aula 3 2015
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Tema 1 :
Funções reais de várias variáveis
Resumo:
Definição e propriedadesRepresentação gráfica.
Bibliografia:Stewart, . !"##"$.%álculo com Transcendentes
Tempranas. &ág.'1()'*+.
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Objectivos cognoscitivos a lograr :
•Interpretar a definição de função de várias variáveis.
•Descrever as características gerais (domínio, imagem e
lei de correspondência duma função real.
•Determinar o domínio de funç!es reais de " variáveis e
representá#lo graficamente.
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Primeiramente se tratará o
conceito de função
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$unç!es reais e vectoriais$unç!es reais e vectoriais
de várias variáveisde várias variáveis
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Em Matemática I definiu-se a função real numadefiniu-se a função real numa
variável como uma lei de correspondência unívocavariável como uma lei de correspondência unívocaentre subconjuntos de números reais.entre subconjuntos de números reais.
%m símbolos&%m símbolos&
ff :: [a,b]→ℝ[a,b]→ℝ x x ↦↦ f f (( x x))
%'emplos&%'emplos&sensen :: ℝ →ℝℝ →ℝ x x ↦↦ sensen(( x x))
lglg:: [0,∞]→ℝ[0,∞]→ℝ x x ↦↦ lglg(( x x))
ff :: ℝ →ℝℝ →ℝ x x ↦↦ x x
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gora estenderemos esse conceitogora estenderemos esse conceito
a um conjunto de funç!esa um conjunto de funç!es
muitíssimo mais gerais, e por tantomuitíssimo mais gerais, e por tantocom comportamentos maiscom comportamentos mais
comple'os, ascomple'os, as
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l!uns e"emplos
)roblema&
Estime a #uantidade de latão #ue se
utili$a na fabricação de uma lata
cilíndrica de % pole!adas dedi&metro' ( pole!adas de altura e
uma espessura de )')*+ pole!adas
*odelo& q(r, h, e)= ,2πrh+2πr2)e
)roblema&
alcule como varia a concentração
de "ido nitroso / altura do teto das
casas ,%m apro"imadamente0 de umpovo situado a *)1m da lareira da
termoel2ctrica pr"ima ao povoado.
*odelo&
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Chama-seChama-se função de várias variáveisfunção de várias variáveis àà
tríada (tríada (f f ,, DD,, II) !de) !de f f re"rese!ta #ma $e% dere"rese!ta #ma $e% de&rres"!d'!&%a #!í&a e!tre s#b&!#!ts D&rres"!d'!&%a #!í&a e!tre s#b&!#!ts De I ds es"a*s e&tr%a%se I ds es"a*s e&tr%a%s ℝℝ!! ee ℝℝmm
res"e&t%ame!teres"e&t%ame!te &!#!t D &!#!t D ℝ ℝ!! &hama-se&hama-se dmí!% dedmí!% de f f &!#!t I &!#!t I ℝ ℝmm &hama-se&hama-se %ma.em de%ma.em de f f
/e es"a* e&tr%a$ de &he.ada /e es"a* e&tr%a$ de &he.ada ℝ, # seaℝ, # seam = 1, d%sse-se q#e a #!*3m = 1, d%sse-se q#e a #!*3 f f #ma #ma #!*3#!*3rea$ de ! ar%4e%srea$ de ! ar%4e%s 5m símb$s: 5m símb$s: f f : D: D→ℝ→ℝ!de D ℝ!de D ℝ!!
/e es"a* e&tr%a$ de &he.ada /e es"a* e&tr%a$ de &he.ada ℝℝmm, !de, !de
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7ma #!*3 rea$ f de d#as ar%4e%s, :Em símbolos: f f : D: D→ℝ→ℝ !de Dℝ8Esquematicamente:
f (9,)
Exemplo duma função real de 2 variExemplo duma função real de 2 vari
'
+
(9,)
D
f
u
3ma!em de todos os pontos de 4.
5u seja' f transforma ao círculo 4 no se!mento I
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s funç6es reais de duas variáveis podem
representar-se !raficamente de duas formas
possíveis.
;e"rese!ta*3 em
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y x
y x y x f
−
+=
2),(
Exercício: Determ%!ar dmí!% D de
Solução:
a eq#a*3 a"are&em d#as
&ara&teríst%&as q#e de$atam a "rese!&%ade "!ts de ℝ8 q#e !3 "erte!&em admí!% de f :
759%st'!&%a d#m de!m%!adr q#e "ara a$.#!sa$res de as ar%4e%s "#desse tmar a$r>er
759%st'!&%a d#ma ra%> de í!d%&e "ar q#e !3adm%te a$res !e at%s ba% se# s% !
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y x
y x
y x f −
+
= 2),(
Exercício: Determ%!ar dmí!% D de
Solução:
7 /e de!m%!adr !3 "de a$er >er,e!t3: 02 ≠− y x
02 ≠− y x
7 ?as, !3 basta q#e 2 x – y ≠ 0, ademais deveser maior que zero.
7 5m res#m: Dm f = @( x , y)Aℝ8B2 x – y0
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y x
y x y x f
−
+=
2),(
Exercício: ;e"rese!tar .raE&ame!te dmí!% D da #!*3
Solução:Dm f = @( x , y)Aℝ8B2 x – y0
F# sea G2 x 5m #tras "a$aras, admí!% "erte!&em s "!ts d "$a!&rde!ad a rde!ada yy E&a "rdeba%9 da re&ta =2 x
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Exercício: ;e"rese!tar .raE&ame!te a#!*3
!#m s%stema tr%d%me!s%!a$ HJ
y x
y x y x f
−
+=
2),(
Solução:
E it i l
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Em muitas ocasi es n o poss velter ideia do gráco da função. Emesses casos utiliza-se a técnica de
representação da função mediantecurvas de nível
(revisar as páginas 820/824 do livro de
texto)
As curvas de nível duma função deduas variáveis são as curvas de
equação f! " #$ % & onde & é uma constante (k ∊ Im f )
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E!emplo'
a #!*3 > = 9> = 922 K K 22 , a a>er L = > ,btm-se #ma amí$%a de h%"rb$es deeq#a*3
9922
K K 22
= L= L7Mara a$res de L0 btm-seh%"rb$es &m %!ter&e"ts ! e%9 H7Mara a$res de LG0 btm-seh%"rb$es &m %!ter&e"ts ! e%9 7Mara a$r L=0 btm-se #m "ar dere&tas q#e &rtam-se !a r%.em, as
assí!ttas de tdas as h%"rb$es
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parecem representadas somente o caso 10, q#a$&rres"!de-se &m as ras de !íe$ da "arte das#"erí&%e q#e e!&!tra-se "r &%ma d "$a! H, # seaq#a!d >0
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ma representação gráfica em -D destama representação gráfica em -D desta
função a seguinte. Identifica#se umfunção a seguinte. Identifica#se um
parabol/ide 0iperb/licoparabol/ide 0iperb/lico
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studar os e-emplos: 1,(,+,,1# das
páginas '1+)'"1.
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/rientaç0es para o estdio independente: Resol2er os e-erc3cios ,4,5,11,1*,"*
da página '"+.
1te2art, 3. 4álculo com1te2art, 3. 4álculo com5ranscendentes 5emporãs.5ranscendentes 5emporãs.
5omo III5omo III
1te2art, 3. 4álculo 6olume "1te2art, 3. 4álculo 6olume "