arytmetyka splotów: suma spójna splotów,...
TRANSCRIPT
![Page 1: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/1.jpg)
Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, własności tego
działania. Węzły pierwsze.
Piotr Krzywda gr. 10B2
![Page 2: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/2.jpg)
Na początek trochę podstawowych pojęć…
![Page 3: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/3.jpg)
Teoria węzłów
![Page 4: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/4.jpg)
Topologia
![Page 5: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/5.jpg)
Topologia – przykład 1
![Page 6: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/6.jpg)
Rozwiązanie
![Page 7: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/7.jpg)
Topologia – przykład 2
A B
![Page 8: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/8.jpg)
Węzeł potocznie
Najprostszy z węzłów, część składowa innych węzłów.
![Page 9: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/9.jpg)
Przykłady węzłów rozumianych potocznie
Ósemka z pętlą
Węzeł Ratowniczy (tatrzański)
Zderzakowy
![Page 10: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/10.jpg)
Węzeł w matematyce
![Page 11: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/11.jpg)
Przykłady węzłów
Węzeł trywialny Trójlistnik
Węzeł oznaczany jako 63
(duża szóstka, mała trójka)
![Page 12: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/12.jpg)
Splot
Najprostszy splot to splot Hopfa Splot Witeheada
![Page 13: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/13.jpg)
Ciekawy przykład splotu
![Page 14: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/14.jpg)
A teraz, do głównego tematu, czyli…
![Page 15: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/15.jpg)
Arytmetyka
![Page 16: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/16.jpg)
Zasadnicze Twierdzenie Arytmetyki
![Page 17: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/17.jpg)
Węzły w arytmetyce
![Page 18: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/18.jpg)
Operacje sumy spójnej
X=0
D 2D 1
![Page 19: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/19.jpg)
Operacje sumy spójnej
X=0
D 2D 1
![Page 20: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/20.jpg)
X=0
D 2D 1
Operacje sumy spójnej
![Page 21: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/21.jpg)
Suma dwóch węzłów jest określona
![Page 22: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/22.jpg)
Suma spójna dwóch trójlistników
![Page 23: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/23.jpg)
Inny przykład sumy spójnej węzłów
![Page 24: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/25.jpg)
Monoid
![Page 26: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/26.jpg)
Grupa
![Page 27: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/27.jpg)
Zagadka 1
![Page 28: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/28.jpg)
Zagadka 2
![Page 29: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/29.jpg)
Rozkład węzła
∑α ∑ β
∑∑
∑ ∑α β
![Page 30: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/30.jpg)
∑α
β
Rozkład węzła
![Page 31: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/31.jpg)
Trywialny rozkład węzła
![Page 32: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/33.jpg)
Węzeł pierwszy
![Page 34: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/34.jpg)
Węzły pierwsze do sześciu skrzyżowań
Nazwa węzła WęzełZapis
Alexandera-Briggs’a
Zapis Dowker-Thistlethwaite
Zapis Dowker’a
Zapis Conway’a
Trywialny 01 0a1 — —
Trójlistnik 31 3a1 4 6 2 [3]
Ósemka 41 4a1 4 6 8 2 [22]
Pięciornik 51 5a2 6 8 10 2 4 [5]
![Page 35: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/35.jpg)
Węzły pierwsze do sześciu skrzyżowań
Nazwa węzła WęzełZapis
Alexandera-Briggs’a
Zapis Dowker-Thistlethwaite
Zapis Dowker’a
Zapis Conway’a
Trzy półskrętny 52 5a1 4 8 10 2 6 [32]
Portowy 61 6a34 8 12 10 2
6[42]
Węzeł 62 62 6a24 8 10 12 2
6[312]
Węzeł 63 63 6a14 8 10 2 12
6[2112]
![Page 36: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/36.jpg)
Węzły pierwsze o siedmiu skrzyżowaniach
WęzełZapis Alexandera-
Briggs’aZapis Dowker-Thistlethwaite
Zapis Dowker’aZapis
Conway’a
71 knot 7a7 8 10 12 14 2 4 6 [7]
72 7a4 4 10 14 12 2 8 6 [52]
73 7a5 6 10 12 14 2 4 8 [43]
74 knot 7a6 6 10 12 14 4 2 8 [313]
![Page 37: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/37.jpg)
WęzełZapis Alexandera-
Briggs’aZapis Dowker-Thistlethwaite
Zapis Dowker’aZapis
Conway’a
75 7a3 4 10 12 14 2 8 6 [322]
76 7a2 4 8 12 2 14 6 10 [2212]
77 7a1 4 8 10 12 2 14 6 [21112]
Węzły pierwsze o siedmiu skrzyżowaniach
![Page 38: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/38.jpg)
Węzły pierwsze o większej liczbie skrzyżowań
Węzłów pierwszych o ośmiu skrzyżowaniach
Węzłów pierwszych o dziewięciu skrzyżowaniach
Węzłów pierwszych o dziesięciu skrzyżowaniach
10120947821
![Page 39: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/39.jpg)
Przykłady węzłów pierwszych o 8 skrzyżowaniach
81
812
819
815
![Page 40: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/40.jpg)
Przykłady węzłów pierwszych o 9 skrzyżowaniach
91
941
935
![Page 41: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/41.jpg)
Przykłady węzłów pierwszych o 10 skrzyżowaniach
10116
1075
106010123
![Page 42: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/42.jpg)
Liczba węzłów pierwszych
![Page 43: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/43.jpg)
Liczba węzłów pierwszych
![Page 44: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/44.jpg)
Jednoznaczność rozkładu na węzłów na węzły pierwsze
![Page 45: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/46.jpg)
![Page 47: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/47.jpg)
![Page 48: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/48.jpg)
![Page 49: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/49.jpg)
![Page 50: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/50.jpg)
Bibliografia• Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane notatki do wykładu
na Wydziale MIM UW, 2013
• Krzysztof Pawałowski, „Wielomiany Jonesa wezłów i splotów” Uniwersytet im. Adama
Mickiewicza, 2013
• Kunio Murasugi „Knot theory and its applications”, 1993
• http://bwr.uw.edu.pl/24.06.2013
• http://www.snipview.com/q/Unfibered_knots_and_links
• http://cspsp.pl/grw/sprzetwysok/wezly/wezly.htm
• http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/zadania/index26.html
• http://pfm.wmi.amu.edu.pl/index.php/zdjecia/item/44-krotki-wstep-do-teorii-
wezlow-cz-iv-arytmetyka-wezlow
• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_prime_knots
![Page 51: Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, …maciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2015/05/Piotr...Bibliografia • Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050122/5f52521172624e7ad7235c2e/html5/thumbnails/51.jpg)
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ