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CapítuloCapítulo 44:: Asignación de Viajes a Redes sin Congestión Asignación de Viajes a Redes sin Congestión

4.1 Asignación Todo o Nada en Redes de Transporte Privado

4.2 Asignación a Caminos Múltiples en Redes de Transporte Privado

4.3 Asignación a Itinerarios Mínimos en Redes de Transporte Público

4.4 Asignación a Rutas Mínimas en Redes de Transporte Público

4.5 Asignación a Estrategias Mínimas en Redes de Transporte Público

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4.1 Asignación “Todo o Nada” en Transporte Privado4.1 Asignación “Todo o Nada” en Transporte Privado

Problema:Problema: ¿Qué significa asignar viajes a una red? ¿Qué significa asignar viajes a una red? Seleccionar (predecir) los caminos usados por los viajerosSeleccionar (predecir) los caminos usados por los viajeros LuegoLuego“cargar”“cargar” loslos flujosflujos origen-destinoorigen-destino sobre los arcos de la red.sobre los arcos de la red.

El modelo más simple es El modelo más simple es ““Todo o Nada”Todo o Nada” Se asigna todo el flujo O/D de un par determinado Se asigna todo el flujo O/D de un par determinado

al al camino decamino de mínimo costo mínimo costo que une ese parque une ese par

Hipótesis de trabajo:Hipótesis de trabajo: Los usuarios tienen conocimiento perfecto de la redLos usuarios tienen conocimiento perfecto de la red Todos los usuarios tienen igual percepción de los atributos Todos los usuarios tienen igual percepción de los atributos

de la red (la “función utilidad” es determinística)de la red (la “función utilidad” es determinística)

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a) El algoritmo de solución en este caso es muy simple:a) El algoritmo de solución en este caso es muy simple:

Se determinan los caminos mínimos entre cada par de nodos Se determinan los caminos mínimos entre cada par de nodos (con algún algoritmo de rutas mínimas)(con algún algoritmo de rutas mínimas)

Se asigna la Se asigna la matriz de viajesmatriz de viajes {T{Tijij} } a dichos caminos mínimosa dichos caminos mínimos

Dado que no existe congestión, el problema de asignación de Dado que no existe congestión, el problema de asignación de la matriz se puede separar por orígenes:la matriz se puede separar por orígenes:

Se calcula el árbol de rutas mínimas desde un nodo Se calcula el árbol de rutas mínimas desde un nodo origen y se asignan los viajes existentes desde ese origen y se asignan los viajes existentes desde ese nodo a todos los demásnodo a todos los demásLuego se cambia el nodo origen y se utiliza el Luego se cambia el nodo origen y se utiliza el mismo procedimiento. mismo procedimiento. Hasta que se completen todos los nodos origen y se Hasta que se completen todos los nodos origen y se hayan asignado todos los viajes de la matrizhayan asignado todos los viajes de la matriz

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b) Críticas a al Modelo de Asignación “Todo o Nada”b) Críticas a al Modelo de Asignación “Todo o Nada”

Aún cuando no exista congestión, es difícil que los distintos Aún cuando no exista congestión, es difícil que los distintos usuarios perciban de igual forma los atributos de las usuarios perciban de igual forma los atributos de las alternativas que enfrentanalternativas que enfrentan

También es cuestionable el perfecto conocimiento de la red También es cuestionable el perfecto conocimiento de la red y sus atributos: alternativas disponibles para viajar, tiempos y sus atributos: alternativas disponibles para viajar, tiempos y costos de viaje asociados a cada arco y camino en la red.y costos de viaje asociados a cada arco y camino en la red.

Ello se agrega al problema de la agregación espacial. Ello se agrega al problema de la agregación espacial.

Para dar respuesta a estos cuestionamientos, Para dar respuesta a estos cuestionamientos, DialDial propone propone un modelo “multicaminos”. un modelo “multicaminos”.

¿qué significa?¿qué significa?

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4.2 Asignación a Caminos Múltiples en Redes de 4.2 Asignación a Caminos Múltiples en Redes de Transporte Privado (Dial)Transporte Privado (Dial)

Hipótesis de trabajo:Hipótesis de trabajo: Parece más adecuado suponer que la utilidad Parece más adecuado suponer que la utilidad asociada a cada alternativa (camino) es asociada a cada alternativa (camino) es aleatoriaaleatoria

Sea :Sea :

PPww:: el conjunto de caminos que unen el par O/Del conjunto de caminos que unen el par O/D w w

p:p: un camino específico del conjunto, un camino específico del conjunto,

entonces:entonces:

ppp

wpp

cU

PpUU

¿cómo se justifica el ¿cómo se justifica el término aleatorio ?término aleatorio ?

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Si los Si los pp están están idénticamente distribuidosidénticamente distribuidos ( (Weibull (0, Weibull (0, ))) e ) e

independientesindependientes, entonces se tiene un , entonces se tiene un Modelo Logit:Modelo Logit:

0

Ppe

ep w

Pr

c

c

p

w

r

p

donde:donde:

pppp es la es la probabilidadprobabilidad de escoger el camino de escoger el camino pp P Pww

ccq q es el costo del caminoes el costo del camino q q P Pww

es un parámetro de la distribución Weibulles un parámetro de la distribución Weibull

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a) Condiciones del Algoritmo de Dial a) Condiciones del Algoritmo de Dial

Dial propone un algoritmo de asignación a caminos múltiples, Dial propone un algoritmo de asignación a caminos múltiples, que intenta respetar las siguientes condiciones (hipótesis):que intenta respetar las siguientes condiciones (hipótesis):

1.1. En toda la red, para viajar en cualquier par origen-destino En toda la red, para viajar en cualquier par origen-destino ww, , existen existen caminos razonablescaminos razonables y y no razonablesno razonables

i.i. Son caminos Son caminos razonablesrazonables aquéllos formados por arcos aquéllos formados por arcos que alejan del origen y simultáneamente acercan al que alejan del origen y simultáneamente acercan al destinodestino

ii.ii. Si un camino contiene arcos que Si un camino contiene arcos que acercan al usuario a su acercan al usuario a su origenorigen y/o y/o lo alejan de su destinolo alejan de su destino (arcos no razonables) (arcos no razonables) se supone que ese camino no tendrá flujo.se supone que ese camino no tendrá flujo.

iii.iii. Caminos Caminos razonablesrazonables implica flujos positivos y implica flujos positivos y probabilidad positivaprobabilidad positiva de ser utilizados ( de ser utilizados ( pppp 0 0 ))

iv.iv. Caminos Caminos nono razonablesrazonables implican flujo cero y implican flujo cero y probabilidad nulaprobabilidad nula de ser utilizados ( de ser utilizados ( pppp = 0 = 0 ) )

Notar que un Notar que un arco puede ser razonablearco puede ser razonable para viajar para viajar en un par origen-destino y puede ser en un par origen-destino y puede ser no razonableno razonable para viajar en otro par origen-destinopara viajar en otro par origen-destino

8

11

OO

66

55

44

33

22

55

88

44

22

44

22

66

33

DD

Ejemplo:Ejemplo:

Para viajar en el par origen destino Para viajar en el par origen destino 1-61-6 el arco el arco (4,5)(4,5) no es no es razonablerazonable

¿Qué ruta es ¿Qué ruta es no razonableno razonable? ? ¿por que ?¿por que ?

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a) Condiciones del Algoritmo de Dial (continuación) a) Condiciones del Algoritmo de Dial (continuación)

2.2. Todos los Todos los caminos razonablescaminos razonables de igual longitud (costo) de igual longitud (costo) debendeben tener la misma probabilidad de ser utilizados tener la misma probabilidad de ser utilizados

3.3. Si existe más de un camino razonable entre O y D, Si existe más de un camino razonable entre O y D, aquél de aquél de menor costomenor costo debe tener debe tener mayor probabilidadmayor probabilidad de ser utilizado de ser utilizado

4.4. El modelo tiene parámetros que permiten “El modelo tiene parámetros que permiten “calibrarcalibrar” la ” la determinación de probabilidades de reparto entre caminos, determinación de probabilidades de reparto entre caminos, para cada caso específico.para cada caso específico.

5.5. El algoritmo de solución El algoritmo de solución no debeno debe requerir enumeración de requerir enumeración de caminoscaminos

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b) Algoritmo de Dialb) Algoritmo de Dial

1.1. Cálculos y Definiciones preliminaresCálculos y Definiciones preliminares

a)a) Determinar costo (o tiempo) mínimo de viaje desde el Determinar costo (o tiempo) mínimo de viaje desde el origen (origen (OO) a todos los nodos de la red: ) a todos los nodos de la red:

p(i) =p(i) = “distancia”“distancia” mínima entre mínima entre OO e e ii

b) b) Determinar costos o tiempo mínimo de viajes desde el Determinar costos o tiempo mínimo de viajes desde el nodo nodo jj al destino al destino DD

q(j)q(j) = = “ “distancia” mínima entre distancia” mínima entre j j y y DD

c) c) SeaSea IIii = = conjunto de arcos cuyo nodo inicial esconjunto de arcos cuyo nodo inicial es

ii

FFii = = conjunto de arcos cuyo nodo final es conjunto de arcos cuyo nodo final es

ii

l(i,j) = l(i,j) = “longitud” (costo o tiempo) del “longitud” (costo o tiempo) del arco arco e(i,j)e(i,j)

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d) d) Se defineSe define “verosimilitud” “verosimilitud” (o probabilidad) del arco (o probabilidad) del arco ee como sigue: como sigue:

0 0 si si e e es un arco no razonablees un arco no razonable

a(e) =a(e) =

expexp [p(j) – p(i) – l(i,j) ] si [p(j) – p(i) – l(i,j) ] si p(i) < p(j)p(i) < p(j)

q(j) < q(i)q(j) < q(i)

Condiciones para Condiciones para que un arco sea que un arco sea razonablerazonable

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2.-2.- Descripción del Algoritmo de DialDescripción del Algoritmo de Dial (asignación a (asignación a unun par O/D) par O/D)

FASE 1 (Avance)FASE 1 (Avance)

a)a) Ordenar los nodos de la red en orden ascendente de Ordenar los nodos de la red en orden ascendente de p(i) p(i) partiendo desde el origenpartiendo desde el origen O.O.

b)b) Para cada arco Para cada arco ee contenido en contenido en IIii calcular el “ calcular el “pesopeso” ”

(ponderación) del arco como sigue:(ponderación) del arco como sigue:

iFe

nosi)e(w)e(a

)origen(Oisi)e(a

)e(w

iiIIii

OO

iiIIii

FFii

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FASE 2 (Retroceso)FASE 2 (Retroceso)

a)a) Ordenar los nodos Ordenar los nodos jj de la red en orden ascendente de de la red en orden ascendente de q(j) q(j) partiendo por el destinopartiendo por el destino DD ( (q(d) =0q(d) =0)) . .

b)b) Para cada nodo Para cada nodo jj considerado, calcular el flujo considerado, calcular el flujo x(e)x(e) del arco del arco e(i,j)e(i,j) - -para cada arco que entra al nodo jpara cada arco que entra al nodo j- de acuerdo a la - de acuerdo a la siguiente asignación: siguiente asignación:

j

j

j

IeFe

Fe

)e(w)e(w

)e(x

)e(w)e(wT

)e(x

si si j = Dj = D

en otros casosen otros casos

TT es el total es el total de viajes de viajes entre O y Dentre O y D

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Es decir, si Es decir, si j = D j = D el total de viajesel total de viajes T T se se reparte entre los arcos que se alejan de reparte entre los arcos que se alejan de DD, de acuerdo a su peso relativo., de acuerdo a su peso relativo.

Si Si j j D D la suma de flujos que salen de la suma de flujos que salen de jj se reparte proporcionalmente entre los se reparte proporcionalmente entre los arcos que se alejan dearcos que se alejan de j j, de acuerdo a , de acuerdo a sus pesos relativos.sus pesos relativos.

jj

ii DD

jj

ee

15

Ejemplo (Ejemplo ( =1=1) )

ii 11 22 33 4 4 55 6 6 77 8 8 99

p(i)p(i) 0 0 (1)(1) 2 2 (2)(2) 44 (6) (6) 22 (3) (3) 33 (4) (4) 44 (7) (7) 33 (5) (5) 44 (8) (8) 55 (9) (9)

q(i)q(i) 55 (9) (9) 33 (8) (8) 22 (6) (6) 33 (7) (7) 22 (5) (5) 11 (3) (3) 22 (4) (4) 11 (2) (2) 00 (1) (1)

998877

665544

33221122 22

22

22

22

33 11 11

11

11 11

11

11

11

200200

200200

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ArcoArco ln ln [a(e)][a(e)] a(e)a(e) w(e) w(e) x(e)x(e)

(1,2)(1,2) 2-0-2 = 02-0-2 = 0 11 11 74.040274.0402

(1,4)(1,4) 2-0-2 = 02-0-2 = 0 11 11 51.919551.9195

(1,5) (1,5) 3-0-3 = 03-0-3 = 0 11 11 74.040274.0402

(2,3)(2,3) 4-2-2 = 04-2-2 = 0 11 11 00

(2,5)(2,5) 3-2-1 = 03-2-1 = 0 11 11 74.040274.0402

(3,6)(3,6) ---- !!!! ---- !!!! 00 00 00

(4,5)(4,5) 3-2-2 = -13-2-2 = -1 0.36790.3679 0.36790.3679 27.239427.2394

(4,7)(4,7) 3-2-1 = 03-2-1 = 0 11 11 24.680124.6801

(5,6)(5,6) 4-3-1 = 04-3-1 = 0 11 2.36792.3679 58.440058.4400

(5,8)(5,8) 4-3-1 = 04-3-1 = 0 11 2.36792.3679 58.440058.4400

(5,9)(5,9) 5-3-2 = 05-3-2 = 0 11 2.36792.3679 58.440058.4400

(6,9)(6,9) 5-4-1 = 05-4-1 = 0 11 2.36792.3679 58.440058.4400

(7,8) (7,8) 4-3-1 = 04-3-1 = 0 11 11 24.680124.6801

(8,9)(8,9) 5-4-1 = 05-4-1 = 0 11 3.36793.3679 83.120183.1201

Tabla de Tabla de cálculoscálculos

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Verificación del ejemplo:Verificación del ejemplo:

Existen Existen 7 7 caminos razonables de costo caminos razonables de costo 55 y y 33 caminos de costo caminos de costo 66 El flujo sobre un camino de costo El flujo sobre un camino de costo 66 es : es :

07936,9e3e7

e20065

6

y el flujo sobre un camino de costo y el flujo sobre un camino de costo 55 es : es :

6803,24e3e7

e20065

5

El arco El arco (1,2)(1,2) debe tener un flujo de: debe tener un flujo de: 24,6803x3 = 74,040924,6803x3 = 74,0409 viajes viajes El arco El arco (1,5)(1,5) debe tener un flujo de: debe tener un flujo de: 24,6803x3 = 74,040924,6803x3 = 74,0409 viajes viajes El arco El arco (1,4)(1,4) debe tener flujo de: debe tener flujo de: 24,6803 + 9,07936x3 = 51,918 viajes24,6803 + 9,07936x3 = 51,918 viajes etc.etc.

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c) Características del Algoritmo de Dialc) Características del Algoritmo de Dial

1.1. El algoritmo produce una asignación de flujos basado en el El algoritmo produce una asignación de flujos basado en el modelo o criterio modelo o criterio LOGITLOGIT

2.2. a(e) a(e) es proporcional a la probabilidad (siguiendo el modelo es proporcional a la probabilidad (siguiendo el modelo logit) de que el logit) de que el arco earco e sea utilizado por un viajero elegido al sea utilizado por un viajero elegido al azar de una población de usuarios que viajan entre O y azar de una población de usuarios que viajan entre O y DD, , dado que este viajero se encuentra en el nodo inicial de dado que este viajero se encuentra en el nodo inicial de e. e.

3.3. Debe notarse que: Debe notarse que:

= 0 = 0 sisi e:(i,j) e:(i,j) es parte de la es parte de la ruta ruta mínimamínima entre entre OO y y jj

[p(j) – p(i) – l(i,j)] =[p(j) – p(i) – l(i,j)] =

< 0 < 0 si no es así si no es así

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c) Características del Algoritmo de Dial (continuación)c) Características del Algoritmo de Dial (continuación)

4. 4. De acuerdo a la De acuerdo a la FASE 1FASE 1, la probabilidad de utilizar un camino , la probabilidad de utilizar un camino pp es es directamente proporcional al producto de las verosimilitudes de directamente proporcional al producto de las verosimilitudes de los arcos que lo componen:los arcos que lo componen:

)e(ak)p(Ppe

r PPr r (p) > 0 (p) > 0 sisi p p eses “razonable”“razonable”

kk == constante de proporcionalidad constante de proporcionalidad

Sustituyendo en esta expresión el valor de Sustituyendo en esta expresión el valor de a(e): a(e):

per

per

)j,i(l)i(p)j(pexpk)p(P

)j,i(l)i(p)j(pexpk)p(P

20

Pero dado que Pero dado que p(0) = 0p(0) = 0 y el resto de los y el resto de los p(i)p(i) aparece dos veces sobre aparece dos veces sobre cada camino (una vez con signo positivo y otra con signo negativo) cada camino (una vez con signo positivo y otra con signo negativo) excepto cuando excepto cuando j = D,j = D, entonces se tiene: entonces se tiene:

per )e(l)D(pexpk)p(P

HaciendoHaciendo ppe

c)e(l

Costo de operación del camino Costo de operación del camino pp

*wc)D(p yy Costo de operación sobre el Costo de operación sobre el

camino mínimo camino mínimo entreentre O O yy D DSe tiene:Se tiene:

)0,k(Ppccexpk)p(P wp*wr [4.1]

21

Pero Pero

0

0cc p

*w

si si pp es el es el camino mínimocamino mínimo

en todos los demás casosen todos los demás casos

LuegoLuego, a medida que , a medida que aumenta el costo de un caminoaumenta el costo de un camino pp, aumenta , aumenta la diferencia de costos entre ese camino y el camino mínimo, y la diferencia de costos entre ese camino y el camino mínimo, y disminuye su probabilidad de ser utilizadodisminuye su probabilidad de ser utilizado. .

Es decir, el camino de Es decir, el camino de máxima probabilidadmáxima probabilidad de ser utilizado es el de ser utilizado es el camino mínimocamino mínimo

La expresiónLa expresión [4.1] anterior anterior represente una probabilidad. Luego, represente una probabilidad. Luego, debe cumplirse:debe cumplirse:

wPp

r 0.1)p(P

wPp

p*w 0.1)cc(expk

22

[4.2]

*

*

*

1

exp ( )

exp ( )( )

exp ( )

( )

w

w

p

q

w

w pp P

w p

r

w qq P

C

r C

q P

kc c

c cP p

c c

eP p

e

23

d) Discusión del Algoritmo de Diald) Discusión del Algoritmo de Dial

1.1. Más realista (mejor) que el modelo “Todo o Nada”Más realista (mejor) que el modelo “Todo o Nada”

2.2. Requiere mayor tiempo de cálculo. Requiere conocer el camino Requiere mayor tiempo de cálculo. Requiere conocer el camino más corto del origen a cada nodo y de cada nodo al destinomás corto del origen a cada nodo y de cada nodo al destino

3.3. Para acelerar el algoritmo Dial redefine el concepto de arco Para acelerar el algoritmo Dial redefine el concepto de arco razonablerazonable (elimina la segunda condición q(j) < q(i) ). (elimina la segunda condición q(j) < q(i) ).

4.4. Los costos de los arcos son constantes (Los costos de los arcos son constantes (no considera efectos de no considera efectos de congestióncongestión)). .

5.5. Debe calibrarse el parámetroDebe calibrarse el parámetro 6.6. Problema de los modelos logit:Problema de los modelos logit: Independencia de Alternativas Independencia de Alternativas

Irrelevantes. Irrelevantes. No todos los caminos son independientes: No todos los caminos son independientes:

xx

xx1-x1-x

11

• Tres caminos de Tres caminos de costo 1costo 1

• Probabilidad Probabilidad 1/31/3 cada uno cada uno

Lectura:Lectura: A probabilistic multipath traffic A probabilistic multipath traffic assignment model which obviates path assignment model which obviates path enumeration. enumeration. R Dial.R Dial.

Transportation Research Vol 5 83-11 , 1971Transportation Research Vol 5 83-11 , 1971