Exerccios Diga se os dois grafos apresentados so ou no

isomorfos. Se forem, apresente a funo que estabelece o isomorfismo entre eles; caso contrrio, explique por qu.

Resposta So isomorfos e as funes que estabelecem o

isomorfismo so:

1: 1 a 2: 1 2

2 b 2 7

3 c 3 6

4 d 4 1

5 3

6 4

7 5

Exerccios Para cada um dos grafos a seguir determine se o

grafo planar (mostrando uma representao planar) ou no-planar (encontrando um subgrafo homeomorfo a 3,3 ou 5

Resposta O primeiro planar por ter representao.

Planar

E este, planar?

Resposta O primeiro planar por ter representao.

Planar

E este, planar? a 3n 6 10 3(7) -6 10 15 verdade

Resposta O primeiro planar por ter representao.

Planar

E este, planar? a 3n 6 10 3(7) -6 10 15 verdade a 2n 4 10 2(7) 4 10 10

Resposta O primeiro planar por ter representao.

Planar

E este, planar? a 3n 6 10 3(7) -6 10 15 verdade a 2n 4 10 2(7) 4 10 10 verdade planar!

Ento tem representao

Resposta

rvores

rvores As rvores so um tipo especial de grafos e so

muito utilizadas na representao de dados.

Definio: Uma rvore grafo conexo acclico com um n especial chamado raiz.

Uma rvore sem nenhum n designado como raiz conhecida como rvore sem raiz ou rvore livre.

Uma rvore pode ser construda recursivamente.

Um nico vrtice uma rvore (este vrtice a raiz). Se T1, T2, ..., Tt so rvores disjuntas com razes r1, r2,..., rt, o grafo formado pela ligao de um novo vrtice r, por uma nica aresta a cada uma dos vrtices r1, r2,..., rt constitui uma rvore de raiz r. Os vrtices r1, r2, ...,rt so filhos de r, e r pai de r1, r2, ..., rt.

Como uma rvore um grafo conexo, existe um caminho entre a raiz e todos os vrtices da rvore;

Como a rvore acclica, este caminho nico.

A profundidade de um vrtice em uma rvore o comprimento do caminho da raiz at o vrtice, em particular, a raiz tem profundidade 0.

A altura (profundidade) da rvore a maior profundidade de todos seus vrtices, em outras palavras, o comprimento do maior caminho entre a raiz e um vrtice.

a. Qual a altura? b Qual o filho esquerda do n 2? c. Qual a profundidade do n 5?

Como uma rvore um grafo conexo, existe um caminho entre a raiz e todos os vrtices da rvore;

Como a rvore acclica, este caminho nico.

A profundidade de um vrtice em uma rvore o comprimento do caminho da raiz at o vrtice, em particular, a raiz tem profundidade 0.

A altura (profundidade) da rvore a maior profundidade de todos seus vrtices, em outras palavras, o comprimento do maior caminho entre a raiz e um vrtice.

a. Qual a altura? 2 b Qual o filho esquerda do n 2? c. Qual a profundidade do n 5?

Como uma rvore um grafo conexo, existe um caminho entre a raiz e todos os vrtices da rvore;

Como a rvore acclica, este caminho nico.

A profundidade de um vrtice em uma rvore o comprimento do caminho da raiz at o vrtice, em particular, a raiz tem profundidade 0.

A altura (profundidade) da rvore a maior profundidade de todos seus vrtices, em outras palavras, o comprimento do maior caminho entre a raiz e um vrtice.

a. Qual a altura? 2 b Qual o filho esquerda do n 2? 4 c. Qual a profundidade do n 5?

Como uma rvore um grafo conexo, existe um caminho entre a raiz e todos os vrtices da rvore;

Como a rvore acclica, este caminho nico.

A profundidade de um vrtice em uma rvore o comprimento do caminho da raiz at o vrtice, em particular, a raiz tem profundidade 0.

A altura (profundidade) da rvore a maior profundidade de todos seus vrtices, em outras palavras, o comprimento do maior caminho entre a raiz e um vrtice.

a. Qual a altura? 2 b Qual o filho esquerda do n 2? 4 c. Qual a profundidade do n 5? 2

Um vrtice sem filhos chamado de folha;

os vrtices que no so folhas so chamados de vrtices internos ou ns internos.

Uma rvore binria com n ns possui n-1 arestas.

Uma floresta qualquer grafo acclico (no necessariamente conexo), portanto, uma floresta uma coleo de rvores disjuntas

Uma rvore de interesse especial so as rvores binrias.

Em uma rvore binria, cada n tem no mximo dois filhos.

Cada filho de um n chamado filho esquerdo ou filho direito.

Uma rvore binria cheia possui todos os ns internos com dois filhos e todas as folhas esto mesma profundidade.

rvore binria Cheia

Uma rvore binria completa uma rvore binria que quase cheia.

O nvel mais baixo da rvore vai se enchendo da esquerda para a direita mas pode ter folhas faltando.

Note que, embora uma rvore seja um grafo, uma rvore binria completa no um grafo completo.

rvore binria Completa

Aplicaes

rvores de deciso;

rvore genealgica;

Fluxo organizacional (hierarquia em uma empresa);

Estrutura de arquivos e diretrios em um computador;

...

+

-

+

*

2 5

3

2 4 10

*

(((2*5)+3)-2) + (4*10)

Percursos em rvores

Percorrer uma rvore significar visitar todos os seu ns

Considerando rvores binrias, temos as seguintes estratgias mais comuns de percurso:

Pr-ordem (raiz, esquerda, direita)

Ordem simtrica (esquerda, raiz, direita)

Ps-ordem (esquerda, direita, raiz)

Exemplo Pr-ordem (raiz, esquerda, direita)

a, b, d, e, c, f, h, i, g

Ordem simtrica (esquerda, raiz, direita)

d, b, e, a, h, f, i, c, g

Ps-ordem (esquerda, direita, raiz)

d, e, b, h, i, f, g, c, a

a

b

d e

h i

f

c

g

As estratgias de percurso no so exclusivas das rvores binrias, podemos us-las em rvores com mais de dois filhos por n.

Exerccio Na rvore a seguir, qual seria a ordem que os ns

seriam escritos para os percursos, pr-ordem (raiz, esquerda, direita), ordem simtrica (esquerda, raiz, direita), ps-ordem (esquerda, direita, raiz).

Pr-ordem:

a, b, d, i, e, f, c, g, j, k, h

Ordem Simtrica:

i, d, b, e, f, a, j, g, k, c, h

Ps-ordem

i, d, e, f, b, j, k, g, h, c, a

Exerccio Esboce uma figura para cada uma das seguintes

rvores:

rvore com 5 ns e altura 1

rvore binria cheia de altura 2

rvore de altura 3 onde cada n de profundidade i tem i + 1 filhos.

Desenhe a rvore que representa a expresso [ (2 * x 3 * y ) + 4 * z ] + 1

Exerccio Esboce uma figura para cada uma das seguintes

rvores:

rvore com 5 ns e altura 1

rvore binria cheia de altura 2

rvore de altura 3 onde cada n de profundidade i tem i + 1 filhos.

Exerccio Esboce uma figura para cada uma das seguintes

rvores:

rvore com 5 ns e altura 1

rvore binria cheia de altura 2

rvore de altura 3 onde cada n de profundidade i tem i + 1 filhos.

Exerccio Esboce uma figura para cada uma das seguintes

rvores:

rvore com 5 ns e altura 1

rvore binria cheia de altura 2

rvore de altura 3 onde cada n de profundidade i tem i + 1 filhos.

Desenhe a rvore que representa a expresso [ (2 * x 3 * y ) + 4 * z ] + 1