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LEZIONI N° 17 E 18

INSTABILITÀ - ASTE COMPOSTE

Consideriamo l’asta composta come se il collegamento

dovuto ai calastrelli o alle aste a traliccio fosse perfetto,

cioè come se l’asta fosse semplice ed avesse come

momento d’inerzia intorno all’asse Y:

1 1 22 2y yJ J A d

Il carico critico vale:

2

20

yE

EJN

In realtà, a causa della maggiore deformabilità dell’asta composta rispetto a quella di sezione

compatta (il collegamento è comunque imperfetto), il suo carico critico vero, Ncr, è minore di

NE.

Tale riduzione è dovuta alla deformabilità a taglio, che non è più trascurabile rispetto a quella

flessionale.

Vediamo innanzitutto, con riferimento all’asta semplice, qual è l’effetto sul carico critico

della deformabilità a taglio.

Comportamento dell’asta semplice con effetto deteriorante del taglio.

* cosN N

sindy

T N N tg Ndx

Si può anche ottenere T come:

dM dyT N

dx dx , tenuto conto che M N y

77

Determiniamo ora il contributo del taglio alla deformazione dell’asta.

Consideriamo un elemento infinitesimo di asta compreso tra due sezioni trasversali distanti

fra di loro dx.

dy

dx

Per la legge di Hooke si ha: GG

Ma T

A

in cui è il fattore di taglio e, quindi, si ottiene:

T

GA

Uguagliando all’espressione cinematica di si ottiene: dy T

dx GA

Determiniamo ora il contributo del taglio alla curvatura dell’asta. Per far ciò deriviamo

membro a membro l’equazione precedente:

2

2

T

d y dT

dx GA dx

Ricordiamo che la curvatura dovuta al momento flettente è:

2

2

M

d y M

dx EJ

La curvatura totale, dovuta sia al contributo del momento flettente che del taglio, risulta:

2

2

d y M dT

dx EJ GA dx

78

Ricordando che, nel caso in esame,

dyT N

dx e quindi che

2

2

dT d yN

dx dx , si ottiene:

2 2

2 2

d y M d yN

dx EJ GA dx

, ma M N y e quindi:

2 2

2 2

d y N d yy N

dx EJ GA dx

Raccogliendo i termini si ottiene:

2

21 0

d y NN y

dx GA EJ

Si tratta di una equazione differenziale omogenea che ha la stessa struttura dell’equazione di

Eulero.

E’ utile perciò risolverla richiamando parallelamente la soluzione dell’equazione di Eulero.

ASTA CON EFFETTO DEL TAGLIO

2

21 0

d y NN y

dx GA EJ

Poniamo:

2

1

N

EJ NGA

Si giunge alla:

22

20

d yy

dx

ASTA DI EULERO

2

20

d y Ny

dx EJ

Poniamo:

2 N

EJ

Si giunge alla:

22

20

d yy

dx

Come si può vedere le due equazioni hanno la stessa struttura.

L’integrale generale e:

1 2sin cosy C x C x

Le condizioni al contorno sono:

77

00 0 ; 0x x ly y

Imponendo la prima condizione si ottiene:

1 2 2sin 0 cos 0 0 0C C C

Dalla seconda si ha:

1 0sin 0C l

Affinché non si ottenga la soluzione banale occorre che sia:

0 00

sin 0k

l l kl

Sostituendo questo valore di nella

2

1

N

EJ NGA

, si ha:

0 0

2 2

2 21 1

1

crcr cr E cr

cr

N EJN N N N

l l GA GAEJ N

GA

Raccogliendo a fattor comune Ncr, si ottiene:

1cr E EN N NGA

e quindi:

1

Ecr

E

NN

NGA

Poiché il denominatore è sempre maggiore di 1, si osserva che cr EN N e che quindi il taglio

ha l’effetto di ridurre sempre il valore del carico critico, in quanto aumenta la deformabilità

dell’asta.

78

Il concetto di snellezza equivalente Determiniamo ora, per l’asta semplice con effetto deteriorante del taglio, la legge cr .

0

2

2

1

1 1

Ecr

E E

N EJN

lN NGA GA

Ricordando che 2 Ji

A e

l

i , dividiamo ambo i membri per l’area dell’asta, A.

0

2 2

2 2 22 2

22

2 2

22 2

1 1

11

crcr

eq

N E E

A EEAiGGA l

E E

EG

Avendo definito la snellezza equivalente, come: 2 2eq E

G

La snellezza equivalente permette di determinare la tensione critica dell’asta che risente

dell’effetto del taglio a partire dalla curva cr che non tiene conto del taglio.

Il motivo dell’interesse di questa operazione risiede nel fatto che le curve cr delle aste

senza l’effetto del taglio vengono fornite dalle norme tecniche opportunamente formulate per

tener conto delle imperfezioni delle aste industriali.

La stessa cosa la norma non può fare per le aste composte che risentono del taglio, in quanto

la loro tipologia è vastissima e occorrerebbero tabellazioni di estensione amplissima,

irrealizzabili.

79

Il carico critico elastico Ncr,id (la normativa italiana indica il carico di Eulero NE con Ncr ed il carico critico con Ncr,id) può essere quindi espresso come:

,

11cr id

cr

N

N G A

Nel caso più generale di asta non a parete piena, ma a traliccio o calastrellata, il carico critico

può essere espresso come:

,

11 1cr id

cr v

N

N S

, in cui Sv è la rigidezza a taglio del traliccio.

Le Norme tecniche prevedono anche la possibilità che sia presente almeno

una eccentricità non intenzionale del carico assiale, dovuta alle imperfezioni,

espressa tramite una deformata sinusoidale avente valore massimo: 0 500

Le

Il corrispondente momento dovuto alla deformata (del II ordine) agente sull’asta vale:

0 0 0

,

1 11 11

II Ed Ed EdEd

Ed Ed Ed

Edcr id cr vcr v

N e N e N eM

N N NNN N SN S

in analogia con quanto già visto nel caso della instabilità delle colonne presso inflesse. Se l’asta composta è costituita da due montanti collegati fra di loro, come in figura seguente,

80

Lo sforzo normale di progetto agente sul singolo montante vale:

,02 2

Ed Ed Ed Ed cc Ed

N M N M AN

h W

in cui Ac è l’area del corrente 0

2effJW

h , Jeff è il momento d’inerzia efficace della sezione

composta (precisato più avanti) ed MEd comprende sia il momento effettivamente applicato,

IEdM , che quello dovuto alle imperfezioni dell’asta, II

EdM .

Si ha quindi:

0, 2 2

Ed Ed cc Ed

eff

N M h AN

J

in cui :

h0 è la distanza tra i baricentri dei correnti,

Ac è l’area di ciascun corrente

ed MEd vale:

0

1

II II Ed Ed

Ed Ed EdEd Ed

cr v

N e MM M M

N N

N S

Sv e Jeff assumono valori diversi in funzione della tipologia della colonna composta.

La verifica dei calastrelli e degli elementi di parete dei tralicci nei campi estremi può essere

eseguita considerando la forza di taglio nell’asta composta

EdEd

MV

L

Per i calastrelli si devono considerare anche il momento flettente e lo sforzo di taglio dovuto

al funzionamento a telaio dell’elemento.

81

Aste composte tralicciate

Naturalmente devono essere verificati nei riguardi dei fenomeni di instabilità sia i diagonali

sia i correnti. La verifica consiste nel corrente che sia

,

,

1,0c Ed

b Rd

N

N

Nel caso dei correnti verticali la forza normale di progetto è la:

0, 2 2

Ed Ed cc Ed

eff

N M h AN

J

Mentre ,b RdN è il carico massimo compatibile con l’instabilità, determinato considerando la

sezione trasversale del singolo montante la lunghezza libera di inflessione Lch ed il

coefficiente appropriato:

b,Rd1

yk

M

A fN

c

g= per le sezioni di classe 1, 2 e 3,

b,Rd1

eff yk

M

A fN

c

g= per le sezioni di classe 4.

Il momento d’inerzia equivalente è: 200,5eff cJ h A

Lch = a si ricava dalla figura seguente.

82

La rigidezza equivalente a taglio della tralicciatura, Sv, può essere ricavata, in funzione dello

schema di tralicciatura adottato, dalla Tabella C4.2.II della Circolare di applicazione delle

NTC.

Aste composte calastrellate

Nelle aste composte calastrellate le verifiche dei correnti e dei calastrelli possono essere

condotte utilizzando la distribuzione di forze e sollecitazioni indicata in Figura considerando

sia lo sforzo normale che il taglio di progetto.

Per il momento di inerzia effettivo della sezione composta si può considerare:

200,5 2eff c cJ h A J

83

In cui Jc è il momento d’inerzia della sezione del corrente e è un coefficiente di efficienza che vale: = 0 se la snellezza dell’asta composta è 150, = 1 se la snellezza dell’asta composta è 75, = (2-/75) se la snellezza dell’asta composta è compresa tra 75 e 150,

con 210 1 0

0

; ; 0,5 22 c c

c

JLi J h A J

i A

La rigidezza a taglio equivalente Sv della parete calastrellata è indicata nella tabella

precedente (punto 4).

Sezioni composte da elementi ravvicinati collegati con calastrelli o imbottiture

La verifica di aste composte costituite da due o quattro profilati, vedi Figura C4.2.10, posti ad

un intervallo pari alle spessore delle piastre di attacco ai nodi e comunque ad una distanza non

superiore a 3 volte il loro spessore e collegati con calastrelli o imbottiture, può essere condotta

come per un’asta semplice, trascurando la deformabilità a taglio del collegamento, se gli

interassi dei collegamenti soddisfano le limitazioni della tabella C4.2.III.

84

Nel caso di angolari a lati disuguali, tipo (6) di Figura C4.2.10, l’instabilità dell’asta con

inflessione intorno all’asse y di Figura C4.2.10 può essere verificata considerando un raggio

d’inerzia

0

1,15y

ii

dove i0 è il raggio d’inerzia minimo dell’asta composta.

La spaziatura massima tra gli elementi collegati da imbottiture è molto esigua, se si vuole

trascurare l’effetto deteriorante del taglio, 15-20 cm. Ciò è certamente penalizzante per le

applicazioni.

Può essere utile tener conto della deformabilità a taglio della trave composta, utilizzando

indicazioni di bibliografia.

Si può fare riferimento alle Istruzioni CNR 10011, le quali prescrivono:

85

La snellezza equivalente così definita può essere utilizzata per eseguire la verifica ad

instabilità con la stessa procedura impiegata per le colonne sottoposte a solo carico assiale.