TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA: ARMADURAS PLANAS

CURSO: Cálculo Por Elementos Finitos (MC – 516 G)

PROFESOR: ING. CUEVA PACHECO RONALD

APELLIDOS Y NOMBRES: Alejos Manrique, Alexander 20032086 B

PROBLEMA

Se tiene la siguiente armadura :

= 50

mm

E = 3.1 105 N/mm2

Hallar los desplazamientos de los extremos de cada barra, asi como las reacciones en

los apoyos y los esfuerzos en cada barra.

ESQUEMA Y GRADOS DE LIBERTAD NODALES (MODELO)

Además se muestra las coordenadas globales x e y con origen en el nodo (1).

1

TABLA DE CONECTIVIDAD

eNODOS

(1) (2)

GDL

1 2 3 4Le Ae l m

1 1 2 1 2 3 4 1500 1963.5 1 0

2 2 3 3 4 5 6 1500 1963.5 1 0

3 1 4 1 2 7 8 2121.32 1963.5 0.7071 -0.7071

4 4 2 7 8 3 4 1500 1963.5 0 1

5 4 3 5 6 7 8 2121.32 1963.5 0.7071 0.7071

6 4 5 7 8 9 10 1500 1963.5 1 0

7 5 3 9 10 5 6 1500 1963.5 0 1

MATRIZ DE RIGIDEZ

Luego de desarrollar la matriz local de cada barra mediante:

se obtiene la matriz de rigidez global mediante:

ECUACIÓN DE RIGIDEZ

Mediante la ecuación de rigidez hallamos los desplazamientos, y luego las reacciones.

, donde: F: vector de cargas

Q: vector de desplazamientos

Condiciones de frontera: Q5 = 0; Q6 = 0; Q9 = 0; Q10 = 0

2

s ir j

Reacciones en los apoyos

ESFUERZOS

Finalmente se calculan los esfuerzos de cada barra mediante:

PSEUDOCÓDIGO

1. Inicio

2. Ingreso de datos: coordenadas nodales, cargas, área , módulo de elasticidad

3. Cálculo de longitudes de cada barra

4. Cálculo de cosenos directores de cada barra

5. Formación de la Matriz de Rigidez

6. Formación del Vector de Cargas

7. Cálculo de Desplazamientos

8. Cálculo de Reacciones en los apoyos

9. Cálculo de Esfuerzos en cada barra

10. Imprimir: Matriz de Rigidez, Vector de Desplazamientos, Reacciones, Vector de Cargas y Vector de Esfuerzos.

11. Fin

3

DIAGRAMA DE FLUJO

Inicio

Ingreso de datos:n, e, A, E

E=E*10^11A=(pi*((A*0.001)^2))/4

X=zeros(n,1)Y=zeros(n,1)

i=1:n

X(i)=input('\\x = ')Y(i)=input('\\y = ')

N=zeros(e,2)GDL=zeros(e,4)Le=zeros(e,1)L=zeros(e,1)M=zeros(e,1)

i=1:e

Primer nodoSegundo nodo

GDL(i,1)=2*N(i,1)-1GDL(i,2)=2*N(i,1)

GDL(i,3)=2*N(i,2)-1GDL(i,4)=2*N(i,2)

4

5

i=1:e

Le(i,1)=((Y(N(i,2))- Y(N(i,1)))2+(X(N(i,2))- X(N(i,1))) 2)0.5

L(i)=(X(N(i,2))- X(N(i,1)))/Le(i);M(i)=(Y(N(i,2))- Y(N(i,1)))/Le(i)

F=zeros(2*n,1)

i=1:n

Fuerza en xFuerza en y

K=zeros(2*n)K4=zeros(2*n)

C=[1 -1 0 0;-1 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0] K1=zeros(4)K2=zeros(4)f=zeros(e,1)

i=1:e

K3=zeros(2*n);f(i)=E*A/Le(i);K1(1,1)=L(i);K1(1,2)=M(i);K1(2,3)=L(i);K1(2,4)=M(i);

K2= f(i)*(K1')*C*K1

j=1:4

r=1:4

K3(GDL(i,j),GDL(i,r))=K2(j,r)

K=K+K3

6

DIGITACIÓN DEL PROGRAMA

disp('INGRESE LOS DATOS DEL PROBLEMA');

n=input('\\Ingrese el número de nodos = ');

e=input('\\Ingrese el número de elementos finitos = ');

A=input('\\Ingrese el diámetro de la sección transversal de los elementos (mm) = ');

E=input('\\Modulo de Young(10^5N/mm^2) = ');

E=E*10^11;

A=(pi*((A*0.001)^2))/4;

disp('\\Ingrese las coordenadas de los nodos: ');

X=zeros(n,1);

Y=zeros(n,1);

for i=1:n

disp(i);

X(i)=input('\\x = ');

Y(i)=input('\\y = ');

end

R=K*QS=zeros(e,1)

i=1:e

q=[Q(GDL(i,1)); Q(GDL(i,2)); Q(GDL(i,3));

Q(GDL(i,4))];S(i)=(E/Le(i))*[-L(i) -M(i) L(i) M(i)]*q

Q=Desplazamientos nodalesR=Reacciones en los apoyosS=Esfuerzos en cada elemento

fin

7

N=zeros(e,2);

GDL=zeros(e,4);

Le= zeros(e,1);

L= zeros(e,1);

M=zeros(e,1);

disp('\\Ingrese los nodos de cada elemento: ');

for i=1:e

disp('\elemento: ');

disp(i);

N(i,1)=input('\\primer nodo: ');

N(i,2)=input('\\segundo nodo: ');

GDL (i,1)=2*N(i,1)-1;

GDL (i,2)=2*N(i,1);

GDL (i,3)=2*N(i,2)-1;

GDL (i,4)=2*N(i,2);

end

for i=1:e

Le(i,1)=((Y(N(i,2))- Y(N(i,1))) ^2+(X(N(i,2))- X(N(i,1))) ^2) ^0.5;

L(i)=(X(N(i,2))- X(N(i,1)))/Le(i);

M(i)=(Y(N(i,2))- Y(N(i,1)))/Le(i);

end

disp('\nIngrese las fuerzas en los nodos: ');

F=zeros(2*n,1);

for i=1:n

disp(i);

F(2*i-1)=input('\\Fuerza en x: ');

F(2*i)=input('\\Fuerza en y:');

end

%Generando Matriz de Rigidez:

K=zeros(2*n);

K4=zeros(2*n);

C=[1 -1 0 0;-1 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0];

K1=zeros(4);

K2=zeros(4);

f=zeros(e,1);

8

for i=1:e

K3=zeros(2*n);

f(i)=E*A/Le(i);

K1(1,1)=L(i);

K1(1,2)=M(i);

K1(2,3)=L(i);

K1(2,4)=M(i);

K2= f(i)*(K1')*C*K1;

for j=1:4

for r=1:4

K3(GDL(i,j),GDL(i,r))= K2(j,r);

end

end

K=K+K3;

end

a=input('\\Ingrese el número nodos estáticos: ');

Na=zeros(2*a,1);

NN=zeros(a,1);

disp('\\¿Cuáles son?');

for i=1:a

disp(i);

NN(i)=input('nodo: ');

Na(2*i-1)=2*NN(i)-1;

Na(2*i)=2*NN(i);

end

%Calculando desplazamientos:

Q=zeros(2*n,1);

K4=K;

for i=1:2*a

K4(:,Na(i))=zeros(2*n,1);

K4(Na(i),:)=zeros(1,2*n);

end

for i=1:2*a

9

K4(Na(i),Na(i))=1;

end

Q=(K4^-1)*F;

%Cálculo de reacciones:

K

R=K*Q;

%Cálculo de esfuerzos:

S=zeros(e,1);

for i=1:e

S(i)=(E/Le(i))* [-L(i) -M(i) L(i) M(i)]* [Q(GDL(i,1)); Q(GDL(i,2)); Q(GDL(i,3)); Q(GDL(i,4))];

end

S=S*10^-6;

disp('Los desplazamientos en los nodos(m):');

disp(Q);

disp('Reacciones en los apoyos(N)');

disp(R);

disp('Los esfuerzos en cada elemento finito (N/mm^2)');

disp(S);

EJECUCIÓN DEL PROGRAMA

>> armads

INGRESE LOS DATOS DEL PROBLEMA

\Ingrese el número de nodos = 5

\Ingrese el número de elementos finitos = 6

\Ingrese el diámetro de la sección transversal de los elementos (mm) = 50

\Modulo de Young(10^5N/mm^2) = 3.1

\\Ingrese las coordenadas de los nodos:

1

\x = 0

\y = 0

2

\x = 1.5

\y = 0

3

10

\x = 3

\y = 0

4

\x = 1.5

\y = -1.5

5

\x = 3

\y = -1.5

\\Ingrese los nodos de cada elemento:

\elemento:

1

\primer nodo: 1

\segundo nodo: 2

\elemento:

2

\primer nodo: 2

\segundo nodo: 3

\elemento:

3

\primer nodo: 1

\segundo nodo: 4

\elemento:

4

\primer nodo: 4

\segundo nodo: 2

\elemento:

5

\primer nodo: 4

\segundo nodo: 3

\elemento:

6

\primer nodo: 4

\segundo nodo: 5

11

\nIngrese las fuerzas en los nodos:

1

\Fuerza en x: -5000

\Fuerza en y:-4000

2

\Fuerza en x: 0

\Fuerza en y:-2000

3

\Fuerza en x: 0

\Fuerza en y:0

4

\Fuerza en x: 0

\Fuerza en y:0

5

\Fuerza en x: 0

\Fuerza en y:0

\Ingrese el número nodos estáticos: 2

\\¿Cuáles son?

1

nodo: 3

2

nodo: 5

K =

1.0e+008 *

5.4926 -1.4347 -4.0579 0 0 0 -1.4347 1.4347 0 0

-1.4347 1.4347 0 0 0 0 1.4347 -1.4347 0 0

-4.0579 0 8.1158 0 -4.0579 0 0 0 0 0

0 0 0 4.0579 0 0 0 -4.0579 0 0

0 0 -4.0579 0 5.4926 1.4347 -1.4347 -1.4347 0 0

0 0 0 0 1.4347 1.4347 -1.4347 -1.4347 0 0

-1.4347 1.4347 0 0 -1.4347 -1.4347 6.9273 0 -4.0579 0

1.4347 -1.4347 0 -4.0579 -1.4347 -1.4347 0 6.9273 0 0

0 0 0 0 0 0 -4.0579 0 4.0579 0

12

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Los desplazamientos en los nodos(m):

1.0e-003 *

-0.0444

-0.1633

-0.0222

-0.0714

0

0

0.0246

-0.0665

0

0

Reacciones en los apoyos(N)

1.0e+004 *

-0.5000

-0.4000

0.0000

-0.2000

1.5000

0.6000

0.0000

-0.0000

-1.0000

0

Los esfuerzos en cada elemento finito (N/mm^2)

4.5837

4.5837

-2.8810

-1.0186

4.3215

-5.0930

13

CONCLUSIONES

Al analizar el tipo de armadura mediante:

2n = m + r ; donde n = # de nodos

m = # de barras

r = # de reacciones

2 (5) = 7 + 3;

10 = 10;

entonces: la armadura es isostática.

Se observa que R10= 0, quedando r=3.

La resistencia mecánica de la armadura es buena para las cargas a las que está sometida ya

que los desplazamientos de cada elemento son relativamente pequeños respecto a sus

respectivas longitudes.

La reacción R10 en el eje (y) en el nodo 5 es cero, ya que sólo tiene reacción en el eje (x).

14

Analizando los signos de los esfuerzos se concluye que las barras 1, 2 y 5 sufren tracción;

en cambio, las barras 3 y 6 sufren compresión. Además, la barra 7 tienen esfuerzo cero.

La barra sirve solamente para asegurar el paralelismo de la armadura ya que su esfuerzo

es cero, de los resultados.

Finalmente, se concluye que este método de cálculo por elementos finitos resulta muy

eficaz y sencillo para hallar las reacciones en apoyos, los desplazamientos y los esfuerzos

en los elementos (barras) de cualquier tipo de armadura plana (en este caso isostática).

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