aula 04 - inequações do segundo grau, octave, função exponencial

Matemática I

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS

FACULDADE DE ECONOMIA

Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos

CONTINUAÇÃO DO TÓPICO 4

A Função Quadrática(2º Grau)

Próxima Aula:

Inequações do segundo grau

uso do software Octave

- Introdução

- Operações básicas

- Plotar gráficos de funções

Algumas aplicações de funções polinomiais de grau superior a 2.

Função Exponencial

As inequações são expressões matemáticas que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que

<: menor que

≥: maior ou igual

≤: menor ou igual

≠: diferente

com {a, b, c} As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de

Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

4 – A Função Quadrática (2º Grau) 4.2 – Inequações do 2º grau

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.

O gráfico da equação será então:


Assim o conjunto solução será:

S = {x | -7/3 < x < -1}


Agora resolvendo o exemplo, a inequação é responder a pergunta: “existe x real tal que seja positiva”

A resposta a essa pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que pode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo, dependendo de a e de , podemos ter uma das respostas seguintes:


Vamos agora resolver em R a inequação

A melhor forma de se resolver tal equação e verificar o comportamento do sinal de cada uma das equações, vamos denominar a primeira parte de f(x)= e a segunda parte de

As raízes de f serão


Graficamente temos

O ponto de variação do sinal seria:


Já para as raízes de g teríamos:

O gráfico seria

E a variação do sinal seria


Representando no eixo real a variação de sinal de f e g e fg, temos:

Assim nosso conjunto solução seria:


Como ficaria a solução para a seguinte inequação:

Analisando os sinais do numerador e denominador temos:


2( ) 2 1f x x x

2( ) 2g x x x

Fazendo o quadro quociente, tem-se


2( ) 2 1f x x x

2( ) 2g x x x

( )

( )

f x

g g

FIM DO TÓPICO 4

4 – A Função Quadrática (2º Grau)

OCTAVE

OCTAVE

INÍCIO DO TÓPICO 5

A Função Exponencial

5 – A Função exponencial5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem

5.1.1) Definição: Chama-se função exponencial toda função f: R , tal que , em que a é uma constante real positiva e diferente de 1.

5.1.2) Domínio: Com relação ao domínio da função exponencial, pode-se afirmar que todos os valores reais.

5.1.3) Imagem: São todos os reais positivos não nulos.

5.1.4) Gráfico: Podemos demonstrar a função exponencial com os seguintes gráficos:

*R


Imagine as seguintes funções:

e

Graficamente temos:


Uma máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após sua compra, é dado por , em que é uma constante real. Se após 10 anos , a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

v(10) = v0 * 2 –0,2*10

12 000 = v0 * 2 –2

12 000 = v0 * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v0

v0 = 48.000


Crescimento e decrescimento da função exponencial

para qualquer função exponencial e qualquer número real x,

Se a > 0 e b >1, então a função f é crescente e é uma função de crescimento exponencial. A base b é o seu fator de crescimento.

Se a > 0 e b < l, então a função f é decrescente e é uma função de decaimento exponencial. A base b é o seu fator de decaimento.


Transformação das funções exponenciais

Partindo de uma dada função exponencial , a mesma pode ser modificada e apresentar o seguinte comportamento:

, , h a mudança está abaixo:

Visualizando no Octave teríamos:


A base da função dada pelo número e.

A função é uma função de crescimento exponencial. Sua configuração é semelhante as demais funções exponenciais observadas, a diferença é que sua base é dada pelo componente de Euler.

Taxa percentual constante de crescimento: Aqui temos um exemplo do que será aplicado na matemática financeira, trata-se de um exemplo dos juros compostos.

O exemplo dado é de uma população que está se modificando a uma taxa percentual constante r, onde r é a taxa percentual da mudança em forma decimal. A população então segue o padrão mostrado:


Nesse caso temos uma população expressa em uma função exponencial em função do tempo.


Exemplos:

Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares?

P(x) = P0 * (1 + i)t

P(x) = 500 * (1 + 0,03)20

P(x) = 500 * 1,0320

P(x) = 500 * 1,80

P(x) = 900

Podemos também simular tal situação no Octave

5 – A Função exponencial5.2 – Equações e Inequações exponenciais

As equações exponenciais envolvem termos em que a incógnita aparece no expoente.

A melhor forma de solucionar uma equação exponencial é colocar as equações com a mesma base, portanto

Exemplo

* 1R


Encontre algumas soluções:


Inequação exponencial: é toda inequação cuja incógnita se apresenta no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1.

Exemplo:

Resolução de uma inequação exponencial

Imagine que tenhamos a seguinte desigualdade:

Logo


Agora imagine a seguinte inequação:

Solução:

+1

Considerando que podemos formar a seguinte equação quadrática:


O gráfico da função será:


Assim teremos

logo (I)

logo (II)

Com isso o conjunto solução será:

Com isso,

INÍCIO DO TÓPICO 6

A Função Logarítmica

6 – A Função Logarítmica6.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem

6.1.1) Definição: Chama-se de função logarítmica toda função f: R tal que , com b e b1.

Também as funções logarítmicas são conhecidas como as funções inversas das exponenciais.

Podemos também verificar 5 importantes propriedades das funções logarítmicas:

i) e

ii) A função logarítmica é crescente em todo seu domínio se, e somente se, b>1.

*R*R

*R

iii) A função logarítmica é decrescente em todo o seu domínio se, e somente se, 0 < b < 1.

iv) Toda função logarítmica, isto é, , com b e b1, é bijetora.

v) A função logarítmica é inversa da função exponencial , b e b1.

*R

*R


Observe os gráficos de e


vi) Para números reais positivos a, b e x com , temos

Bem como:


Algumas mudanças gráficas:

As características básicas das funções logarítmicas são:

Domínio: ]0, +[Imagem: R

É contínua em ]0, + [É crescente em ]0, + [Não é não é limitada nem inferior nem superiormente

Não tem extremos locais

Não tem assíntotas horizontais

Assíntota vertical é em x = 0

Comportamento no extremo do domínio

Os gráficos no ln são as mais comumentemente utilizadas em economia.


Partindo sempre de uma função y=lnx ou y=logx, vejamos os seguintes comportamentos:

a)


( ) ln( )f x x

( ) ln( 2)g x x


b) h


( )h x

( ) ln( )f x x


c) z


( ) ln( )f x x

( )z x


d) k


( ) ln( )f x x

( )k x

Vamos elaborar a última função k(x) no octave:


Equação: Chama-se “equação logarítmica” aquela que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logarítmo.

Por exemplo, vamos resolver a equação:

Primeiramente temos que verificar a condição de existência, portanto:

O segundo passo é transformar todos os membros em logaritmos de mesma base, assim:Com isso teremos:

6 – A Função Logarítmica6.2 – Equação e Inequação Logarítmica

Como x=2 está dentro do intervalo x > -6, então satisfaz a condição de existência, portanto,

S={2}

Agora vejamos o exemplo:

Primeira coisa a se fazer é verificar a condição de existência:

> 0

> 0

Então nosso conjunto de condição de existência será


Logo;

CE -3 < x < 0

Assim, usando a propriedade logarítmica da subtração teremos:

Portanto, as duas raízes serão:

x= -1 ou x= 18/5

Porém, apenas -1 encontra-se dentro do intervalo de CE, logo

S={-1}


Como ficaria a equação:

A CE será: x > 0 e x1

Podemos afirmar que:

Resolvendo a equação teremos:

Porém, pela condição de existência, apenas o 3 faz parte da solução, portanto:

S={3}


Inequação Logarítmica: toda equação que apresenta a incógnita no logaritmado ou na base de um logaritmo.

Exemplos:

Vamos verificar então como fica a resolução para cada uma das equações acima:


Da primeira equação verificamos que: CE será x > 0 e x1

E que:

Porém devemos admitir algumas hipóteses:

1ª - Se 0 < x < 1, então o “sentido” (>) da desigualdade deve ser invertido (<) para os logaritmandos. Isto é:

Portanto, x < -3 e x > 3


Portanto, teremos a seguinte configuração:

Como observa-se acima, dada a CE e os possíveis intervalos do conjunto solução, temos para a 1ª hipótese um conjunto vazio

S1=2ª - Para a segundo hipótese, temos o valor de x > 1

Se a base do log é maior que 1 então a restrição não é invertida, portanto:

O que graficamente teremos


Portanto, -3 < x < 3

Assim o conjunto solução para a segunda hipótese será:


Logo S2 = {xR| 1 < x < 3}

Portanto.

S = S1 S2


Considerando agora

Como o log é na base ½, ou seja 0 < x < 1, então temos que inverter a restrição.

logo teremos:

Portanto, x -7 ou x 3


Logo, S={ x R| x 3}


Para a inequação


Preparando a equação teremos:

Verificando o sinal teremos:


Pelo estudo do sinal verificamos que -8 < x 1, porém temos a CE para x > -1/2, ou seja:

Assim, S =


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