(t +t) nueidamas kelią x = x 2 x 1 = x(t +t) – x(t). Susitarta, kad x yra teigiamas, jei judėjimas vyksta į dešinę ir neigiamas, jei į kairę. Santykis x/t vadinamas vidutiniu materialaus taško greičiu per laiką t. 1 pav. Taško tiesiaeigio judėjimo aprašymas x x 2 x 1 0 x

Upload: martynas-juodis

Post on 25-Oct-2014

1.459 views

Category:

Documents


139 download

TRANSCRIPT

Page 1: Arlausko konspektai

1 Materialaus taško ir jo būvio aprašymo sąvokos Tiesaus ir tolygaus judėjimo greitis

ir pagreitisVidutinis ir momentinis greitis

Kinematika tiria judėjimą neatsižvelgiant į to judėjimo priežastis Judėjimui

aprašyti pasirenkama atskaitos sistema bet reikia neužmiršti kad skirtingose atskaitossistemose judėjimas gali būti skirtingas todel visada pasirenkama patogiausia

Pvz Kai kūnas juda Žemės paviršiuje ndash Žemė Žemės judėjimas ndash atžvilgiu SaulėsTaigi visos atskaitos sistemos kinematiškai ekvivalenčios o atskaitos sistemos

pasirinkimas svarbus tik dinamikoje kai atsižvegiama į kūną veikiančias jėgasMaterialus taškas ndash makroskopinis kūnas kurio matmenys tokie maži kad jų

galima neįskaityti o laikyti kad visa kūno masė sukoncentruota viename geometriniametaškeTai yra abstrakcija Galima ar negalima kokio nors kūno judėjimą nagrinėti kaipmaterialaus taško priklauso nuo to kokio pobūdžio problema yra nagrinėjama bet nenuo judėjimo pobūdžio Tuo atveju svarbūs ne absoliutūs o santykiniai kūno matmenysty kūno matmenų santykis su judėjimo atstumais

Pvz Žemę nagrinėjant jos judėjimą apie Saulę galima laikyti materialiu taškunes orbitos spindulys R = 15 middot 108 km o Žemės r = 64 middot 103 km ty rR = 4 middot10-5

Tačiau toks nagrinėjimas netinka Žemės sukimuisi apie savo ašį tirti nes tokiuatveju Žemės negalima laikyti materialiuoju tašku

Materialaus taško makroskopiškumas suprantamas ta prasme kad jo judėjimągalima būtų nagrinėti klasikinės mechanikos rėmuose Tačiau daugeliu atveju ir mikrodalelių judėjimą galima nagrinėti naudojantis klasikinės machanikos dėsniais

Pvz Elektronų protonų jonų judėjimą elektriniuose ir magnetiniuose laukuoseMaterialaus taško mechanika klasikinėje fizikoje yra mechanikos tyrimo pagrindas nesklasikiniu požiūriu bet kokį kūną arba kūnų sistemą mintyse galima išskaidyti į mažasmakroskopines tarpusavyje sąveikaujančias dalis laikant jas maetrialiais taškais kuriųjudėjimą ir nagrinėti

Paimkime bet kokią atskaitos sistemą Joje taško judėjimas bus pilnai aprašytasjeigu bus žinoma jo padėtis bet kuriuo laiko momentu Nurodome taško padėtįpavyzdžiui Dekarto koordinačių sistemoje koordinatėmis x y z

Taško judėjimas bus pilnai aprašytas kai žinosime kaip kinta koordinatės laikex = x(t) y = y(t) z = z(t) arba apibendrintu atveju r = r(t)

Taigi reikia įvesti greičio ir pagreičio sąvoką

Materialaus taško judėjimas vienmačiu atveju x = x(t)Tegu laiko momentu t taško padėtis buvo x1 = x(t) o per laiko intervalą ∆t jis

pasislinko į tašką x2 = x(t +∆t) nueidamas kelią ∆x = x2 ndash x1 = x(t +∆t) ndash x(t) Susitarta kad∆x yra teigiamas jei judėjimas vyksta į dešinę ir neigiamas jei į kairę

Santykis ∆x∆t vadinamas vidutiniu materialaus taško greičiu per laiką ∆t

1 pav Taško tiesiaeigio judėjimo aprašymas

∆x

x2x10 x

ttxttx

tx

∆minus∆+

=∆∆

=)()(vvid

Toks vidutinio greičio apibrėžimas galioja visiems ∆t išskyrus ∆t = 0 nes 00neturi prasmės Bendruoju atveju vvid priklauso ne tik nuo ∆t bet ir nuo t Mūsų atvejuimkime kad t nekinta o ∆t rarr 0 (nykstamai mažėja) tada ∆xx artėja prie tam tikrodydžio kuris jau priklauso tik nuo t bet nepriklauso nuo ∆t Šis dydis arba ribavadinamas tikruoju arba momentiniu materialaus taško greičiu laiko momentu t

ttxttx

tx

tt ∆minus∆+

=∆∆

=rarr∆rarr∆

)()(limlimv00

Matematikoje tokia išraiška vadinama funkcijos x(t) išvestine pagal argumentą tžymima dxdt Taigi momentinis arba tikrasis greitis yra koordinatės (arba nueito kelio) xišvestinė pagal t

tx

ddv =

Kaip jau minėta greitis bus laiko funkcija v = v(t) (bendru atveju) Greičioišvestinė pagal laiką yra materialaus taško pagreitis a

tttt

ta

t ∆minus∆+

==rarr∆

)(v)(vlimddv

0

Kadangi v = dxdt gauname kad pagreitis yra antroji koordinatės išvestinė pagallaiką

2

2

dd

txa =

Pvz Tegu taško judėjimas aprašomas x = At2 + Bt +C kur A B C ndash pastovūskoeficientai tada

x + ∆x = A(t + ∆t)2 + B(t + ∆t) + C = At2 + 2At∆t + A∆t2 + Bt + B∆t + C = = (At2 + Bt +C) + (2At + B)∆t + A∆t2

Iš vidutinio greičio apibrėžimo

tABAtt

CBtAttAtBAtCBtAtt

txttx

∆++=

=∆

++minus∆+∆++++=

∆minus∆+

=

)2(

)()2()()()(v222

Matome kad vvid priklauso ir nuo t ir nuo ∆t Norint gauti momentinį greitį reikiaskaičiuoti ribą kai ∆t rarr 0

BAttABAttt

+=∆++==rarr∆rarr∆

2])2[(limvlimv00

vid

Matome kad momentinis greitis priklauso tik nuo t pagreitis bus

At

a 2ddv

==

Kaip matome šiuo atveju pagreitis jau nebepriklauso nuo laiko ndash tolygiaigreitėjantis arba tolygiai lėtėjantis judėjimas Bendru atveju a = a(t)

2 Kampinis greitis Ryšys tarp kreivalinijinio greičio ir nueito kelio Pagreitis taškuijudant kreiva trajektorija

Analogiškai su linijiniu greičiu ir pagreičiu sukamąjam judėjimui galima įvestikampinį greitį ω ir kampinį pagreitį ε Kampinis greitis

tddα

Jeigu α = ω t + const tai kampinis greitis bus pastovus Sukimųsi dažnis parodomaterialaus taško apsisukimų skaičių per laiko intervalą

tdd

21

sdotπ

=πω

Dydis T = 1ν vadinamas apsisukimų periodu Kampinis pagreitis jeigu ω = ω(t)bus

2

2

dd

dd

ttα

Kampinis pagreitis lygus pirmai kampinio greičio išvestinei arba antrai kampoišvestinei pagal laiką

Jeigu apsisukimo spindulys yra r tai ∆s =r∆α tada

t

rts

∆∆

=∆∆ α ir

tr

ts

tt ∆∆

=∆∆

rarr∆rarr∆

α00

limlim

v = rw Jeigu kampinis greitis yra w(t) tai

diferencijuojant pagal laiką

a = d vd t = r d wd t

Kreivalinijinio judėjimo greitis ir pagreitis (bendruoju atveju) yra

rr = r(t) )(1 trr = r(t + ∆t) t

trttrtr

∆minus∆+

=∆∆

=)()(vvid

rrvr

M rarr

v (t) M1

rarr

∆ r (t)rarr

r (t) rarr

r 1(t)

α O

M1 M AElig s x

s∆ α O r

Imant ∆t rarr 0 rarrv = d

rarr

r dt = tr

t ∆∆

rarr

rarr∆ 0lim Tikrasis arba momentinis greitis yra

vektorius nukreiptas liestinės kryptimi trajektorijos taškerarr

r (t) Tokiu būdu aprašomas irpagreitis tai yra vektorius lygus greičio vektoriaus pirmai išvestinei arba spinduliovektoriaus antrai išvestinei

2

2

dd

dvd

tr

ta ==

rr

Tada galima ir greitį atvaizduoti pagal analogiją su spinduliu Greičio vektoriaus

galo taškas vadinamas greičio tašku o visuma tų taškų ndash greičio hodografu

Matematiniu požiūriu visiškai nesvarbifizikinė prasmė todėl ar diferencijuojamasr ar v nėra skirtumo Taigi galimaanalogija momentinis greitis nukreiptastrajektorijos liestinės kryptimi pagreitis busnukreiptas liestinės hodografui kryptimi

Pvz Sakykime kad materialustaškas juda apskritimu kurio spindulys rGreitis bus nukreiptas liestinės taške Mliestinės kryptimi o jo dydis v= ωr = 2πrT

Hodografas bus apskritimas kurio spindulys lygus rarr

r o pagreičio vektorius busnukreiptas hodografo liestinės taško kryptimi į apskritimo centrą Tada pagreitis bus

a = ω v = 2πrT = v 2r

Tai įcentrinio pagreičio formolė kuri vektorinėje formoje užrašoma taip rarr

a = - w2 rarr

r Imkime bet kokią trajektoriją Tada rarr

v = v rarr

s kur s - vienetinis

trajektorijos vektorius Trikampis yra lygiašonis bet ∆s artėjant į nulį ∆rarr

s rarr

s Jeigu rarr

a

S

rarr

v

rarr

n

O

a

M1

rarr

r

a A1

rarr

v

O1

A a

rarr

∆ v a1

rarr

v 1

rarr

v

O

= v middot drarr

s d t tada sulyginę šios lygybės dešinę pusę su įcentrinio pagreičio išraiškos

dešiniaja puse gausime rnv

tsv

rr

sdot=sdot 2dd Abi lygybės puses padalinę iš v gausime

rnv

ts rr

sdot=dd Žinodami kad d s = vmiddotd t užrašysime n

rv

ts

ss

tr

rr

sdotsdot=sdot=1

dd

dd

dsd arba n

rss rr

sdot=1

dd

Iš čia matyti kad trajektorijos liestinės vienetinio vektoriaus išvestinė yra statmena tam

vienetiniam vektoriui (tai seka iš liestinės sąvokos) d rarr

s rarr

n Kai ∆s rarr 0 α rarr 0 irrarr

s drarr

s Dydis 1r vadinamas trajektorijos kreivumo radiusu (duotame taške) o rarr

n ndash

normalės vektoriumi Kadangi 1r yra teigiamas o rarr

n ir rarr

s priešingų krypčių tai rarr

n visada

nukreiptas į įgaubtąją trajektorijos pusę Bendru atveju 1r ir rarr

n visą laiką kintaskirtinguose trajektorijos taškuose Kreivės gali būti plokštuminės (apskritimas elipsė hiperbolė parabolė ir tt) irerdvinės (spiralė) Plokštuma kurioje yra liestinė ir normalė vadinama liečiamaja ostatmuo išvestas iš duotojo taško į plokštumą ndash binormale Taigi bendru atvejurarr

v =v(t)s(t) Panaudodami dviejų kintamų dydžių diferenciavimo taisyklę gaunamerarr

a = d vd t middot rarr

s + rarr

v middot d rarr

s d t arba rarr

a = d vd t middot rarr

s + v2r middotrarr

n Taigi vektorius a guli s ir n plokštumoje Čia gavome viso pagreičio lygtį kuris

sudarytas iš tangentinio ir normalinio pagreičio sumos rarr

a t = d vd t middot rarr

s - tangentiniopagreičio lygtis tangentinis pagreitis yra vektorius kurio kryptis sutampas su trjektorijos

taško liestinės kryptimi rarr

a n = v2r middot rarr

n ndash normalinio pagreičio lygtis normalinis pagreitisyra vektorius kurio kryptis sutampa su trajektorijos normalės vektoriaus kryptimi tynukreiptas į trajektorijos įgaubtąją pusę Tangentinis pagreitis keičia greičio dydį onormalinis keičia greičio kryptį

Reikia neužmiršti kad trajektorijos kreivė gali būti (dažniausiai ir yra) erdvinė

figūra Tokiu atveju taško judėjimas bus apskaičiuojamas trijų koordinačių kryptimis rarr

i rarr

j rarr

k taigi materialaus taško judėjimą galima aprašyti trimis laisvės laipsniais (vienajudėjimo kryptis ndash vienas laisvės laipsnis)

rarr

s

rarr

∆ s

rarr

s + rarr

∆ s

rarr

s

α

rarrrarr

∆+ ss

rarr

r rarr

n

3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas

Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo

laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr

v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr

p =

mrarr

v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią

trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis

Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams

Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-

28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi

klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais

šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų

užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu

β

α

J s1

T1 s2

T2

S

Ž

T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio

Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius

spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys

praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas

rarr

v

K D

B EA

F

5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada

x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)

Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada

x| = xdxpartΦpart 1 + yd

ypartΦpart 1 + zd

zpartΦpart 1 + td

tpartΦpart 1

Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty

xpartΦpart 1

ypartΦpart 1

zpartΦpart 1

tpartΦpart 1 = const

Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5

čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų

y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada

y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t

Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia

0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t

O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y

y = a1 y| z =

a1 z|

1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|

x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|

2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu

strypas juda greičiu v Tada

x|1 = α(x1 ndash vt0) x|

2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|

2 ndash x|1)α =lα

Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|

1 + vt|0) ir x2 = α|(x|

2+ vt|

0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|

2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal

reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš

x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad

y y|

x x|

z z|

rarr

v

ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22

2

vcc+

2α = )1(

122 cvminus

2α = 1 22 1 cvminus

Kadangi vt| = αx - x| =

αx - α(x ndash vt) = α v t + x(

α1 - α)

t| = αt + vx ( 2

- 1) t| =

2

2

1

1

cv

minus

t + vx [( 1 - 2

2

cv ) -1] t| =

2

2

2

1cv

xcvt

minus

minus

Lorenco transformacijos

2

2

|

1cvvtxx

minus

minus= yy =| zz =|

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

minus=

Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą

2

2

||

1cvvtxx

minus

+= |yy = |zz =

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

+=

Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1

6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|

1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką

t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|

2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos

2

201|

1

1cvvtxx

minus

minus=

2

202|

2

1cvvtxx

minus

minus=

2

2

120|1

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

2

2

220|2

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

Pažymėkime 2

2

1cv

minus = β

Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu

)()()(212

12

022

0|1

|2

| xxcvxcvtxcvtttt minus=

+minusminus=minus=∆

ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą

1212 tt

vxx

įt

minus=minus

Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|

2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname

(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)

)1())((2

12122

12|1

|2 įtvc

vttxxcvtttt minusminus

=minusminusminus

=minusββ

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 2: Arlausko konspektai

ttxttx

tx

∆minus∆+

=∆∆

=)()(vvid

Toks vidutinio greičio apibrėžimas galioja visiems ∆t išskyrus ∆t = 0 nes 00neturi prasmės Bendruoju atveju vvid priklauso ne tik nuo ∆t bet ir nuo t Mūsų atvejuimkime kad t nekinta o ∆t rarr 0 (nykstamai mažėja) tada ∆xx artėja prie tam tikrodydžio kuris jau priklauso tik nuo t bet nepriklauso nuo ∆t Šis dydis arba ribavadinamas tikruoju arba momentiniu materialaus taško greičiu laiko momentu t

ttxttx

tx

tt ∆minus∆+

=∆∆

=rarr∆rarr∆

)()(limlimv00

Matematikoje tokia išraiška vadinama funkcijos x(t) išvestine pagal argumentą tžymima dxdt Taigi momentinis arba tikrasis greitis yra koordinatės (arba nueito kelio) xišvestinė pagal t

tx

ddv =

Kaip jau minėta greitis bus laiko funkcija v = v(t) (bendru atveju) Greičioišvestinė pagal laiką yra materialaus taško pagreitis a

tttt

ta

t ∆minus∆+

==rarr∆

)(v)(vlimddv

0

Kadangi v = dxdt gauname kad pagreitis yra antroji koordinatės išvestinė pagallaiką

2

2

dd

txa =

Pvz Tegu taško judėjimas aprašomas x = At2 + Bt +C kur A B C ndash pastovūskoeficientai tada

x + ∆x = A(t + ∆t)2 + B(t + ∆t) + C = At2 + 2At∆t + A∆t2 + Bt + B∆t + C = = (At2 + Bt +C) + (2At + B)∆t + A∆t2

Iš vidutinio greičio apibrėžimo

tABAtt

CBtAttAtBAtCBtAtt

txttx

∆++=

=∆

++minus∆+∆++++=

∆minus∆+

=

)2(

)()2()()()(v222

Matome kad vvid priklauso ir nuo t ir nuo ∆t Norint gauti momentinį greitį reikiaskaičiuoti ribą kai ∆t rarr 0

BAttABAttt

+=∆++==rarr∆rarr∆

2])2[(limvlimv00

vid

Matome kad momentinis greitis priklauso tik nuo t pagreitis bus

At

a 2ddv

==

Kaip matome šiuo atveju pagreitis jau nebepriklauso nuo laiko ndash tolygiaigreitėjantis arba tolygiai lėtėjantis judėjimas Bendru atveju a = a(t)

2 Kampinis greitis Ryšys tarp kreivalinijinio greičio ir nueito kelio Pagreitis taškuijudant kreiva trajektorija

Analogiškai su linijiniu greičiu ir pagreičiu sukamąjam judėjimui galima įvestikampinį greitį ω ir kampinį pagreitį ε Kampinis greitis

tddα

Jeigu α = ω t + const tai kampinis greitis bus pastovus Sukimųsi dažnis parodomaterialaus taško apsisukimų skaičių per laiko intervalą

tdd

21

sdotπ

=πω

Dydis T = 1ν vadinamas apsisukimų periodu Kampinis pagreitis jeigu ω = ω(t)bus

2

2

dd

dd

ttα

Kampinis pagreitis lygus pirmai kampinio greičio išvestinei arba antrai kampoišvestinei pagal laiką

Jeigu apsisukimo spindulys yra r tai ∆s =r∆α tada

t

rts

∆∆

=∆∆ α ir

tr

ts

tt ∆∆

=∆∆

rarr∆rarr∆

α00

limlim

v = rw Jeigu kampinis greitis yra w(t) tai

diferencijuojant pagal laiką

a = d vd t = r d wd t

Kreivalinijinio judėjimo greitis ir pagreitis (bendruoju atveju) yra

rr = r(t) )(1 trr = r(t + ∆t) t

trttrtr

∆minus∆+

=∆∆

=)()(vvid

rrvr

M rarr

v (t) M1

rarr

∆ r (t)rarr

r (t) rarr

r 1(t)

α O

M1 M AElig s x

s∆ α O r

Imant ∆t rarr 0 rarrv = d

rarr

r dt = tr

t ∆∆

rarr

rarr∆ 0lim Tikrasis arba momentinis greitis yra

vektorius nukreiptas liestinės kryptimi trajektorijos taškerarr

r (t) Tokiu būdu aprašomas irpagreitis tai yra vektorius lygus greičio vektoriaus pirmai išvestinei arba spinduliovektoriaus antrai išvestinei

2

2

dd

dvd

tr

ta ==

rr

Tada galima ir greitį atvaizduoti pagal analogiją su spinduliu Greičio vektoriaus

galo taškas vadinamas greičio tašku o visuma tų taškų ndash greičio hodografu

Matematiniu požiūriu visiškai nesvarbifizikinė prasmė todėl ar diferencijuojamasr ar v nėra skirtumo Taigi galimaanalogija momentinis greitis nukreiptastrajektorijos liestinės kryptimi pagreitis busnukreiptas liestinės hodografui kryptimi

Pvz Sakykime kad materialustaškas juda apskritimu kurio spindulys rGreitis bus nukreiptas liestinės taške Mliestinės kryptimi o jo dydis v= ωr = 2πrT

Hodografas bus apskritimas kurio spindulys lygus rarr

r o pagreičio vektorius busnukreiptas hodografo liestinės taško kryptimi į apskritimo centrą Tada pagreitis bus

a = ω v = 2πrT = v 2r

Tai įcentrinio pagreičio formolė kuri vektorinėje formoje užrašoma taip rarr

a = - w2 rarr

r Imkime bet kokią trajektoriją Tada rarr

v = v rarr

s kur s - vienetinis

trajektorijos vektorius Trikampis yra lygiašonis bet ∆s artėjant į nulį ∆rarr

s rarr

s Jeigu rarr

a

S

rarr

v

rarr

n

O

a

M1

rarr

r

a A1

rarr

v

O1

A a

rarr

∆ v a1

rarr

v 1

rarr

v

O

= v middot drarr

s d t tada sulyginę šios lygybės dešinę pusę su įcentrinio pagreičio išraiškos

dešiniaja puse gausime rnv

tsv

rr

sdot=sdot 2dd Abi lygybės puses padalinę iš v gausime

rnv

ts rr

sdot=dd Žinodami kad d s = vmiddotd t užrašysime n

rv

ts

ss

tr

rr

sdotsdot=sdot=1

dd

dd

dsd arba n

rss rr

sdot=1

dd

Iš čia matyti kad trajektorijos liestinės vienetinio vektoriaus išvestinė yra statmena tam

vienetiniam vektoriui (tai seka iš liestinės sąvokos) d rarr

s rarr

n Kai ∆s rarr 0 α rarr 0 irrarr

s drarr

s Dydis 1r vadinamas trajektorijos kreivumo radiusu (duotame taške) o rarr

n ndash

normalės vektoriumi Kadangi 1r yra teigiamas o rarr

n ir rarr

s priešingų krypčių tai rarr

n visada

nukreiptas į įgaubtąją trajektorijos pusę Bendru atveju 1r ir rarr

n visą laiką kintaskirtinguose trajektorijos taškuose Kreivės gali būti plokštuminės (apskritimas elipsė hiperbolė parabolė ir tt) irerdvinės (spiralė) Plokštuma kurioje yra liestinė ir normalė vadinama liečiamaja ostatmuo išvestas iš duotojo taško į plokštumą ndash binormale Taigi bendru atvejurarr

v =v(t)s(t) Panaudodami dviejų kintamų dydžių diferenciavimo taisyklę gaunamerarr

a = d vd t middot rarr

s + rarr

v middot d rarr

s d t arba rarr

a = d vd t middot rarr

s + v2r middotrarr

n Taigi vektorius a guli s ir n plokštumoje Čia gavome viso pagreičio lygtį kuris

sudarytas iš tangentinio ir normalinio pagreičio sumos rarr

a t = d vd t middot rarr

s - tangentiniopagreičio lygtis tangentinis pagreitis yra vektorius kurio kryptis sutampas su trjektorijos

taško liestinės kryptimi rarr

a n = v2r middot rarr

n ndash normalinio pagreičio lygtis normalinis pagreitisyra vektorius kurio kryptis sutampa su trajektorijos normalės vektoriaus kryptimi tynukreiptas į trajektorijos įgaubtąją pusę Tangentinis pagreitis keičia greičio dydį onormalinis keičia greičio kryptį

Reikia neužmiršti kad trajektorijos kreivė gali būti (dažniausiai ir yra) erdvinė

figūra Tokiu atveju taško judėjimas bus apskaičiuojamas trijų koordinačių kryptimis rarr

i rarr

j rarr

k taigi materialaus taško judėjimą galima aprašyti trimis laisvės laipsniais (vienajudėjimo kryptis ndash vienas laisvės laipsnis)

rarr

s

rarr

∆ s

rarr

s + rarr

∆ s

rarr

s

α

rarrrarr

∆+ ss

rarr

r rarr

n

3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas

Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo

laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr

v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr

p =

mrarr

v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią

trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis

Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams

Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-

28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi

klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais

šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų

užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu

β

α

J s1

T1 s2

T2

S

Ž

T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio

Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius

spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys

praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas

rarr

v

K D

B EA

F

5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada

x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)

Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada

x| = xdxpartΦpart 1 + yd

ypartΦpart 1 + zd

zpartΦpart 1 + td

tpartΦpart 1

Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty

xpartΦpart 1

ypartΦpart 1

zpartΦpart 1

tpartΦpart 1 = const

Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5

čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų

y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada

y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t

Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia

0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t

O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y

y = a1 y| z =

a1 z|

1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|

x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|

2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu

strypas juda greičiu v Tada

x|1 = α(x1 ndash vt0) x|

2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|

2 ndash x|1)α =lα

Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|

1 + vt|0) ir x2 = α|(x|

2+ vt|

0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|

2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal

reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš

x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad

y y|

x x|

z z|

rarr

v

ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22

2

vcc+

2α = )1(

122 cvminus

2α = 1 22 1 cvminus

Kadangi vt| = αx - x| =

αx - α(x ndash vt) = α v t + x(

α1 - α)

t| = αt + vx ( 2

- 1) t| =

2

2

1

1

cv

minus

t + vx [( 1 - 2

2

cv ) -1] t| =

2

2

2

1cv

xcvt

minus

minus

Lorenco transformacijos

2

2

|

1cvvtxx

minus

minus= yy =| zz =|

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

minus=

Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą

2

2

||

1cvvtxx

minus

+= |yy = |zz =

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

+=

Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1

6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|

1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką

t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|

2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos

2

201|

1

1cvvtxx

minus

minus=

2

202|

2

1cvvtxx

minus

minus=

2

2

120|1

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

2

2

220|2

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

Pažymėkime 2

2

1cv

minus = β

Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu

)()()(212

12

022

0|1

|2

| xxcvxcvtxcvtttt minus=

+minusminus=minus=∆

ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą

1212 tt

vxx

įt

minus=minus

Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|

2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname

(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)

)1())((2

12122

12|1

|2 įtvc

vttxxcvtttt minusminus

=minusminusminus

=minusββ

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 3: Arlausko konspektai

BAttABAttt

+=∆++==rarr∆rarr∆

2])2[(limvlimv00

vid

Matome kad momentinis greitis priklauso tik nuo t pagreitis bus

At

a 2ddv

==

Kaip matome šiuo atveju pagreitis jau nebepriklauso nuo laiko ndash tolygiaigreitėjantis arba tolygiai lėtėjantis judėjimas Bendru atveju a = a(t)

2 Kampinis greitis Ryšys tarp kreivalinijinio greičio ir nueito kelio Pagreitis taškuijudant kreiva trajektorija

Analogiškai su linijiniu greičiu ir pagreičiu sukamąjam judėjimui galima įvestikampinį greitį ω ir kampinį pagreitį ε Kampinis greitis

tddα

Jeigu α = ω t + const tai kampinis greitis bus pastovus Sukimųsi dažnis parodomaterialaus taško apsisukimų skaičių per laiko intervalą

tdd

21

sdotπ

=πω

Dydis T = 1ν vadinamas apsisukimų periodu Kampinis pagreitis jeigu ω = ω(t)bus

2

2

dd

dd

ttα

Kampinis pagreitis lygus pirmai kampinio greičio išvestinei arba antrai kampoišvestinei pagal laiką

Jeigu apsisukimo spindulys yra r tai ∆s =r∆α tada

t

rts

∆∆

=∆∆ α ir

tr

ts

tt ∆∆

=∆∆

rarr∆rarr∆

α00

limlim

v = rw Jeigu kampinis greitis yra w(t) tai

diferencijuojant pagal laiką

a = d vd t = r d wd t

Kreivalinijinio judėjimo greitis ir pagreitis (bendruoju atveju) yra

rr = r(t) )(1 trr = r(t + ∆t) t

trttrtr

∆minus∆+

=∆∆

=)()(vvid

rrvr

M rarr

v (t) M1

rarr

∆ r (t)rarr

r (t) rarr

r 1(t)

α O

M1 M AElig s x

s∆ α O r

Imant ∆t rarr 0 rarrv = d

rarr

r dt = tr

t ∆∆

rarr

rarr∆ 0lim Tikrasis arba momentinis greitis yra

vektorius nukreiptas liestinės kryptimi trajektorijos taškerarr

r (t) Tokiu būdu aprašomas irpagreitis tai yra vektorius lygus greičio vektoriaus pirmai išvestinei arba spinduliovektoriaus antrai išvestinei

2

2

dd

dvd

tr

ta ==

rr

Tada galima ir greitį atvaizduoti pagal analogiją su spinduliu Greičio vektoriaus

galo taškas vadinamas greičio tašku o visuma tų taškų ndash greičio hodografu

Matematiniu požiūriu visiškai nesvarbifizikinė prasmė todėl ar diferencijuojamasr ar v nėra skirtumo Taigi galimaanalogija momentinis greitis nukreiptastrajektorijos liestinės kryptimi pagreitis busnukreiptas liestinės hodografui kryptimi

Pvz Sakykime kad materialustaškas juda apskritimu kurio spindulys rGreitis bus nukreiptas liestinės taške Mliestinės kryptimi o jo dydis v= ωr = 2πrT

Hodografas bus apskritimas kurio spindulys lygus rarr

r o pagreičio vektorius busnukreiptas hodografo liestinės taško kryptimi į apskritimo centrą Tada pagreitis bus

a = ω v = 2πrT = v 2r

Tai įcentrinio pagreičio formolė kuri vektorinėje formoje užrašoma taip rarr

a = - w2 rarr

r Imkime bet kokią trajektoriją Tada rarr

v = v rarr

s kur s - vienetinis

trajektorijos vektorius Trikampis yra lygiašonis bet ∆s artėjant į nulį ∆rarr

s rarr

s Jeigu rarr

a

S

rarr

v

rarr

n

O

a

M1

rarr

r

a A1

rarr

v

O1

A a

rarr

∆ v a1

rarr

v 1

rarr

v

O

= v middot drarr

s d t tada sulyginę šios lygybės dešinę pusę su įcentrinio pagreičio išraiškos

dešiniaja puse gausime rnv

tsv

rr

sdot=sdot 2dd Abi lygybės puses padalinę iš v gausime

rnv

ts rr

sdot=dd Žinodami kad d s = vmiddotd t užrašysime n

rv

ts

ss

tr

rr

sdotsdot=sdot=1

dd

dd

dsd arba n

rss rr

sdot=1

dd

Iš čia matyti kad trajektorijos liestinės vienetinio vektoriaus išvestinė yra statmena tam

vienetiniam vektoriui (tai seka iš liestinės sąvokos) d rarr

s rarr

n Kai ∆s rarr 0 α rarr 0 irrarr

s drarr

s Dydis 1r vadinamas trajektorijos kreivumo radiusu (duotame taške) o rarr

n ndash

normalės vektoriumi Kadangi 1r yra teigiamas o rarr

n ir rarr

s priešingų krypčių tai rarr

n visada

nukreiptas į įgaubtąją trajektorijos pusę Bendru atveju 1r ir rarr

n visą laiką kintaskirtinguose trajektorijos taškuose Kreivės gali būti plokštuminės (apskritimas elipsė hiperbolė parabolė ir tt) irerdvinės (spiralė) Plokštuma kurioje yra liestinė ir normalė vadinama liečiamaja ostatmuo išvestas iš duotojo taško į plokštumą ndash binormale Taigi bendru atvejurarr

v =v(t)s(t) Panaudodami dviejų kintamų dydžių diferenciavimo taisyklę gaunamerarr

a = d vd t middot rarr

s + rarr

v middot d rarr

s d t arba rarr

a = d vd t middot rarr

s + v2r middotrarr

n Taigi vektorius a guli s ir n plokštumoje Čia gavome viso pagreičio lygtį kuris

sudarytas iš tangentinio ir normalinio pagreičio sumos rarr

a t = d vd t middot rarr

s - tangentiniopagreičio lygtis tangentinis pagreitis yra vektorius kurio kryptis sutampas su trjektorijos

taško liestinės kryptimi rarr

a n = v2r middot rarr

n ndash normalinio pagreičio lygtis normalinis pagreitisyra vektorius kurio kryptis sutampa su trajektorijos normalės vektoriaus kryptimi tynukreiptas į trajektorijos įgaubtąją pusę Tangentinis pagreitis keičia greičio dydį onormalinis keičia greičio kryptį

Reikia neužmiršti kad trajektorijos kreivė gali būti (dažniausiai ir yra) erdvinė

figūra Tokiu atveju taško judėjimas bus apskaičiuojamas trijų koordinačių kryptimis rarr

i rarr

j rarr

k taigi materialaus taško judėjimą galima aprašyti trimis laisvės laipsniais (vienajudėjimo kryptis ndash vienas laisvės laipsnis)

rarr

s

rarr

∆ s

rarr

s + rarr

∆ s

rarr

s

α

rarrrarr

∆+ ss

rarr

r rarr

n

3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas

Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo

laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr

v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr

p =

mrarr

v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią

trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis

Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams

Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-

28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi

klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais

šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų

užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu

β

α

J s1

T1 s2

T2

S

Ž

T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio

Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius

spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys

praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas

rarr

v

K D

B EA

F

5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada

x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)

Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada

x| = xdxpartΦpart 1 + yd

ypartΦpart 1 + zd

zpartΦpart 1 + td

tpartΦpart 1

Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty

xpartΦpart 1

ypartΦpart 1

zpartΦpart 1

tpartΦpart 1 = const

Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5

čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų

y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada

y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t

Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia

0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t

O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y

y = a1 y| z =

a1 z|

1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|

x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|

2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu

strypas juda greičiu v Tada

x|1 = α(x1 ndash vt0) x|

2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|

2 ndash x|1)α =lα

Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|

1 + vt|0) ir x2 = α|(x|

2+ vt|

0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|

2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal

reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš

x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad

y y|

x x|

z z|

rarr

v

ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22

2

vcc+

2α = )1(

122 cvminus

2α = 1 22 1 cvminus

Kadangi vt| = αx - x| =

αx - α(x ndash vt) = α v t + x(

α1 - α)

t| = αt + vx ( 2

- 1) t| =

2

2

1

1

cv

minus

t + vx [( 1 - 2

2

cv ) -1] t| =

2

2

2

1cv

xcvt

minus

minus

Lorenco transformacijos

2

2

|

1cvvtxx

minus

minus= yy =| zz =|

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

minus=

Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą

2

2

||

1cvvtxx

minus

+= |yy = |zz =

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

+=

Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1

6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|

1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką

t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|

2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos

2

201|

1

1cvvtxx

minus

minus=

2

202|

2

1cvvtxx

minus

minus=

2

2

120|1

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

2

2

220|2

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

Pažymėkime 2

2

1cv

minus = β

Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu

)()()(212

12

022

0|1

|2

| xxcvxcvtxcvtttt minus=

+minusminus=minus=∆

ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą

1212 tt

vxx

įt

minus=minus

Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|

2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname

(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)

)1())((2

12122

12|1

|2 įtvc

vttxxcvtttt minusminus

=minusminusminus

=minusββ

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 4: Arlausko konspektai

2 Kampinis greitis Ryšys tarp kreivalinijinio greičio ir nueito kelio Pagreitis taškuijudant kreiva trajektorija

Analogiškai su linijiniu greičiu ir pagreičiu sukamąjam judėjimui galima įvestikampinį greitį ω ir kampinį pagreitį ε Kampinis greitis

tddα

Jeigu α = ω t + const tai kampinis greitis bus pastovus Sukimųsi dažnis parodomaterialaus taško apsisukimų skaičių per laiko intervalą

tdd

21

sdotπ

=πω

Dydis T = 1ν vadinamas apsisukimų periodu Kampinis pagreitis jeigu ω = ω(t)bus

2

2

dd

dd

ttα

Kampinis pagreitis lygus pirmai kampinio greičio išvestinei arba antrai kampoišvestinei pagal laiką

Jeigu apsisukimo spindulys yra r tai ∆s =r∆α tada

t

rts

∆∆

=∆∆ α ir

tr

ts

tt ∆∆

=∆∆

rarr∆rarr∆

α00

limlim

v = rw Jeigu kampinis greitis yra w(t) tai

diferencijuojant pagal laiką

a = d vd t = r d wd t

Kreivalinijinio judėjimo greitis ir pagreitis (bendruoju atveju) yra

rr = r(t) )(1 trr = r(t + ∆t) t

trttrtr

∆minus∆+

=∆∆

=)()(vvid

rrvr

M rarr

v (t) M1

rarr

∆ r (t)rarr

r (t) rarr

r 1(t)

α O

M1 M AElig s x

s∆ α O r

Imant ∆t rarr 0 rarrv = d

rarr

r dt = tr

t ∆∆

rarr

rarr∆ 0lim Tikrasis arba momentinis greitis yra

vektorius nukreiptas liestinės kryptimi trajektorijos taškerarr

r (t) Tokiu būdu aprašomas irpagreitis tai yra vektorius lygus greičio vektoriaus pirmai išvestinei arba spinduliovektoriaus antrai išvestinei

2

2

dd

dvd

tr

ta ==

rr

Tada galima ir greitį atvaizduoti pagal analogiją su spinduliu Greičio vektoriaus

galo taškas vadinamas greičio tašku o visuma tų taškų ndash greičio hodografu

Matematiniu požiūriu visiškai nesvarbifizikinė prasmė todėl ar diferencijuojamasr ar v nėra skirtumo Taigi galimaanalogija momentinis greitis nukreiptastrajektorijos liestinės kryptimi pagreitis busnukreiptas liestinės hodografui kryptimi

Pvz Sakykime kad materialustaškas juda apskritimu kurio spindulys rGreitis bus nukreiptas liestinės taške Mliestinės kryptimi o jo dydis v= ωr = 2πrT

Hodografas bus apskritimas kurio spindulys lygus rarr

r o pagreičio vektorius busnukreiptas hodografo liestinės taško kryptimi į apskritimo centrą Tada pagreitis bus

a = ω v = 2πrT = v 2r

Tai įcentrinio pagreičio formolė kuri vektorinėje formoje užrašoma taip rarr

a = - w2 rarr

r Imkime bet kokią trajektoriją Tada rarr

v = v rarr

s kur s - vienetinis

trajektorijos vektorius Trikampis yra lygiašonis bet ∆s artėjant į nulį ∆rarr

s rarr

s Jeigu rarr

a

S

rarr

v

rarr

n

O

a

M1

rarr

r

a A1

rarr

v

O1

A a

rarr

∆ v a1

rarr

v 1

rarr

v

O

= v middot drarr

s d t tada sulyginę šios lygybės dešinę pusę su įcentrinio pagreičio išraiškos

dešiniaja puse gausime rnv

tsv

rr

sdot=sdot 2dd Abi lygybės puses padalinę iš v gausime

rnv

ts rr

sdot=dd Žinodami kad d s = vmiddotd t užrašysime n

rv

ts

ss

tr

rr

sdotsdot=sdot=1

dd

dd

dsd arba n

rss rr

sdot=1

dd

Iš čia matyti kad trajektorijos liestinės vienetinio vektoriaus išvestinė yra statmena tam

vienetiniam vektoriui (tai seka iš liestinės sąvokos) d rarr

s rarr

n Kai ∆s rarr 0 α rarr 0 irrarr

s drarr

s Dydis 1r vadinamas trajektorijos kreivumo radiusu (duotame taške) o rarr

n ndash

normalės vektoriumi Kadangi 1r yra teigiamas o rarr

n ir rarr

s priešingų krypčių tai rarr

n visada

nukreiptas į įgaubtąją trajektorijos pusę Bendru atveju 1r ir rarr

n visą laiką kintaskirtinguose trajektorijos taškuose Kreivės gali būti plokštuminės (apskritimas elipsė hiperbolė parabolė ir tt) irerdvinės (spiralė) Plokštuma kurioje yra liestinė ir normalė vadinama liečiamaja ostatmuo išvestas iš duotojo taško į plokštumą ndash binormale Taigi bendru atvejurarr

v =v(t)s(t) Panaudodami dviejų kintamų dydžių diferenciavimo taisyklę gaunamerarr

a = d vd t middot rarr

s + rarr

v middot d rarr

s d t arba rarr

a = d vd t middot rarr

s + v2r middotrarr

n Taigi vektorius a guli s ir n plokštumoje Čia gavome viso pagreičio lygtį kuris

sudarytas iš tangentinio ir normalinio pagreičio sumos rarr

a t = d vd t middot rarr

s - tangentiniopagreičio lygtis tangentinis pagreitis yra vektorius kurio kryptis sutampas su trjektorijos

taško liestinės kryptimi rarr

a n = v2r middot rarr

n ndash normalinio pagreičio lygtis normalinis pagreitisyra vektorius kurio kryptis sutampa su trajektorijos normalės vektoriaus kryptimi tynukreiptas į trajektorijos įgaubtąją pusę Tangentinis pagreitis keičia greičio dydį onormalinis keičia greičio kryptį

Reikia neužmiršti kad trajektorijos kreivė gali būti (dažniausiai ir yra) erdvinė

figūra Tokiu atveju taško judėjimas bus apskaičiuojamas trijų koordinačių kryptimis rarr

i rarr

j rarr

k taigi materialaus taško judėjimą galima aprašyti trimis laisvės laipsniais (vienajudėjimo kryptis ndash vienas laisvės laipsnis)

rarr

s

rarr

∆ s

rarr

s + rarr

∆ s

rarr

s

α

rarrrarr

∆+ ss

rarr

r rarr

n

3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas

Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo

laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr

v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr

p =

mrarr

v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią

trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis

Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams

Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-

28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi

klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais

šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų

užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu

β

α

J s1

T1 s2

T2

S

Ž

T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio

Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius

spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys

praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas

rarr

v

K D

B EA

F

5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada

x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)

Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada

x| = xdxpartΦpart 1 + yd

ypartΦpart 1 + zd

zpartΦpart 1 + td

tpartΦpart 1

Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty

xpartΦpart 1

ypartΦpart 1

zpartΦpart 1

tpartΦpart 1 = const

Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5

čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų

y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada

y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t

Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia

0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t

O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y

y = a1 y| z =

a1 z|

1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|

x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|

2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu

strypas juda greičiu v Tada

x|1 = α(x1 ndash vt0) x|

2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|

2 ndash x|1)α =lα

Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|

1 + vt|0) ir x2 = α|(x|

2+ vt|

0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|

2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal

reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš

x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad

y y|

x x|

z z|

rarr

v

ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22

2

vcc+

2α = )1(

122 cvminus

2α = 1 22 1 cvminus

Kadangi vt| = αx - x| =

αx - α(x ndash vt) = α v t + x(

α1 - α)

t| = αt + vx ( 2

- 1) t| =

2

2

1

1

cv

minus

t + vx [( 1 - 2

2

cv ) -1] t| =

2

2

2

1cv

xcvt

minus

minus

Lorenco transformacijos

2

2

|

1cvvtxx

minus

minus= yy =| zz =|

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

minus=

Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą

2

2

||

1cvvtxx

minus

+= |yy = |zz =

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

+=

Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1

6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|

1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką

t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|

2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos

2

201|

1

1cvvtxx

minus

minus=

2

202|

2

1cvvtxx

minus

minus=

2

2

120|1

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

2

2

220|2

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

Pažymėkime 2

2

1cv

minus = β

Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu

)()()(212

12

022

0|1

|2

| xxcvxcvtxcvtttt minus=

+minusminus=minus=∆

ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą

1212 tt

vxx

įt

minus=minus

Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|

2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname

(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)

)1())((2

12122

12|1

|2 įtvc

vttxxcvtttt minusminus

=minusminusminus

=minusββ

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 5: Arlausko konspektai

Imant ∆t rarr 0 rarrv = d

rarr

r dt = tr

t ∆∆

rarr

rarr∆ 0lim Tikrasis arba momentinis greitis yra

vektorius nukreiptas liestinės kryptimi trajektorijos taškerarr

r (t) Tokiu būdu aprašomas irpagreitis tai yra vektorius lygus greičio vektoriaus pirmai išvestinei arba spinduliovektoriaus antrai išvestinei

2

2

dd

dvd

tr

ta ==

rr

Tada galima ir greitį atvaizduoti pagal analogiją su spinduliu Greičio vektoriaus

galo taškas vadinamas greičio tašku o visuma tų taškų ndash greičio hodografu

Matematiniu požiūriu visiškai nesvarbifizikinė prasmė todėl ar diferencijuojamasr ar v nėra skirtumo Taigi galimaanalogija momentinis greitis nukreiptastrajektorijos liestinės kryptimi pagreitis busnukreiptas liestinės hodografui kryptimi

Pvz Sakykime kad materialustaškas juda apskritimu kurio spindulys rGreitis bus nukreiptas liestinės taške Mliestinės kryptimi o jo dydis v= ωr = 2πrT

Hodografas bus apskritimas kurio spindulys lygus rarr

r o pagreičio vektorius busnukreiptas hodografo liestinės taško kryptimi į apskritimo centrą Tada pagreitis bus

a = ω v = 2πrT = v 2r

Tai įcentrinio pagreičio formolė kuri vektorinėje formoje užrašoma taip rarr

a = - w2 rarr

r Imkime bet kokią trajektoriją Tada rarr

v = v rarr

s kur s - vienetinis

trajektorijos vektorius Trikampis yra lygiašonis bet ∆s artėjant į nulį ∆rarr

s rarr

s Jeigu rarr

a

S

rarr

v

rarr

n

O

a

M1

rarr

r

a A1

rarr

v

O1

A a

rarr

∆ v a1

rarr

v 1

rarr

v

O

= v middot drarr

s d t tada sulyginę šios lygybės dešinę pusę su įcentrinio pagreičio išraiškos

dešiniaja puse gausime rnv

tsv

rr

sdot=sdot 2dd Abi lygybės puses padalinę iš v gausime

rnv

ts rr

sdot=dd Žinodami kad d s = vmiddotd t užrašysime n

rv

ts

ss

tr

rr

sdotsdot=sdot=1

dd

dd

dsd arba n

rss rr

sdot=1

dd

Iš čia matyti kad trajektorijos liestinės vienetinio vektoriaus išvestinė yra statmena tam

vienetiniam vektoriui (tai seka iš liestinės sąvokos) d rarr

s rarr

n Kai ∆s rarr 0 α rarr 0 irrarr

s drarr

s Dydis 1r vadinamas trajektorijos kreivumo radiusu (duotame taške) o rarr

n ndash

normalės vektoriumi Kadangi 1r yra teigiamas o rarr

n ir rarr

s priešingų krypčių tai rarr

n visada

nukreiptas į įgaubtąją trajektorijos pusę Bendru atveju 1r ir rarr

n visą laiką kintaskirtinguose trajektorijos taškuose Kreivės gali būti plokštuminės (apskritimas elipsė hiperbolė parabolė ir tt) irerdvinės (spiralė) Plokštuma kurioje yra liestinė ir normalė vadinama liečiamaja ostatmuo išvestas iš duotojo taško į plokštumą ndash binormale Taigi bendru atvejurarr

v =v(t)s(t) Panaudodami dviejų kintamų dydžių diferenciavimo taisyklę gaunamerarr

a = d vd t middot rarr

s + rarr

v middot d rarr

s d t arba rarr

a = d vd t middot rarr

s + v2r middotrarr

n Taigi vektorius a guli s ir n plokštumoje Čia gavome viso pagreičio lygtį kuris

sudarytas iš tangentinio ir normalinio pagreičio sumos rarr

a t = d vd t middot rarr

s - tangentiniopagreičio lygtis tangentinis pagreitis yra vektorius kurio kryptis sutampas su trjektorijos

taško liestinės kryptimi rarr

a n = v2r middot rarr

n ndash normalinio pagreičio lygtis normalinis pagreitisyra vektorius kurio kryptis sutampa su trajektorijos normalės vektoriaus kryptimi tynukreiptas į trajektorijos įgaubtąją pusę Tangentinis pagreitis keičia greičio dydį onormalinis keičia greičio kryptį

Reikia neužmiršti kad trajektorijos kreivė gali būti (dažniausiai ir yra) erdvinė

figūra Tokiu atveju taško judėjimas bus apskaičiuojamas trijų koordinačių kryptimis rarr

i rarr

j rarr

k taigi materialaus taško judėjimą galima aprašyti trimis laisvės laipsniais (vienajudėjimo kryptis ndash vienas laisvės laipsnis)

rarr

s

rarr

∆ s

rarr

s + rarr

∆ s

rarr

s

α

rarrrarr

∆+ ss

rarr

r rarr

n

3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas

Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo

laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr

v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr

p =

mrarr

v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią

trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis

Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams

Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-

28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi

klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais

šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų

užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu

β

α

J s1

T1 s2

T2

S

Ž

T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio

Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius

spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys

praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas

rarr

v

K D

B EA

F

5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada

x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)

Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada

x| = xdxpartΦpart 1 + yd

ypartΦpart 1 + zd

zpartΦpart 1 + td

tpartΦpart 1

Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty

xpartΦpart 1

ypartΦpart 1

zpartΦpart 1

tpartΦpart 1 = const

Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5

čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų

y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada

y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t

Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia

0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t

O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y

y = a1 y| z =

a1 z|

1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|

x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|

2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu

strypas juda greičiu v Tada

x|1 = α(x1 ndash vt0) x|

2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|

2 ndash x|1)α =lα

Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|

1 + vt|0) ir x2 = α|(x|

2+ vt|

0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|

2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal

reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš

x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad

y y|

x x|

z z|

rarr

v

ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22

2

vcc+

2α = )1(

122 cvminus

2α = 1 22 1 cvminus

Kadangi vt| = αx - x| =

αx - α(x ndash vt) = α v t + x(

α1 - α)

t| = αt + vx ( 2

- 1) t| =

2

2

1

1

cv

minus

t + vx [( 1 - 2

2

cv ) -1] t| =

2

2

2

1cv

xcvt

minus

minus

Lorenco transformacijos

2

2

|

1cvvtxx

minus

minus= yy =| zz =|

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

minus=

Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą

2

2

||

1cvvtxx

minus

+= |yy = |zz =

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

+=

Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1

6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|

1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką

t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|

2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos

2

201|

1

1cvvtxx

minus

minus=

2

202|

2

1cvvtxx

minus

minus=

2

2

120|1

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

2

2

220|2

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

Pažymėkime 2

2

1cv

minus = β

Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu

)()()(212

12

022

0|1

|2

| xxcvxcvtxcvtttt minus=

+minusminus=minus=∆

ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą

1212 tt

vxx

įt

minus=minus

Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|

2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname

(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)

)1())((2

12122

12|1

|2 įtvc

vttxxcvtttt minusminus

=minusminusminus

=minusββ

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 6: Arlausko konspektai

= v middot drarr

s d t tada sulyginę šios lygybės dešinę pusę su įcentrinio pagreičio išraiškos

dešiniaja puse gausime rnv

tsv

rr

sdot=sdot 2dd Abi lygybės puses padalinę iš v gausime

rnv

ts rr

sdot=dd Žinodami kad d s = vmiddotd t užrašysime n

rv

ts

ss

tr

rr

sdotsdot=sdot=1

dd

dd

dsd arba n

rss rr

sdot=1

dd

Iš čia matyti kad trajektorijos liestinės vienetinio vektoriaus išvestinė yra statmena tam

vienetiniam vektoriui (tai seka iš liestinės sąvokos) d rarr

s rarr

n Kai ∆s rarr 0 α rarr 0 irrarr

s drarr

s Dydis 1r vadinamas trajektorijos kreivumo radiusu (duotame taške) o rarr

n ndash

normalės vektoriumi Kadangi 1r yra teigiamas o rarr

n ir rarr

s priešingų krypčių tai rarr

n visada

nukreiptas į įgaubtąją trajektorijos pusę Bendru atveju 1r ir rarr

n visą laiką kintaskirtinguose trajektorijos taškuose Kreivės gali būti plokštuminės (apskritimas elipsė hiperbolė parabolė ir tt) irerdvinės (spiralė) Plokštuma kurioje yra liestinė ir normalė vadinama liečiamaja ostatmuo išvestas iš duotojo taško į plokštumą ndash binormale Taigi bendru atvejurarr

v =v(t)s(t) Panaudodami dviejų kintamų dydžių diferenciavimo taisyklę gaunamerarr

a = d vd t middot rarr

s + rarr

v middot d rarr

s d t arba rarr

a = d vd t middot rarr

s + v2r middotrarr

n Taigi vektorius a guli s ir n plokštumoje Čia gavome viso pagreičio lygtį kuris

sudarytas iš tangentinio ir normalinio pagreičio sumos rarr

a t = d vd t middot rarr

s - tangentiniopagreičio lygtis tangentinis pagreitis yra vektorius kurio kryptis sutampas su trjektorijos

taško liestinės kryptimi rarr

a n = v2r middot rarr

n ndash normalinio pagreičio lygtis normalinis pagreitisyra vektorius kurio kryptis sutampa su trajektorijos normalės vektoriaus kryptimi tynukreiptas į trajektorijos įgaubtąją pusę Tangentinis pagreitis keičia greičio dydį onormalinis keičia greičio kryptį

Reikia neužmiršti kad trajektorijos kreivė gali būti (dažniausiai ir yra) erdvinė

figūra Tokiu atveju taško judėjimas bus apskaičiuojamas trijų koordinačių kryptimis rarr

i rarr

j rarr

k taigi materialaus taško judėjimą galima aprašyti trimis laisvės laipsniais (vienajudėjimo kryptis ndash vienas laisvės laipsnis)

rarr

s

rarr

∆ s

rarr

s + rarr

∆ s

rarr

s

α

rarrrarr

∆+ ss

rarr

r rarr

n

3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas

Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo

laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr

v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr

p =

mrarr

v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią

trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis

Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams

Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-

28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi

klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais

šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų

užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu

β

α

J s1

T1 s2

T2

S

Ž

T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio

Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius

spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys

praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas

rarr

v

K D

B EA

F

5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada

x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)

Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada

x| = xdxpartΦpart 1 + yd

ypartΦpart 1 + zd

zpartΦpart 1 + td

tpartΦpart 1

Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty

xpartΦpart 1

ypartΦpart 1

zpartΦpart 1

tpartΦpart 1 = const

Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5

čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų

y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada

y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t

Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia

0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t

O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y

y = a1 y| z =

a1 z|

1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|

x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|

2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu

strypas juda greičiu v Tada

x|1 = α(x1 ndash vt0) x|

2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|

2 ndash x|1)α =lα

Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|

1 + vt|0) ir x2 = α|(x|

2+ vt|

0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|

2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal

reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš

x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad

y y|

x x|

z z|

rarr

v

ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22

2

vcc+

2α = )1(

122 cvminus

2α = 1 22 1 cvminus

Kadangi vt| = αx - x| =

αx - α(x ndash vt) = α v t + x(

α1 - α)

t| = αt + vx ( 2

- 1) t| =

2

2

1

1

cv

minus

t + vx [( 1 - 2

2

cv ) -1] t| =

2

2

2

1cv

xcvt

minus

minus

Lorenco transformacijos

2

2

|

1cvvtxx

minus

minus= yy =| zz =|

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

minus=

Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą

2

2

||

1cvvtxx

minus

+= |yy = |zz =

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

+=

Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1

6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|

1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką

t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|

2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos

2

201|

1

1cvvtxx

minus

minus=

2

202|

2

1cvvtxx

minus

minus=

2

2

120|1

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

2

2

220|2

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

Pažymėkime 2

2

1cv

minus = β

Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu

)()()(212

12

022

0|1

|2

| xxcvxcvtxcvtttt minus=

+minusminus=minus=∆

ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą

1212 tt

vxx

įt

minus=minus

Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|

2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname

(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)

)1())((2

12122

12|1

|2 įtvc

vttxxcvtttt minusminus

=minusminusminus

=minusββ

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 7: Arlausko konspektai

3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas

Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo

laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr

v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr

p =

mrarr

v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią

trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis

Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams

Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-

28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi

klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais

šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų

užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu

β

α

J s1

T1 s2

T2

S

Ž

T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio

Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius

spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys

praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas

rarr

v

K D

B EA

F

5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada

x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)

Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada

x| = xdxpartΦpart 1 + yd

ypartΦpart 1 + zd

zpartΦpart 1 + td

tpartΦpart 1

Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty

xpartΦpart 1

ypartΦpart 1

zpartΦpart 1

tpartΦpart 1 = const

Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5

čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų

y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada

y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t

Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia

0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t

O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y

y = a1 y| z =

a1 z|

1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|

x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|

2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu

strypas juda greičiu v Tada

x|1 = α(x1 ndash vt0) x|

2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|

2 ndash x|1)α =lα

Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|

1 + vt|0) ir x2 = α|(x|

2+ vt|

0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|

2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal

reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš

x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad

y y|

x x|

z z|

rarr

v

ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22

2

vcc+

2α = )1(

122 cvminus

2α = 1 22 1 cvminus

Kadangi vt| = αx - x| =

αx - α(x ndash vt) = α v t + x(

α1 - α)

t| = αt + vx ( 2

- 1) t| =

2

2

1

1

cv

minus

t + vx [( 1 - 2

2

cv ) -1] t| =

2

2

2

1cv

xcvt

minus

minus

Lorenco transformacijos

2

2

|

1cvvtxx

minus

minus= yy =| zz =|

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

minus=

Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą

2

2

||

1cvvtxx

minus

+= |yy = |zz =

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

+=

Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1

6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|

1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką

t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|

2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos

2

201|

1

1cvvtxx

minus

minus=

2

202|

2

1cvvtxx

minus

minus=

2

2

120|1

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

2

2

220|2

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

Pažymėkime 2

2

1cv

minus = β

Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu

)()()(212

12

022

0|1

|2

| xxcvxcvtxcvtttt minus=

+minusminus=minus=∆

ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą

1212 tt

vxx

įt

minus=minus

Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|

2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname

(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)

)1())((2

12122

12|1

|2 įtvc

vttxxcvtttt minusminus

=minusminusminus

=minusββ

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 8: Arlausko konspektai

T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio

Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius

spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys

praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas

rarr

v

K D

B EA

F

5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada

x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)

Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada

x| = xdxpartΦpart 1 + yd

ypartΦpart 1 + zd

zpartΦpart 1 + td

tpartΦpart 1

Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty

xpartΦpart 1

ypartΦpart 1

zpartΦpart 1

tpartΦpart 1 = const

Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5

čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų

y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada

y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t

Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia

0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t

O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y

y = a1 y| z =

a1 z|

1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|

x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|

2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu

strypas juda greičiu v Tada

x|1 = α(x1 ndash vt0) x|

2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|

2 ndash x|1)α =lα

Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|

1 + vt|0) ir x2 = α|(x|

2+ vt|

0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|

2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal

reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš

x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad

y y|

x x|

z z|

rarr

v

ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22

2

vcc+

2α = )1(

122 cvminus

2α = 1 22 1 cvminus

Kadangi vt| = αx - x| =

αx - α(x ndash vt) = α v t + x(

α1 - α)

t| = αt + vx ( 2

- 1) t| =

2

2

1

1

cv

minus

t + vx [( 1 - 2

2

cv ) -1] t| =

2

2

2

1cv

xcvt

minus

minus

Lorenco transformacijos

2

2

|

1cvvtxx

minus

minus= yy =| zz =|

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

minus=

Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą

2

2

||

1cvvtxx

minus

+= |yy = |zz =

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

+=

Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1

6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|

1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką

t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|

2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos

2

201|

1

1cvvtxx

minus

minus=

2

202|

2

1cvvtxx

minus

minus=

2

2

120|1

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

2

2

220|2

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

Pažymėkime 2

2

1cv

minus = β

Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu

)()()(212

12

022

0|1

|2

| xxcvxcvtxcvtttt minus=

+minusminus=minus=∆

ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą

1212 tt

vxx

įt

minus=minus

Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|

2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname

(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)

)1())((2

12122

12|1

|2 įtvc

vttxxcvtttt minusminus

=minusminusminus

=minusββ

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 9: Arlausko konspektai

5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada

x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)

Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada

x| = xdxpartΦpart 1 + yd

ypartΦpart 1 + zd

zpartΦpart 1 + td

tpartΦpart 1

Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty

xpartΦpart 1

ypartΦpart 1

zpartΦpart 1

tpartΦpart 1 = const

Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5

čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų

y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada

y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t

Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia

0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t

O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y

y = a1 y| z =

a1 z|

1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|

x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|

2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu

strypas juda greičiu v Tada

x|1 = α(x1 ndash vt0) x|

2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|

2 ndash x|1)α =lα

Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|

1 + vt|0) ir x2 = α|(x|

2+ vt|

0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|

2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal

reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš

x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad

y y|

x x|

z z|

rarr

v

ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22

2

vcc+

2α = )1(

122 cvminus

2α = 1 22 1 cvminus

Kadangi vt| = αx - x| =

αx - α(x ndash vt) = α v t + x(

α1 - α)

t| = αt + vx ( 2

- 1) t| =

2

2

1

1

cv

minus

t + vx [( 1 - 2

2

cv ) -1] t| =

2

2

2

1cv

xcvt

minus

minus

Lorenco transformacijos

2

2

|

1cvvtxx

minus

minus= yy =| zz =|

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

minus=

Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą

2

2

||

1cvvtxx

minus

+= |yy = |zz =

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

+=

Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1

6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|

1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką

t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|

2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos

2

201|

1

1cvvtxx

minus

minus=

2

202|

2

1cvvtxx

minus

minus=

2

2

120|1

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

2

2

220|2

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

Pažymėkime 2

2

1cv

minus = β

Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu

)()()(212

12

022

0|1

|2

| xxcvxcvtxcvtttt minus=

+minusminus=minus=∆

ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą

1212 tt

vxx

įt

minus=minus

Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|

2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname

(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)

)1())((2

12122

12|1

|2 įtvc

vttxxcvtttt minusminus

=minusminusminus

=minusββ

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 10: Arlausko konspektai

y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t

Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia

0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t

O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y

y = a1 y| z =

a1 z|

1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|

x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|

2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu

strypas juda greičiu v Tada

x|1 = α(x1 ndash vt0) x|

2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|

2 ndash x|1)α =lα

Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|

1 + vt|0) ir x2 = α|(x|

2+ vt|

0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|

2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal

reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš

x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad

y y|

x x|

z z|

rarr

v

ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22

2

vcc+

2α = )1(

122 cvminus

2α = 1 22 1 cvminus

Kadangi vt| = αx - x| =

αx - α(x ndash vt) = α v t + x(

α1 - α)

t| = αt + vx ( 2

- 1) t| =

2

2

1

1

cv

minus

t + vx [( 1 - 2

2

cv ) -1] t| =

2

2

2

1cv

xcvt

minus

minus

Lorenco transformacijos

2

2

|

1cvvtxx

minus

minus= yy =| zz =|

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

minus=

Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą

2

2

||

1cvvtxx

minus

+= |yy = |zz =

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

+=

Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1

6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|

1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką

t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|

2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos

2

201|

1

1cvvtxx

minus

minus=

2

202|

2

1cvvtxx

minus

minus=

2

2

120|1

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

2

2

220|2

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

Pažymėkime 2

2

1cv

minus = β

Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu

)()()(212

12

022

0|1

|2

| xxcvxcvtxcvtttt minus=

+minusminus=minus=∆

ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą

1212 tt

vxx

įt

minus=minus

Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|

2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname

(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)

)1())((2

12122

12|1

|2 įtvc

vttxxcvtttt minusminus

=minusminusminus

=minusββ

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 11: Arlausko konspektai

ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22

2

vcc+

2α = )1(

122 cvminus

2α = 1 22 1 cvminus

Kadangi vt| = αx - x| =

αx - α(x ndash vt) = α v t + x(

α1 - α)

t| = αt + vx ( 2

- 1) t| =

2

2

1

1

cv

minus

t + vx [( 1 - 2

2

cv ) -1] t| =

2

2

2

1cv

xcvt

minus

minus

Lorenco transformacijos

2

2

|

1cvvtxx

minus

minus= yy =| zz =|

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

minus=

Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą

2

2

||

1cvvtxx

minus

+= |yy = |zz =

2

2

2|

1

)(

cv

xcvttminus

+=

Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1

6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|

1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką

t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|

2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos

2

201|

1

1cvvtxx

minus

minus=

2

202|

2

1cvvtxx

minus

minus=

2

2

120|1

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

2

2

220|2

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

Pažymėkime 2

2

1cv

minus = β

Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu

)()()(212

12

022

0|1

|2

| xxcvxcvtxcvtttt minus=

+minusminus=minus=∆

ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą

1212 tt

vxx

įt

minus=minus

Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|

2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname

(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)

)1())((2

12122

12|1

|2 įtvc

vttxxcvtttt minusminus

=minusminusminus

=minusββ

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 12: Arlausko konspektai

6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|

1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką

t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|

2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos

2

201|

1

1cvvtxx

minus

minus=

2

202|

2

1cvvtxx

minus

minus=

2

2

120|1

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

2

2

220|2

1

)(

cv

xcvt

tminus

minus=

Pažymėkime 2

2

1cv

minus = β

Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu

)()()(212

12

022

0|1

|2

| xxcvxcvtxcvtttt minus=

+minusminus=minus=∆

ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą

1212 tt

vxx

įt

minus=minus

Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|

2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname

(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)

)1())((2

12122

12|1

|2 įtvc

vttxxcvtttt minusminus

=minusminusminus

=minusββ

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 13: Arlausko konspektai

Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv

minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje

pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba

įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai

v le c

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 14: Arlausko konspektai

7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis

Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime

β)( |

1|2

|1

|2

12ttvxxxx minus+minus

=minus

|1

|212 yyyy minus=minus

|1

|212 zzzz minus=minus

β))(( |

1|2

2|1

|2

12xxcvtttt minus+minus

=minus

Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad

minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1

|2

2|1

|2

2|1

|2

212

2212

212

212

2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|

1|2

2 )( ttc minusminus = 2|s

Jeigu x2 ndash x1 = ds tai

d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas

Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 15: Arlausko konspektai

Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|

2 ndash x|1 ir nukreiptas

išilgai x ašies

β01|

1vtxx minus

= β

02|2

vtxx minus=

ββ

|12|

1|2

llxxlxx =rArrminus

==minus

2

2| 1

cvll minus=

Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas

Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2

2|

cvll minusasymp

Tada lcvl

cvllll 2

2

2

2|

21)

211( minus=minusminus=minus=∆ 2

2

21

cv

ll

minus=∆

kai v = 30 kms tai 810

2

1050109109

21 minussdotminus=

sdotsdot

minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai

sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 16: Arlausko konspektai

8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas

Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash

β

|0

2|1

1)( xcvtt +

= β))(( |0

2|22 xcvtt += β)( |

1|212

| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆

Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|

1 ir t|2

β0

21|

1)( xcvtt minus

= β

02

2|2

)( xcvtt minus=

βtttt ∆

=minus=∆ |1

|2

|

Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra

Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v

)(1 22 cvdtd minus=τ

222222 tdczdydxdsd minus++= 2

222rarr

=++ rdzdydxd ))(1(2

222rarr

minusminus= rdtdcsd

)11()1( 2

2

2222

tdrd

ctdcsd

rarr

minusminus= 2

2

2rarr

rarr

= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ

icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes

βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio

priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -

)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 17: Arlausko konspektai

reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais

Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą

Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ

)(1 220 cvtdd minus=τ 2

2| )(1cuvtdd minus

minus=+τ 2

2| )(1c

uvtdd +minus=minusτ

0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai

vndash u|-

v + u|

rarr

v

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 18: Arlausko konspektai

9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados

Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|

= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai

1) judančioje |

||

tdxdux = |

||

tdyduy = |

||

tdzduz =

2) nejudančioje tdxdux =

tdyduy =

tdzduz =

Tada

β

|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =

ββ

)1( 2||

||

cvutd

tdvxdddxdu

x

x

+

+==

ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+

=+

= )1( 2

||

|

cvutd

ydtdydu

x

y

+

sdot==

β

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+=

|2

|2

2

1

1

x

y

y

ucv

ucv

u+

minus=

|2

|2

2

1

1

x

z

z

ucv

ucv

u+

minus=

Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|

y = u|z = 0 o u|

x = c tada

c

ccvvcux =

+

+=

21

Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|

x = 0 u|y = c u|

z = 0 Nejudančioje

koordinačių sistemoje ndash ux = v 2

2

1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių

sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi

2

2

1

1

cvc

vuutg

y

x

minus

===β Ši

formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 19: Arlausko konspektai

Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje

ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos

2

|

|

1cvu

vuux

xx

+

+= kai aplinka juda plusmn v tai

)1()()(1

)(

2cnvv

nc

cncvvnvux msdotplusmn=

plusmn

plusmn= nes

cv ltlt 1

cnv

cnvcv

ncux

2

2 minusplusmnasymp m 02

asympcnv

vnn

cux sdotminusasymp )11( 2m

Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio

transformacija Pagreitis a|x a|

y a|z kur |

||

tduda x

x = u|x = u|

y = u|z = 0 tada

nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje

koordinačių sistemoje td

uda xx =

)1

()(2

||

cvu

vuux

xx

+

+=

|22|

22

2

2

2

|

2

|

22

|

|

22|

|2|

2

|

|

))(1()(1)1(

)1())(1())((

1x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx ud

cvucv

cv

cvu

cvu

cvuud

cvuudcvvu

cvuudud

+minus

=minusminus++

=++

minus+

=

|232

2

|

22|22

)1()(1)(1(

xxx

x acv

tdcvudcv

tduda minus=

minussdotminus==

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 20: Arlausko konspektai

10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos

Masė

Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų

Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1

(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 21: Arlausko konspektai

Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos

sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1

rarr

v ir 2

rarr

v

o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1

rarr

∆ v ir 2

rarr

∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211

rarrrarr

∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens

Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm

tvm

∆∆

minus=∆∆

rarrrarr

22

11 ir kai ∆t rarr 0 tai

2211

rarrrarr

minus= amam

3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1

|

11

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv ir 1

|

22

rarrrarrrarr

minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|

1 ir v|2 po susidūrimo Tada

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 22: Arlausko konspektai

)()( 2

|

221

|

11

rarrrarrrarrrarr

minusminus=minus vvmvvm ir |

21

|

112211

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm

Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams

21

rarrrarrrarr

+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr

= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 23: Arlausko konspektai

11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis

Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis

F tdpdFrarr

rarr

= Dydis F yra koordinčių rarr

r ir greičio rarr

v funkcija )(rarrrarrrarr

vrF Taigi tdpdrarr

apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr

F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai

II Niutono dėsnis tdpdFrarr

rarr

= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu

atveju kai )(tmm ne tai rarr

rarr

= Ftdvdm

rarrrarr

= Ftdrdm 2

2

Taigi pagrindinis klasikinės

mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr

vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį

x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi

TtAx π2cos=

Tt

TAx ππ 2sin2

minus=bull

TtA

Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull

mxT

x sdotminus=bullbull

|)2( 2π

xmT

xm 2)2( πminus=

bullbull

kmT

=2)2( π

k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis

Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui

bullbullbull

minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra

)(rarrrarrrarr

larr rarr

rarr

vrFv RASTIti

RASTIi

m

A

x

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 24: Arlausko konspektai

a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai

0=

rarr

tdpd taigi constp =

rarr

ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir

greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma

Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1

rarr

F ir 2

rarr

F ir klausiama kokia viena jėgararr

F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga

Jeigu turėsime n jėgų iFrarr

kurios veikia materialų

tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr

F - sakoma kad

tai bus geometrinė iFrarr

jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu

kiekviena jėga iFrarr

suteikia materialiam taškui

pagreitį iararr

tai atstojamasis judėjimas

bus randamas visų iararr

vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr

= amF irgi bus

nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr

= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti

F F1 F

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 25: Arlausko konspektai

12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka

Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis

1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr

21 iš

2121 0rarrrarr

bullrarr

bullrarr

minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis

Tegu ikFrarr

- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr

- priešingai Tada iš

III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr

minus= 0=+rarrrarr

iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -

ikFrarr

Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru

atveju vidinių jėgų suma 0)()(

3

)(

2

)(

1 =++++rarrrarrrarrrarr i

n

iii

FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1

iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti

)(

1

)(

11

ei

FFtdpd rarrrarrrarr

+=

+)(

2

)(

22

ei

FFtd

pd rarrrarrrarr

+=

)()()()()(

3

)(

2

)(

1

)()(

2

)(

121

i

n

eeei

n

ii

n FFFFFFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

++++++++=+++

Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai

)()(

2

)(

121 )(e

n

ee

n FFFppptd

d rarrrarrrarrrarrrarrrarr

+++=+++ ir )(e

Fptd

d rarrrarr

=

kur rarr

p - visos sistemos impulsas o )(e

Frarr

- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių

sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(

=rarr e

F tada

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 26: Arlausko konspektai

0=

rarr

tdpd ir

rarr

p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą

geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(

nerarr e

F tačiau

0)(

=rarr e

xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso

projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne

poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn

iF 0 tada tas pats

galioja ir impulsui rarr

p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)

Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš

III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm

Fa+

= o Fmm

mFFBA

B

+== 21 Šis sprendimas

nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|

2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|

1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|

1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =

F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB

Netamprus siūlas F F1 F2 A B

rarr

v

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 27: Arlausko konspektai

Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|

1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į

siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai

Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki

taško B tai jėga rarr

F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso

tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta

A|

A F B

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 28: Arlausko konspektai

laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas

cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis

Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis

xFtdxdm =2

2

yFtdydm =2

2

zFtdzdm =2

2

Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos

Paprastai tai būna rarr

r ir rarr

v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa

Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr

= gmF taigi

rarrrarr

= gtdrd2

2

arba rarr

rarr

= gtdvd ir

rarrrarr

= vtdrd iš čia 0

rarrrarrrarr

+= vtgv 002

21 rarrrarrrarrrarr

++= rtvtgr

Tai bendras sprendinys o paimdami 0

rarr

v ir 0

rarr

r konkrečias vertes gausime atskirą

prendinį o 0

rarr

v ir 0

rarr

r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną

Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1

rarr

v ir 2

rarr

v iki

susidūrimo ir po jo rarr

v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr

=+ vmvmvm 2211

Sistemoje A| judančioje greičiu rarr

v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|

22

|

11

rarrrarrrarr

=+ vmvmvm

Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr

v ir v| tadararrrarrrarr

minus= vvv 1

|

1 rarrrarrrarr

minus= vvv 2

|

2 rarrrarrrarr

minus= vvv|

Tada gauname

)()()( 2211

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr

minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr

=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių

adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 29: Arlausko konspektai

adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 30: Arlausko konspektai

13 Trinties dėsniai

1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja

P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)

Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio

fn

ftr f

P

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 31: Arlausko konspektai

d K = -ftrarr

s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga

Kai greičiai mažirarrrarr

minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę

rarrrarr

minus=minus= vvkvvvkftr 2

22

Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt

Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)

ftr

f0

d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0

v

Rimties trintiesjėga

f k2v2

k1v Turbulentinis aptekėjimas

Laminarinis aptekėjimas

v

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 32: Arlausko konspektai

14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas

1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e

Ftdpd rarrrarr

= - geometrinė

visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0

)(0 ttFpp e minus=minus -

jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su

21 ++=rarrrarrrarr

vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti

)( 01)(

101 ttFpp e minus=minusrarrrarr

+

)( 12)(

212 ttFpp e minus=minusrarrrarr

-------------------------------

ne

nee

n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr

minus

rarrrarr)(

2)(

21)(

101121

sum=

rarrrarr

∆=minusn

ii

ei tFpp

1

)(0 kai sum intequiv∆

rarr∆ i

t

t

ei

ei

tdFtF

i 0

)(lim )()(

0ττ tai int=minus

rarrrarr t

t

e dFpp0

)()(0 ττ

Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės

Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas

1 T1

2 T2

P

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 33: Arlausko konspektai

15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė

Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos

judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių

taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr

Rišreiškiamas

mrmrmR 211 ++

=

rarrrarrrarr

kur 321 +++= mmmm

21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr

rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr

vmvmvm rarr

= vmp )(eFtdvdm =

rarr

Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai

00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=

rarr

Materialių

taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje

Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys

1

12

12

mF

tdrd

rarrrarr

= 2

22

22

mF

tdrd

rarrrarr

= Be to iš

trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr

= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime

)11()(21

21

1

2

2122

2

mmF

mF

mFrr

tdd

+=minus=minus

rarrrarrrarrrarr

Ši

lygtis aprašo vieno materialaus taško

judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr

minus= rrryra radius vektorius

m1

m2

O

rarr

r

1rarr

r2

rarr

r

z

x

1rarr

r

2rarr

r

R

y

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 34: Arlausko konspektai

Pažymėjus

21

111mm

+=micro

arba 21

21

mmmm+

=micro tada 22

2

Ftdrd=

rarr

micro

Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr

F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį

)(e

Ftdvdm

rarrrarr

= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo

tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi

Lygties 2rMmGF = vektorinė forma

rarrrarr

rarr

minus=minus= rrMmG

rr

rMmGF 32 Įvedus micro

planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip

rarrbullbullbullbull

minus==+

equiv rrMmGFr

MmMmr 3micro

rarrrarr +minus=

bullbull

rrmMGr 3 Kadangi laikome kad

sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr

minus=bullbull

rwr 2

322 )2(

rmMG

Tw +

==π arba 3r

mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo

periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w

32

1

21 )2(

rMG

Tw ==

π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w

32

22

2)2(rMG

Tw ==

π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2

2

12

1

2 ==TT

ww Apsisukimo

periodas antru atveju 2 kartų mažesnis

Planeta m

Saulė

M

rarr

r

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 35: Arlausko konspektai

16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas

1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje

2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr

ir judėjimo kiekisrarr

vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr

vd o masė md Tada judėjimo kiekis

))((rarrrarr

++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr

Tada per laiko tarpą td impulso

kiekio prieauglis tdFrarr

kur rarr

F - geometrinė visų išorinių jėgų suma

tdFvmvmdvdvmdm dd

rarrrarrrarrrarrrarr

=minus+++ ))(( kadangi

md ir 0rarrrarr

vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą

tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd

rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus++++

0asymprarr

vmdd Pertvarkydami užrašysime

tdFvmdmdvvdm dd

rarrrarrrarrrarr

+minusminus= rarrrarrrarr

minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )

tdFvmdmdvvdm d

rarrrarrrarrrarr

++minus= tdFmdvvvmd d

rarrrarrrarrrarr

+minus= )( tdFmdvvmd s

rarrrarrrarr

+= | td

rarrrarrrarr

+= Ftdmdv

tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško

judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s

rarr

yra reaktyvinė jėga

Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr

F tai mdvvdm s

rarrrarr

= Raketa juda kryptimi

priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr

vd ir svrarr

yra priešingų krypčių tada

mdvvdm sminus=rarr

Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime

int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu

00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi

0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(

ln 0

tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime

m

d md

rarr

v

rarr

F

dvrarr

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 36: Arlausko konspektai

Ciolkovskio formulę svv

emm

=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu

atveju užrašoma taip

svc

mm 20 )

11(

ββ

minus+

= kur cv

=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 37: Arlausko konspektai

17 Darbas ir kinetinė energija

1 Jėgos rarr

F darbu atliekamu poslinkyje rarr

sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu

αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr

F ir rarr

sd Kadangi rarr

sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka

galima užrašyti )(rarrrarr

= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus

kiekviename iš kurių rarr

F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime

intrarrrarr

=2

1

)( sdFA Ši formulė rodo jėgos

rarr

F atliktą darbą kelyje 12

Jeigu 21

rarrrarrrarr

+= FFF tai jos projekcija į rarr

sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime

sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg

Pakeitus tdpdFrarr

rarr

= ir tdvsdrarrrarr

= tada int int intrarrrarrrarr

rarrrarrrarr

=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA

Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =

1 Js = 107 ergs

2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr

v ir rarr

p rarrrarr

= vmp Tadararrrarr

= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr

= vdvmpdv Čia vektorius rarr

vd reiškia greičio vektoriaus rarr

v prieauglį

kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr

v kryptimi

Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr

v modulį tai 2

2rarr

= vv Tada diferencijuojant abi

puses gausime )(rarrrarr

= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo

cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr

α

2

Fs

1

rarr

sd rarr

F

α

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 38: Arlausko konspektai

Tada int minus==2

122

21

22

21

v

v

mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas

einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija

mpmvK22

22

== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės

energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=

i i iiii KKA

Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje

Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik

veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr

=minust

t

e

dFpp0

))(()(

0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių

jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui

Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr

F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms

4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr

= )( pdvA teisinga tik reikia

įskaityti kad

2

20

1cv

mmminus

= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime

2

20

1mcp

mmminus

=

2022

22 )1( m

cmpm =minus suprastinus gausime 2222

02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką

turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr

)( ir rarrrarr

= vmp tada

C B dv α A

O

rarr

vd

rarrrarr

+ vdv

2

rarr

v

1

rarr

v

rarr

v

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 39: Arlausko konspektai

mdmcpdvm 2)( =rarrrarr

| m mdcpdv 2)( =rarrrarr

taigi int int==rarrrarr 2

1

221 )(

m

m

mdcpdvA ir

mcmmcA ∆=minus= 212

221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu

momentais

Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija

200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės

energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2

2

20 )11

1( c

cv

mK minus

minus

= Darbą

A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220

2 )()( mccmp =+

įsistatytumėme E ir E0 Tada 220

2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220

22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška

220

2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono

binomo formulę 83

211)1(

1

14

4

2

221

2

2

2

2+++=minus=

minus

minus

cv

cv

cv

cv

Kai 1 22 ltltcv šį

skleidimą galima užbaigti )1211( 2

22

0 minus+=cvcmK

2

20vmK =

5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė

energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr

v

Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1

| rarrrarrrarr

+= vvv todėl )(21

21

21 |

22|2rarrrarr

++= vvmmvmvmv

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 40: Arlausko konspektai

)(21 |

2|rarrrarr

++= vpmvKK Čia |mvp =rarr

materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|

Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi

)(21 |

2|cvvmmvKK

rarrrarr

++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|

sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr

cv ) tai 2|

21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo

teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių

a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2

21 mv

b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru

6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam

pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr

Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis

Darbas per laiką t yra lygus int=t

MdA0

ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią

lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint

=

==

t tt wdIwtd

dItwdtdwdIA

0 0

22

0 22

0

22

22

minus

=

IwIwAt

Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i

iiii rwmvmK22

222

sum=i

iirmwK 22

2 Kadangi sum =

iii Irm 2 tai

2

2IwK = arba I

LK2

2

= Taigi atvaizdavimas

panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 41: Arlausko konspektai

18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke

1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12

Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α

Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)

Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties

2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru

Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas

Tada elementarus darbas

)cos(rarrrarr

= sdFsFdAd

Dydis )cos(rarrrarr

sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr

sd į jėgos kryptį arba (tai tas

pats) į radius vektoriaus rarr

r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi

)cos(rarrrarr

= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai

int=2

1

)(r

r

rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos

formos

1 n1

S α n1 ndash n2

2 n2

φ 1

3

2

rarr

P

4 n1

n2

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 42: Arlausko konspektai

3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu

kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1

rarr

F ir 2

rarr

F galioja trečias Niutono dėsnis

Tada elementarus darbas 2211

rarrrarrrarrrarr

+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21

rarrrarr

minus= FF

)()( 12122

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12

rarrrarr

minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada

)( 212

rarrrarr

= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas

ir rd - poslinkis Formulėje int=2

1

)(21

r

r

rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus

kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų

4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis

Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -

1 2 F1 F2

r1 r2

2

d r

1

rarr

F

rarr

sd rarrrarr

+ rdr

1

rarr

r2

rarr

r

rarr

r

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 43: Arlausko konspektai

A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui

Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui

5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)

Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas

Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda

Trinties jėga trFrarr

(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi

bet sutampa su rarr

v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas

C juda greičiu santvvrarrrarr

minus ta pačia kryptimi

kaip ir trFrarr

taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu

vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos

jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada

satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio

Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr

βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr

β

greičiu rarr

v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr

v ir rarr

βvektoriai

3

1 2

4

B

C

rarr

v

trFrarr

santvrarr

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 44: Arlausko konspektai

19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių

Potencinė energija 01AU = ir

|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|

bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=

arba |00| AUU += Darbas |00A

pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė

sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu

Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada

0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą

CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis

Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui

2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi

1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv

Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje

1

0 0|

2

1 0

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 45: Arlausko konspektai

20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga

1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =

2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą

int int ===x x

kxxxdkxFdA0

2

0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje

būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2

21 kxU =

3 Gravitacinės traukos potencinė energija

Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash

laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus

int intinfin infin

minus===r r r

GMmrdr

MmGrdr

MmGA )1(122 infin

r

))1(1(r

GMmA minusminusinfin

minus=

rMmGA =

Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin

Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi

rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama

Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų

2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus

)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada

1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 46: Arlausko konspektai

5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai

constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi

potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai

EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C

II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios

jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart

SU ir

constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili

Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada

00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas

Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną

Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)

0=+partpart

minus xRxU 0=+

partpart

minus yRy

U 0=+partpart

minus ZRz

U Čia rarr

R - ryšio reakcijos jėga

U E2 U = E2

E1 A B C U = E1

I II III IV

x∆ xA xB xC

Šratukas

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 47: Arlausko konspektai

21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis

Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas

Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21

2211

mmvmvmv

++

= Kinetinė energija iki susidūrimo yra

222

2111 2

121 vmvmK += po 2

212 )(21 vmmK += Tada

221

222

21121 )(

21)(

21 vmmvmvmKK +minus+=minus =

++

minus+=minus21

222112

2221121

)(21

mmvmvmvmvmKK

( ) ( )22121

212121

2221

2121

21 2121

21 vv

mmmmvvmmvmmvmm

mmminus

+sdot=minus+

+sdot

( )22121 21 vvKK minus=minus micro

Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai

Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija

Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos

Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija

Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų

kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2

2

micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus

( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą

patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai

( ) 2221 2

121 mv

mmmmvv =+

=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu

2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 48: Arlausko konspektai

Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius

Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė

Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir

reikia surasti jo greitį rarr

v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada

rarrrarr

+= vMmVm )( ir VmM

mv+

= Po to kai

smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį

Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2

21 vmMK += kuri pereina į potencinę

energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai

( ) ( )ghmMVmM

mmM +=

++ 2

2

21 Aukštis h yra lygus 2

2

21 V

mMm

gh

+=

Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties

jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta

Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma

Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą

l α h

m

M

rarr

v

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 49: Arlausko konspektai

22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai

Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį

Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus

Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos

1

rarr

F ir 2

rarr

F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi

2211202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm (1)

( ) ( )222

211

2202

2101 2

121 vmvmvmvm +=+ (2)

(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima

perrašyti

minus=

minus

rarrrarrrarrrarr

20221101 vvmvvm (3)

Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220

222

21

2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname

202110

rarrrarrrarrrarr

+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi

2012111101 vmvmvmvm +=+ +

2022211101 vmvmvmvm minus=minus

( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v

( )21

20211012

2mm

vmmvmv+

minusminus= (7) ( )

12

10122021

2mm

vmmvmv+

minusminus= (8)

a)

m1 m2 b)

F2 F1

c)

F1 F2

d)

F1 F2

e)

20

rarr

v10

rarr

v

1

rarr

v 2

rarr

v

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 50: Arlausko konspektai

Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais

102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant

dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki

smmm

Kv 467021

=+

= Sistemos

kinetinė energija iki smūgio yra

Jvmvm 054022

2202

2101 =+ Maksimali

potencinė energija -( ) Jvmm 02150

20540

221 =

+minus

Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo

spyruoklės standumo koeficiento k ~ k

1

Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu

Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF

kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties

jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi

a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg

v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu

v = 0467msc) po smūgio

v1 = - 00667ms v2 = 0733ms

v1c F|t

v1n v10

F|y Fy

v20

v2n

v2c

Ft

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 51: Arlausko konspektai

|

202

|

101202101

rarrrarrrarrrarr

+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22

222

21

211 cncn vvmvvm

( ) ( )2|2

2|22

2|1

2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |

1cv ir |2cv

Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty

trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +

1 rutulio statmena dedamoji į rarr

F lieka

nepakitusi o rarr

F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio

rarrrarrrarr

+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį

2

22

1

21

2

mK

mK

mK

+= (10)

Tada 12

22

1

221 m

mK

mKK

minus=

Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2

222

21 KKKKK minus+=

θcos2 222

212

22

1

2

KKKKmmK

mK

minus+=

minus

θcos2 222

222

2

12 KKKKKmmK minus+=minus

θcos2 222

2

122 KKK

mmK =+

θcos21 22

122 KK

mmK =

+

θβθ coscos2

21

22 KK

mmmK =+

= (11)

Kai β lt 1 tada sunkus rutulys

smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2

rarr

Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia

Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia

2 F

θ

δ

1 F|

r2

r1

2rarr

K 1rarr

K θ

rarr

K

Β gt 1

A B

βK

θ 1rarr

K

rarr

K φ

2rarr

K

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 52: Arlausko konspektai

ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė

Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =

Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases

galima rasti θ ir β iš duoto rarr

K surandami

1rarr

K ir 2rarr

K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais

Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti

susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1

2

2 mm

asympasympβ Kai bomborduojama labai

lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip

Sakykime kad θ =0 rarrrarr

= KK 22 rarrrarr

minus= KK1

ir rarrrarr

asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu

θcos2

21

22 K

mmmK+

= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K

K = 11vm Tada vmm

mKv

2

1

22

22== Šiuo atveju kai

m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę

K2 K1 K

β = 1 (m1 = m2)

A B φ

2rarr

1

rarr

K

rarr

K

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 53: Arlausko konspektai

23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė

Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis

||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma

Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais

Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg

v = 72 kmh = 20 ms

wŽemės = 360024

2sdotπ = 73 middot 10-5 apss

φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20

middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų

Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra

vektorinė sandauga ][2rarrrarr

vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati

ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=

v v

kFrarr

r w ][2

rarrrarr

vw

kFrarr

][2rarrrarr

vw

v||

v

φ

w dφ = w td

v perp

rarr

v

kFrarr

perp

rarr

v perpv

kFrarrϕd

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 54: Arlausko konspektai

Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks

a) Žemės traukos jėga rarr

G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga

Įcentrinės jėgos pagreitis bus

sdotsdotsdotsdot

== 422

3222

103624106400)2(cos πϕRwrw

ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos

jėgos rarr

G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors

aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą

galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr

= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr

= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus

ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t

k tdvs0

kur

int int ===t t

k twgttdwgtadv0 0

2coscos2 ϕϕ int ==t

a

twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi

jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine

Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai

Žemės traukos jėga rarr

G ir sunkio jėga rarr

P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų

dydžiai yra lygūs rarrrarr

=GP

Inercinės jėgos

w perp

rarr

v frarrrarr

= PG rarr

v φ

||

rarr

v

rarr

G rarr

P

ϕ rarrrarrrarr

minus= fGP

R

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 55: Arlausko konspektai

Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį

Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį

icks FFamR

RmMr

rmM

tdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

++minusminusminus= 0332

2

γγ (2) čia minusrarr

rr

mM3γ Žemės traukos

jėga minusrarr

RR

mM s3γ Saulės traukos jėga minus

rarr

0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės

judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr

kF Koriolio jėga minusrarr

icF įcentrinė inercijos jėga

Pagreitis 030

0

rarrrarr

minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash

Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr

RR

mM s3γ yra

apytiksliai lygūs tada 030

0303 asymp

minusminus=minusminus

rarr

RR

RRmMmaR

RmM

ss γγ nes

rarrrarrrarrrarr

asymp+= 00 RrRR

Prisiminę kad rarrrarrrarr

=+minus PFrr

mMic3γ galima užrašyti kad

][22

2

santPk vwmgmFPtdrdm

rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės

atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės

svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis

priešinga Žemės sukimosi kryptimi

Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima

rarr

R mSaulė z

0

rarr

R rarr

r y

Žemė x

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 56: Arlausko konspektai

įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį

Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį

Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus

ne rarr

w o ϕsinrarr

w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje

A

a) b)

Fk Fk

Fk

Fk

rarr

w rarr

w

φ

ϕcosrarr

w ϕsinrarr

w

φ

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 57: Arlausko konspektai

24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados

1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr

r Per rarr

td radius

vektorius pakinta per tdvrarr

nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr

=

kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui

][21 rarrrarrrarr

rarr

==bull

vrStdSd (1)

Tai ir yra sektorinis greitis kadangi

][rarrrarrrarr

= vrmL tai bullrarrrarr

= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr

L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis

greitis bull

S constS =bull

(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka

a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr

r ir rarr

v statmeni vektoriui bullrarr

S

b) Kadangi bullrarr

S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė

II) Iš vektoriaus bullrarr

S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas

vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr

S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį

Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas

iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių

Taigi bull

S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull

rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du

materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus

Sd

tdvrarr

rarr

rO

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 58: Arlausko konspektai

25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas

Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies

Lygtis rarr

rarr

= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos

išorz

zišory

yišorx

x Mtd

LdMtd

LdM

tdLd

=== (1)

Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu

xx M

xdLd

= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių

jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis

Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr

M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )

Jeigu 21rarrrarrrarr

+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr

=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai

Impulso rarr

p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr

= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir

impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr

+= prprL Kadangi O

nejuda tai bullrarr

r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr

= vmp taigi pirmas

narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr

=bull

Fp tai rarrrarr

=bull

ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško

Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios

Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško

Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą

tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis

kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 59: Arlausko konspektai

tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull

(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu

nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai

Momento xM geometrinė prasmė

=+

++=

rarrrarr

perp

rarrrarrrarr

perp

rarr

perp

rarr

perp

rarrrarr

][][][][ |||||||| FrFrFrFrM

][rarrrarr

= Fr kadangi perp

rarr

r ||rarr

r statmeni ašims tai jų

projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr

Fr tai

][||rarr

perpperp

rarrrarr

= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x

ašies Tokiu pat būdu rarr

perpperp

rarrrarr

= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai

Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui

tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus

Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija

Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema

Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės

dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr

][][ 2211 Išdiferenciavę gauname

0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr

prpr arba

0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr

FrFr Kadangi 21 FF =

rarr

F perpF

||rarr

F

perpr

||r

1F 2F

r1 r2

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 60: Arlausko konspektai

tai 0121 =

minus

rarrrarrrarr

Frr Taigi

minus

rarrrarr

21 rr ir 21 rarrrarr

FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr

F ir 2rarr

F veikia tiesės jungiančios tuos

du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir

nuo atskaitos taško padėties

Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr

r ir |rarr

r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu

Sakykime kad turime rarrrarrrarr

minus= Rrr|

Čia rarr

R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname

][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= vmRvmrvmr

sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr

minus= ][][][|

vmRvmrvmr

][| rarrrarrrarrrarr

minus= pRLL (6)

Pilnas sistemos impulsas ndash rarr

p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr

p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios

Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr

minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr

F Jeigu

0=rarr

F tai |rarrrarr

= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu

r r|

O O|

rarr

R

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 61: Arlausko konspektai

26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema

Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w

Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės

Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi

ILK2

2

= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį

darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą

Impulso vektorius rarrrarr

= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui

sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr

pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš

lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 62: Arlausko konspektai

tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo

sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0

max|2

= Žmogus keisdamas

besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą

Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio

elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr

minus= arr|

kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr

minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame

minus+= intint int int

rarrrarr

mdramdamdrmdr 2222| Iš

šios formulės pasižymime aImdr =int 2|

02 Imdr =int int =

rarr

CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome

minus+=

rarrrarr

CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir

20 maII A +=

Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai

int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba

(a) x

w

α(b)

md

rarr

r

|rarr

r

O A

rarr

a

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 63: Arlausko konspektai

I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)

Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada

int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus

22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=

)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++

2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad

zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+

z

m(x y z)

rarr

R y

x

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 64: Arlausko konspektai

27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas

Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu

Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)

Pvz Traukinio vagonas juda su

pagreičiu rarr

a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo

vagone yra veikiamas jėgos rarr

F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio

vektoriui kryptimi Keičiantis rarr

a kinta ir α

Iš brėžinio matyti kad rarrrarr

= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios

atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma

inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju

Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi

mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr

minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui

0=++rarrrarrrarr

inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės

svyruoti Jei consta =rarr

tai turėsim prie sunkio jėgos rarr

P pridėti inercijos jėgą inFrarr

kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22

inFPN += o

pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu

Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda

pagreičiu rarr

a )0maFF in =+

rarr

a

α |m

Fr

rarr

N α |m

inFrarr

rarr

P

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 65: Arlausko konspektai

kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr

minus= amFin - inercijos jėga

minusrarr

F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą

Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje

Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės

Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė

jėga rarr

F sukuriamaveikiant siūlo tempimo

jėgai rarr

N ir sunkio jėgairarr

P RmwF 2= omgP = taigi

gRw2

tg =α (1)

Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės

inercijos jėgos in rarrrarr

+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr

= RmwF in2

rarr

R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio

kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada

maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai

esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=

Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas

Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu

N

Fin

R P

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g

Page 66: Arlausko konspektai

Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant

pakabinimo taške jo greitis buvo rarr

v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką

rarr

a|Q

P

inFrarr

rarr

P

g