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Aula 19
Problemas de Otimização
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Introdução
Nesta aula, apresentaremos problemas de
maximização e minimização aplicados à
diversas áreas. O primeiro passo para
resolver este tipo de problema é determinar,
de forma precisa, a função a ser otimizada.
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Introdução
Em geral, obtemos uma expressão de duas
variáveis, mas usando as condições
adicionais do problema,esta expressão pode
ser reescrita como uma função de uma
variável derivável e assim poderemos
aplicar os teoremas relacionados a teoria
máximo e mínimos de funções.
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Aplicação 1
De uma folha retangular de metal de 30cm
de largura deve-se fazer uma calha dobrando
as bordas perpendicularmente à folha.
Quantos centímetros devem ser dobrados de
cada lado de modo que a calha tenha
capacidade máxima?
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Solução da Aplicação 1
30 cm
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Solução da Aplicação 1
30 2 cmxxx
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Solução da Aplicação 1
30 2 cmx
x
x
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Solução da Aplicação 1
30 2 cmx
x
x
A capacidade da calha
será máxima quando
a área do retângulo de
lados e 30 2 cm
for máximo.
x x
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Solução da Aplicação 1
30 2 cmx
xVamos denotar a função
área doretângulo por
30 2f x x x
230 2f x x x
Com 0 30,odomíniode édefinido por 0,15x f
2Diferenciando 30 2 , temos:f x x x
30 4f x x
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Solução da Aplicação 1
O ponto crítico 7,5 é dado pela solução da equação
30 4 0.
x
f x x
30 4f x x
Como 4 e 7,5 4 0, teremos que
7,5 é ponto de máximo local de .
f x f
x f
Segue-se que devem ser dobrados 7,5 cm de cada lado
para obtermos a capacidade máxima da calha.
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Solução da Aplicação 1
15,0cm
7,5cm
7,5cm
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Observação
Como o número de tipos de problemas de
otimização é ilimitado, é difícil estabelecer
regras específicas para obter as respectivas
soluções. Todavia, podemos desenvolver
uma estratégia geral para obter tais
problemas. Como se segue:
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Diretrizes
1.Ler cuidadosamente o problema várias
vezes, meditando sobre os fatos
apresentados e as quantidades
desconhecidas a serem determinadas.
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Diretrizes
2.Se possível, esboçar um diagrama e
rotulá-lo adequadamente,introduzindo
variáveis para representar as quantidades
desconhecidas. Expressões tais como o que,
ache, quanto, a que distância ou quanto
devem alertá-lo para as quantidades
desconhecidas.
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Diretrizes
3.Registrar os fatos conhecidos juntamente
com quaisquer relações envolvido as
variáveis.
4.Determinar qual variável deve ser
maximizada ou minimizada, e expressar
esta variável como função de uma das
outras variáveis.
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Diretrizes
5.Determinar os pontos críticos da função
obtida em 4.
6.Determinar se os pontos encontrados em 5,
são de máximo ou de mínimo pelos testes
de derivadas primeira e/ou segunda.
7. E acima de tudo ter determinação na hora
de estudar matemática.
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Aplicação 2
Deve-se construir uma caixa de base
retangular, com uma folha de cartolina de 40
cm de largura e 52 cm de comprimento,
retirando-se um quadrado de cada canto da
cartolina e dobrando-se perpendicularmente
os lados resultantes.
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Aplicação 2
Determine o tamanho do lado do quadrado
que permite construir uma caixa de volume
Máximo.
Obs: Desprezar a espessura da cartolina
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Solução da Aplicação 2
40cm
52cm
Folha de Cartolina
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Solução da Aplicação 2
40cm
52cm
40 2x
52 2x
x
x
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Solução da Aplicação 2
40 2x
cmx
52 2x
A quantidade a ser maximizada é o volume da caixa
a seguir.
V
Cuja equação é dada por 40 2 52 2 V x x x
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Solução da Aplicação 2
Para achar os pontos críticos da função ,
basta resolver a equação . 0V x
2 340 2 52 2 4 520 46 V x x x V x x x
V
Como 0 40, o domínio de é 0 20.x x x
2Sendo 4 520 92 3 ,logo teremos:V x x x
24 520 92 3 0V x x x
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Solução da Aplicação 2
1 2
1
2
Ao resolver a equação dada, vamos obter como
raízes (aproximada) 23,19 e 7,47,que
são possíveis pontos crítricos. Como 23,19
está fora do domínio da função, logo o único
ponto crítico é 7,47.
x x
x
x
Como é contínua em 0,20 , temos que os
pontos 0 20 do domínio dão o valor
mínimo 0 0 20 .
V
x e x
V V
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Solução da Aplicação 2
2
2
Para o ponto crítico 7,47, obtemos
15,537cm , que é o valor máximo.
Conseqentemente, deve-se cortar um quadrado
de 7,47 cm de lado, de cada canto da folha de
cartolina, para maximizar o volume da ca
x
V
ixa.
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Aplicação 3
Determine dois números reais positivos cujasoma é 70 e tal que seu produto seja omaior possível.
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Solução da Aplicação 3
Considere , 0 tal que 70; logo
, 0,70 ;o produto é dado por .
x y x y
x y P xy
Esta é a função que devemos maximizar.
Como 70 ,substituindo em :
70
y x P
P x xy x x
: 0,70 éuma função derivável.
Sendo assim, teremos 70 2 .
P
P x x
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Solução da Aplicação 3
Onde o ponto crítico é dada pela solução da
equação 0,sendo o mesmo igual 35.P x
Analisando o sinal de ,é claro que este ponto
é ponto de máximo para e 35; logo,
1225.Note 0 =P 70 =0
P
P y
P P
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Aplicação 4
x
y
,x y
0,0
d
Determine os pontos da curva 1 mais
próximo da origem.
xy
Observação:
A representação
gráfica da curva
1 é dada
por
xy
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Solução da Aplicação 4
2 2
A função que determina a distância entre a
origem 0,0 e um ponto qualquer , da
curva 1 é dada por
0,0 ; , .
x y
xy
d x y x y
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Solução da Aplicação 4
2 2 2
Minimizar é equivalente a minimizar
0,0 ; , ;mais como ,
1pertenceà curva, temos ; logo, obtemos
a seginte função:
d
d x y x y x y
yx
2
2
1f x x
x
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Solução da Aplicação 4
2
2
1Derivando a função , obtemos:f x x
x
3
2 2f x x
x
3
2Ao resolver a equação 2 0,vamosobter
os pontos críticosda função .
xxf
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Solução da Aplicação 4
3
2Resolução da equação2 0.x
x
44
3 3
2 2 22 0 0 2 2 0
xx xx x
4 1 0 1x x
1 são ospontos da função f
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Solução da Aplicação 4
4
Calculando a segunda derivada de , temos que
62 .
f
f xx
Como 1 0 e 1 0 , concluimos
que 1 e 1 são pontos de mínimo.
f f
Portanto os pontos mais próximos da origem
são 1,1 e 1, 1 .
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Aplicação 5
3
2
Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve
ter a capacidade de 375 cm .O custo do material
usado para a base do recepiente é de 15 centavos
por cm e o custo do material usado para a parte
curva é
2de 5 centavos por cm . Se não há perda
de material, determine as dimensões que
minimizem o custo do material.
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Solução da Aplicação 5
Começamos fazendo um esboço do recipiente
denotandopor o raio em da base e por
a altura em .
r cm
h cm
h
r
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Solução da Aplicação 5
A quantidade a minimizar é o custo C do
material. Como os custos, por centímetros
quadrados, da base e da parte curva são 15
centavos e 5 centavos, respectivamente,
temos, em termos reais.
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Solução da Aplicação 5
15 área da base 5 área da parte lateral ,
Assim:
C Determinando a função custo, temos:
15 área da base 5 área da parte lateralC
215 5 2C r rh