CONTROLE PREDITIVO BASEADO NO MODELO DE HAMMERSTEIN COM COMPENSAO ITERATIVA

Danielle S. S. Casillo*, Andr L. Maitelli*, Adhemar B. Fontes**

*Laboratrio de Automao, Departamento de Computao e Automao.

Universidade Federal do Rio Grande do Norte N3000 Lagoa Nova Natal RN CEP.: 50740-530 E-mails: danielle@dca.ufrn.br, maitelli@dca.ufrn.br

**Departamento de Engenharia Eltrica. Universidade Federal da Bahia. Salvador BA E-mail: adhemar@ufba.br

Resumo: Neste artigo apresentada uma nova abordagem do controlador preditivo generalizado no linear baseado no modelo de Hammerstein. Esta estratgia utiliza a compensao iterativa, que uma forma de corrigir o erro de predio gerado pelo controlador devido a aproximao quasilinear por degrau de tempo. Com o objetivo de reduzir este erro, utiliza-se a tcnica da compensao iterativa juntamente com o controlador preditivo no linear. Para mostrar o desempenho do controlador, apresentado um exemplo de simulao que faz uma comparao entre o controlador no linear com aproximao quasilinear por degrau de tempo e a compensao iterativa.

1. INTRODUO Os processos industriais tm sofrido diversas mudanas de mercado nas ltimas dcadas, principalmente devido busca por qualidade e eficincia em seus processos produtivos. Devido a esses avanos, os controladores preditivos passaram a ser utilizados em aplicaes que envolvam alto grau de complexidade, como por exemplo, em processos no lineares (Casillo et al., 2007). O MBPC (Model Based Predictive Controller) foi desenvolvido com a necessidade de obter o controle especializado de plantas de potncia e refinarias de petrleo, a tecnologia MBPC refere-se a uma classe de algoritmos que calculam uma seqncia de variveis manipuladas a fim de otimizar o comportamento futuro de uma planta, e pode ser encontrada em muitas reas de aplicao, incluindo indstrias qumicas, processamento de alimentos, automotiva, aeroespacial, metalrgica e papel (Qin and Badgwell, 1997; Al-Duwaish and Naeem, 2000). O controle de sistemas no lineares tem recebido considervel ateno tanto no meio acadmico como no industrial. Este interesse na anlise e projeto de sistemas de controle no linear devido ao desempenho insatisfatrio de controladores lineares quando aplicados a plantas com acentuada no linearidade. O controle preditivo baseado em modelo apresenta-se atualmente como uma das mais eficientes estratgias de controle na indstria de processos, isto ocorre porque muitos dos aspectos fundamentais num projeto de controle industrial prtico podem ser explorados num controle preditivo baseado em modelo, como a trajetria de referncia futura, predio de perturbaes e incluso de restries, verificando assim, a flexibilidade de projeto desta tcnica de controle (Ogunnaike e Ray, 1994; Scheffer-Dutra et al., 2002; Santos, 2007).

Quando o processo no linear atua numa faixa de operao muito ampla, ou a no linearidade do processo forte o bastante para tornar o desempenho do controlador inadequado a fim de atender os requisitos estabelecidos, a utilizao de um modelo no linear deve ser considerada (Rawlings, 2000). Os modelos de Hammerstein so utilizados na representao de modelos que contm uma no linearidade esttica em srie com um sistema dinmico linear. A no linearidade esttica apresenta-se quando no se quantifica a dependncia temporal entre as variveis do sistema, o modelo tem carter esttico, sendo representado por equaes algbricas (Casillo, et al., 2007). Neste trabalho so apresentadas as propriedades do modelo de Hammerstein, como tambm proposto um novo algoritmo para o Controlador Preditivo Generalizado - GPC no linear baseado na aproximao quasilinear por degrau de tempo, monovarivel, considerando o problema de controle no linear de horizonte de predio finito. A compensao Iterativa adicionada ao modelo com o objetivo de melhorar o desempenho do controlador e consequentemente diminuir o erro de predio. O algoritmo e os resultados obtidos com um sistema de segunda ordem no linear so mostrados na seo de simulao, evidenciando que o controlador baseado no modelo de Hammerstein, com compensao iterativa, apresenta um desempenho melhor que aquele baseado somente no modelo quasilinear por degrau de tempo.

2. MODELO DE HAMMERSTEIN O Modelo de Hammerstein surge como uma das representaes de modelos no lineares baseados na utilizao de blocos interconectados, os quais

caracterizam a dinmica do sistema atravs de uma no linearidade esttica precedendo o bloco que contm a dinmica linear do sistema, como mostra a Fig. 1. Historicamente, tais modelos surgiram como representao de transio entre a teoria linear, j bem desenvolvida, e a teoria envolvendo modelos no lineares, que ainda estava iniciando (Casillo et al., 2007).

Fig. 1 Modelo de Hammerstein

O modelo de Hammerstein pode ser representado na forma polinomial, ou seja, por um modelo NARX (Nonlinear Auto-Regressive with eXogenus input) polinomial equivalente representao de Hammerstein. Sabendo que o sinal intermedirio, ( )x k , obtido pela multiplicao entre o sinal de entrada, ( )u k , e a

funo lN , tem-se que: ( ) ( ( ))lx k N u k= (1)

ento, ( ) ( ( ))lx k i N u k i = , para 1, ,i NU= L (2) O modelo ARX (Auto-Regressive with eXogenous inputs) obtido utilizando a entrada e sada, ( )x k e

( )y k , respectivamente, do bloco dinmico linear, tal que:

1 1( ) ( ) ( )

NY NU

j ij i

y k y k j x k i = =

= + (3) em que: NY - atraso mximo da sada do modelo ARX; NU - atraso mximo da entrada do modelo ARX; j e i - parmetros relacionados a cada regressor de sada e entrada do modelo ARX, respectivamente. Na prtica, o sinal intermedirio ( )x k , no est disponvel. Logo, desejvel expressar o modelo de Hammerstein na forma polinomial com relao aos dados de entrada e sada do sistema, ( )u k e ( )y k , respectivamente. Ento, substituindo a equao (2) em (3), tem-se

1 1( ) ( ) ( ( ))

NY NUl

j ij i

y k y k j N u k i = =

= + (4) A representao da no linearidade esttica por um polinmio d-se quando no se dispe de informaes a respeito da natureza da no linearidade. A representao obtida aproximando-a por uma expanso polinomial finita do tipo

21 2( ) ( ) ( ) ( )

llx k u k u k u k = + + +L (5)

em que k o instante de tempo, ( )x k a pseudo-sada do bloco no linear, ( )u k a varivel de entrada e ( 1, , )i i l = L representam os coeficientes

do polinmio e l o grau de no linearidade do modelo de Hammerstein. O modelo de Hammerstein na sua forma paramtrica pode ser escrito como:

1 1

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ll

ii

A q y k B q u k d k =

= + (6) A popularidade do modelo de Hammerstein deve-se ao fato de sua simplicidade em relao a representaes como, por exemplo, de Volterra (Doyle et. al., 2002) dentre outras, aliada a uma capacidade de representao da no linearidade da maioria dos processos prticos, sendo capaz de representar processos com atuadores no lineares e ganhos variveis (Santos, 2007).

3. CONTROLE PREDITIVO NO LINEAR CASO SISO: LINEARIZAO POR

APROXIMAO QUASILINEAR POR DEGRAU DE TEMPO

Nos ltimos anos houve um grande crescimento nas aplicaes industriais de controle preditivo no linear (Nonlinear Model Predictive Control - NMPC), que se apresenta como uma estratgia de controle bastante promissora para diversas reas da engenharia (Qin e Badgwell, 2003). Este crescimento deve-se ao baixo desempenho de controladores lineares em processos com altos graus de no linearidade ou em plantas que trabalham numa ampla faixa de operao. Para que se possa obter uma lei de controle que minimize um critrio quadrtico para o modelo no linear e se obtenha uma soluo analtica para o problema, foram adotadas tcnicas de linearizao que possibilitassem a soluo para o controle preditivo no linear (Casillo, et al., 2007). A Fig. 2 mostra o diagrama de blocos do modelo do processo baseado no modelo de Hammerstein.

Fig. 2 Diagrama de blocos do modelo do processo

baseado no modelo de Hammerstein A no linearidade esttica pode ser escrita como:

1

1

( 1) ( 1) ( 1)l

jj

jx k u k u k

=

= (7) substituindo a equao (7) na equao (6):

1 1 1

1

( ) ( ) ( ) ( 1)l

d jj

jA q y k q B q u k

=

= 1 ( )( 1) ( ) e ku k C q +

(8)

A aproximao quasilinear por degrau de tempo consiste em reescrever este modelo na forma:

11 1

0 1 1( ) ( )

nb l ld

ii v j

A q y k q b q

= = =

= ) ) 1 ( )( 1) ( 1) ( )j i vj e ku k u k C q +

(9)

Em que: nb = grau do polinmio 1( )B q Definindo:

1

1 1( , ) ( 1)

l li i j i v

i i jv j

b q u b q u k = =

= (10) fazendo

1 1

0( , ) ( )

nb

ii

B q u b q u =

= (11) o modelo torna-se:

1 1( ) ( ) ( , ) ( 1)dA q y k q B q u u k = + 1( ) ( )C q e k (12)

em que, 1 1 1( ) ( ) (1 )A q A q q A = = % (13)

Assim, tem-se o seguinte modelo: 1 1( ) ( ) ( , ) ( 1)dA q y k q B q u u k = +%

1( ) ( )C q e k (14)

Esse modelo denominado NARIMAX (Nonlinear Auto-Regressive Integrated Moving Average with eXternal input) quasilinear por degrau de tempo. Neste modelo, os coeficientes do polinmio

1( , )B q u dependem de valores passados de ( )u k que so conhecidos, considerados constantes at o instante seguinte, aps a atualizao dos seus valores.

4. CONTROLE PREDITIVO NO LINEAR UTILIZANDO MODELO DE

HAMMERSTEIN COM COMPENSAO ITERATIVA

Igualmente ao algoritmo GPC, o Controlador Preditivo Generalizado No linear com Compensao Iterativa, calcula uma seqncia de aes de controle de forma a minimizar uma funo objetivo, multi-passo, definida sobre um horizonte de predio, com ponderao da ao de controle. Isto obtido minimizando a funo objetivo:

[ ]21

( ) ( ) ( )NY

i NJ i y k i r k i

== + + +

[ ]21

( ) ( 1)NU

ii u k i

= +

(15)

em que: ( )y k i+ uma predio sub-tima do sistema i-

passos frente, com base nas informaes disponveis at o instante k ; 1N e NY representa o mnimo e o mximo horizonte de predio; NU representa o horizonte de controle; ( )r k i+ a

trajetria de referncia para as sadas preditas; ( )i e ( )i so as constantes de ponderao sobre o sinal

de erro e sinal de controle respectivamente. importante observar que a predio da sada i-passos frente, ( )y k i+ obtida pelo processo de predio quasilinear com compensao iterativa, continua sendo uma predio sub-tima, uma vez que esta predio uma aproximao da predio exata que seria obtida pelo modelo de Hammerstein. Entretanto, a predio quasilinear com compensao iterativa apresenta um menor erro em comparao com o GPC Hammerstein. Da mesma forma como mostrado anteriormente, para minimizar a funo objetivo, deve ser obtido a predio sub-tima da sada, i-passos frente, no intervalo 1N i NY . Embora o modelo da planta seja no linear, a aproximao utilizada permite que seja usado o mesmo procedimento empregado pelo GPC. Com isto, o conceito de resposta livre e de resposta forada tambm utilizado para este caso (Casillo, et al., 2007). A partir do exposto, pode-se determinar a sada predita i-passos frente:

1

1

( , )( ) ( 1)( )

B q uy k i u k i dA q

+ = + +%

1

1

( ) ( )( )

C q e k iA q

+% (16)

Com o objetivo de separar a dependncia de ( )y k i+ das informaes passadas e futuras, introduz-se a seguinte equao Diofantina:

11

1 11 1

( )( ) ( )( ) ( )

ii

F qC q E q qA q A q

= +% % (17) sendo,

1 1 2 ( 1),0 ,1 ,2 , 1( )

ii i i i i iE q e e q e q e q

= + + + +L (18)

1 1 2 ( 1),0 ,1 ,2 ,( )

nai i i i i naF q f f q f q f q

= + + + +L

(19)

com grau { }1( ) 1iE q i = e grau { }1 1( ) ( ) 1iF q grau A q = % .

11

1

( , )( ) ( ) ( 1)( ) i

B q uy k i E q u k i dC q

+ = + +

1

1

( )( )

( )iF q y k

C q

(20)

Utilizando agora a seguinte equao diofantina: 1

11 1

( )1 ( )( ) ( )

i ii

N qM q q

C q C q

= + (21) e substituindo na equao (20), tem-se:

11 1

1

( )( ) ( ) [ ( , )( )

ii

iN q

y k i M q q B q uC q

+ = +

1 1( ) ( 1) ( ) ( )]i iE q u k i d F q y k + +

(22)

Aps manipulaes matemticas, o modelo resulta em:

1 1 1( ) ( ) ( ) ( , )i iy k i M q E q B q u + =

1 1( 1) ( ) ( )i iu k i d M q F q + + +

1( ) ( )iN q y k

(23)

Definindo: 1 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( , )i i iG q u M q E q B q u

= 1 ( 1) 1( , ) ( , )ii iG q u q H q u = +%

(24)

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )i i i iF q M q F q N q = + (25)

sendo: 1 1 ( 1)

1 2( )i

i iG q g g q g q = + + +% L , com

grau { }1( ) 1iG q i = % (26) 1 1 2 ( 1)

,1 ,2 , 1( )nb

i i i i nbH q h q h q h q

= + + +L, com grau { }1( ) 1iH q nb = (27) e o grau de { }1( ) 2iG q nb i = + . Substituindo as equaes (24) e (25) na equao (23) resulta em:

1 ( 1) 1( ) ( ) ( )ii iy k i G q q H q + = + %

1( 1) ( ) ( )iu k i F q y k + + (28)

ou ainda 1 1( ) ( , ) ( 1) ( , )i iy k i G q u u k i H q u

+ = + + % 1( ) ( ) ( )iu k F q y k +

(29)

A funo objetivo mostrada na equao (15) ser minimizada por uma seqncia de aes de controle futuras e considerando que o sistema tem um tempo morto igual a d perodos de amostragem, conseqentemente, a sada do sistema ser influenciada pela entrada ( )u k aps 1d + perodos. Portanto, o horizonte mnimo de predio ser:

1 1N d= + , NY d N= + e NU N= . O conjunto de predies pode ser escrito na forma matricial como:

1 1( ) ( , ) ( ) ( ) ( )y G u u H q u u k F q y k = + +% (30) Em que:

( 1)( 2)

( )

y ky k

y

y k N

+ + = + M ;

1

2 1

1 1

( ) 0 0( ) ( ) 0

( )0

( ) ( ) ( )N N

g ug u g u

G u

g u g u g u

=

LL

M M OL

;

(31)

( )( 1)

( 1)

u ku k

u

u k N

+ = + M ;

11

11 2

1

( )( )

( )

( )N

F qF q

F q

F q

= M

;

1 ( 1)1,1 1, 1

1 ( 1)2,1 2, 1

1 ( 1),1 , 1

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )

nbnb

nbnb

nbN N nb

h q u h q uh q u h q u

H

h q u h q u

+ + + + = + +

LL

ML

De forma similar ao caso anterior, o Vetor de Resposta Livre ( )ly dado por:

1 1( ) ( ) ( , ) ( 1)ly F q y k H q u u k = + (32)

Da equao do preditor observa-se que a Resposta Forada ( )fy dada por:

0

1 0

1 1 0

( ) 0 0 ( )( ) ( ) 0 ( 1)

( ) ( ) ( ) ( 1)

f

N N

g u u kg u g u u k

y

g u g u g u u k N

+ = = +

LL

M M O M ML( )G u u

(33)

Deste modo, pode-se afirmar que a resposta completa do sistema dada por:

( ) ly G u u y= + (34) A lei de controle obtida semelhantemente ao GPC. Deve-se observar que esta uma soluo sub-tima, na medida em que o preditor sub-timo. Assim, a lei de controle dada por:

( ) 1( ) ( ) ( ) ( )T T lu G u G u I G u r y = + (35) O sinal de controle que realmente enviado ao processo o primeiro elemento do vetor u , devido a estratgia de controle de horizonte mvel, ento:

( ) ( )lu k K r y = (36) sendo, k a primeira linha da matriz

( ) 1( ) ( ) ( )T TG u G u I G u + .

4.1. Compensao Iterativa A presente abordagem utiliza um modelo no linear (modelo de Hammerstein) com compensao iterativa (a abordagem utilizada a apresentada por ngelo, 2005; Fontes, 2007) cujo objetivo reduzir o erro de predio devido aproximao do modelo quasilinear por degrau de tempo, NARIMAX, utilizado no controlador preditivo apresentado por (Goodhart et. al. 1994). A compensao do erro de predio acima mencionado realizada de forma iterativa, utilizando-se inicialmente, a seqncia de aes de controle futuras, dentro do horizonte de controle, calculada pelo algoritmo de controle preditivo quasilinear. Com esta seqncia, corrigi-se os coeficientes do modelo do preditor i-passos frente. No processo de compensao iterativa, novas seqncias so calculadas utilizando-se os parmetros corrigidos do preditor, em cada horizonte

de predio, de forma a reduzir o erro de predio (ngelo, 2005; Fontes, 2007). No algoritmo apresentado por Goodhart (1994), o modelo utilizado o NARIMAX quasilinear por degrau de tempo, vlido para o instante k . Em seu artigo, a predio da sada i-passos frente, procedimento necessrio e caracterstico do controlador preditivo, realizada utilizando-se o modelo quasilinear o qual considera os coeficientes

( )ia u% , 11, , ( ( ))i grau A q= L , dependendo somente dos valores conhecidos de u , isto , at o instante

1k . Nesta abordagem, o modelo quasilinear considera os coeficientes ( )ib u ,

11, , ( ( , ))i grau B q u= L , este dependendo tambm dos valores conhecidos de u at o instante 1k . Conforme mencionado, a aproximao quasilienar, gera um erro de predio, que aumenta com o horizonte, degradando o desempenho do controlador. Este erro, no instante k , para uma predio i-passos frente depende de ( )u e do horizonte. Como exemplo, considere o seguinte modelo no linear de segunda ordem:

1 2 0 1( ) ( 1) ( 1) [ ( 1) ( 1)]y k a y k a y k b u k b u k= + + + % %2

1 2[ ( ) ( )] ( )x u k x u k e k+ + Para o modelo no linear acima, o modelo quasilinear por degrau de tempo como segue:

11 2 0 1( ) ( 1) ( 1) [ ( , )] ( 1) ( )y k a y k a y k b b q u u k e k

= + + +% %em que, 1 10 1( , ) ( , ) ( 1)B q u b b q u u k

= 1 1

0 1 0 2 1 1 2 2[( ) ( ( 1)) ( ) ( ( 1)] ( 1)b x b x u k b x q b x q u k u k = + + +

Observe que, baseado neste modelo, na predio, a ao de controle conhecida at o instante 1k usada para o clculo de 1( , )B q u e considerada constante. Observa-se que a soluo analtica para o preditor nas bases utilizadas pelo algoritmo de controle preditivo no existe, proposto ento, o clculo de forma iterativa de uma nova seqncia de aes futuras de controle, que reduz o erro de predio. No clculo desta nova seqncia quasilinear, efetua-se, em cada iterao, a correo dos coeficientes ( )ib u (ngelo, 2005; Fontes, 2007).

4.2. Implementao do Algoritmo Objetivando esclarecer o algoritmo anteriormente proposto, apresenta-se a sua implementao. Como mencionado, o referido algoritmo utiliza as aes de controle futuras para corrigir os parmetros ( )ib u do polinmio 1( , )B q u . Seja ento ku , o vetor de incrementos de aes de controle futuras para um dado instante k , inicialmente fornecido pelo controlador preditivo que se baseia no modelo quasilinear por degrau de tempo:

[ ( ) ( 1) ( )ku u k u k u k i = + +L (37)

( )]Tu k N +L Em que N o horizonte de predio (Fontes, 2007). Utilizando esta seqncia de incrementos, calcula-se as aes de controle futuras que iro corrigir os parmetros de 1( , )B q u para o instante k , somando-se os referidos incrementos ao de controle calculada no instante ( 1)k . Seja ento, a ao de controle para o instante (k-1) definido por 1ku . Assim, o vetor de aes de controle futuras para o instante k , ku , determinado como mostrado a seguir:

1 1[ ( ) ( ) ( 1)k k ku u u k u u k u k = + + + + L1 ( ) ( 1) ( )]ku u k u k u k N + + + + + +L L (38)

De forma semelhante, pode-se escrever que: [ ( ) ( 1) ( )k k k ku u k u k u k i= + +L

]( )ku k N+L (39) em que:

1( ) ( ) ( 1) ( )k ku k i u u k u k u k i+ = + + + + + +L Com este vetor de controle, atualiza-se os coeficientes do polinmio 1( , )B q u e utiliza-se o algoritmo de controle preditivo no linear (modelo de Hammerstein) com compensao iterativa descrito na seo anterior para calcular um novo vetor de incrementos ku . O processo iterativo repete-se at que sejam atingidas as condies de convergncia descritas na seo a seguir. Lembrando que o princpio do horizonte mvel utilizado e, portanto, depois que o algoritmo converge para um determinado instante k , somente enviado ao controlador. Para o instante 1k + , todo o procedimento citado nesta seo se repete (Fontes, 2007).

4.2.1. Critrio de Convergncia e parada

O critrio de convergncia apresentado em (Fontes, 2007) utilizado no algoritmo em questo baseado na norma da variao do vetor ku . O procedimento iterativo dever continuar at que a variao entre a norma calculada na iterao ( 1)r sima e aquela calculada na iterao r sima seja menor que um valor previamente estabelecido ( )CP . Desta forma, o critrio de parada ser representado da seguinte maneira:

( ) ( )1 1Tr r r ru u u u CP < (40) Dependendo da sintonia pretendida para o controlador preditivo, a taxa de convergncia do algoritmo pode tornar-se pequena ou, at mesmo, no convergir. Objetivando dar garantia e viabilidade ao algoritmo de controle, adotou-se os seguintes critrios de parada, evitando assim que o algoritmo apresente falhas e que os resultados sejam os desejados:

Caso a convergncia se d muito lentamente, um contador forar a sada do resultado quando um determinado nmero de iteraes for atingido. O valor a ser estabelecido para o contador depender do grau de melhoria desejado do algoritmo de controle preditivo no linear iterativo em face do quasilinear;

Caso o algoritmo no convirja, numa dada iterao, de forma a no fornecer uma dada ao de controle, utiliza-se para este instante a ao determinada do controle preditivo quasilinear por degrau de tempo (Fontes, 2007).

5. EXEMPLO DE SIMULAO

Considere o modelo no linear (modelo de Hammerstein) de segunda ordem apresentado a seguir:

1

1 2

0.207 0.1464( ) ( 1)1 0.8 0.2385

qy k x kq q

+

Em que a no linearidade esttica dada por: 3( 1) 1.3409 ( 1) 0.0303 ( 1)x k u k u k = +

Considera-se que o sistema no apresente tempo morto e os parmetros de sintonia do controlador so:

10N = , 5 = e 1010CP = . Considerou-se ainda o valor limite, para cada instante k , de 50 iteraes e o valor de referncia unitrio. Assim, tem-se que: ( )1 1 2( ) 1 0.8 0.2385A q q q = + ;

1 1( ) 0.207 0.1464B q q = e 1( ) 1C q = Assim, faz-se inicialmente a seguinte aproximao:

1 1 2( , ) 0.207 0.1464 1.3409 0.0303B q u q u = + ( 1)u k

1 2( , ) [0.2776 0.0063 ( 1)B q u u k = +

0 ( )b u 1 1 20.1963 0.0044 ( 1)] ( 1)q q u k u k

11( , )b q u

ento, 1 10 1( , ) ( ) ( , ) ( 1)B q u b u b q u u k =

Usando a equao diofantina, calcula-se os polinmios 1( )iE q

e 1( )iF q a fim de obter as

predies ( )y k i+ . As sadas preditas so dadas por:

1 1( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )iy k i G u u H q u u k F q y k + = + +%

Conhecendo-se ( )G u , obtm-se o vetor de incrementos de controle, que dada por:

( ) 1( ) ( ) ( ) ( )T T lu G u G u I G u r y = + Os grficos das Fig. 3 e 4 a seguir, mostram os resultados, representados pela sada e pelo sinal de controle respectivamente, do sistema quando um degrau unitrio aplicado:

Fig. 3 Sada do Sistema

Fig. 4 Esforo do Sinal de Controle

As Fig. 5 e 6 a seguir, mostram a comparao da sada e do esforo de controle entre os algoritmos do controlador preditivo quasilinear e quasilinear com compensao iterativa. Observe que no somente na sada, mas tambm no sinal de controle, o GPC utilizando o modelo quasilinear com compensao iterativa apresenta valores mais convenientes.

Fig. 5 Comparao entre as sadas de controle

Fig. 6 Comparao entre os esforos de controle

6. CONCLUSO

No presente trabalho, foi apresentado o GPC No Linear aplicado ao Modelo de Hammerstein com Compensao Iterativa. Devido a no linearidade do modelo, fez-se necessrio o uso de tcnicas de linearizao para a obteno da lei de controle explcita. Foi abordado o mtodo de linearizao pela aproximao quasilinear por degrau de tempo, que se mostrou bastante eficiente. O mtodo da Compensao Iterativa foi apresentado e aplicado ao GPC Hammerstein baseado no modelo quasilinear. Apresentou-se um exemplo de aplicao desse mtodo e conclui-se que apesar das aproximaes serem sub-timas, os resultados foram satisfatrios.

REFERNCIAS

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