aula 2: teoria dos erros eac-042: ajustamento de …paulo.borges/...ifsuldeminas 2017...
TRANSCRIPT
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
1/30
1
EAC-042: Ajustamento de Observações
Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges
https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/
Aula 2: Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
2/30
INTRODUÇÃO:
As grandezas físicas são determinadas
experimentalmente por medidas ou combinações de
medidas. Essas medidas tem uma incerteza intrínseca
que advém das características dos equipamentos
utilizados na sua determinação e também do operador.
Assim, a experiência mostra que, sendo uma medida
repetida várias vezes com o mesmo cuidado e
procedimento pelo mesmo operador ou por vários
operadores, os resultados obtidos não são, em geral,
idênticos.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
3/30
INTRODUÇÃO:
Mesmo cercando-se de precauções e cuidados
especiais no momento da obtenção das observações,
estas vêm eivadas dos inevitáveis erros de medidas,
consequência da imperfeição do equipamento, falha
humana e das condições ambientais nas quais se
processa a mensuração.
A maneira de se obter e manipular os dados
experimentais, com a finalidade de conseguir estimar
com a maior precisão possível o valor da grandeza
medida e o seu erro, exige um tratamento adequado que
é o objetivo da chamada “Teoria dos Erros”.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
4/30
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS:
Suponha que se deseja medir a distancia AB de
um determinado objeto e que para isso tem-se a
disponibilidade de uma régua graduada em centímetros:
Nesta situação, pode-se afirmar que este objeto possui
pelo menos 8 cm, necessitando definir a fração entre 8 e
9 cm que não podemos afirmar com certeza, sendo esta
estimada pelo observador.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
5/30
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS:
Se três observadores distintos fossem anotar o
comprimento, todos anotariam 8 cm mais uma fração que
poderia apresentar valores discrepantes:
Observador 1: 8 cm + 0,7 cm = 8,7 cm
Observador 2: 8 cm + 0,8 cm = 8,8 cm
Observador 3: 8 cm + 0,6 cm = 8,6 cm
Nos três casos as leituras seriam totalmente
satisfatórias. E se um quarto observador anotasse a leitura
de 8,75 cm, poderíamos atribuir a leitura como correta?
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
6/30
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS:
Diante do exemplo apresentado, podemos definir
algarismos significativos como sendo uma medida
composta por todos os algarismos que temos certeza (os
exatos) mais um algarismo duvidoso (onde reside a
incerteza da leitura).
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
7/30
INCERTEZAS:
É a fração avaliada da menor divisão da escala, ou
seja, a incerteza reside no dígito duvidoso.
Se tomarmos, como exemplos, a medida do objeto
AB como sendo 8,6 cm, sendo o algarismo 6 o duvidoso,
isto significa que a medida AB poderia ser 8,5 ou 8,7 cm;
8,4 ou 8,8 cm. No primeiro caso a amplitude da incerteza é
±0,1cm e no segundo ±0,2cm. De forma geral, a amplitude
da incerteza é fixada pelo experimentador. Caso ele faça
opção para a amplitude de ±0,2, a medida do objeto AB =
(8,6 ±0,2) cm.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
8/30
INCERTEZAS:
Desta forma o experimentador nos revela que a
medida é confiável dentro dos limites de 8,4 a 8,8 cm, mas
que o valor mais provável da medida, na sua opinião, é AB
= 8,6 cm.
A incerteza de uma medida pode ser classificada
em dois tipos:
a) Incerteza absoluta;
b) Incerteza relativa.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
9/30
INCERTEZAS:
a) Incerteza absoluta: Refere-se à amplitude de incertezas
fixada pelo experimentador, com o sinal ±. A incerteza
absoluta, depende da perícia do experimentador, de sua
segurança, da facilidade de leitura da escala e do próprio
instrumento utilizado na medição. Apesar de não ser
norma, costuma-se adotar como incerteza absoluta, o valor
da metade da menor divisão da escala tomado em módulo.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
10/30
INCERTEZAS:
a) Incerteza relativa: É igual ao quociente entre a incerteza
absoluta e a medida da grandeza e é, freqüentemente
expressa em termos percentuais. Por exemplo, para a
medida AB = (8,6 ± 0,2) cm, temos:
Incerteza absoluta = ±0,2 cm
Incerteza relativa = (±0,2/8,6) = ±0,023 ou 2,3%
Poderíamos dizer que quanto menor a incerteza relativa,
maior a “qualidade” da medida. Quando o valor de uma
grandeza é obtido a partir de uma medida única, costuma-
se exprimi-lo com a respectiva incerteza absoluta.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
11/30
FLUTUAÇÕES PROBABILÍSTICAS:
Ao se realizar várias medidas experimentais, de
uma certa grandeza física, temos como objetivo alcançar o
seu “valor verdadeiro” ou “valor real”. Mas atingir este
objetivo é praticamente impossível. Pode-se chegar, após
uma série de medidas, a um valor que mais se aproxima
do valor real, ou seja, ao valor mais provável de uma
grandeza medida. O “valor real” seria aquele obtido
teoricamente por meio de algum modelo “exato” (que
incluísse todos os efeitos físicos) ou então aquele obtido
por meio de uma medida experimental “perfeita”. Ambos os
casos são situações ideais não alcançadas na prática.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
12/30
FLUTUAÇÕES PROBABILÍSTICAS:
Se conhecermos o valor real da grandeza e o
compararmos com o valor medido podemos definir o que
denominamos “Erro”.
“Erro é a diferença entre o valor medido e o
verdadeiro valor da grandeza”
“Erro = valor medido – valor real”
As flutuações que acompanham todas as medidas
são as causas que limitam o objetivo de se atingir o valor
verdadeiro da grandeza. E estas flutuações ou erros são
de origem sistemáticas e de origem acidentais ou
aleatórias.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
13/30
A classificação tradicional para a teoria dos erros
indica a ocorrência de três tipos de erros nas medidas:
grosseiro, sistemático e acidental (aleatório ou randômico).
ERRO GROSSEIRO:
Erros grosseiros frequentemente ocorrem na prática,
geralmente estão associadas à desatenção do observador ou
mesmo do anotador. A inversão de dígitos numa leitura, a
contagem errônea do número de trenadas na medida de uma
distância, a troca do bordo visado na medida da distância
zenital do sol, são exemplos clássicos de erros grosseiros.
Mesmo em técnicas automáticas de registro podem ocorrer,
em razão de uma falha de equipamento, porém com menor
freqüência.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
14/30
ERRO GROSSEIRO:
Do ponto de vista estatístico, observações com erros
grosseiros não podem ser consideradas como pertencentes à
amostra da distribuição em questão, não podendo ser usada
com outras observações. Desta forma, mas medidas devem
ser planejadas de modo que na coleta de dados, seja
possível detectar erros grosseiros ou evitar a sua ocorrência.
Todas as observações contaminadas de erros
grosseiros devem se simplesmente ser rejeitadas; em alguns
casos a detecção do erro é fácil (erro grande). Entretanto
erros grosseiros de moderadas magnitude são difíceis de
serem detectados, mesmo usando-se de técnicas
estatísticas.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
15/30
ERRO SISTEMÁTICO:
Os erros sistemáticos são aqueles oriundos de
causas conhecidas; podem, na maioria das vezes, ser
evitado através de técnicas especiais de observação ou
eliminados a posteriori mediante a aplicação de fórmulas
fornecidas pela teoria.
A minimização dos erros sistemáticos é obtida pela
calibração dos instrumentos, técnicas de observação e de
processamento dos dados para eliminar efeitos
atmosféricos ou outros. Do ponto de vista estatístico, a
repetição de observações não auxiliará na detecção de
erros sistemáticos, pois eles afetam as observações da
mesma forma.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
16/30
ERRO SISTEMÁTICO:
A colocação do nível a igual distancia das miras no
nivelamento geométrico, é um exemplo de eliminação de
efeitos sistemáticos (refração, esfericidade e colimação)
durante a medição, ou ainda, o uso da reiteração ou repetição
e leituras conjugadas (CE, CD) nas observações angulares,
com objetivo de eliminar os efeitos sistemáticos.
Os erros sistemáticos também podem estar
associados ao observador; é o caso, por exemplo, do
nivelador que efetua a leitura sempre um pouco abaixo (ou
acima) do traço da mira, ou do topógrafo que efetua a leitura
um pouco a esquerda (ou a direita) do alvo. Esse tipo de erro
é difícil de eliminar.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
17/30
ERRO ALEATÓRIO:
Os erros acidentais ou aleatórios, ao contrário dos
erros sistemáticos, ocorrem ora num ora noutro sentido e
não podem ser vinculados a nenhuma causa conhecida.
Uma vez eliminado os erros grosseiros e sistemáticos, o
conjunto de observações repetidas sobre a mesma
grandeza ainda se revelam inconsistentes; as
discrepâncias constatadas são atribuídas aos erros
acidentais. Enquanto que os erros sistemáticos tendem a
se acumular, os erros acidentais tendem a se neutralizar
quando o número de observações crescem.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
18/30
ERRO ALEATÓRIO:
Antes de iniciar o ajustamento, as observações
deverão se depuradas de todas as influências sistemáticas,
bem como dos erros grosseiros, uma vez que o
ajustamento prevê que as mesmas se apresentam
contaminadas apenas pelos erros acidentais.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
19/30
ERRO VERDADEIRO, APARENTE E RESÍDUO
Designando ത𝑋 o valor estimado de um grandeza
medida, por 𝜇 o seu valor verdadeiro, e por 𝑙𝑖 os valores
observados, pode-se considerar que:
a) Erro verdadeiro: 𝜖 = 𝑙𝑖 − 𝜇
b) Erro aparente : 𝑒𝑖 = 𝑙𝑖 − ത𝑋
c) Resíduo: 𝑣𝑖 = ത𝑋 − 𝑙𝑖 (erro aparente com sinal
trocado)
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
20/30
CLASSIFICAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES
A. Observações Diretas: as medições são efetuadas
diretamente, em relação à grandeza procurada, sem
que existam meios para verificação do erro, uma vez
que não há o conhecimento dos valores reais ou
teóricos. Ex.: uma distância ou ângulo isolado.
B. Indiretas: As observações não são feitas diretamente
sobre as grandezas procuradas, mas a outras a elas
ligadas por meio de relações conhecidas. Ex.:
coordenadas, áreas, etc.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
21/30
CLASSIFICAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES
C. Diretas Condicionadas: As observações são feitas
diretamente, e são independentes entre si, porém se
prendem a alguma equação de condição conhecida.
Ex.: Na medida de três ângulos (a, b, c) de um triângulo
plano, tem-se que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 180°.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
22/30
VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRADEZA
O valor mais provável de uma grandeza, medida
diversas vezes pelo mesmo operador, utilizando o mesmo
equipamento e o mesmo método, ou seja, medidas com
um grau idêntico de confiabilidade, é a MÉDIA
ARITMÉTICA dos valores encontrados.
No caso de observações obtidas com diferentes
graus de confiabilidade, o valor mais provável deverá ser
obtido considerando-se um fator de proporcionalidade ao
qual denominamos de PESO.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
23/30
VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRADEZA
Visando a aplicação do Método do Mínimos
Quadrados (MMQ), considerando o caso da medida direta
de uma grandeza 𝑥; sejam 𝑏1, 𝑏2, 𝑏2…𝑏𝑛 os valores obtidos
em uma série de 𝑛 observações. Na impossibilidade de
obter o verdadeiro valor de 𝑥 deve-se se contentar com
uma estimativa que seja confiável. Adotando, o valor 𝑥 com
base em um certo critério e calculando as diferenças
temos:
ൢ
𝑥 − 𝑏1 = 𝑣1𝑥 − 𝑏2 = 𝑣2
⋯𝑥 − 𝑏𝑛 = 𝑣𝑛
ou 𝑥 − 𝑏𝑖 = 𝑣𝑖 para 𝑖 = 1,2,3,⋯ , 𝑛
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
24/30
VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRADEZA
Tais diferenças (𝑣𝑖) são resíduos, isto é, os valores,
a priori desconhecidos, que somados às observações
reproduzem o valor escolhido 𝑥.
Mudando-se o critério para eleger um valor diferente
𝑥′; resultaria um novo conjunto de resíduos: 𝑥′ − 𝑏𝑖 = 𝑣𝑖′ eassim por diante 𝑥′′ − 𝑏𝑖 = 𝑣𝑖′′; etc..
Qual dos valores 𝑥 , 𝑥′ , 𝑥′′ deve-se adotar? Em
outras palavras, como escolher um critério que permita,
das observações repetidas 𝑏𝑖, discrepantes entre si, extrair
um valor único para representar a incógnita 𝑥?
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
25/30
VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRADEZA
A quase dois séculos o geodesista fez sua opção,
seguindo o caminho indicado por GAUSS e LEGENDRE:
Aceitar como melhor estimativa de 𝒙 o valor que torna
mínima a soma dos quadrados dos resíduos.
O critério supra caracteriza o método dos mínimos
quadrados (M.M.Q) instituído independentemente pelos
dois grandes matemáticos acima citados. Até a bem pouco,
o M.M.Q, quando referido, conservava a notação original
de Gauss, respeitada universalmente [𝑣. 𝑣] = min , o
colchete indicando somatório, com variações
subentendidas de 1 a 𝑛 e sem utilizar expoentes.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
26/30
VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRADEZA
Quando as observações não oferecem o mesmo
grau de confiança são “homogeneizadas” através de pesos
𝑝𝑖:
𝑖=1
𝑛
𝑝𝑖 ∙ 𝑣𝑖2 = 𝑚í𝑛
Ou 𝑝 ∙ 𝑣 ∙ 𝑣 = mín
Modernamente prefere-se a linguagem matricial:
ቊ 𝑉𝑇 ∙ 𝑉 = 𝑚í𝑛𝑉𝑇 ∙ 𝑃 ∙ 𝑉 = 𝑚í𝑛
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
27/30
MEDIDAS DE PRECISÃO
Precisão é a consistência da medida ou grau de
refinamento de um grupo de medidas. Nas medições os
termos mais comumente usados para expressar a precisão
são a variância e o desvio padrão ou erro quadrático.
A. Variância: Definida como a média do quadrado dos
erros aparentes. No cálculo da variância é comum
adotar o seguinte critério: Se o número de observações
(𝑛) for menor que 30, a variância é obtida por:
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
28/30
MEDIDAS DE PRECISÃO
Se o número de observações (𝑛) for maior que 30, a
variância é obtida por:
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
29/30
MEDIDAS DE PRECISÃO
B. Desvio Padrão: É obtido através da raiz quadrada da
variância.
Seja qual for o tipo de observação, o resultado terá
valor científico e técnico, se além de apresentado o valor
para a grandeza desejada, for apresentado também a
precisão com que esta foi obtida.
Dependendo da grandeza, ao invés de se ter o
desvio padrão como precisão, é comum apresentar o erro
relativo no lugar deste, é o caso por exemplo de distâncias.
Teoria dos Erros
______________________________________________________________________________________________________________________
IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
30/30
CAMARGO, P. O. Ajustamento de Observações. Presidente
Prudente: Ed. UNESP, 2000. 222p.
GEMAEL, C. Introdução ao ajustamento de observações:
aplicações geodésicas. Curitiba: Ed. da UFPR, 1994. 319p.
SILVA, A. S.; GRIPP JR., J. Ajustamento de observações.
Material didático: apostila. Viçosa, 1999. 81p.
Referências Bibliográficas