atps calculo numerico 10_04
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atps de calculo numerico anhangueraetapa 1 e 2TRANSCRIPT
ANHANGUERA EDUCACIONAL
ENGENHARIA MECÂNICA
ABISSAIR PEREIRA DE ALCÂNTARA - RA 1299243154
EDUARDO MARONEZI DA ROCHA - RA 8062794196
ELIAS MACIEL DA SILVA - RA 8483189235
KEVIN SANTOS DA SILVA - RA 8097823040
RENATO CASTELANI DA SILVA – RA 8097832439
RICARDO GRANDIZOLI - RA 8061789668
RODNEY DE ALMEIDA - RA 8061779591
ROGERIO FERNANDO DOS SANTOS - RA 9902006530
WALKER NAVES PASCOAL - RA 8062801066
CÁLCULO NUMÉRICO
SANTO ANDRÉ
2015
ABISSAIR PEREIRA DE ALCÂNTARA
EDUARDO MARONEZI DA ROCHA
ELIAS MACIEL DA SILVA
KEVIN SANTOS DA SILVA
RENATO CASTEANI DA SILVA
RICARDO GRANDIZOLI
RODNEY DE ALMEIDA
ROGERIO FERNANDO DOS SANTOS
WALKER NAVES PASCOAL
CÁLCULO NUMÉRICO
Orientador: Prof. Antônio Cardoso
SANTO ANDRÉ
2015
Este trabalho é referente aos conceitos e princípios gerais de calculo numérico e sistema de numeração e erros para o curso de Engenharia mecânica da Anhanguera Educacional, como requisito para a aprovação da matéria de cálculo numérico.
ABISSAIR PEREIRA DE ALCÂNTARA
EDUARDO MARONEZI DA ROCHA
ELIAS MACIEL DA SILVA
KEVIN SANTOS DA SILVA
RENATO CASTELANI DA SILVA
RICARDO GRANDIZOLI
RODNEY DE ALMEIDA
ROGERIO FERNANDO DOS SANTOS
WALKER NAVES PASCOAL
CALCULO NUMÉRICO
Santo André,9 de Abril de 2015.
_____________________________________
Orientador: Prof. Antônio Cardoso
Anhanguera Educacional
SANTO ANDRÉ
2015
Este trabalho é referente aos conceitos e
princípios gerais de calculo numérico e
sistema de numeração e erros para o curso
de Engenharia mecânica da Anhanguera
Educacional, como requisito para a
aprovação da matéria de cálculo numérico.
RESUMO
Neste trabalho estudamos como o calculo numérico esta inserido no dia a dia, e como
ele é aplicado na engenharia, utilizando métodos de álgebra linear e operações matemáticas, a
partir de um desafio sobre código de barras no sistema binário.
Palavra Chave: Calculo numérico – Engenharia - Binário
ABSTRACT
We study how the numerical calculation is inserted in everyday life, and how it is applied in engineering, using linear algebra methods and mathematical operations, from a challenge on bar code in the binary system.
Key words: Numerical Calculation - Engineering - Binary
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO............................................................................................................................1
2. RELATÓRIO 1 – CONCEITOS E PRINCÍPIOS GERAIS DE CÁLCULO NUMÉRICO...2
3. PASSO 2........................................................................................................................................4
4. PASSO 3........................................................................................................................................6
5. RELATÓRIO 2 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO E ERROS...................................................7
6. PASSO 1........................................................................................................................................8
7. PASSO 2......................................................................................................................................10
8. PASSO 3......................................................................................................................................11
9. CONCLUSÃO............................................................................................................................12
10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................................13
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1. INTRODUÇÃO
O objetivo deste trabalho é desenvolver e aprimorar nossos conhecimentos com a relação a conceitos e princípios gerais do calculo numérico. E o desafio é a partir do uso dos cálculos descobrir o código de barras linear palíndromo com 34 barras que chamou a atenção da importadora ‘Vendo mundo’.Para isto teremos que realizar e concluir sete tarefas que após concluídas, teremos que associar a resposta a um número: 0 ou 1. Esses números colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas fornecerão os dezessete primeiros algarismos (da esquerda para a direita) que irão compor o código de barras linear.
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2. RELATÓRIO 1 – CONCEITOS E PRINCÍPIOS GERAIS DE CÁLCULO NUMÉRICO
O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos
usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses
métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução
exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.
Dado um problema, para se chegar a um resultado numérico é necessário
realizar uma seqüência pré-estabelecida de passos. Em cada um destes passos pode
existir uma parcela de erro que se acumula ao montante do processo.
Estes erros surgem basicamente de duas formas: aqueles inerentes a formulação
matemática do problema (relacionados a aproximação da situação física e a erros nos
dados) e aqueles que aparecem no processo de solução numérica (erros de
truncamento e de arredondamento).
Os erros de truncamento surgem, em geral, pela substituição de um processo
infinito (de somas ou integrais) ou infinitesimal por outro finito. Erros também podem
surgir pelo fato que as operações aritméticas quase nunca podem ser efetuadas com
precisão completa; estes são denominados de erros de arredondamento. A maioria dos
números tem representações decimais infinitas que devem ser arredondadas. Mesmo se
os dados de um problema podem ser expressos exatamente por representações
decimais finitas, a divisão pode introduzir números que devem ser arredondados e a
multiplicação pode produzir mais dígitos do que podem ser razoavelmente mantidos.
Os tipos de arredondamento mais utilizados são:
- tipo corte: as casas em excesso são simplesmente abandonadas;
- para o número de máquina mais próximo: se a máquina trabalha com algarismos
significativos para a mantissa1 de um número, então se analisa o algarismo de ordem
d+ 1. Se este for maior ou igual a 5, soma-se uma unidade ao algarismo de ordem d;
caso contrário, o algarismo de ordem d permanece inalterado.
O cálculo numérico compreende:
• A análise dos processos que resolvem problemas matemáticos por meio de operações
aritméticas;
• O desenvolvimento de uma sequência de operações aritméticas que levem as
respostas numéricas desejadas;
• O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica em
escrever o método numérico como um programa de computador. Espera-se que, com
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isso possa se obter respostas confiáveis para problemas matemáticos.
Podemos dividir a Matemática em duas partes, o calculo numérico e o cálculo
algébrico. O cálculo numérico envolve as operações da adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, envolvendo os números reais. O
cálculo algébrico está diretamente ligado a expressões algébricas, envolvendo
equações, inequações e sistemas de equações. Nele, todos os fundamentos fixados no
cálculo numérico são utilizados.
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3. PASSO 2
3.1 DESAFIO A
Nos gráficos a seguir, é apresentada uma interpretação geométrica da dependência e
independência linear de dois e três vetores no R³:
De acordo com os gráficos anteriores, afirma-se:
I – os vetores v1e v2 apresentados no gráfico (a) são LI (linearmente independentes);
Falso, pois v1 e v2 estão apresentados na mesma reta que passa pela origem portanto são
linearmente dependentes.
II – os vetores v1, v2 e v3 apresentados no gráfico (b) são LI;
Verdadeiro, para eles serem dependentes eles precisam ser coplanares, ou seja, se disposto
todos no mesmo plano ( não pode possuir volume).
III – os vetores v1, v2 e v3apresentados no gráfico (c) são LD (linearmente
dependentes);
Verdadeiro, eles são dependentes, pois são coplanares. São dispostos no plano bi-dimensional
( não possui volume).
3.1.2 DESAFIO B
Dados os vetores u = (4, 7, −1) r e v = (3, 10, 11) r, podemos afirmar que u r e v r são
linearmente independentes.
u= ( 4, 7, -1 ) e v= ( 3, 10, 11 ),
( 4, 7, -1 ) = a ( 3, 10, 11 )
( 4, 7, -1 ) = (3a , 10a , 11a )
3a = 4 → a = 4/3
10a = 7 → a = 10/7
Não se pode existir dois valores diferentes para ( a ), por isso os vetores u e v são
linearmente independentes.
Verdadeira.
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3.1.3 DESAFIO C
Sendo w1 = (3,-3,4)E w2 = (-1,2,0)E, a tripla coordenada de w = 2w1 – 3w2 na base E é (9, -
12, 8)E.
w1 = ( 3, -3, 4 ) e w2 = ( -1, 2, 0 )
w = 2w1 – 3w2
w =2*( 3, -3, 4 ) – 3* ( -1, 2, 0 )
w = ( 6, -6, 8 ) – ( -3, 6, 0 )
w = ( 9, -12, 8 )
Verdadeira.
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4. PASSO 3
Resolver os desafios apresentados no desafio A, desafio B e desafio C,
julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para
tal julgamento devem ser devidamente registrados.
4.1 DESAFIO A
Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.= 1
Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.= 1
Associar o número 1, se a afirmação II estiver certa.=1
Associar o número 0, se a afirmação II estiver errada.=1
Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.=1
Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.=1
4.1.2 DESAFIO B
Associar o número 0, se a afirmação estiver certa.=0
Associar o número 1, se a afirmação estiver errada.=0
4.1.3 DESAFIO C
Associar o número 1, se a afirmação estiver certa.=1
Associar o número 0, se a afirmação estiver errada.=1
Seqüências dos números encontrados foram: (1 1 1 0 1)
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5. RELATÓRIO 2 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO E ERROS
Atualmente muitos problemas de engenharia consistem em obter uma solução
para um determinado modelo matemático. Abaixo segue um alguns passos para a
resolução dos mesmos.
Problema físico, modelagem, modelo matemático, resolução, solução.
Normalmente também usa o modelo de resolução analítica. Para a resolução de
problemas complexos utiliza se métodos de resolução numérica mas nessa ocasião
existe vantagens e desvantagens as vantagens são a seguinte para auxiliar mos cálculos
utiliza se equipamentos como computador e calculadoras cientificas as desvantagens
são a existência de erros que dependendo da aplicação pode inutilizar a solução do
calculo. Os sistemas de numeração são decimal (base 10), (octal (base 8),
hexadecimal(base 16), binário (base 2), sexagesimal (base 60), usada pelos
babilônicos, vigesimal (base 20) usada pelos maias.
Os erros surgem de varias fontes e merecem alguns cuidados caso contrario pode se
chegar a resultados distantes dos esperados ou ate mesmo obter resultados que não tem
nada haver com o problema questionado. As principais fontes de erros são:
1) Erros de dados na entrada
2) Erros de estabelecimento no modelo matemático
3) Erros de arredondamento durante a computação
4) Erros de truncamento
5) Erros humanos e de maquina.
Erro e a diferença entre o valor exato e o valor apresentado a noção do erro
esta presente em todos os campos do calculo numérico de um lados os dados em si
nem sempre são exatos, de outro lado, as operações sobre valores não exatos
propagam esses erros a seus resultados, freqüentemente métodos aproximando buscam
a minimização de erros procurando resultados o mais próximo possível dos valores
exatos.
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6. PASSO 1
6.1 CASO A
Uma professora de matemática da 1ª série do ensino médio pediu a três alunos da classe que
calculassem a área de uma circunferência de raio igual a 120 metros. Os seguintes valores
foram obtidos, respectivamente, pelos alunos João, Pedro e Maria: 45.216 2 m2; 45.239,04
m2 e 45.238,9342176 m2.
6.1.2 CASO B
Marcelo obteve a seguinte tabela após o cálculo dos somatórios:
∑_1^3000▒0,5
∑_1^3000▒0,11
Considerar os casos A e B apresentados anteriormente e respondam:
Por que foram encontrados três valores diferentes para o caso (A), considerando que não
houve erro algum por parte dos alunos na utilização da fórmula da área de uma circunferência
e nem na substituição do valor do raio, na mesma?
Quando comparados, vemos uma diferença nos valores obtidos nos cálculos dos somatórios
utilizando cada uma das ferramentas. A que se deve essa diferença apresentada no caso B?
RESPOSTA A:
João calculou da seguinte forma:
A=πr2
A = 3,14 x (120)2
A = 3,14 x (14.400)
A= 45.216 m2
Pedro calculou da seguinte forma:
A=πr2
A = 3,1416 x (120)2
A = 3,1416 x (14.400)
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A= 45.239,04 m2
Maria calculou da seguinte forma:
A=πr2
A = 3,141592653 x (120)2
A = 3, 141592653 x (14.400)
A= 45.238,9342176 m2
Os valores encontrados estão diferentes pois foram usados diferentes modos de
arredondamentos da constante Grega Pi (π) para a realização dos cálculos de área.
João utilizou a constante π com o valor de 3,14
Pedro utilizou a constante π com o valor de 3,1416
Maria utilizou a constante π com o valor de 3,141592653
RESPOSTA B:
A diferença apresentada no caso B se deve ao fato de a calculadora arredondar os valores,
diferentemente do computador não utiliza o arredondamento.
Nesse caso como podemos observar o resultado obtido pelo computador foi de 3.299,99691,
na casa decimal nota-se que o algarismo nove é maior do que cinco possibilitando o
arredondamento para cima, ou seja, de 3.299,99691, passa para 3.300 conforme resultado
apresentado pela calculadora e conforme a análise de arredondamento em ponto flutuante.
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7. PASSO 2
Ler o desafio proposto:
Numa máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tem base 10; 5 dígitos na
mantissa e expoente no intervalo [ -6,6], pode se afirmar que:
I – o menor e o maior número possível em módulo nessa representação são dados de forma
respectiva por: 0,1 x 10^-6 e 0,99999 x 10^6;
II- usando o arredondamento, o número 123456 será representado por 0,123456 x 10^6 e se
for usado o truncamento, o mesmo número será representado por 0,12346 x 10^6;
III- se x= 4 e y = 452700, o resultado de x + y será 0,4 x 10^8.
RESPOSTA I:
A afirmação está correta, pois se realizarmos as operações teremos:
0,1 x 10^-6 = 0,0000001
0,99999 x 10^6 = 99999
Então, verifica-se que a afirmação está correta, sendo os números representados
respectivamente menor e maior.
RESPOSTA II:
A afirmação está correta, pois no arredondamento verificamos qual o número que é maior ou
igual a cinco e acrescentamos um ao algarismo anterior como no exemplo citado que de
123456 passou a 0,12346 x 10^6, e no truncamento somente retiramos um algarismo como no
exemplo citado 0,12345 x 10^6.
RESPOSTA III:
x= 4 e y= 452700,
x + y = 4 + 452700 = 452704 = 0,00452704 x 10^8
Portanto a afirmação está incorreta, o resultado de x + y = 0,00452704 x 10^8
Sendo diferente de 0,4 x 10^6
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8. PASSO 3
Resolver o desafio apresentado no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como
certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados
para posteriormente serem apresentados ao professor da disciplina.
Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.=0
Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.=0
Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.=0
Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.=0
Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.=0
Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.=0
RESPOSTA:
AFIRMAÇÃO I – CORRETA (0)
AFIRMAÇÃO II – CORRETA (0)
AFIRMAÇÃO III – CORRETA (0)
Seqüência dos números encontrados foram ( 0 0 0)
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9. CONCLUSÃO
Como finalização deste trabalho, e utilizando os métodos propostos de Calculo
numérico após as soluções dos desafios, associamos os números 0 e 1 para cada
desafio proposto e com isso chegamos ao resultado:
Etapa 1 : ( 1 1 1 0 1 )
Etapa 2: ( 0 0 0 )
Onde foram solicitados para a conclusão das duas etapas, podendo dizer que
utilizamos métodos já conhecidos e introduzindo nos desafios, e observamos a
utilização dos cálculos em nosso dia a dia.
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10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Calculo Numérico - Álgebra Linear – Jose Luiz Boldrini – 3ª edição
Calculo Numérico – Márcia A.G. Ruggiero – Ed. Makron Books
http://www.inf.ufrgs.br/~rlflupchinski/files/20112/NUMERICO/numerico-bortoli.pdf