1

Ορισμός –Πεδίο Ορισμού - Πράξεις - Σύνθεση

1. Δίνεται η f: R → R με f(x2 + x) = 2x2 + 2x +2. Να βρεθεί η f(x).

2. Δίνεται η f: R → R με 2f(x) + 3f(1 – x) = 4 f(0) - x. Να βρεθεί ο τύπος της f(x).

3. Αν g(

) = 2(

+ 5 και f(x2 - 2x + 3) = 3x2 - 6x + 7 να υπολογιστεί η (f + g)(x).

4. Για την περιττή f: R → R ισχύει ότι: χ2f(x) x. Να βρεθεί ο τύπος της f(x).

5. Δίνεται η f: με f(x).= ln(

). Df , Af = ;

6. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

I. f(x).= ln(

).

II. f(x).= +

III. f(x).=

7. Δίνεται η συνάρτηση. f(x).= (

lnx

i) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της.

ii) Να βρείτε για ποιες τιμές του x είναι f(x).= 0.

iii) Να αποδείξετε ότι f(

).= x.f(x), για κάθε x του πεδίου ορισμού της.

8. Δίνεται η συνάρτηση f(x).=

. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β, αν

είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (2, 0) και ότι το

f(3) δεν ορίζεται.

12.Δίνεται η συνάρτηση f(x).=

. Να βρείτε:

i) το πεδίο ορισμού της.

ii) τα σημεία στα οποία η Cf τέμνει τους άξονες χ΄χ και y΄y.

iii) για ποιες τιμές του x η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ.

13. Σε κύκλο (O, 10) εγγράφουμε ορθογώνιο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο

διπλανό σχήμα.

i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι ίσο με

2E(x)=4x 100-x

ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης E(x).

10

xΟ

A B

ΓΔ

Bbs

2

iii) Να υπολογίσετε το E(6) και E(8).

14. Μια παρέα αποφάσισε να κατασκηνώσει δίπλα στο

ποτάμι και για την αποφυγή ερπετών χρησιμοποίησε ένα

ειδικό σύρμα 18m, ώστε να περιφράξει την σκηνή, σε σχήμα

ορθογωνίου. Λόγω της φυσικής προστασίας από το ποτάμι, το

σύρμα προστατεύει τις τρεις πλευρές της σκηνής (σχήμα)

α) Nα εκφράσετε ως συνάρτηση του μήκους x, το εμβαδόν της περιοχής που θα

περιφραχθεί.

β) Αν αποφασιστεί το πλάτος της περιοχής που θα περιφραχθεί να είναι 4m, να βρείτε το

εμβαδόν της.

γ) Αν η σκηνή έχει τέτοιες διαστάσεις ώστε να απαιτείται να περιφράξουν περιοχή με

εμβαδόν 38m2, έχει το σύρμα το απαιτούμενο μήκος;

9. Έστω η f: R → R με f(x) =

Να υπολογιστεί ο α αν ισχύει ότι: f(α2 + 1) = 2αf(α – 2) + f(α + 3) – 6 καθώς και ο:

Κ = , ν Ν

10. Δίνονται οι f(χ) = ημχ και g(x) = . Να βρεθούν:

i. Το πεδίο ορισμού τους και

ii. να οριστούν οι fog, gof , gog.

11. Αν (gof)(χ) = χ + 2 και g(x) =

τότε f(x).= ;

x

ποτάμι

Bbs

3

Μονοτονία – 1-1 – Αντιστροφή

12. Δίνεται η f: (-1, 1) → R με f(x).=

. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία.

13. Δίνεται η lnx = 1 – x να αποδειχθεί ότι έχει μοναδική λύση το 1 και αν f(x) = x5 + x

Να αποδειχθεί ότι είναι 1-1 και να λυθεί η ln5χ +lnx = (1 – x)5 + (1-x)

14. Να λυθεί η (

< (

15. Αν η f: R → R είναι γν. μονότονη και η γρ. παράστασή της διέρχεται από τα (2,3) και

(3,4) να λυθεί η: f(1 + f-1(x – 1)) > 4

16. Αν για την f: R → (1, +∞) ισχύει: f3(x) -3f(x) – x = 0 για κάθε χ R να αποδειχθεί ότι:

i. είναι γν. αύξουσα

ii. f(f(x)) > 2

17. Αν για την f: R → R ισχύει: f2(x) ≤ f(x)f(1 – x) για κάθε χ R να εξεταστεί αν

αντιστρέφεται.

18. Αν για την γν αύξουσα f: R → R ισχύει: f(x) > 0 για κάθε χ R να αποδειχθεί ότι:

i. η g(x) =

αντιστρέφεται

ii. αν f(k2) –f(k) =

-

, f(k) > 0 και f(k2) > 0 να υπολογιστεί το κ.

19. Αν η f: R → R είναι περιττή και αντιστρέφεται τότε και η f-1 είναι περιττή.

20. Δίνεται η γν. αύξουσα f: Α → R και B = A να αποδειχθεί ότι:

i. f(x) = f-1(x) f(x) = x για κάθε χ Β

ii. αν f(x) = xex, x 0 να βρεθούν τα κοινά σημεία των f και f-1

21. Δίνεται η f με f(x) = x3 + 1. Να βρεθεί ο τύπος της g(χ) αν f(g(x)) = x2 – 1.

Bbs

4

Όρια

22. Αν για την συνάρτηση f: R → R ισχύει: 2ημχ – χ3 f(x) x3 + 2ημχ για κάθε χ R να

βρεθούν τα όρια: και

23. Δίνονται οι f, g: R → R με: = 6 και:

= 2. Να βρεθούν τα όρια: και

24. Aν = 4 να βρεθεί το όριο

25. Αν για την συνάρτηση f: R → R ισχύει:

= + να βρεθεί το όριο

26. Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα όρια: – και

27. Να βρεθούν τα όρια: )

28. Για τις διάφορες τιμές του μ να υπολογιστεί το όριο:

29. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια:

i.

ii. , όταν f(x) = ln(x2 + ημx) -2lnx

30. Αν x2 – x + 1 xf(X) x2 + x + 1 για χ (0,+ να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια:

i. ,

και

Bbs

5

Συνέχεια

31. Αν για την συνάρτηση f: R → R ισχύει: |f(α) – f(β)| κ|α – β|, κ R+ και α,β R+ να

αποδειχθεί ότι είναι συνεχής.

32. Έστω η f: R → R τ.ω. f(x+y) = f(x) + f(y) για κάθε χ,y R να αποδειχθεί ότι:

i. f(0) = 0 και αν

ii. f συνεχής στο 0 τότε είναι συνεχής παντού.

33. Ομοίως για την f: R → R τ.ω.: f3(x) + 2f(x) = 4χ, να δειχθεί ότι:

f(0) = 0 και είναι συνεχής στο 0

34. Δίνονται οι f, g: R → R τ.ω. : f2(x) + g2(x) + 4f(x) 2g(x) + συν2χ – 5 για κάθε χ R. Να

αποδειχθεί ότι οι f,g είναι συνεχείς στο π/2.

35. Έστω η f: R → R , συνεχής στο R με: f(x) =

+

,κ,λ > 0 και η f ορισμένη στο (κ, λ)

Να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (κ, λ)

36. Έστω η f: R → R , συνεχής στο R με f(x) > 0 για κάθε χ R και τ.ω.:

= = 0. Να δειχθεί ότι έχει MAX.

Bbs