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Aula 12
Regra da Cadeia
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Introdução
Em muitas situações da vida real, a taxa de variação de uma
grandeza pode ser expressa em termos do produto de outras
taxas de variação.
Suponha, por exemplo, que um automóvel esteja viajando a 80
km/h e o consumo de gasolina a essa velocidade seja de 0,1
L/km. Como faríamos para calcular o consumo de gasolina em
litros por hora? Veremos que basta multiplicar as duas taxas:
[ 0,1 L/km].[80 km/h] = 8 L/h.
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Suponha que você precise derivar a função
As fórmulas de derivação que temos até agora não
nos permite calcular a derivada de F. Porém, se
observarmos melhor, veremos que F pode ser
escrita como a composição de duas outras funções,
a saber:
2 1F x x
2 1
f u u
g x x
2 1f g x x F x
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A Regra da Cadeia
Se for derivável em e for derivável em , então a função
composta , definida por será derivável
em e será dada pelo produto .
g x f g x
F f g F x f g x
x F F x f g x g x
Na notação de Leibniz, se e forem funções
deriváveis, então
y f u u g x
dy dy du
dx du dx
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Esquema Prático
depende dependey u x dy
du
du
dx
dy dy du
dx du dx
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Exemplo 1
2Encontre se 1.F x F x x
2Façamos . Assim, temos 1, e:F x y y x
Solução
2; 1y u u x
Pela Regra da Cadeia: dy dy du
dx du dx
1Como: e 2 , teremos:
2
dy dux
du dxu
12
2
dy xx
dx u u
2
Substituindo nesta última igualdade o valor de ,
teremos a resposta final: .1
u
dy x
dx x
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Exemplo 2
2 2
Derive:
(a) ( )y sen x b y sen x
Solução
2(a) y sen x 2,y sen u u x dy dy du
dx du dx
Como : cos 2 , temos:dy du
u e xdu dx
cos 2dy
u xdx
2Portanto : 2 cosdy
x xdx
2(b) y sen x 2 ,y u u senx dy dy du
dx du dx
Como : 2 cos , temos:dy du
u e xdu dx
2 cosdy
u xdx
Portanto : 2 cosdy
senx xdx
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A Regra da Potência Generalizada
1
Se for qualquer número real e for derivável, então:
n n
n u g x
d duu n u
dx dx
Exemplo 3
1003Derive: 1y x
100 3Solução: , 1y u u x dy dy du
dx du dx 99 2100 3u x
992 3300 1 .x x
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Exemplo 4
3 2
1Encontre se = .
1f x f x
x x
2
3
1
3
1Solução: , 1
=
y u x xu
y u
dy dy du
dx du dx
4
312 1
3u x
3 4
12 1
3x
u
423
2 1.
3 1
x
x x
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Exemplo 5
9
2Encontre a derivada da função .
2 1
tg t
t
9 2: ,
2 1
tg u u u
t
Solução
dg dg du
dt du dt
9 89dg
i u udu
2
2 2
2 2 1 2 2 12
2 1 2 1
1 2 1 2 2 5.
2 1 2 1
t t t tdu tidt t t
t t
t t
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8
82 2
245
5 2 19
2 1 2 1
tdg t
udt t t
8
8 2
2 145
2 1 2 1
t
t t
8
10
45 2.
2 1
t
t
89dg
udu
2
5.
2 1
du
dt t
Exemplo 5
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Exemplo 6
45 3Derive 2 1 1 .y x x x
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Exemplo 7
Derive .senxy e
: ,uy e u senx Soluçãody dy du
dx du dx
cosue x
cossenxe x
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Regra da cadeia
A razão para o nome “Regra da Cadeia” fica
evidente se fizermos uma cadeia maior
adicionando mais um elo.
Suponha que:
Onde f, g e h são funções diferenciáveis. Então,
para calcularmos dy/dt, fazemos:
, ey f u u g x x h t
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dy du dx
du dx dt
y u x t
dy dy du dx
dt du dx dt
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Exemplo 8 Se cos , então:f x sen tgx
Fazendo t tgx cos , onde .y sen t t tgx
Fazendo cosu t , onde cos e .y sen u u t t tgx
Assim, temos:
dy du dt
du dt dx
y u t x dy dy du dt
dx du dt dx
2
Como:
cos , , secdy du dt
u sen t xdu dt dx
2cos sec .dy
u sen t xdx
2Em termos somente de : cos cos sec .dy
x tgx sen tgx xdx
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Exemplo 9 sec 3Derive y e
Fazendo 3t sec , onde 3 .ty e t
Fazendo secx t , onde sec e 3 .xy e x t t
Assim, temos:
dy dx dt
dx dt d
y x t
dy dy dx dt
d dx dt d
Como:
, sec , 3xdy dx dte t tg t
dx dt d sec 3xdy
e t tg td
secEm termos somente de : 3 sec 3 3 .dy
e tgdx
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Derivada de
( )
Sejam , : , intervalo, ( ) 0, .
Considere a função
( ) .g x
f g I R R I f x x I
y f x
( )( )g xf x
Então
ln ( ) ln ( )y g x f x
( ) ln ( )
e portanto
.g x f xy e
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derivada da função
( ) ( ) ln ( )
Assim
( ) ( ) ln ( )g x g x f xf x g x f x e
( )( )g xf x
( )ln ( ) ( ) ln ( )g xf xe g x f x
( )( ) ( ) ln ( )g xf x g x f x
( ) ln ( )g x f xy e
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Exemplo 10
Seja .xy x
Então ( ) e ( ) .f x x g x x
( ) ( )Portanto ( ) ( ) ( ) ln ( )g x g xf x f x g x f x
lnxx x x
1 lnxx x
lnx xx x
x
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Exemplo 11
2Seja 8 log .xy x
2
lnEntão ( ) 8, ( ) e ( ) log .
ln 2
xf x g x x h x x
( ) ( )
Portanto
( ) ( ) ( ) ln ( )g x g xf x f x g x f x
8 ln8 8 ln8x xx 1
e .ln 2
h'(x)x
1' 8 ln8
ln 2xy
x