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Matemรกtica atuarial
Anuidades Vitalรญcia (aula10)
Danilo Machado [email protected]
https://atuaria.github.io/portalhalley/
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Anuidades
Sucessรฃo de pagamentos (ou recebimentos) equidistantes (termos), efetuados poruma dada entidade a outrem.
IMEDIATAS
Os termos sรฃo exigรญveis a partir do primeiro perรญodo.
DIFERIDAS
Os termos sรฃo exigรญveis apรณs um diferimento
ANTECIPADA ( Quando os termos ocorrem no inรญcio de cada perรญodo)
๐๐ =๐ 1 + ๐ ๐ โ 1
๐ 1 + ๐ ๐โ1
POSTECIPADA ( Quando os termos ocorrem ao final de cada perรญodo)
๐๐ =๐ 1 + ๐ ๐ โ 1
๐ 1 + ๐ ๐
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Fluxo Antecipado
๐๐ =๐ 1 + ๐ ๐ โ 1
๐ 1 + ๐ ๐โ1=
๐ฃโ๐ โ 1 ๐ฃ
1 โ ๐ฃ ๐ฃโ๐+1
แท๐เดฅ๐| =๐ โ ๐๐
๐ โ ๐, ๐ โฅ ๐
Fluxo Postecipado
๐๐ =๐ 1 + ๐ ๐ โ 1
๐ 1 + ๐ ๐=๐ฃ ๐ฃโ๐ โ 1
1 โ ๐ฃ ๐ฃโ๐
๐เดฅ๐| = ๐๐ โ ๐๐
๐ โ ๐, ๐ โฅ ๐
๐น = ๐๐ =
๐
๐ + ๐๐ =
๐ โ ๐
๐
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Fluxo Antecipado
แท๐๐| = 1 + ๐ฃ + ๐ฃ2 + ๐ฃ3 +โฏ+ ๐ฃ๐โ1
แท๐ เดค๐| =1 โ ๐ฃ๐
1 โ ๐ฃ, ๐ โฅ 1
Fluxo Postecipado
๐๐| = ๐ฃ + ๐ฃ2 + ๐ฃ3 +โฏ+ ๐ฃ๐
๐ เดค๐| = ๐ฃ1 โ ๐ฃ๐
1 โ ๐ฃ, ๐ โฅ 1
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แท๐๐| = 1 + ๐ฃ + ๐ฃ2 + ๐ฃ3 +โฏ+ ๐ฃ๐โ1
๐๐โ1| = ๐ฃ + ๐ฃ2 + ๐ฃ3 +โฏ+ ๐ฃ๐โ1
แท๐๐| โ ๐๐โ๐| = ๐
Anuidades
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Estamos trabalhando com o valor presente de uma sรฉrie depagamentos.
De fato, as anuidades apresentadas sรฃo anuidades certas. Umasรฉrie de pagamentos sendo realizados ao longo do tempo
ร preciso o reconhecimento da โnaturezaโ aleatรณria do nรบmero determos.
Anuidades vitalรญcias imediatas
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No processo de compra de um produto atuarial ou de concessรฃode benefรญcio, existe risco.
A seguradora nรฃo sabe se vai receber todos os prรชmios do segurado (estepode morrer antes do perรญodo de cobertura).
A seguradora nรฃo sabe ao certo quanto irรก gastar com previdรชncia uma vezque uma pessoa se aposentou e entrou em gozo de benefรญcio.
Reconhecer a anuidade como um produto atuarial รฉ reconhecerque:
A seguradora (ou fundo de pensรฃo) nรฃo saberรก ao certo quando ๐ฅ irรกfalecer.
Anuidades vitalรญcias imediatas
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Anuidades (Rendas)
Anuidade รฉ um produto atuarial ligado a previdรชncia. Plano de previdรชncia: A ideia รฉ formar uma reserva financeira para lidar
com situaรงรตes futuras.
Anuidade (renda sobre a vida) Aposentadoria: pagamentos atรฉ o momento da morte
Cobertura: por perรญodo determinado.
Sรฃo interrompidos em caso de morte...
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Pagamentos Antecipados (Os pagamentos comeรงam no primeiro perรญodo).
Pagamentos Postecipados (Os pagamentos comeรงam no final de cada perรญodo).
Anuidades imediatas
๐ ๐ ๐ ๐
๐
๐๐
๐๐๐
๐๐๐
๐ ๐ ๐ ๐
๐๐
๐๐๐
๐๐๐
๐๐๐
Pagamentos
Pagamentos
Valor presente necessรกrio a cada pagamento
Valor presente necessรกrio a cada pagamento
๐ญ๐ = ๐๐
๐ + ๐
๐
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Seja ๐๐ฅ a variรกvel aleatรณria discreta associada ao maior inteirocontido na sobrevida de ๐ฅ logo:
Antecipada (benefรญcio unitรกrio)
แท๐๐๐ฅ+1| =1 โ ๐ฃ๐๐ฅ+1
1 โ ๐ฃ, ๐๐ฅ โฅ 0
Postecipada (benefรญcio unitรกrio)
๐๐๐ฅ| = ๐ฃ1 โ ๐ฃ๐๐ฅ
1 โ ๐ฃ, ๐๐ฅ โฅ 0
Anuidades vitalรญcias imediatas
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O valor atuarial de anuidade imediata vitalรญcia e com pagamentoANTECIPADO para uma pessoa de idade ๐ฅ corresponde ao valoresperado da anuidade imediata antecipada:
๐ธ แท๐๐๐ฅ+1| = แท๐๐ฅ
O valor atuarial de anuidade imediata vitalรญcia e com pagamentoPOSTECIPADO para uma pessoa de idade ๐ฅ corresponde ao valoresperado da anuidade imediata postecipada:
๐ธ ๐๐๐ฅ| = ๐๐ฅ
Anuidades vitalรญcias imediatas
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Anuidade vitalรญcia antecipada
๐ธ แท๐๐๐ฅ+1| =
๐ก=0
๐โ๐ฅ
แท๐๐ก+1| ๐ ๐๐ฅ = ๐ก
แท๐๐ฅ =
๐ก=0
๐โ๐ฅ
แท๐๐ก+1| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก
Anuidade vitalรญcia antecipada Postecipada
๐ธ ๐๐๐ฅ| =
๐ก=1
๐โ๐ฅ
๐ าง๐ก| ๐ ๐๐ฅ = ๐ก
๐๐ฅ =
๐ก=1
๐โ๐ฅ
๐ าง๐ก| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก
Anuidades vitalรญcias imediatas
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EXEMPLO 1
Considere uma pessoa de 40 anos que queira comprar umaanuidade que paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando atรกbua de mortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5%a.a., calcule o Prรชmio Puro รnico a ser pago pelo segurado paracomprar essa anuidade com pagamento imediato.
แท๐40 = ๐ธ แท๐๐+1| =
๐ก=0
๐โ๐ฅ
แท๐๐ก+1| ๐ก๐40๐40+๐ก = แท๐เดฅ1| 0๐40๐40 + แท๐ เดฅ2| ๐40๐41 + แท๐เดฅ3| 2๐40๐42 +โฏ
แท๐40 =1 โ ๐ฃ1
1 โ ๐ฃ 0๐40๐40 +1 โ ๐ฃ2
1 โ ๐ฃ๐40๐41 +
1 โ ๐ฃ3
1 โ ๐ฃ 2๐40๐42 +โฏ
แท๐40 = 17,67๐ข.๐.
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EXEMPLO 2
Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadeque paga 1 u.m. com pagamento Postecipado. Considerando a tรกbuade mortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a.,calcule o Prรชmio Puro รnico a ser pago pelo segurado para compraressa anuidade com pagamento imediato.
๐40 =
๐ก=1
๐โ๐ฅ
๐เดฅ๐ก| ๐ก๐40๐40+๐ก = ๐เดฅ1| ๐40๐41 + ๐ เดฅ2| 2 ๐40๐42 + ๐ เดฅ3| 3๐40๐43 +โฏ
๐40 =๐ฃ 1 โ ๐ฃ1
1 โ ๐ฃ๐40๐41 +
๐ฃ 1 โ ๐ฃ2
1 โ ๐ฃ 2๐40๐42 +๐ฃ 1 โ ๐ฃ3
1 โ ๐ฃ 3๐40๐43 +โฏ
๐40 = 16,67u.m.
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Outras alternativas para o calculo do V.P.A. serรฃo:
แท๐๐ฅ =
๐ก=0
๐โ๐ฅ
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ =
๐ก=0
๐โ๐ฅ
แท๐๐ก+1| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก
e
๐๐ฅ =
๐ก=1
๐โ๐ฅ
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ =
๐ก=1
๐โ๐ฅ
๐เดฅ๐ก| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก
Anuidades vitalรญcias imediatas
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Demonstraรงรฃo
แท๐๐ฅ =
๐ก=0
๐โ๐ฅ
แท๐๐ก+1| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก =
๐ก=0
๐โ๐ฅ1 โ ๐ฃ๐ก+1
1 โ ๐ฃ ๐ก๐๐ฅ(1 โ ๐๐ฅ+๐ก)
แท๐๐ฅ =
๐ก=0
๐โ๐ฅ1 โ ๐ฃ๐ก+1
1 โ ๐ฃ ๐ก๐๐ฅ โ ๐ก ๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก =
๐ก=0
๐โ๐ฅ1 โ ๐ฃ๐ก+1
1 โ ๐ฃ( ๐ก๐๐ฅ โ ๐ก+1๐๐ฅ)
แท๐๐ฅ = ๐ฃ0 0๐๐ฅ โ 1๐๐ฅ + ๐ฃ0 + ๐ฃ 1๐๐ฅ โ 2๐๐ฅ + ๐ฃ0 + ๐ฃ + ๐ฃ2 2๐๐ฅ โ 3๐๐ฅ +โฏ
Assim
แท๐๐ฅ =
๐ก=0
๐โ๐ฅ
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ
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EXEMPLO 3Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade que
paga 1 u.m. com pagamento antecipado. Considerando a tรกbua demortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule oPrรชmio Puro รnico a ser pago pelo segurado para comprar essa anuidade compagamento imediato.
แท๐40 =
๐ก=0
๐โ๐ฅ
๐ฃ๐ก ๐ก๐40 = 1 + ๐ฃ ๐40 + ๐ฃ2 2๐40 + ๐ฃ3 3๐40 +โฏ
แท๐40 = 1 + ๐ฃ ๐40 + ๐ฃ2 ๐40๐41 + ๐ฃ3๐40๐41๐42 +โฏ โ 17,67๐ข.๐.
Postecipado,
๐40 =
๐ก=1
๐โ๐ฅ
๐ฃ๐ก ๐ก๐40 = ๐ฃ ๐40 + ๐ฃ2 2๐40 + ๐ฃ3 3๐40 +โฏ
๐40 = ๐ฃ ๐40 + ๐ฃ2 ๐40๐41 + ๐ฃ3๐40๐41๐42 +โฏ โ 16,67๐ข.๐.
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แท๐๐ฅ = ๐๐ฅ + 1
Anuidades vitalรญcias imediatas
Valor atuarial de uma anuidade vitalรญcia
antecipada.
Valor atuarial de uma anuidade vitalรญcia
Postecipada.
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Entรฃo, para o caso discreto, o V.P.A. serรก dado por:
Anuidade Antecipada ( Variรกvel aleatรณria discreta)
แท๐๐ฅ =
๐ก=0
๐โ๐ฅ
๐ก๐ธ๐ฅ =
๐ก=0
๐โ๐ฅ
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ =
๐ก=0
๐โ๐ฅ
แท๐๐ก+1| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก =
๐ก=0
๐โ๐ฅ1 โ ๐ฃ๐ก+1
1 โ ๐ฃ ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก
Anuidade Postecipada ( Variรกvel aleatรณria discreta)
๐๐ฅ =
๐ก=1
๐โ๐ฅ
๐ก๐ธ๐ฅ =
๐ก=1
๐โ๐ฅ
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ =
๐ก=1
๐โ๐ฅ
๐เดฅ๐ก| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก =
๐ก=1
๐โ๐ฅ
๐ฃ1 โ ๐ฃ๐ก
1 โ ๐ฃ ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก
Anuidades vitalรญcias imediatas
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Aula 11 - Anuidade Imediata
Danilo Machado [email protected]
Leonardo Henrique [email protected]
https://atuaria.github.io/portalhalley
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No caso de anuidades temporรกrias, essas sรฃo vรกlidas enquanto apessoa de idade ๐ฅ for viva atรฉ no mรกximo ๐ anos. Entรฃo, para o caso discreto, o V.P.A. de anuidades temporรกrias temos:
VPA de uma anuidade antecipada.
๐ = เตแท๐๐+1| 0 โค ๐ < ๐
แท๐๐| ๐ โฅ ๐
แท๐๐ฅ:๐| =
๐ก=0
๐โ1
แท๐๐ก+1| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก + แท๐๐| ๐๐๐ฅ
Anuidades temporรกrias imediatas
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๐ = เตแท๐๐+1| ๐ ๐ 0 < ๐ < ๐
แท๐๐| ๐ ๐ ๐ โฅ ๐
๐ธ ๐ = แท๐๐ฅ:๐| =
๐ก=0
๐โ1
แท๐๐ก+1| ๐๐ฅ(๐ = ๐ก) +
๐ก=๐
โ
แท๐๐| ๐๐ฅ(๐ = ๐ก)
แท๐๐ฅ:๐| =
๐ก=0
๐โ1
แท๐๐ก+1| ๐๐ฅ(๐ = ๐ก) + แท๐๐|
๐ก=๐
โ
๐๐ฅ(๐ = ๐ก)
แท๐๐ฅ:๐| =
๐ก=0
๐โ1
แท๐๐ก+1| ๐๐ฅ(๐ = ๐ก) + แท๐๐|๐๐ฅ(๐ โฅ ๐)
แท๐๐ฅ:๐| =
๐ก=0
๐โ1
แท๐๐ก+1| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก + แท๐๐| ๐๐๐ฅ
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VPA de uma anuidade Postecipada.
๐ = เต๐๐| 0 โค ๐ < ๐
๐๐| ๐ โฅ ๐
๐๐ฅ:๐| =
๐ก=1
๐โ1
๐เดฅ๐ก| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก + ๐๐| ๐๐๐ฅ
Anuidades temporรกrias imediatas
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EXEMPLO 4Uma pessoa de 25 anos que queira comprar uma anuidade
que paga 1 u.m. com pagamento antecipado por um perรญodo de40 anos. Considerando a tรกbua de mortalidade AT-2000 femininae uma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prรชmio Puro รnico a serpago pelo segurado para comprar essa anuidade com pagamento
imediato.
แท๐25:40| =
๐ก=0
391 โ ๐ฃ๐ก+1
1 โ ๐ฃ ๐ก๐25๐25+๐ก +1 โ ๐ฃ40
1 โ ๐ฃ 40๐25
แท๐25:40| = 1,0584 + 16,78173 = 17,8402
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VPA de uma anuidade antecipada.
๐ = เตแท๐๐+1| 0 โค ๐ < ๐
แท๐๐| ๐ โฅ ๐แท๐๐ฅ:๐| = ฯ๐ก=0
๐โ1 แท๐๐ก+1| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก + แท๐๐| ๐๐๐ฅ
แท๐๐ฅ:๐| = E Y =
๐ก=0
๐โ1
๐ก๐ธ๐ฅ =
๐ก=0
๐โ1
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ
VPA de uma anuidade Postecipada.
Y = เต๐๐| 0 โค ๐ < ๐
๐๐| ๐ โฅ ๐๐๐ฅ:๐| = ฯ๐ก=1
๐โ1๐เดฅ๐ก| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก + ๐๐| ๐๐๐ฅ
๐๐:๐| = ๐ฌ ๐ =
๐=๐
๐
๐๐ฌ๐ =
๐=๐
๐
๐๐ ๐๐๐
Anuidades temporรกrias imediatas- Tempo discreto
![Page 26: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/26.jpg)
EXEMPLO 5:Seja uma pessoa de 30 anos que queira comprar uma
anuidade que paga 1 u.m. com pagamento antecipado por umperรญodo de 4 anos. Considerando a tรกbua de mortalidade dada euma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prรชmio Puro รnico a serpago pelo segurado para comprar essa anuidade com pagamentoimediato.Idade ๐๐ ๐๐ ๐๐ฅ
25 0,00077 0,99923 100000
26 0,00081 0,99919 99923
27 0,00085 0,99915 99842
28 0,00090 0,99910 99757
29 0,00095 0,99905 99667
30 0,00100 0,99900 99572
31 0,00107 0,99893 99472
32 0,00114 0,99886 99365
33 0,00121 0,99879 99251
34 0,00130 0,99870 99131
35 0,00139 0,99861 99002
แท๐30: เดฅ4| =
๐ก=0
4โ1
๐๐ฌ๐๐ =
๐ก=0
3
๐๐ ๐๐๐๐
แท๐30: เดฅ4| = 1 + ๐ฃ๐30 + ๐ฃ2 2๐30 + ๐ฃ3 3๐30
แท๐30: เดฅ4| = 1 +1
1,05๐30 +
1
1,05
2
๐30๐31 +1
1,05
3
๐30๐31๐32
๐30๐31๐32 =๐33๐30
แท๐30: เดฅ4| = 3,71
![Page 27: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/27.jpg)
EXEMPLO 6:Seja uma pessoa de 30 anos que queira comprar uma
anuidade que paga 1 u.m. com pagamento postecipado por umperรญodo de 4 anos. Considerando a tรกbua de mortalidade dada euma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prรชmio Puro รnico a serpago pelo segurado para comprar essa anuidade com pagamentoimediato.Idade ๐๐ ๐๐ ๐๐ฅ
25 0,00077 0,99923 100000
26 0,00081 0,99919 99923
27 0,00085 0,99915 99842
28 0,00090 0,99910 99757
29 0,00095 0,99905 99667
30 0,00100 0,99900 99572
31 0,00107 0,99893 99472
32 0,00114 0,99886 99365
33 0,00121 0,99879 99251
34 0,00130 0,99870 99131
35 0,00139 0,99861 99002
๐30: เดฅ4| =
๐ก=1
4
๐ก๐ธ30 =
๐ก=1
4
๐ฃ๐ก ๐ก๐30
๐30: เดฅ4| = ๐ฃ๐30 + ๐ฃ2 2๐30 + ๐ฃ3 3๐30 + ๐ฃ4 4๐30
๐30: เดฅ4| =1
1,05๐30 +
1
1,05
2
๐30๐31 +1
1,05
3
๐30๐31๐32 +
1
1,05
4
๐30๐31๐32๐33
๐30: เดฅ4| = 3,52
![Page 28: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/28.jpg)
EXEMPLO 7:Seja uma pessoa de 25 anos que queira comprar uma
anuidade que paga 1 u.m. com pagamento antecipado por umperรญodo de 5 anos. Considerando a tรกbua de mortalidade dada euma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prรชmio Puro รnico a serpago pelo segurado para comprar essa anuidade com pagamentoimediato.Idade ๐๐ ๐๐ ๐๐ฅ
25 0,00077 0,99923 100000
26 0,00081 0,99919 99923
27 0,00085 0,99915 99842
28 0,00090 0,99910 99757
29 0,00095 0,99905 99667
30 0,00100 0,99900 99572
31 0,00107 0,99893 99472
32 0,00114 0,99886 99365
33 0,00121 0,99879 99251
34 0,00130 0,99870 99131
35 0,00139 0,99861 99002
แท๐25: เดฅ5| =
๐ก=0
5โ1
๐ก๐ธ25 =
๐ก=0
4
๐ฃ๐ก ๐ก๐25
แท๐25: เดฅ5| = 1 + ๐ฃ๐25 + ๐ฃ2 2๐25 + ๐ฃ3 3๐25 + ๐ฃ4 4๐25
แท๐25: เดฅ5| = 1 +1
1,05๐25 +
1
1,05
2 ๐27
๐25+
1
1,05
3 ๐28
๐25+
1
1,05
4 ๐29
๐25
แท๐25: เดฅ5| = 4,53
![Page 29: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/29.jpg)
EXEMPLO 8:Seja uma pessoa de 25 anos que queira comprar uma
anuidade que paga 1 u.m. com pagamento postecipado por umperรญodo de 4 anos. Considerando a tรกbua de mortalidade dada euma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prรชmio Puro รnico a serpago pelo segurado para comprar essa anuidade com pagamentoimediato.Idade ๐๐ ๐๐ ๐๐ฅ
25 0,00077 0,99923 100000
26 0,00081 0,99919 99923
27 0,00085 0,99915 99842
28 0,00090 0,99910 99757
29 0,00095 0,99905 99667
30 0,00100 0,99900 99572
31 0,00107 0,99893 99472
32 0,00114 0,99886 99365
33 0,00121 0,99879 99251
34 0,00130 0,99870 99131
35 0,00139 0,99861 99002
๐25: เดฅ4| =
๐ก=1
4
๐๐ฌ๐๐ =
๐ก=0
4
๐๐ ๐๐๐๐
๐25: เดฅ4| = ๐ฃ๐25 + ๐ฃ2 2๐25 + ๐ฃ3 3๐25 + ๐ฃ4 4๐25
๐25: เดฅ4| =1
1,05๐25 +
1
1,05
2๐27๐25
+1
1,05
3๐28๐25
+1
1,05
4๐29๐25
๐25: เดฅ4| = 3,53
![Page 30: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/30.jpg)
แท๐๐:๐| = ๐ + ๐๐๐ + ๐๐ ๐๐๐ + ๐๐ ๐๐๐ + ๐๐ ๐๐๐ +โฏ+ ๐๐โ๐ ๐โ๐๐๐
๐๐:๐โ๐| = ๐๐๐ + ๐๐ ๐๐๐ + ๐๐ ๐๐๐ + ๐๐ ๐๐๐ +โฏ+ ๐๐โ๐ ๐โ๐๐๐
แท๐๐:๐| = ๐ + ๐๐:๐โ๐|
แท๐๐ = ๐ + ๐๐
Anuidades temporรกrias imediatas
![Page 31: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/31.jpg)
VPA de uma anuidade antecipada.
๐ = เตแท๐๐+1| 0 โค ๐ < ๐
แท๐๐| ๐ โฅ ๐
แท๐๐ฅ:๐| = E Z =
๐ก=0
๐โ1
๐ก๐ธ๐ฅ =
๐ก=0
๐โ1
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ
แท๐๐ฅ:๐| =
๐ก=0
๐โ1
แท๐๐ก+1| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก + แท๐๐| ๐๐๐ฅ
Anuidades temporรกrias imediatas- Tempo discreto
VPA de uma anuidade Postecipada.
๐ = เต๐๐| 0 โค ๐ < ๐
๐๐| ๐ โฅ ๐
๐๐ฅ:๐| = ๐ธ ๐ =
๐ก=1
๐
๐ก๐ธ๐ฅ =
๐ก=1
๐
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ
๐๐ฅ:๐| =
๐ก=1
๐โ1
๐เดฅ๐ก| ๐ก๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ก + ๐๐| ๐๐๐ฅ
แท๐๐:๐| = ๐ + ๐๐:๐โ๐|
![Page 32: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/32.jpg)
Aula 12
Danilo Machado [email protected]
Leonardo Henrique [email protected]
https://atuaria.github.io/portalhalley
![Page 33: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/33.jpg)
Fluxo Antecipado
๐| แท๐๐| = ๐ฃ๐ + ๐ฃ๐+1 + ๐ฃ๐+2 +โฏ+ ๐ฃ๐+๐โ1
๐| แท๐๐| = ๐๐๐ โ ๐๐
๐ โ ๐Fluxo Postecipado
๐|๐๐| = ๐ฃ๐+1 + ๐ฃ๐+2 + ๐ฃ๐+3 +โฏ+ ๐ฃ๐+๐
๐|๐๐| = ๐๐๐๐ โ ๐๐
๐ โ ๐
![Page 34: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/34.jpg)
Fluxo Antecipado
๐| แท๐๐| = ๐ฃ๐1โ๐ฃ๐
1โ๐ฃ= ๐ฃ๐ แท๐๐| ๐ = 0 โ แท๐ เดค๐| =
1โ๐ฃ๐
1โ๐ฃ
Fluxo Postecipado
๐|๐๐| = ๐ฃ๐+1 1โ๐ฃ๐
1โ๐ฃ= ๐ฃ๐๐๐| ๐ = 0 โ ๐ เดค๐| = ๐ฃ
1โ๐ฃ๐
1โ๐ฃ
๐+๐| แท๐๐| = ๐|๐๐|
![Page 35: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/35.jpg)
Anuidades
![Page 36: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/36.jpg)
FLUXO ANTECIPADO
๐| แท๐๐| = ๐ฃ๐1 โ ๐ฃ๐
1 โ ๐ฃ= ๐ฃ๐ แท๐๐|
๐| แท๐๐| = แท๐๐+๐| โ แท๐๐|
FLUXO POSTECIPADO
๐|๐๐| = ๐ฃ๐+11 โ ๐ฃ๐
1 โ ๐ฃ= ๐ฃ๐๐๐|
๐|๐๐| = ๐๐+๐| โ ๐๐|
![Page 37: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/37.jpg)
EXEMPLO 9
Uma loja de departamentos estรก vendendo um conjunto decadeiras. A forma de pagamento proposta pela loja consiste 8prestaรงรตes de ๐ $ 6000,00 e sรณ comece a pagar a partir do inรญcio do4ยฐ ano apรณs adquirir o produto, considerando uma taxa de juros de1,25% a.a., em regime de juros compostos. Determine o quantocustaria essas cadeiras caso fosse pago a vista.
![Page 38: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/38.jpg)
SOLUรรO
4| แท๐เดฅ8| = ๐ฃ41 โ ๐ฃ8
1 โ ๐ฃโ 7,29127
Assim o valor das cadeiras a vista รฉ dado por:
6000 ร 4| แท๐เดฅ8| = ๐ $43747,62
![Page 39: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/39.jpg)
SOLUรรO ( Caso Postecipado)
4|๐เดฅ8| = ๐ฃ51 โ ๐ฃ8
1 โ ๐ฃโ 7,201254
6000 ร 4| ๐เดฅ8| = ๐ $43207,52
![Page 40: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/40.jpg)
Na prรกtica, planos de aposentadoria sรฃo comprado anos antes doinรญcio dos recebimentos dos benefรญcios.
Anuidades diferidas sรฃo pagas passado um determinado prazo, diferentementedas anuidades imediatas.
Caso o participante faleรงa antes do inรญcio do recebimento da anuidade (antesde aposentadoria) a seguradora nรฃo terรก que pagar nada ao segurado(considerando que nรฃo existe reversรฃo para pensรฃo).
Anuidades Diferidas
![Page 41: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/41.jpg)
๐ธ ๐| แท๐๐๐ฅ+1โ๐| =
๐ก=๐
๐โ๐ฅโ๐
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ =
๐ก=0
๐โ๐ฅโ๐
๐ฃ๐ก+๐ ๐ก+๐๐๐ฅ
Lembrando que ๐ก+๐๐๐ฅ = ๐ ๐๐ฅ ร ๐ก ๐๐ฅ+๐
๐ธ ๐| แท๐๐๐ฅ+1โ๐| =
๐ก=0
๐โ๐ฅโ๐
๐ฃ๐ก๐ฃ๐ ๐๐๐ฅ ๐ก๐๐+๐ฅ
๐ธ ๐| แท๐๐๐ฅ+1โ๐| = ๐ฃ๐ ๐๐๐ฅ
๐ก=0
๐โ๐ฅโ๐
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐+๐ฅ
๐ธ ๐| แท๐๐๐ฅ+1โ๐| = ๐ ๐ธ๐ฅ แท๐๐ฅ+๐
๐| แท๐๐ฅ = ๐ ๐ธ๐ฅ แท๐๐ฅ+๐
Anuidades vitalรญcias Diferidas, Antecipado
![Page 42: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/42.jpg)
๐ธ ๐|๐๐๐ฅโ๐|=
๐ก=๐+1
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ =
๐ก=1
๐ฃ๐ก+๐ ๐ก+๐๐๐ฅ
Lembrando que ๐ก+๐๐๐ฅ = ๐ ๐๐ฅ ร ๐ก ๐๐ฅ+๐
๐ธ ๐|๐๐๐ฅโ๐|=
๐ก=1
๐ฃ๐ก๐ฃ๐ ๐๐๐ฅ ๐ก๐๐+๐ฅ
๐ธ ๐|๐๐๐ฅโ๐|= ๐ฃ๐ ๐๐๐ฅ
๐ก=1
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐+๐ฅ
๐ธ ๐|๐๐๐ฅโ๐|= ๐ ๐ธ๐ฅ๐๐ฅ+๐
๐|๐๐ฅ = ๐ ๐ธ๐ฅ๐๐ฅ+๐
Anuidades vitalรญcias Diferidas, Postecipado
![Page 43: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/43.jpg)
FLUXO ANTECIPADO
๐ = แ๐| แท๐๐๐ฅ+1โ๐|; ๐๐ฅ โฅ ๐
0 ; ๐. ๐.
๐| แท๐๐ฅ =
๐ก=๐
๐โ๐ฅโ๐
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ
๐| แท๐๐ฅ = ๐ ๐ธ๐ฅ แท๐๐ฅ+๐
๐| แท๐๐ฅ =
๐ก=๐
๐โ๐ฅโ๐
๐ฃ๐1 โ ๐ฃ๐กโ๐+1
1 โ ๐ฃ ๐ก๐๐ฅ ๐๐ฅ+๐ก
๐| แท๐๐ฅ = แท๐๐ฅ โ แท๐๐ฅ: เดฅ๐|
FLUXO POSTECIPADO
๐ = แ๐|๐๐๐ฅโ๐|; ๐๐ฅ โฅ ๐
0 ; ๐. ๐.
๐|๐๐ฅ =
๐ก=๐+1
๐โ๐ฅโ๐
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ
๐|๐๐ฅ = ๐ ๐ธ๐ฅ๐๐ฅ+๐
๐|๐๐ฅ =
๐ก=๐
๐โ๐ฅโ๐
๐ฃ๐+11 โ ๐ฃ๐กโ๐
1 โ ๐ฃ ๐ก๐๐ฅ ๐๐ฅ+๐ก
๐|๐๐ฅ = ๐๐ฅ โ ๐๐ฅ: เดฅ๐|
![Page 44: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/44.jpg)
EXEMPLO 10
Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadevitalรญcia diferida por 20 anos, que paga 1 u.m. com pagamentoantecipado. Considerando a tรกbua de mortalidade AT-2000 masculina euma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prรชmio Puro รnico a ser pagopelo segurado para comprar essa anuidade com pagamento imediato.
20| แท๐40 =
๐ก=20
๐โ60
๐ฃ๐ก ๐ก๐40
20| แท๐40 = 20๐ธ40 แท๐60 = ๐ฃ20 20๐40
๐ก=0
๐=60
๐ฃ๐ก ๐ก๐60
![Page 45: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/45.jpg)
EXEMPLO 10
Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade vitalรญciadiferida por 19 anos, que paga 1 u.m. com pagamento Postecipado. Considerando atรกbua de mortalidade AT-2000 masculina e uma taxa de juros de 5% a.a., calcule oPrรชmio Puro รnico a ser pago pelo segurado para comprar essa anuidade compagamento diferido.
19|๐40 = ๐ฃ19 19๐40
๐ก=1
๐ฃ๐ก ๐ก๐59
19|๐40 = ๐ฃ19 19๐40
๐ก=0
๐ฃ๐ก+1 ๐ก+1๐59 = ๐ฃ19 19๐40
๐ก=0
๐ฃ๐ก๐ฃ1 1๐59 ๐ก๐59+1
19|๐40 = ๐ฃ19 19๐40๐ฃ11๐59
๐ก=0
๐ฃ๐ก ๐ก๐59+1 = ๐ฃ20 19๐40 1๐40+19
๐ก=0
๐ฃ๐ก ๐ก๐59+1
19|๐40 = ๐ฃ20 20๐40
๐ก=0
๐ฃ๐ก ๐ก๐59+1 = 20| แท๐40
![Page 46: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/46.jpg)
EXEMPLO 10
Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidadevitalรญcia diferida por 19 anos, que paga 1 u.m. com pagamentoPostecipado. Considerando a tรกbua de mortalidade AT-2000 masculinae uma taxa de juros de 5% a.a., calcule o Prรชmio Puro รnico a ser pagopelo segurado para comprar essa anuidade com pagamento diferido.
19|๐40 =
๐ก=19+1
๐ฃ๐ก ๐ก๐40 =
๐ก=20
๐ฃ๐ก ๐ก๐40 = 20| แท๐40
![Page 47: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/47.jpg)
VPA de uma anuidade temporรกria por ๐ anos, diferida por ๐ anoscom pagamento antecipado, b = 1 ๐ข.๐.
๐| แท๐๐ฅ:๐| = ๐๐ธ๐ฅ แท๐๐ฅ+๐:๐| = ๐ ๐ธ๐ฅ
๐ก=0
๐โ1
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ+๐
VPA de uma anuidade temporรกria por ๐ anos, diferida por ๐ anoscom pagamento postecipado, b = 1 ๐ข.๐.
๐|๐๐ฅ: เดค๐| = ๐ ๐ธ๐ฅ๐๐ฅ+๐: เดค๐| = ๐ ๐ธ๐ฅ
๐ก=1
๐
๐ฃ๐ก ๐ก๐๐ฅ+๐
Anuidades Diferidas Temporรกrias
![Page 48: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/48.jpg)
EXEMPLO 11Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar uma anuidade
que paga 1 u.m. no perรญodo de 3 anos. No entanto essa anuidade รฉdiferida por 3 anos. Considerando a tรกbua de mortalidade dada e umataxa de juros de 5% a.a., Calcule o Prรชmio Puro รnico a ser pago pelosegurado para comprar essa anuidade com pagamento diferido,antecipado e postecipado.
![Page 49: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/49.jpg)
SOLUรรO Pagamento Antecipado , ๐ = 1 ๐ข.๐, ๐ = 3, ๐ = 3, ๐ = 0,05
3| แท๐40: เดฅ3| = ๐ ๐ธ๐ฅ แท๐๐ฅ+๐:๐|
3| แท๐40: เดฅ3| = 3๐ธ40 แท๐43: เดฅ3|
3| แท๐40: เดฅ3| = ๐ฃ3 3๐40
๐ก=0
3โ1
๐ฃ๐ก ๐ก๐43
3| แท๐40: เดฅ3| = ๐ฃ3 3๐40 1 + ๐ฃ ๐43 + ๐ฃ2 2๐43
3| แท๐40: เดฅ3| =1
1,05
3
๐40๐41๐42 1 +1
1,05๐43 +
1
1,05
2
๐43๐44
3| แท๐40: เดฅ3| = 2,457604
![Page 50: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/50.jpg)
SOLUรรO Pagamento Postecipado, ๐ = 1 ๐ข.๐, ๐ = 3, ๐ = 3, ๐ = 0,05
๐|๐๐ฅ: เดค๐| = ๐ ๐ธ๐ฅ๐๐ฅ+๐: เดค๐|
3|๐40: เดฅ3| = 3๐ธ40๐43:เดฅ3|
3|๐40: เดฅ3| = ๐ฃ3 3๐40
๐ก=1
3
๐ฃ๐ก ๐ก๐43
3|๐40: เดฅ3| = ๐ฃ3 3๐40 ๐ฃ ๐43 + ๐ฃ2 2๐43 + ๐ฃ3 3๐43
3|๐40: เดฅ3| =1
1,05
3
๐40๐41๐421
1,05๐43 +
1
1,05
2
๐43๐44 +1
1,05
3
๐43๐44๐45
3|๐40: เดฅ3| = 0,8591533 ร 2,71444
3|๐40: เดฅ3| = 2,33212
![Page 51: Aula 12ย ยท Fluxo Antecipado | แท |= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ = แท | =1โ แท เดค|= 1โ๐ฃ๐ 1โ๐ฃ Fluxo Postecipado | |= +1 1โ๐ฃ ๐ EXEMPLO 9 Uma loja de departamentos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022063012/5fc838844e6d487ce34304ff/html5/thumbnails/51.jpg)
EXEMPLO 12 : Mostre um exemplo que verifica-se a relaรงรฃo:๐+1| แท๐๐ฅ: เดค๐| = ๐| ๐๐ฅ: เดค๐|