ASAS PROGRESSÕESPROGRESSÕES

Uma progressão aritmética é una sucessão em que cada

elemento se obtém somando ao anterior um número fixo

chamado razão, que se representa pela letra r.

PROGRESSÕES ARITMÉTICASPROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Assim, se (an) é una progressão aritmética, verifica-se que:

1n na a r n (r constante),

1n na a r

PROGRESSÕES APROGRESSÕES ARITMÉTICASRITMÉTICAS

Se a razão é positiva, a progressão é crescente; ou seja, cada

termo é maior que o anterior.

Se a razão é zero, a progressão é constante, ou seja, tem todos

os seus termos iguais.

Se a razão é negativa, a progressão é decrescente, ou seja, cada

termo é menor que o anterior.

Se

a2= a1 + r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2.r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3.r

a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4.r

Logo,

an= a1 +(n-1). r

Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se: an= ak +(n-k). r

Termo geral de uma Termo geral de uma progressão aritmética progressão aritmética

PROGRESSÕES PROGRESSÕES ARITMÉTICASARITMÉTICAS

1n na a r

ExercícioExercício: Escreve a expressão do termo geral das p.a. : Escreve a expressão do termo geral das p.a. em que:em que:

1)1)

2) u1 = -5 e r = 1/2

3) u10 = 8 e u3 = -6

PROGRESSÕES PROGRESSÕES ARITMÉTICASARITMÉTICAS

n

un

O

1

3

5

7

É muito conhecida a história segundo a qual propuseram a Gauss (1777-1855), na escola primária quando este contava somente dez anos de idade, que somasse os 100 primeiros números naturais. Perante o assombro do professor, mal este tinha acabado de ditar o problema, Gauss deu a solução: 5 050.

O que este insigne matemático observou foi:

1+100 = 2+99 = 3+98 = ... etc. Só teve que dar-se conta de que tinha 50 pares de números, sendo a soma de cada par 101. Assim, limitou-se a multiplicar 50 x 101 = 5 050.

Soma de n termos Soma de n termos consecutivos de uma consecutivos de uma progressão aritméticaprogressão aritmética

PROGRESSÕES ARITMÉTICASPROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Gauss (1777-1855)

PROGRESSÕES ARITMÉTICASPROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Consideremos a progressão aritmética de termo geral un = 2n-3 e tomemos oito quaisquer termos consecutivos desta sucessão:

Por exemplo:

7 9 11 13 15 17 19 21

28

28

28

28

Podemos calcular a soma dos oito termos considerados, fazendo:

S8 = 28 x 4 ou seja S8 = (7+21) x 8/2

PROGRESSÕES ARITMÉTICASPROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Esta propriedade continua ser válida, se tomarmos um número ímpar de termos.

Por exemplo:

9 11 13 15 17 19 21

30

30

30

S7 = (9+21) x 3 + 15 = 90 + 15 = 105

ou

S7 = (9+21) x 7/2 = 30 x 3,5 = 105

PROGRESSÕES ARITMÉTICASPROGRESSÕES ARITMÉTICAS

1 nn 1 n n

a anS a a ou S n

2 2

A soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética é dada por

Sendo n o número de termos considerados e a1 e an o primeiro e o último desses termos.

A soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética é dada por

Sendo n o número de termos considerados e a1 e an o primeiro e o último desses termos.

Exercício:

Calcula a soma dos termos compreendidos entre u15 e u41 (excluídos estes) da progressão aritmética n 3n 2