aula 3 – cÁlculo com geometria analÍtica ii fonte: anton, stewart, thomas. material daniela...
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AULA 3 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II
Fonte: Anton, Stewart, Thomas. Material Daniela Buske
Prof. Guilherme Jahnecke WeymarCEng - UFPel
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Produto escalar:
Ângulo entre vetores
Vetores perpendiculares
Propriedades
Projeções ortogonais
Trabalho
Escrever vetor como soma de vetores ortogonais
Produto vetorial
TÓPICOS:
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Objetivo da primeira parte da aula:
Se uma força F é aplicada a uma partícula que se move ao longo de um
caminho, freqüentemente precisamos conhecer a magnitude de força na
direção do movimento. Se v é paralelo à reta tangente ao caminho no ponto
onde F é aplicada, então queremos a magnitude de F na direção de v.
Como calcular o ângulo entre 2 vetores
diretamente a partir das suas componentes.
Usar o produto escalar para encontrar:
1) Projeção de um vetor em outro;
2) Trabalho realizado por uma força cte
que age durante um deslocamento.
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Ângulo entre vetores:
Se eles estiverem sobre a mesma reta, o ângulo
entre eles é 0 se ambos apontam para o mesmo
sentido, e π se apontarem em sentidos opostos.
Como encontro θ?
Quando 2 vetores não-nulos u e v são colocados de tal modo que seus ponto iniciais coincidam, eles formam um ângulo θ com medida 0 ≤ θ ≤π.
Se os vetores não estão sobre a mesma reta, o ângulo θ é medido no plano que contém os dois.
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Vamos nos concentrar na expressão u1v1+u2v2+u3v3 no cálculo de θ:
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Com a notação de produto escalar o ângulo entre dois vetores u e v pode ser escrito como:
OBS.: O produto escalar dá como resultado um escalar e não um vetor.
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8A fórmula do ângulo também se aplica a vetores bidimensionais:
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Vetores perpendiculares (ortogonais):
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Propriedades do produto escalar e projeções ortogonais:
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A projeção ortogonal de u = PQ
em um vetor v = PS é o vetor
PR determinado ao se traçar
uma perpendicular de Q até a
reta PS.
Notação: proj u
Projeção ortogonal de u em v:
v
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Direção v/|v| Direção - v/|v|
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O número é chamado componente escalar de u na direção de v.
Em resumo:
16(1) e (2) se aplicam para vetores 2D:
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Trabalho realizado por uma força contante:
Em cálculo 1 calculamos o trabalho realizado por uma cte magnitude de
força F ao mover um objeto ao longo de uma distância d por W = Fd. A
fórmula é verdadeira somente se a força é direcionada ao longo da reta de
movimento.
W = (|F|cos θ) |D|
= F . D
= |F| |D| cos θ
Se uma força F que move um objeto ao longo de um deslocamento D = PQ
tem alguma outra direção, o trabalho é realizado pela componente de F na
direção de D. Se θ é o ângulo entre F e D (figura) então:
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Escrevendo um vetor como uma soma de vetores ortogonais:
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Produto vetorial de dois vetores no espaço:
Suponha 2 vetores não-nulos u e v no espaço.
Se eles não são paralelos eles determinam um
plano. Selecionamos um vetor unitário n
perpendicular ao plano pela regra da mão
direita. Então o produto de u vetorial v é:
Resultado: VETOR
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OBS.: O vetor u x v é ortogonal tanto a u quanto a v porque é
múltiplo escalar de n.
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Área do paralelogramo: |u x v|
Como n é um vetor unitário, a norma de u x v é:
Esta é a área do paralelogramo
determinado por u e v, sendo |
u| a base e |v|senθ a altura.
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Torque:
Quando giramos um parafuso aplicando
uma força F a uma chave inglesa (figura),
o torque que produzimos age ao longo do
eixo do parafuso para girá-lo para frente.
A magnitude do torque depende da
distância entre o eixo do parafuso e o
ponto sobre a chave inglesa no qual a
força é aplicada e de quanto da força é
perpendicular à chave no ponto de
aplicação.
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O número que usamos para medir a norma do torque é o produto do
comprimento do braço da alavanca r e da componente escalar de F
perpendicular a r. Na notação da figura:
Magnitude do vetor torque = |r||F| senθ
ou |r x F|
Se n é um vetor unitário ao longo do eixo do
parafuso na direção do torque, então uma
descrição completa do vetor torque é r x F, ou:
Vetor torque = (|r||F| senθ)n
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Produto Misto:
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