Astrofizica stelaraCursul 10

Victor E. Ambrus,

Universitatea de Vest din Timis,oara

Cont, inutul cursului

Capitolul VI. Structura interna a stelelor.

I VI.1. Ecuat, iile structurii stelare.

I VI.2. Teoria lungimii de amestecare.

I VI.3. Modele politrope.

I VI.4. Ecuat, ia Tolman-Oppenheimer-Volkoff.

VI.1. Ecuat, ii ale structurii stelare.VI.I.1. Generalitat, i.

I Analiza atomsferei stelare este necesara pentru prezicerea radiat, ieiemise de catre aceasta ınspre spat, iul cosmic.

I Analiza structurii stelei permite estimarea proprietat, ilor plasmeistelare ın interiorul acesteia.

I Cunoas, terea structurii interne a stelei permite estimarea ratelorreact, iilor nucleare, sau a frecvent,ei de oscilat, ie a stelelor pulsatoare.

I Ecuat, iile care stau la baza structurii stelare sunt:I Ecuat, ia de conservare a masei;I Ecuat, ia de conservare a energiei;I Ecuat, ia echilibrului hidrostatic;I Ecuat, ia transportului energiei.

I Suplimentar, trebuie cunoscuta ecuat, ia de stare a plasmei stelare.

I Transportul energiei poate avea loc atat prin radiat, ie, cat s, i princonvect, ie s, i/sau conduct, ie.

I In cele ce urmeaza vom presupune ca steaua are simetrie sferica s, i segases, te ın echilibru termic.

VI.I.2. Structura mecanica.

I Ecuat, ia de conservare a masei este:

dM(r)

dr= 4πr2ρ(r)⇒ M(r) = 4π

∫ r

0

dr r2ρ(r). (1)

I O relat, ie similara se poate stabili pentru luminozitate:

dL(r)

dr= 4πr2ρ(r)ε(r)⇒ L(r) = 4π

∫ r

0

dr r2 ρ(r)ε(r), (2)

unde ε(r) e rata specifica de producere a energiei nucleare([ε] = W/kg).

I In general, ε(r) este neneglijabil doar pentru r . 0.25R�.

I Ecuat, ia echilibrului hidrostatic este:

dP(r)

dr= −ρ(r)GM(r)

r2. (3)

VI.I.3. Ecuat, ia transportului energiei.I La adancimi optice mari, fluxul Edington integrat H satisface:

H(r) = − 1

3kRρ

dB

dT

dT

dr= − 4σT 3

3πkRρ

dT

dr, (4)

unde kR este opacitatea Rosseland iar B = σT 4/π este integralafunct, iei Planck dupa toate frecvent,ele.

I Avand ın vedere ca fluxul radiativ integrat F (r) = 4πH(r) defines, teluminozitatea L(r) = 4πr2F (r), rezulta:

H(r) =L(r)

16π2r2. (5)

I Rezulta ecuat, ia transportului energiei (valabila pentru transportulpur radiativ):

dT (r)

dr= − 3kRρ

64πr2σT 3L(r). (6)

I Gradientul temperaturii este direct proport, ional cu L(r) s, i cu kR .I Este utila introducerea gradientului temperaturii ∇ prin:

∇ =d lnT

d lnP=

P

T

dT

dP, ∇rad =

3kR64πr2g

P

σT 4L(r), (7)

unde ∇rad reprezinta contribut, ia radiativa la ∇.

VI.1.4. Structura Soarelui.

I Soarele poate fi ımpart, it ınurmatoarele 6 regiuni:

Nucleu: Reprezinta regiunea centralaunde au loc react, ii termonucleareε > 0 (0 ≤ r . 0, 25R∗).

Zona radiativa: Regiunea unde transferul energeticare loc predominant prin radiat, ie(0, 25R∗ . r . 0, 7R∗).

Zona convectiva: se situeaza deasupra zonei radiative,fiind caracterizata prin transferenergetic predominant prin convect, ie [Sursa: F. LeBlanc,

(0, 7R∗ . r ≤ R∗). An introduction to stellar

Fotosfera: regiunea convectiva aflata la suprafat,a astrophysics (Wiley, 2010)]

Soarelui, avand grosimea de cateva sutede km, de unde origineaza radiat, iaelectromagnetica emisa ın afara stelei.

Cromosfera: se extinde aproximativ 2000 km deasupra fotosferei, fiindcaracterizata de o cres, tere a temperaturii pana la ∼ 105 K.

Corona solara: se extinde pe cateva milioane de km deasupra cromosferei,temperatura atingand valori de 1 − 2 × 106 K.

VI.2. Teoria lungimii de amestecare.VI.2.1. Fluxul Eddington monocromatic.

I In afara zonei de product, ie a energiei nucleare (unde ε ' 0),luminozitatea este constanta, fiind egala cu:

L(r) = 4πR2�σT

4ef .

I Substituind expresia de mai sus ın ec. (6) rezulta:

dT (r)

dr= −

3kRρR2�T

4ef

16r2T 3, (8)

iar fluxul Eddington Hν = −(dKν/dr)/kνρ la adancimi optice mari,unde Kν ' Bν/3, devine:

Hν '1

16

kRkν

T 4ef

T 3

(R�r

)2dBνdT

=k3B

8h2c2kRkν

T 4ef

T

(R�r

)2

P(u), (9)

unde P(u) este definit prin (u = hν/KBT ):

dBνdT

=2K 3

BT2

h2c2P(u), P(u) =

u4eu

(eu − 1)2. (10)

I P(u) atinge valoarea maxima la u ' 3, 83.I Dependent,a lui Hν de ν este influent,ata de kν .

VI.2.2. Transportul prin conduct, ie.I In unele condit, ii, particulele de materie pot transporta energie din

regiunile mai fierbint, i ınspre cele mai reci.I Un exemplu este cel al piticelor albe, ın nucleul carora electronii

formeaza un gaz degenerat.I Aces, ti electroni degenerat, i participa la procesul de conduct, ie, care e

important doar cand drumul liber mijlociu al electronilor depas,es, tescala la care temperatura locala prezinta variat, ii.

I Se poate introduce o opacitate de conduct, ie astfel ıncat Hcond sa fiedat printr-o expresie analoaga ec. (4):

Hcond = − 4σT 3

3πkcondρ

dT

dr. (11)

I In absent,a convect, iei, Htot = Hrad + Hcond se obt, ine ınlocuindopacitat, ile part, iale kR (4), respectiv kcond(11) cu ktot:

1

ktot=

1

kR+

1

kcond. (12)

I Precum ın cazul unui circuit avand doi rezistori legat, i ın paralel,energia tinde sa fie transferata prin modul cu opacitatea cea maimica.

I In majoritatea cazurilor, kcond � kR .

VI.2.3. Transportul prin convect, ie.I Convect, ia reprezinta transportul de energie prin intermediul

transferului de substant, a.I In unele condit, ii, celulele de plasma pot migra datorita fort,elor

arhimedice dinspre regiunile calde (interior) ınspre cele reci(exterior), unde ıs, i elibereaza energia termica.

I In aceste condit, ii, plasma este instabila la convect, ieI Pentru simplitate, vom presupune ca ascensiunea celulelor se petrece

ın condit, ii adiabatice (celulele nu schimba energie cu plasmaınconjuratoare pe parcursul ascensiunii).

I Convect, ia poate deveni importanta cand radiat, ia nu este suficientapentru transportul energiei ınspre exterior, de exemplu cand fluxulradiativ s, i/sau opacitatea sunt foarte mari, caz ın care transferulexclusiv prin radiat, ie necesita un gradient mare de temperatura.

I Cand ∇ depas,es, te o anumita valoare, plasma devine instabila s, iconvect, ia devine importanta.

I Regiunile unde elementele dominante sunt part, ial ionizatefavorizeaza convect, ia, deoarece opacitatea aferenta nivelelor atomicesuperioare ale atomilor mai put, in ionizat, i este foarte mare.

I Deoarece ın stelele fierbint, i, ionizarea are loc ın regiunile superficiale,unde ∇ este mic, aici convect, ia nu apare.

I Fotografie a unei pete solare la suprafat,a Soarelui.

I Regiunea centrala ıntunecata poarta numele de umbra (B mare).

I Regiunea adiacenta mai put, in ıntunecata se numes, te penumbra (Bmai mic).

I Sutele de granule vizibile ın aceasta poza, avand dimensiuni deaproximativ 1000 km, reprezinta celule de convect, ie.

VI.2.4. Criteriul Schwarzschild pentru convect, ie.I Sa consideram ca convect, ia are loc prin deplasarea unor celule de

plasma datorata fort,ei arhimedice.I Deplasarea verticala se efectueaza ın condit, ii adiabatice, energia

termica fiind eliberata la capatul superior al traiectoriei.I Presupunem ca masa moleculara a plasmei exterioare nu variaza

de-a lungul traiectoriei.I Presiunea din interiorul celulei este ıntotdeauna egala cu presiunea

mediului ınconjurator.I In urma acestui proces adiabatic, densitatea ın interiorul celulei

scade conform:

∆ρcel =

(dρ

dr

)adi

∆r < 0. (13)

I In acelas, i timp, s, i densitatea mediului (presupus a fi ın echilibruradiativ) variaza:

∆ρmed =

(dρ

dr

)rad

∆r < 0. (14)

I Conform principiului lui Arhimede, convect, ia poate avea loc cand∆ρcel < ∆ρmed.

I Deoarece deplasarea celulei se face adiabatic, presiunea ın interiorulacesteia satisface ecuat, ia de stare de tip politropic:

Pcel ∼ ργcel, γ = cp/cv . (15)

I In mediul exterior, presupunem ca e valida ecuat, ia de stare a gazuluiideal:

Pmed ∼ ρmedTmed. (16)

I Principiul lui Arhimede se poate scrie:(d ln ρ

dr

)adi

<

(d ln ρ

dr

)rad

, (17)

astfel ıncat:

1

γ

(d lnP

dr

)adi

<

(d lnP

dr

)rad

−(d lnT

dr

)rad

. (18)

I Deoarece Padi = Prad, rezulta:

γ − 1

γ<

(d lnT/dr)rad(d lnP/dr)rad

=

(d lnT

d lnP

)rad

= ∇rad. (19)

I Presupunand ca s, i ın interiorul celulei este valida ecuat, ia de stare agazului ideal, rezulta P ∼ ρT ∼ P1/γT sau T ∼ P(γ−1)/γ , astfelıncat:

∇adi =

(d lnT

d lnP

)adi

=γ − 1

γ. (20)

I Criteriul lui Schwarzschild poate fi enunt,at dupa cum urmeaza:

∇rad > ∇adi =γ − 1

γ. (21)

I Pentru un gaz ideal monoatomic,γ = 5/3 iar ∇adi = 0, 4.I Deoarece plasma stelara nu este monoatomica s, i datorita prezent,ei

presiunii radiative, ın general γ < 5/3.I Analizele numerice indica ca ın cazul cand presiunea radiativa este

dominanta, criteriul Schwarzschild devine ∇rad > 0, 25.I In zonele unde are loc ionizarea part, iala, convect, ia poate aparea la

valori ale lui ∇rad mai mici decat 0, 25.I Inlocuind ec. (7), criteriul Schwarzschild poate fi pus sub forma:

3kR64πr2g

P

σT 4L(r) =

3πkR4g

P

σT 4H(r) > ∇adi =

γ − 1

γ. (22)

I Aceasta forma a criteriului lui Schwarzschild arata ca zonele undeopacitatea sau fluxul sunt mari favorizeaza aparit, ia convect, iei.

VI.2.5. Lungimea de amestecare.I In general, H(r) = Hrad(r) + Hconv(r).I Deoarece ın procesul de convect, ie, ascensiunea unei celule nu este

adiabatica, ∇cel ≥ ∇adi.I In prezent,a convect, iei, mediul nu este strict ın echilibru radiativ iar∇med ≤ ∇rad.

I Criteriul Schwarzschild devine:

∇med > ∇cel, (23)

unde ∇rad ≥ ∇med ≥ ∇cel ≥ ∇adi.I Lungimea de amestecare ` se refera la distant, a parcursa de o celula

pana la dizolvarea acesteia.I La capatul superior al traiectoriei, celula elibereaza caldura E :

E = ρcp(Tcel − Tmed). (24)

I Presupunand ca viteza medie a celulelor convective este V , fluxulconvectiv devine:

Hconv =1

4πEV =

ρcp4π

V (Tcel − Tmed). (25)

VI.2.6. Estimarea lui ∆T .I Presupunand ca Tcel s, i Tmed variaza put, in fat, a de temperatura

init, iala T , se poate scrie:

Tcel ' T +

(dT

dr

)cel

∆r , Tmed ' T +

(dT

dr

)med

∆r ,

⇒ Tcel − Tmed '[(

dT

dr

)cel

−(dT

dr

)med

]∆r , (26)

unde ∆r ≡ distant, a parcursa de celula fat, a de pozit, ia init, iala.I Presupunand ca steaua se afla ın echilibru hidrostatic, rezulta:(

dT

dr

)med

= −T

H∇med,

(dT

dr

)cel

= −T

H∇cel, H ≡ P

ρg, (27)

astfel ca

Tcel − Tmed 'T

H(∇med −∇cel)∆r . (28)

I Fie lungimea de amestecare ` egala cu distant,a medie pe care sedeplaseaza o celula pana la dizolvare.

I Distant,a medie parcursa de celulele care traverseaza o suprafat, adata va fi ∆r ' `/2.

VI.2.7. Estimarea lui V .I Asupra celulei convective act, ioneaza fort,a arhimedica

FArh = ρmedVcelg s, i fort,a de greutate ρcelVcelg .

I Fort,a rezultanta pe unitate de volum este:

f = (ρmed − ρcel)g . (29)

I In aproximat, ia ascensiunii adiabatice (Pcel = Pmed) s, i presupunandca plasma din interiorul celulei s, i din mediul exterior acesteia estedescrisa de P = ρKBT

µmH, rezulta:

ρmed − ρcel = ρcel

(µmedTcel

µcelTmed− 1

). (30)

I Presupunand ca diferent,a fat, a de starea init, iala e mica, rezulta:

ρmed − ρcel 'ρcel∆r

H0

(∇med −∇cel +∇cel

µ −∇medµ

), (31)

unde ∇µ ≡ d lnµ/d lnP.

I In interiorul celulei, µmH = ρntot

=∑

ini

ntotmi ramane constant (nu

are loc schimb de substant, a cu mediul exterior) ⇒ ∇celµ = 0.

VI.2.8. Fluxul convectiv.I Lucrul mecanic efectuat de f pe ∆r = `/2 este:

w =

∫ `/2

0

f d∆r ' ρcel`2g

8H(∇med −∇cel −∇med

µ ). (32)

I Presupunand ca jumatate din aceasta energie se transforma ınenergie cinetica ( 1

2ρcelV2 = 1

2w), rezulta:

V ' `

H

√gH0

8(∇med −∇cel −∇med

µ ). (33)

I Fluxul convectiv capata expresia:

Hconv 'ρcpT

8π

`2

H2

√gH8

(∇med −∇cel)√∇med −∇cel −∇med

µ .

(34)I Pentru dµ/dr < 0 (∇med

µ > 0), randamentul transferului convectivscade ⇒ regiunile cu ε > 0 sunt mai stabile.

I Neglijand ∇medµ , rezulta Hconv ∼ (∇med −∇cel)

3/2 s, i nu liniar,

deoarece V ∼ (∇med −∇cel)1/2.

I Raportul `/H dintre lungimea de amestecare s, i H ramane unparametru liber al teoriei care nu poate fi determinat universal.

VI.2.9. Echilibrul convectiv.

I Cand transferul energetic are loc exclusiv prin convect, ie, se poateaproxima ca ıntreaga plasma stelara este alcatuita din celuleconvective care evolueaza adiabatic.

I T, inand seama ca P ∼ ργ s, i presupunand ca e valida legea gazuluiideal P = nKBT , rezulta:

∇adi =γ − 1

γ. (35)

I Avand ın vedere definit, ia gradientului de temperatura∇ = d lnT/d lnP, rezulta ecuat, ia echilibrului convectiv:

dT

dr= −T

Hγ − 1

γ, H =

P

ρg. (36)

I In realitate, echilibrul convectiv nu este niciodata pe deplin atins,deoarece ıntotdeauna are loc schimbul energetic prin radiat, ie.

Probleme1. Sa se gaseasca presiunea ıntr-o stea de masa M∗ s, i raza R∗ ın care

densitatea descres, te liniar cu r conform expresiei:

ρ(r) = ρc

(1− r

R∗

),

unde ρc este densitatea ın centrul stelei.

[R: P(r) =5GM2

∗4πR4

∗− 6GM2

∗r2

πR6∗

(1 − 7r

6R∗ + 3r2

8R2∗

)]

2. Sa se gaseasca densitatea centrala a unei stele de masa M∗ s, i razaR∗ ın care densitatea e data de expresia

ρ(r) = ρc

(1− r2

R2∗

).

3. Presupunand ca densitatea ρ(r) s, i rata de producere a energieinucleare pe unitatea de masa ε(r) sunt:

ρ(r) = ρc

(1− r

R∗

), ε(r < 0, 2R∗) = εc

(1− r

0, 2R∗

),

unde ε(r > 0, 2R∗) = 0, sa se gaseasca luminozitatea stelei lasuprafat,a acesteia ın funct, ie de R∗, ρc s, i εc . [R: L = 22π

9375ρcεcR3∗ ]

Probleme

4. Sa se gaseasca frecvent,ele s, i lungimile de unda corespunzatoarevalorii maxime a lui P(u) (10) pentru T = 104, 105, respectiv107 K. Sa se indice ın ce parte a spectrului electromagnetic suntsituate aceste frecvent,e. [R: ν1 = 8× 1014 Hz, λ1 = 3750 A, IR

ν2 = 8× 1015 Hz, λ1 = 375 A, UVν3 = 8× 1017 Hz, λ1 = 3, 75 A, raze X]

5. In centrul unei pitice albe reci compusa din carbon pur, opacitateade conduct, ie este estimata la kcond ∼ 5× 10−7(T/ρ)2 cm2 g−1,unde T e ın K s, i ρ e ın g/cm3. Presupunand ca opacitatea radiativaeste dominata de ımpras, tierea Thomson, sa se arate ca ın centrulacestor stele, conduct, ia reprezinta detas,at modul de transport alenergiei. Se presupune ca ın centrul stelei avem T ∼ 107 K s, iρ ∼ 106 g/cm3. [R: krad ' 0, 02 m2/kg, kcond = 5× 10−6 m2/kg]