aspectos de sincronización en frecuencia para sistemas de...
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Aspectos de sincronizacion en frecuencia parasistemas de comunicaciones multiportadora
Defensa de tesis doctoral
Gustavo Jose Gonzalez
Director: Juan Cousseau
Dpto. de Ingenierıa Electrica y de Computadoras – Universidad Nacional del Sur
Instituto de Investigaciones en Ingenierıa Electrica (IIIE) – CONICET
Laboratorio de Procesamiento de Senales y Comunicaciones (LaPSyC)
LaPSyCLaboratorio de Procesamiento de Señales y Comunicaciones
16 de Marzo de 2012
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Tabla de Contenidos
1 Motivacion
2 Esquemas de modulacion multiportadoraModulaciones
3 Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)Estimacion de CFO en sistemas OFDMEstimacion de CFO utilizando filtrado notchCompensacion de CFO en sistemas multiusuario
4 Nuevos paradigmas en sistemas de comunicacionesSistemas de radio cognitivaSistemas hıbridos
5 Resumen y conclusionesContribuciones principales y complementarias
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Motivacion
Objetivos
Tratamiento formal de problematicas reales.
Baja complejidad de implementacion → Aproximaciones.
Problematicas de los sistemas de comunicaciones modernos
Canal de comunicaciones (inalambrico).
La escasez espectral.
Multiplexado por division en frecuencias ortogonales (OFDM)
Ecualizacion de canal sencilla.
Alta eficiencia espectral.
Problemas de sincronismo frecuencia → Interferenciainter-portadora.
Alto PAPR → Alto consumo.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Motivacion
Objetivos
Tratamiento formal de problematicas reales.
Baja complejidad de implementacion → Aproximaciones.
Problematicas de los sistemas de comunicaciones modernos
Canal de comunicaciones (inalambrico).
La escasez espectral.
Multiplexado por division en frecuencias ortogonales (OFDM)
Ecualizacion de canal sencilla.
Alta eficiencia espectral.
Problemas de sincronismo frecuencia → Interferenciainter-portadora.
Alto PAPR → Alto consumo.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Motivacion
Objetivos
Tratamiento formal de problematicas reales.
Baja complejidad de implementacion → Aproximaciones.
Problematicas de los sistemas de comunicaciones modernos
Canal de comunicaciones (inalambrico).
La escasez espectral.
Multiplexado por division en frecuencias ortogonales (OFDM)
Ecualizacion de canal sencilla.
Alta eficiencia espectral.
Problemas de sincronismo frecuencia → Interferenciainter-portadora.
Alto PAPR → Alto consumo.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Motivacion
Modulaciones mutiusuario
Acceso multiple por division en frecuencias ortogonales (OFDMA)
Basado en OFDM se obtiene OFDMA.
Facil EQ y baja MAI.
Se heredan los problemas de sincronismo.
Compensacion compleja (re-ortogonalizacion).
Modulacion multiportadora basada en banco de filtros (FBMC)
FBMC es una generalizacion de OFDMA
Disminuye problemas de sincronismo.
Aumenta complejidad.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Motivacion
Modulaciones mutiusuario
Acceso multiple por division en frecuencias ortogonales (OFDMA)
Basado en OFDM se obtiene OFDMA.
Facil EQ y baja MAI.
Se heredan los problemas de sincronismo.
Compensacion compleja (re-ortogonalizacion).
Modulacion multiportadora basada en banco de filtros (FBMC)
FBMC es una generalizacion de OFDMA
Disminuye problemas de sincronismo.
Aumenta complejidad.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Motivacion
Nuevos Sistemas
Ineficiencia en transmision
Sistemas hıbridos emplean OFDM en el DL (facil EQ en el movil) ySC (bajo PAPR) en el UL.
Ecualizacion en la BS.
Escasez espectral
Asignacion rıgida de bandas → bandas sobrecargadas y libres.
Redes de radios cognitivas CR → asignacion dinamica.
Requieren sensado espectral y diferenciacion de senales.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Motivacion
Nuevos Sistemas
Ineficiencia en transmision
Sistemas hıbridos emplean OFDM en el DL (facil EQ en el movil) ySC (bajo PAPR) en el UL.
Ecualizacion en la BS.
Escasez espectral
Asignacion rıgida de bandas → bandas sobrecargadas y libres.
Redes de radios cognitivas CR → asignacion dinamica.
Requieren sensado espectral y diferenciacion de senales.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Esquemas de modulacion multiportadora
Modulaciones
Tabla de contenidos
1 Motivacion
2 Esquemas de modulacion multiportadoraModulaciones
3 Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)Estimacion de CFO en sistemas OFDMEstimacion de CFO utilizando filtrado notchCompensacion de CFO en sistemas multiusuario
4 Nuevos paradigmas en sistemas de comunicacionesSistemas de radio cognitivaSistemas hıbridos
5 Resumen y conclusionesContribuciones principales y complementarias
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Esquemas de modulacion multiportadora
Modulaciones
Consideraciones del sistema de comunicaciones
Sistema centralizado → BS controla el flujo de informacion.
Transmision en tramas formadas por bloques (sımbolomultiportadora).
Canal estatico durante la duracion de un bloque.
...
Trama
sımbolosnulos
sımbolosde datos
sımbolosde referencia
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Esquemas de modulacion multiportadora
Modulaciones
Modulacion OFDM
El flujo de datos se transmite sobre subportadoras ortogonales.
Canal plano sobre cada subportadora → EQ trivial.
Problemas de sincronismo en frecuencia (CFO)
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
Amplitud
Subportadoras
Sincronizado Desincronizado
ξ
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Esquemas de modulacion multiportadora
Modulaciones
Sincronismo en OFDM
Sincronismo temporal
Comienzo en libre IBI → facilcompensacion.
Si hay IBI → correccion detemporizado.
Sincronismo frecuencial
Destruye ortogonalidad →Estimacion y compensacion.
WiMAX: variacion de 0.1ppmen el LO → CFO 4-5%.
Interferenciadel bloqueanterior
Sımbolostransmitidos
Sımbolosrecibidos
CP
Librede IBI
CP...
... ...
...
L− 1
sımbolo (�− 1)-esimo
datos
datos
NCP
sımbolo �-esimo
10−2
10−10
2
4
6
8
10
12
Pper
(ξ)[dB]
ξ
SNR 5dBSNR 10dBSNR 15dB
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Esquemas de modulacion multiportadora
Modulaciones
Modulacion OFDMA
Modulacion multiusuario basada en OFDM.
Las subportadoras se dividen entre los usuarios.
Los esquemas de asignacion son SCAS, ICAS y GCAS.
Errores de sincronismo en frecuencia → MAI.
CAS generalizada con N = 20, Na = 16, K = 2 y Nt = 2.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Esquemas de modulacion multiportadora
Modulaciones
Sincronismo en OFDMA. Compensacion
El enlace de subida es un problema multiparametrico → altacomplejidad.
En estimacion se utilizan metodos de subespacios, maximaverosimilitud o aproximaciones como EM.
La compensacion no es trivial, se utiliza cancelamiento sucesivo odeteccion lineal.
CP ventana DFT
usuario 1
usuario 3
usuario 2
sin IBI
con IBI
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Esquemas de modulacion multiportadora
Modulaciones
Modulacion FBMC
Generalizacion de OFDMA → Filtro reemplaza ventana rectangular.
Filtros altamente selectivos en frecuencia → Reduce MAI.
Solo SCAS.
Aumenta la complejidad del sistema (modulacion/EQ/Sincronismo).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Amplitud
Subportadoras
FBMC subport. 0FBMC subport. 2OFDMA subport. 0OFDMA subport. 2
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO en sistemas OFDM
Tabla de contenidos
1 Motivacion
2 Esquemas de modulacion multiportadoraModulaciones
3 Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)Estimacion de CFO en sistemas OFDMEstimacion de CFO utilizando filtrado notchCompensacion de CFO en sistemas multiusuario
4 Nuevos paradigmas en sistemas de comunicacionesSistemas de radio cognitivaSistemas hıbridos
5 Resumen y conclusionesContribuciones principales y complementarias
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO en sistemas OFDM
Contexto de estimacion de CFO para sistemas OFDM
Estimacion gruesa (inicial) de CFO.
Secuencia de entrenamiento periodica → baja complejidad.
Sin errores de temporizado.
Canal no conocido → no se conocen los sımbolos recibidos.
CFO → desplazamiento en la fase de la AC → estimacion!.
1 2
fase
J
k
... ...i
Modelo TS recibida.
J − 1 terminos de laAC.
diferente rango →Ambiguedad.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO en sistemas OFDM
Estado de la cuestion (Algoritmos suboptimos)
Caracterıstica Algoritmo de Morelli Algoritmo de Minn
Ambiguedad Diferencias de fase Estimacion gruesa → compensa-cion
Estimacion BLUE combina J/2 diferenciasde fase
BLUE combina las J − 1 fasesresiduales.
DesventajaNo se utilizan las J−1 fases dis-ponibles
No es robusto para bajas SNRs
Conclusiones
Utilizacion de toda la informacion disponible → Inclusion determinos de ruido de alto orden.
El uso de toda la informacion no esta relacionado con lametodologıa.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO en sistemas OFDM
Estado de la cuestion (Algoritmos suboptimos)
Caracterıstica Algoritmo de Morelli Algoritmo de Minn
Ambiguedad Diferencias de fase Estimacion gruesa → compensa-cion
Estimacion BLUE combina J/2 diferenciasde fase
BLUE combina las J − 1 fasesresiduales.
DesventajaNo se utilizan las J−1 fases dis-ponibles
No es robusto para bajas SNRs
Conclusiones
Utilizacion de toda la informacion disponible → Inclusion determinos de ruido de alto orden.
El uso de toda la informacion no esta relacionado con lametodologıa.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO en sistemas OFDM
Funcion de autocorrelacion cıclica promediada
Usando propiedades cicloestacionarias se define la autocorrelacioncıclica promediada (ACA).
Es una generalizacion de la funcion de autocorrelacion clasica (gradode libertad adicional).
Se consideran los terminos de ruido de alto orden → toda lainformacion.
Se obtiene el estimador ML basado en la ACA y tambienestimadores suboptimos
1
p
2 J perıodo TS
k
i
i
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO en sistemas OFDM
Estimadores basados en la ACA
Estimador basado en sumas (SBE)
Generalizacion de Morelli (ACA reduce a AC).
Incluye ruido alto orden → Toda la informacion.
Mejor desempeno que Morelli.
Estimadores de combinacion directa (DCE)
Utiliza fase de la ACA.
Aprovecha grado de libertad adicional.
BLUE en dos instancias → DCE-A y DCE-B.
Buen desempeno a SNR y CFO bajos.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO en sistemas OFDM
Estimadores basados en la ACA
Estimador basado en sumas (SBE)
Generalizacion de Morelli (ACA reduce a AC).
Incluye ruido alto orden → Toda la informacion.
Mejor desempeno que Morelli.
Estimadores de combinacion directa (DCE)
Utiliza fase de la ACA.
Aprovecha grado de libertad adicional.
BLUE en dos instancias → DCE-A y DCE-B.
Buen desempeno a SNR y CFO bajos.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO en sistemas OFDM
Complejidad de estimacion
Estimador Complejidad relativa [%] Comentarios
DCE-B 100 inv. MatrizDCE-A 52 inv. MatrizSBE 30 inv. MatrizMinn 27 inv. Matriz∼DCE-A 25 sin inv. Matriz∼DCE-B 20 sin inv. Matriz∼SBE 18 sin inv. MatrizMorelli 14 sin inv. Matriz
SBE, DCE-A y DCE-B requieren inversion de matrices → altacomplejidad
Versiones aproximadas (∼SBE y ∼DCE) → incremento de MSE.
∼SBE > MM pero procesa el doble de terminos.
Se obtiene la varianza de estimacion.
Desempeno de estimacion.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010
−4
10−3
10−2
10−1
MSE
SNR [dB]
MLEMMMinnSBEvar SBECRLB
2 3 4 5 6 7 8 9 1010
−4
10−3
10−2
MSE
SNR [dB]
Minn
CRLB
MM
DCE-Avar DCE-A
2 3 4 5 6 7 8 9 1010
−4
10−3
10−2
MSE
SNR [dB]
MMMinnDCE-Bvar DCE-BCRLB
2 3 4 5 6 7 8
10−3
10−2
MSE
SNR [dB]
CRLB
SBEDCE-ADCE-B∼SBE∼DCE-A∼DCE-B
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO utilizando filtrado notch
Tabla de contenidos
1 Motivacion
2 Esquemas de modulacion multiportadoraModulaciones
3 Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)Estimacion de CFO en sistemas OFDMEstimacion de CFO utilizando filtrado notchCompensacion de CFO en sistemas multiusuario
4 Nuevos paradigmas en sistemas de comunicacionesSistemas de radio cognitivaSistemas hıbridos
5 Resumen y conclusionesContribuciones principales y complementarias
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO utilizando filtrado notch
Filtrado notch.
Contexto de estimacion de CFO
La autocorrelacion de la TS → Sinusoidal compleja en ruido.
Amplitud depende del canal → Desconocida!
Frecuencia depende del CFO → Estimacion.
Filtro notch
Puede utilizarse filtrado notch para realizar estimacion de CFO.
Un filtro notch sintonizado a la frecuencia de la sinusoidal minimizala varianza a la salida.
En etapa inicial de investigacion.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO utilizando filtrado notch
Filtrado notch.
Contexto de estimacion de CFO
La autocorrelacion de la TS → Sinusoidal compleja en ruido.
Amplitud depende del canal → Desconocida!
Frecuencia depende del CFO → Estimacion.
Filtro notch
Puede utilizarse filtrado notch para realizar estimacion de CFO.
Un filtro notch sintonizado a la frecuencia de la sinusoidal minimizala varianza a la salida.
En etapa inicial de investigacion.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO utilizando filtrado notch
Filtro notch de realizacion directa
Implementacion fuera de lınea.
IIR → minimizacion no cuadratica (sin forma cerrada) →Steiglitz-McBride.
Realizacion directa → Sesgo → Normalizacion compleja.
Parametros de sintonizacion y sensibilidad (BW 3 dB) acoplados →Complejidad de derivacion.
D(z−1, s1(i))
s1(i + 1)Estimacion cerrada
s1(i + 1)
Senal
Algoritmo “Steiglitz-McBride”.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO utilizando filtrado notch
Filtro notch realizacion lattice
Parametros de sintonizacion y sensibilidad (BW 3 dB) desacoplados.
No requiere normalizacion → Menor complejidad.
Estimacion cerrada aproximada → Baja complejidad.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Estimacion de CFO utilizando filtrado notch
Estimacion por filtrado notch. Complejidad
Metodo Complejidad relativa [%] Comentarios
Directo 100 iterativoLattice 36 iterativoLattice aprox. 29 iterativoRPHD 5 No iterativo
Analisis de convergencia
Suponiendo N → ∞ se demuestra queMSE (s1(i)) > MSE (s1(i + 1)).
Se encuentra una cota inferior para el MSE (i).
Resultados de estimacion de frecuencia
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
MSE[dB]
SNR [dB]
DirectoLatticeLattice apr.
MSE vs SNR para N = 1000 y ω = 0,4π.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
MSE[dB]
DirectoLatticeLattice apr.
N
MSE vs. N para SNR=10 dB y ω = 0,4π.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−100
−80
−60
−40
−20
0
20
MSE[dB]
ω(xπ)
DirectoLatticeLattice apr.CRLB
MSE vs. ω para SNR=10 dB y N = 1000
Mejor desempeno en rangomedio de ω.
Menor complejidad.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Compensacion de CFO en sistemas multiusuario
Tabla de contenidos
1 Motivacion
2 Esquemas de modulacion multiportadoraModulaciones
3 Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)Estimacion de CFO en sistemas OFDMEstimacion de CFO utilizando filtrado notchCompensacion de CFO en sistemas multiusuario
4 Nuevos paradigmas en sistemas de comunicacionesSistemas de radio cognitivaSistemas hıbridos
5 Resumen y conclusionesContribuciones principales y complementarias
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Compensacion de CFO en sistemas multiusuario
Compensacion de CFO en sistemas OFDMA
Deteccion lineal es mas compleja pero de mejor desempeno.
La MAI se puede describir utilizando una matriz con las dimensionesdel sistema.
La compensacion requiere la inversion de la matriz → altacomplejidad.
La aproximacion de bandas reduce complejidad (BC) → interferenciaresidual.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Compensacion de CFO en sistemas multiusuario
Matriz de compensacion
Diferentes CFOs en cada usuario → Discontinuidades en lascolumnas de la matriz interferencia (Π).
Desplazamientos circulares relacionan las columnas de cada usuario.
Concentracion de energıa en |q − p| cercano a 0 o a N .
Subportadoras
Sub
port
ador
as
2 4 6 8 10 12 14 16
2
4
6
8
10
12
14
16
−25
−20
−15
−10
−5
(a) contorno
05
1015
20
0
5
10
15
20−30
−20
−10
0
SubportadorasSubportadoras
Pot
enci
a de
inte
rfer
enci
a [d
B]
(b) superficie
Matriz interferencia con N = 16, K = 2, Nt = 2, ξ(1) = 0,2, ξ(2) = −0,3 y CAS intercalado.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Compensacion de CFO en sistemas multiusuario
Aproximacion de bandas circulante
Se propone una matriz de compensacion de banda circulante (CBC).
Se derivan algoritmos (LU, FS y BS) para invertir matrices de bandacirculante.
En ciertas condiciones CBC se reduce a BC.
Si BC no considera terminos importantes → Perdida de desempeno.
ττ
BC CBC
τ2
1
1
1
1
Estructuras de las matrices BC y CBC.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Compensacion de CFO en sistemas multiusuario
Compensacion de CFO en sistemas FBMC
Filtros con bajos lobulos → Baja MAI.
Los usuarios no se interfieren → Compensar solo auto-interferencia.
Se obtiene una compensacion para la implementacion PHYDYAS.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Compensacion de CFO en sistemas multiusuario
Complejidad de compensacion
Complejidad OFDM vs FBMC
La complejidad del transmisor OFDMA es un tercio la de FBMC.
Complejidad del receptor.
Esquema Demod. [%] comp. CFO [%] act. CFO [%] EQ. [%]
FBMC 25,4 21 4 1OFDMA 2 12,5 100 0,5
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)
Compensacion de CFO en sistemas multiusuario
Efectos de la tasa de actualizacion del CFO
Caso 1 CFO invariante en el tiempo. No es necesaria laactualizacion.
Caso 2 CFO lentamente variante en el tiempo. Actualizado cadaNu sımbolos. (Nu = 100)
Caso 3 CFO altamente variante en el tiempo. Actualizado cadasımbolo.
0 10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2x 105
FBMC caso 1
FBMC caso 2
FBMC caso 3
OFDMA caso 1
OFDMA caso 2
OFDMA caso 3
Complejidadcomputacional
Ancho de banda de compensacion [τ ]
Desempeno compensacion OFDMA / OFDMA vs. FBMC
0 10 20 30 40 50 600.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7x 10−3
MSE
Portadoras
BCCBCFull
Compensacion OFDMA
0 5 10 15 20 25 3010
−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
BER
SNR [dB]
FBMCOFDMA τ 10OFDMA τ 40
OFDMA vs FBMC. Vehicular A
0 5 10 15 20 25 3010
−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
BER
SNR [dB]
FBMCOFDMA τ 10OFDMA τ 20OFDMA τ 40
FBMC-SCAS vs OFDMA-ICAS.
0 2 4 6 8 10 12 14 1610
−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
BER
SNR [dB]
FBMC Nu 1FBMC Nu 100FBMC Nu 500OFDMA Nu 1OFDMA Nu 100OFDMA Nu 500
Actualizacion CFO. Canal altamente variante.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Nuevos paradigmas en sistemas de comunicaciones
Sistemas de radio cognitiva
Tabla de contenidos
1 Motivacion
2 Esquemas de modulacion multiportadoraModulaciones
3 Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)Estimacion de CFO en sistemas OFDMEstimacion de CFO utilizando filtrado notchCompensacion de CFO en sistemas multiusuario
4 Nuevos paradigmas en sistemas de comunicacionesSistemas de radio cognitivaSistemas hıbridos
5 Resumen y conclusionesContribuciones principales y complementarias
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Nuevos paradigmas en sistemas de comunicaciones
Sistemas de radio cognitiva
Detectores de cicloestacionaridad
Procedimiento:
Se calcula la funcion de autocorrelacion cıclica.
Se obtiene una funcion costo (∑
de | · |2).Se compara contra un umbral.
Inducida por CP
Solo deteccion
0
1
2
3
4 02
46
810
0
0.5
1
CAF lagsfrec (xπ)
CAFmag
nitud
Inducida por Pilotos
Deteccion y diferenciacion.Se propone estadıstica de H0.
...
...
frecuencia
tiem
po
subportadoras
datos
pilotos
Desempeno deteccion y diferenciacion
−16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −550
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100P
roba
bilid
ad d
e de
tecc
ión
corr
ecta
SNR [dB]
Nb 0Nb 1Nb 2Nb 3Nb 4
Deteccion de senales usando CP - canal AWGN.
−16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −550
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Prob.dedeteccioncorrecta
[%]
AWGNCan. est.Can. din.
Deteccion de senales usando CP - dif. canales.
−10 −8 −6 −4 −2 0 240
50
60
70
80
90
100
Prob.dedeteccioncorrecta
[%]
AWGNCan. est.Can. din.
Deteccion de senales usando Pil - dif. canales.
Sin conocimiento del canal.
Problemas de sincronizado.
CR en estado de desarrollo.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Nuevos paradigmas en sistemas de comunicaciones
Sistemas hıbridos
Tabla de contenidos
1 Motivacion
2 Esquemas de modulacion multiportadoraModulaciones
3 Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)Estimacion de CFO en sistemas OFDMEstimacion de CFO utilizando filtrado notchCompensacion de CFO en sistemas multiusuario
4 Nuevos paradigmas en sistemas de comunicacionesSistemas de radio cognitivaSistemas hıbridos
5 Resumen y conclusionesContribuciones principales y complementarias
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Nuevos paradigmas en sistemas de comunicaciones
Sistemas hıbridos
Ecualizacion DFE para SC
S/P
Detección
Algoritmo adaptativopara actualizar G y gff fb
x x
+
...
...
FFT
x
x
...
...
Fn x
+-
Entrenamiento
-
z−1 z−1
x(n)
x(n)
zn (�)
Y0(�)
YP−1(�)
Gffn,0(�)
Gffn,P−1(�)
gfbn,Q (�) gfbn,1(�)
Para el UL se utiliza una senal SC con extension cıclica.
La PN se alimenta en el filtro de realimentacion
FF funciona en frecuencia y FB en tiempo.
El algoritmo de adaptacion es RLS.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Nuevos paradigmas en sistemas de comunicaciones
Sistemas hıbridos
Desempeno de DFE
0 50 100 150 200 250−20
−18
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
MSE[dB]
Numero de bloques
LMSRLS
Curvas de aprendizaje para LMS y RLS.
8 9 10 11 12 13 14 15 16 1710
−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
SNR [dB]
SER
LMSRLSAWGN
SER para adaptacion LMS y RLS.
Importante ganancia en la velocidad de convergencia.
La capacidad de seguimiento del canal no es buena.
Es necesario incluir mas informacion del canal.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Resumen y conclusiones
Contribuciones principales y complementarias
Tabla de contenidos
1 Motivacion
2 Esquemas de modulacion multiportadoraModulaciones
3 Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)Estimacion de CFO en sistemas OFDMEstimacion de CFO utilizando filtrado notchCompensacion de CFO en sistemas multiusuario
4 Nuevos paradigmas en sistemas de comunicacionesSistemas de radio cognitivaSistemas hıbridos
5 Resumen y conclusionesContribuciones principales y complementarias
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Resumen y conclusiones
Contribuciones principales y complementarias
Estimacion y compensacion de CFO
Estimacion de CFO en OFDM.
Se propuso una nueva familia de estimadores (SBE y DCE).Utilizan toda la informacion y son mas robustos.
Estimacion de frecuencia (CFO) por filtrado notch.
Realizacion lattice fuera de lınea.Mejor desempeno y menor complejidad.
Compensacion de CFO en sistemas multiusuario
Compensacion basada en matrices por bandas circulantes.Exhaustiva comparacion entre OFDMA y FBMC.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Resumen y conclusiones
Contribuciones principales y complementarias
Nuevos paradigmas en sistemas de comunicaciones
Sistemas de radio cognitiva.
Tecnicas (cicloestacionarias) de deteccion y diferenciacion de senales.Simplificacion en la estadıstica de la diferenciacion
Sistemas Hıbridos.
Estudio de ecualizadores para senales SC-CE.Se propone una adaptacion RLS para un filtro DCE en bloques.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Resumen y conclusiones
Contribuciones principales y complementarias
Muchas gracias por su atencion
¿Preguntas?
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Algoritmo de MorelliSea una TS {x(n),−Ncp ≤ n ≤ N − 1} de perıodo M y largo N + Ncp , donde N = MJ. La senalrecibida sin CP, resulta
r(n) = ej2πξN
nq(n) + w(n), para n = 0, . . . ,N − 1, (1)
donde q(n) =∑L−1
k=0 h(k)x(n − k) (mismo perıodo) y ξ el CFO. Un perıodo de q(n) ess(p) = q(p) para 0 ≤ p ≤ M − 1. Definamos la funcion autocorrelacion
Γ(k) =1
N − kM
N−1∑n=kM
r(n)r∗(n − kM), 0 ≤ k ≤ A − 1. (2)
Reemplazando (1) en la Ec. (2), resulta:
Γ(k) = ej2πξk
J (D + E(k) + F (k)), 0 ≤ k ≤ A − 1 (3)
donde w(n) = ej2πξk
J w(n) (equivalente a w(n)) y
D =1
N − kM
N−1∑n=kM
|q(n)|2 =1
M
M−1∑n=0
|s(n)|2,
E(k) =1
N − kM
N−1∑n=kM
q(n)w∗(n − kM)q∗(n − kM)w(n),
F (k) =1
N − kM
N−1∑n=kM
w(n)w∗(n − kM), (4)
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Es facil notar que la informacion de CFO esta dividida en A componentes de Γ(k). Definiendo
θ(k) = arg{Γ(k)} =2πξk
J+ arg{χ(k)}, 0 ≤ k ≤ J − 1, (5)
donde χ(k) = D + E(k) + F (k), se puede estimar el CFO (notando que el rango es |ξ| < J/(2k)).
Para evitar la reduccion de rango, Morelli basa su estimacion en la diferencia de fases de Γ(k):
θd(k) = [θ(k)− θ(k − 1)]2π =
[2πξ
J+ γ(k)
]2π
, 1 ≤ k ≤ A, (6)
donde γ(k) = arg{χ(k)} − arg{χ(k − 1)}, 1 ≤ A ≤ J − 1. Ahora el rango de la estimacion es|ξ| < J/2.
Finalmente, definiendo θd = [θd(1), · · · , θd(A)]T y suponiendo una alta SNR, el BLUE resulta:
ξM =J
2π
1TC−1θ θd
1TC−1θ 1
, (7)
donde Cθ es la matriz de covarianza de θd.En la derivacion de Cθ se desprecian los terminos de ruido de alto orden (F (k) definido en laEc. (4) ) → la matriz resulta singular para k > J/2 y el mejor desempeno se obtiene paraA = J/2.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Matriz de covarianza de la ACASea una TS {x(n),−Ncp ≤ n ≤ N − 1} de perıodo M y largo N + Ncp , donde N = MJ. La senalrecibida sin CP, resulta
r(n) = ej2πξN
nq(n) + w(n), para n = 0, . . . ,N − 1, (8)
donde q(n) =∑L−1
k=0 h(k)x(n − k) (mismo perıodo) y ξ el CFO. Un perıodo de q(n) ess(p) = q(p) para 0 ≤ p ≤ M − 1.La ACA se define como
Γc(p, k) =1
J − k
J−k−1∑n=0
r(nM + p)r∗((n + k)M + p). (9)
Reemplazando (8) en (9) se obtiene
Γc(p, k) =1
J − k
J−k−1∑u=0
ej2πξkM
N |s(p)|2 + ej2πξ(p+uM)
N s(p)w∗(p + (u + k)M)
+e−j2πξ(p+(u+k)M)
N s∗(p)w(p + uM) + w(p + uM)w∗(p + (u + k)M).(10)
Se considera el termino de ruido de alto orden. Como (10) es no Gaussiana → teorema de lımitecentral, resultando:
Γc(p, k) ≈ e−j 2πεkJ |s(p)|2 + wc(p, k) (11)
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
donde:
μc(p, k) = E{Γc(p, k)} = E
⎧⎨⎩
1
J − k
J−k−1∑u=0
r(uM + p)r∗((u + k)M + p)
⎫⎬⎭ = e
−j 2πετN |s(p)|2
y wc(p, k) es una variable aleatoria Gaussiana de media cero.La ACA no es circularmente simetrica → componentes real e imaginaria por separado.Comenzando para el caso de p fijo y 1 ≤ k ≤ J − 1, es util definir los siguientes vectores:
rk (p) = [r(R)Tk (p) r
(I)Tk (p)]
T, (12)
r(R)k (p) = [Re{Γc(p, 1)} . . .Re{Γc(p, J − 1)}]T,
r(I)k (p) = [Im{Γc(p, 1)} . . . Im{Γc(p, J − 1)}]T,
μk (p) = [μ(R)Tk (p) μ
(I)Tk (p)]T, (13)
μ(R)k (p) = [Re{μc(p, 1)} . . .Re{μc(p, J − 1)}]T,
μ(I)k (p) = [Im{μc(p, 1)} . . . Im{μc(p, J − 1)}]T.
Con J grande, rk (p) → N (μk (p),Ck (p)). La matriz Ck (p) se separa en cuatro submatrices, como:
Ck (p) = [ΣRR(p),ΣRI(p);ΣRI(p),ΣII(p)] (14)
Σij (p) = E{(r
(i)k (p) − μ
(i)k (p))(r
(j)k (p) − μ
(j)k (p))T
}(15)
para i , j ∈ {R, I}.
Las componentes [Σij (p)]k1,k2 de esas matrices son:
[ΣRR(p)]k1,k2=
1
(J − k1)(J − k2)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(J − k1)(σ2|s(p)|2 + σ4/2) si k1 = k2 y k1 < J/2
+(J − 2k1)σ2|s(p)|2 cos(4πξk1/J)
(J − k1)(σ2|s(p)|2 + σ4/2) si k1 = k2 y k1 ≥ J/2
mın(J − k1, J − k2)(σ2|s(p)|2 cos(2πξ(k2 − k1)/J) + σ4/2) si k1 �= k2 y k1 + k2 < J
+(J − k1 − k2)σ2|s(p)|2 cos(2πξ(k1 + k2)/J)
mın(J − k1, J − k2)(σ2|s(p)|2 cos(2πξ(k2 − k1)/J) + σ4/2) si k1 �= k2 y k1 + k2 ≥ J,
(16)
[ΣRI(p)]k1,k2=
1
(J − k1)(J − k2)
⎧⎪⎨⎪⎩
mın(J − k1, J − k2)σ2|s(p)|2 sin(2πξ(k1 − k2)/J) si k1 + k2 < J
−(J − k1 − k2)σ2|s(p)|2 sin(2πξ(k1 + k2)/J)
mın(J − k1, J − k2)σ2|s(p)|2 sin(2πξ(k1 − k2) si k1 + k2 ≥ J,
(17)
[ΣII(p)]k1,k2=
1
(J − k1)(J − k2)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(J − k1)(σ2|s(p)|2 + σ4/2) si k1 = k2 y k1 < J/2
−(J − 2k1)σ2|s(p)|2 cos(4πξk1/J)
(J − k1)(σ2|s(p)|2 + σ4/2) si k1 = k2 y k1 ≥ J/2,
mın(J − k1, J − k2)(σ2|s(p)|2 cos(2πξ(k2 − k1)/J) + σ4/2) si k1 �= k2 y k1 + k2 < J
−(J − k1 − k2)σ2|s(p)|2 cos(2πξ(k1 + k2)/J)
mın(J − k1, J − k2)(σ2|s(p)|2 cos(2πξ(k2 − k1)/J) + σ4/2) si k1 �= k2 y k1 + k2 ≥ J,
(18)
y ΣIR(p) = ΣRI(p)T.
Consideremos ahora el caso de k fijo y 0 ≤ p ≤ M. Los vectores resultan:
rp(k) = [r(R)Tp (k) r
(I)Tp (k)]
T, (19)
r(R)p (k) = [Re{Γc(0, k)} . . .Re{Γc(M − 1, k)}]T,
r(I)p (k) = [Im{Γc(0, k)} . . . Im{Γc(M − 1, k)}]T,
μp(k) = [μ(R)Tp (k) μ(I)T
p (k)]T, (20)
μ(R)p (k) = [Re{μc(0, k)} . . .Re{μc(M − 1, k)}]T,
μ(I)p (k) = [Im{μc(0, k)} . . . Im{μc(M − 1, k)}]T.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Suponiendo J grande rp(k) → N (μp(k),Cp(k)). La matriz de covarianza se divide en cuatrosubmatrices:
Cp(k) = [ΔRR(k),ΔRI(k);ΔRI(k),ΔII(k)] (21)
Δij (k) = E{(r(i)p (k) − μ(i)
p (k))(r(j)p (k) − μ(j)p (k))T
}(22)
Los terminos de la ACA no estan correlados para diferentes p → la matriz de covarianza Cp(k)pueden obtenerse como
[Δi,j (k)]p1,p2 =
{[Σi,j (p1)]k,k si p1 = p20 si p1 �= p2.
(23)
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Matriz de covarianza para el estimador SBE
El procedimiento para obtener la matriz de covarianza de SBE (Ξd) es el siguiente:
1 Se obtiene la matriz de covarianza de la suma sobre p de los terminos de la ACA:
rs(k) =
M−1∑p=0
Γc(p, k) = e−j2πξk
J S + ws(k) (24)
donde S =∑M−1
p=0 |s(p)|2 y ws(k) =∑M−1
p=0 w(p, k).
2 Para alta SNR, ε(k) = arg{rs(k)} se aproxima por una transformacion lineal.
3 Usando la propiedad afin se encuentra la matriz de covarianza de Ξd.
La ACA no estan correlacionada para p diferentes → la matriz de covarianza de rs(k) (Sk ) resulta:
Sk = [ΩRR ΩRI;ΩIR ΩII], cuyos componentes son:
[Ωi,j ]k1,k2 =
M−1∑p=0
[Σi,j (p)]k1,k2 , (25)
donde [Σi,j (p)]k1,k2 con i , j ∈ {R, I}, viene del apendice anterior. ws(k) no es conjugadosimetrico.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Considerando un regimen alto de SNR, la fase rs (k) de puede obtenerse como
ε(k) = arg
{e
−j2πξkJ S + ws(k)
}=
−2πξk
J+ arg
⎧⎨⎩
Im{ws(k)ej2πξk
J }S + Re{ws(k)e
j2πξkJ }
⎫⎬⎭
≈ −2πξk
J+
Im{ws(k)ej2πξk
J }S + Re{ws(k)e
j2πξkJ }
≈ −2πξk
J+
Im{ws(k)ej2πξk
J }S
. (26)
La transformacion lineal mostrada en (26) puede escribirse en forma matricial como
Uk =1
S
[diag
[sin
(2πξ1
J
), . . . , sin
(2πξ(J − 1)
J
)]
diag
[cos
(2πξ1
J
), . . . , cos
(2πξ(J − 1)
J
)]](27)
Luego la matriz de covarianza para ε(k) tiene la siguiente forma
Ξk = UkSkUTk , (28)
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
con componentes dados por
[Ξ(p)]k1,k2=
σ2
S(J − k1)(J − k2)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
(J − k1)(1 + Mσ2/(2S)) − (J − 2k1) si k1 = k2 y k1 < J/2
(J − k1)(1 + Mσ2/(2S)) si k1 = k2 y k1 ≥ J/2mın(J − k1, J − k2) − (J − k1 − k2) si k1 �= k2 y k1 + k2 < Jmın(J − k1, J − k2) si k1 = k2 y k1 + k2 ≥ J.
(29)
Es interesante notar que Ξk no depende de ξ.La transformacion lineal que permite obtener Ξd(k) puede describirse en forma matricial como
T =
⎡⎢⎢⎢⎣
1 0 · · · 0 0−1 1 · · · 0 0
.
.
....
. . ....
.
.
.0 0 · · · −1 1
⎤⎥⎥⎥⎦ . (30)
Ahora es posible obtener la matriz covarianza de εd(k) como
Ξd = TΞkTT. (31)
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Sesgo en estimadores basados en la funcionautocorrelacion para baja SNR
La expresion general de la fase esta dada por
β(k) = arg
{e−j2πξk
J E(k) + V(k)
}=
−2πξk
J+ arg
⎧⎨⎩
Im{V(k)ej2πξk
J }E(k) + Re{V(k)e
j2πξkJ }
⎫⎬⎭(32)
donde E(k) es termino de energıa y V(k) es el termino de ruido. Para alta SNR → despreciar eltermino V(k).Alternativamente, a continuacion se estudia la fase de (32) considerando que
1 la SNR → 0, es decir, V(k) es dominante sobre el de senal E(k),
2 J es suficientemente grande como para considerar que V(k) es aproximadamente Gaussiano.
El bosquejo de la demostracion es el siguiente:
1 El argumento del arcotangente en (32) tiene distribucion Cauchy.
2 El arcotangente de la distribucion Cauchy (wβ (k)) tiene media distinta de cero.
3 La estimacion final de CFO es sesgada.
Entonces, (32) puede escribirse como
β(k) ≈ −2πξk
J+ arg
{w1(k)
w2(k)
}. (33)
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Para el caso del estimador SBE ( y el algoritmo de Morelli), las expresiones de w1(k) y w2(k) son
w1(k) = Re{ws(k)} sin
(2πξk
J
)+ Im{ws(k)} cos
(2πξk
J
), (34)
w2(k) = Re{ws(k)} cos
(2πξk
J
)− Im{ws(k)} sin
(2πξk
J
). (35)
donde ws(k) =∑M−1
p=0 w(p, k). Si σ1(k) y σ2(k) son respectivamente la desviacion estandar de
w1(k) y w2(k), y ρ(k) = E{w1(k)w2(k)}/(σ1(k)σ2(k)) es la correlacion normalizada, la variablealeatoria w1(k)/w2(k) → C(μc(k), γc(k)), donde C es la distribucion de Cauchy de mediana
μc(k) = ρ(k)σ1(k)/σ2(k) y parametro de escala γc(k) = σ1(k)√
1 − ρ(k)2/σ2(k).
La pdf de wβ(k) = arg{
w1(k)
w2(k)
}es
fw (x) =sec(x)2
πγc((tan(x) − μc)2/γ2c + 1)
. (36)
La media de wβ (k) es distinta de cero si μc(k) es distinta de cero → w1(k) y w2(k) estancorreladas. La expresion de ρ(k) es
ρ(k) =1
σ1(k)σ2(k)
[1
2sin
(4πξk
J
)([ΩRR]k,k − [ΩII]k,k ) + cos
(4πξk
J
)[ΩRI]k,k
](37)
donde [Ωi,j ]k1,k2 esta definido en (25). ρ(k) es cero si y solo si ξ es cero → β(k) es sesgada parabajo regimen de SNR.Gracias a la similaridad entre las formulaciones de las fases la misma conclusion es valida paratodos los algoritmos basados en la fase de la funcion autocorrelacion.
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Estimacion de frecuencia utilizando filtrado notchLa senal de entrada al estimador se define como:
r(n) = A sin(ω0n + φ) + w(n), para 0 ≤ n ≤ N − 1, (38)
donde w(n) es WGN de varianza σ2.El filtro notch se basa en la realizacion lattice normalizada:
HL(z−1) =
(s2 + 1)
2
1 + 2s1z−1 + z−2
1 + s1(1 + s2)z−1 + s2z−2(39)
donde s1 = sin θ1 y s2 = sin θ2, ω = θ1 + π/2 y s2 = (1− tan(B/2))/(1 + tan(B/2)), con B es elancho de banda de 3dB.La senal de entrada pre-filtrada con el denominador fijo del filtro notch es: g(n) = Di (z
−1)r(n),donde
Di (z−1
) =1
1 + s1(i)(1 + s2)z−1 + s2z−2, (40)
y s1(i) es el parametro del filtro en la iteracion i .La estimacion en forma cerrada se obtiene minimizando:
PN (s1(i + 1)) =1
N − 2
N−1∑n=2
e2(n, s1(i + 1)) (41)
donde e(n, s1(i +1)) = g(n)+2s1(i +1)g(n− 1)+ g(n− 2). Para minimizar (41), se debe resolver
N−1∑n=2
(g(n) + 2s1(i + 1)g(n − 1) + g(n − 2)) g(n − 1) = 0
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Lo que resulta en el estimador del parametro en forma cerrada:
s1(i + 1) =−∑N−1
n=2 g(n)g(n − 1) − g(n − 1)g(n − 2)
2∑N−1
n=2 g2(n − 1)(42)
Si N es suficientemente grande∑N−1n=2 g(n)g(n − 1) ≈ ∑N−1
n=2 g(n − 1)g(n − 2) ≈ ∑N−2n=1 g(n)g(n − 1)∑N−1
n=2 g2(n − 1) ≈ ∑N−2n=1 g2(n)
entonces (42) puede aproximarse por
s1(i + 1) =−∑N−2
n=1 g(n)g(n − 1)∑N−2n=1 g2(n)
(43)
La formula de adaptacion en forma cerrada obtenida en la Ec. (42) se la denomina estimacionbasada en lattice (LBE), mientras que la obtenida en la Ec. (43) estimacion aproximada basada enlattice (ALBE).
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Analisis de convergencia para estimacion notch
Se muestra que para N → ∞, el MSE de s1(i + 1) < s1(i). La demostracion se basa en el ALBE.
Si N → ∞,∑N−2
n=1 g(n)g(n − 1) ≈ rg , con rg = rgs + rgw .
rgs =A2|Di (e
jω0 )|22
cos(ω0), (44)
rgw = −s1(i + 1)σ2gw y (45)
σ2gw =
σ
(1 − s22 )(1 − s21 (i))(46)
Para N grande,∑N−1
n=1 g2(n) ≈ εg , es decir que la energıa g(n). Luego
εg =A2|Di (e
jω0 )|22
+ σ2gw . (47)
Reemplazando las Ecs.(44), (45) y (47) en (43), se obtiene:
s1(i + 1) = f (s1(i)) =− A2|Di (e
jω0 )|22 cos(ω0) + s1(i)σ
2gw
A2|Di (ejω0 )|2
2 + σ2gw
(48)
Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora
Para obtener el MSE de s1(i + 1) como una funcion de s1(i), se considera una aproximacion deprimer orden de f (s1(i)) alrededor de s1(i) = so1 = − cos(ω0) (sintonizacion perfecta). Entonces
s1(i + 1) = f (so1 ) +∂f (s1(i))
∂ s1(i)
⌋s1(i)=so
1
(s1(i) − so1 ) + · · · (49)
donde f (so1 ) = so1 ,∂f (s1(i))
∂ s1(i)
⌋s1(i)=so
1
= f ′(so1 ) =1
(4SNR/(1− s22 ) + 1)(50)
y SNR =A2/2
σ2 . Luego, el MSE aproximado de s1(i + 1) dado s1(i) es
MSE(s1(i + 1)) = E{(
s1(i+ 1) − so1)2 |s1(i)
}
≈ E
{(f′(s1(0))
2(s1(i) − s
o1))2
}
= f ′(so1 )2MSE(s1(i)) (51)
Si f ′(so1 )2 < 1 el algoritmo converge. Entonces:
f ′(so1 )2 < 1 ⇒ 1 < 4
SNR
1 − s22+ 1 ⇒ 0 < SNR. (52)
Como f ′(so1 )2 < 1 ∀ s2 y SNR, la convergencia del algoritmo esta probada.
Como corolario, el MSE de s1(i) puede encontrarse resolviendo recursivamente la Ec. (51). Luego
MSE(s1(i)) = f ′(so1 )2iMSE0 (53)
donde MSE0 es la condicion inicial definida como MSE0 = (s1(0) − so1 )2.