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EAC-082: Geodésia Física
Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges
Aula 3: Introdução à Teoria do Potencial
Gravidade e Gravimetria
https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/
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Como visto anteriormente, a aceleração da gravidade é dada por:
𝑎𝑔 =𝐺𝑀
𝑟2
Em diferentes situações é comum considerarmos a aceleração
que um corpo em queda livre apresenta (denominado 𝑔), como
sendo a aceleração gravitacional que agora chamamos de 𝑎𝑔.
Em geodésia é comumente utilizado a unidade Gal para medição
da aceleração da gravidade onde:
1𝐺𝑎𝑙 = 10−2 Τ𝑚 𝑠2 = 1 𝑐 Τ𝑚 𝑠2
1𝑚𝐺𝑎𝑙 = 10−5 Τ𝑚 𝑠2
1𝜇𝐺𝑎𝑙 = 10−8 Τ𝑚 𝑠2
Força da Gravidade
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Normalmente, também consideramos que 𝑔 possui um valor
constante sobre a superfície da Terra.
No entanto, o valor de g medido a partir de um gravímetro difere
de 𝑎𝑔 que calcularíamos pela equação anterior. Como exemplo,
medidas de 𝑔 realizadas no pólo (𝑔𝑝 ) e no equador (𝑔𝑒 )
forneceram valores de:
𝑔𝑝 = 9,832177 Τ𝑚 𝑠2 e 𝑔𝑒 = 9,780318 Τ𝑚 𝑠2
o que nos fornece uma diferença de 5,1859 𝐺𝑎𝑙.
Força da Gravidade
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Razões para as diferenças encontradas:
1. A massa da Terra não está uniformemente distribuída, pois
sua massa específica varia com a distância ao centro de
massa, onde a massa específica da crosta terrestre varia de
ponto para ponto da Superfície Física.
Força da Gravidade
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Razões para as diferenças encontradas:
2. A Terra não é uma esfera, apresentando a forma aproximada de
um elipsóide de revolução. A distância ao centro de massa da
Terra é menor nos pólos do que no equador, apresentando uma
diferença da ordem de 21 km, o que produz um aumento da
gravidade em direção aos pólos. Cálculos mostram que este
efeito seria responsável por uma diferença de 6,600 𝐺𝑎𝑙, entre a
gravidade no pólo e a gravidade no equador.
3. Deve-se considerar o movimento de rotação da terra. Um objeto
localizado em qualquer lugar da superfície da Terra, exceto nos
pólos, descreve uma circunferência em torno do eixo de
rotação, apresentando assim, uma aceleração centrípeta
dirigida para o centro da Terra.
Força da Gravidade
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Portanto, este efeito produz um aumento de 𝑔 em
direção ao pólo. Cálculos mostram que este
aumento é de 3,375 𝐺𝑎𝑙.
Para um corpo em rotação, a aceleração centrífuga
é igual a:
𝑎𝑐 = 𝜔2 ∙ 𝑟
onde 𝜔 é a velocidade angular da Terra e 𝑟 é a
distância ao eixo de rotação. 𝜔 = Τ2𝜋 𝑇 (𝑇 é o
período de rotação, 24 horas).
Ԧ𝐹𝑁 −𝑚 ∙ 𝑎𝑔 = 𝑚 −𝜔2 ∙ 𝑅
Força da Gravidade
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O módulo Ԧ𝐹𝑁 da força normal é igual ao
peso 𝑚 ∙ 𝑔, logo:
𝑚 ∙ 𝑔 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑔 −𝑚 𝜔2 ∙ 𝑅
Cancelando m na equação acima temos:
𝑔 = 𝑎𝑔 − 𝜔2 ∙ 𝑅
𝑔 = 𝑎𝑔 − 𝑎𝑐
Os efeitos dois e três descritos acima se
somam, produzindo uma diferença entre os
valores de g no pólo e no equador de:
6,600 𝐺𝑎𝑙 + 3,375 𝐺𝑎𝑙 = 9.975 𝐺𝑎𝑙
Força da Gravidade
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Medidas de 𝑔 nos pólos e no equador
indicam uma diferença menor, de
5,1859 𝐺𝑎𝑙. Isto decorre do fato que a Terra,
tendo um raio equatorial maior do que o raio
polar contém também uma massa maior no
equador, o que faz aumentar a atração
gravitacional nesta região. Entretanto, este
efeito não supera os efeitos produzidos pelo
achatamento da Terra e pela aceleração
centrífuga.
Força da Gravidade
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Tanto a direção como a intensidade de 𝑔 variam conforme a posição
sobre a superfície terrestre. Embora a componente gravitacional (𝑎𝑔)
possua intensidade aproximadamente constante, sua direção é
variável, sendo praticamente radial e apontando para o centro da
Terra. Já o componente centrífugo ( 𝑎𝑐 ) tem direção sempre
perpendicular ao eixo de rotação terrestre, mas sua intensidade varia
em função da latitude (𝜑).
𝑎𝑐 = 𝜔2 ∙ 𝑟 = 𝜔2 ∙ 𝑅 ∙ cos𝜑
Força da Gravidade
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Exercício:
Considerando:
• Velocidade angular de rotação 𝜔, uma
volta (2𝜋) a cada 24 horas (86400 s).
• O raio da Terra 𝑅 = 6378137 𝑚.
• 𝑎𝑔 = 9,780318 Τ𝑚 𝑠2
⚫ Calcule a 𝑎𝑐 e 𝑔 para:
a) 𝜑 = −22° 32’ 𝑒 𝐻 = 400 𝑚.
b) 𝜑 = −23° 22’ 𝑒 𝐻 = 1800 𝑚.
c) 𝜑 = 8° 14’ 30,3” 𝑒 𝐻 = 600 𝑚.
Força da Gravidade
𝒂𝒄 = 𝝎𝟐 ∙ 𝒓 = 𝝎𝟐 ∙ 𝑹 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝒈 = 𝒂𝒈 − 𝒂𝒄
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Exercício:
a) 𝐚𝐜 =𝟐∙𝛑
𝐓
𝟐∙ (𝟔𝟑𝟕𝟖𝟏𝟑𝟕 + 𝟒𝟎𝟎) ∙ 𝐜𝐨𝐬−𝟐𝟐°𝟑𝟐′ = 𝟎, 𝟎𝟑𝟏𝟏𝟓𝟕𝟓𝟗𝟓 Τ𝐦 𝐬𝟐
𝒈 = 𝟗, 𝟕𝟖𝟎𝟑𝟏𝟖 − 𝟎, 𝟎𝟑𝟏𝟏𝟓𝟓𝟔𝟒𝟐 = 𝟗, 𝟕𝟒𝟗𝟏𝟔𝟎𝟒𝟎𝟒𝟓𝟐𝟒 Τ𝒎 𝒔𝟐
b) 𝐚𝐜 =𝟐∙𝛑
𝐓
𝟐∙ (𝟔𝟑𝟕𝟖𝟏𝟑𝟕 + 𝟏𝟖𝟎𝟎) ∙ 𝐜𝐨𝐬−𝟐𝟑°𝟐𝟐′ = 𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟗𝟕𝟑𝟎𝟖𝟔 Τ𝐦 𝐬𝟐
𝒈 = 𝟗, 𝟕𝟖𝟎𝟑𝟏𝟖 − 𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟗𝟕𝟑𝟎𝟖𝟔 = 𝟗, 𝟕𝟒𝟗𝟑𝟒𝟒𝟗𝟏𝟒𝟑𝟒𝟑 Τ𝒎 𝒔𝟐
c) 𝐚𝐜 =𝟐∙𝛑
𝐓
𝟐∙ (𝟔𝟑𝟕𝟖𝟏𝟑𝟕 + 𝟔𝟎𝟎) ∙ 𝐜𝐨𝐬𝟎𝟖°𝟏𝟒′𝟑𝟎, 𝟑" = 𝟎, 𝟎𝟑𝟑𝟑𝟖𝟓𝟓𝟐𝟖 Τ𝐦 𝐬𝟐
𝒈 = 𝟗, 𝟕𝟖𝟎𝟑𝟏𝟖 − 𝟎, 𝟎𝟑𝟑𝟑𝟖𝟓𝟓𝟐𝟖 = 𝟗, 𝟕𝟒𝟔𝟗𝟑𝟐𝟒𝟕𝟐𝟎𝟖𝟔 Τ𝒎 𝒔𝟐
Força da Gravidade
𝒂𝒄 = 𝝎𝟐 ∙ 𝒓 = 𝝎𝟐 ∙ 𝑹 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝒈 = 𝒂𝒈 − 𝒂𝒄
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A Fórmula Internacional da Gravidade permite calcular com precisão
valores de 𝑔 próximo à superfície da Terra, na unidade do SI, a partir
de latitude (𝜑) e da altitude ortométrica (𝐻) do local considerado,
conforme a expressão abaixo:
𝑔 = 9,780327 ∗ (1 + 5,3204 ∗ 10−3 ∗ 𝑠𝑒𝑛²(𝜑) – 5,8 ∗ 10−6 ∗ 𝑠𝑒𝑛²(2𝜑)) – 3,086 ∗ 10−6 ∗ 𝐻
onde:
𝑔 = aceleração gravitacional local (em Τ𝑚 𝑠2);
𝜑 = latitude (em graus) do ponto onde se faz a medição;
𝐻 = altura em relação ao nível do mar (em m).
Força da Gravidade
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Exemplo: Calcule o valor de g para o vértice da RBMC de
Inconfidentes (MGIN) considerando os seguintes dados oficiais da
estação:
Utilize o software MAPGEO 2015 para determinação da altitude
ortométrica da estação, onde:
𝐻 = ℎ − 𝑁
Força da Gravidade
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A partir do software MAPGEO 2015, calculamos o valor da ondulação
geoidal N, obtendo o valor de −2,76 𝑚 . Substituindo na equação
abaixo temos:
𝐻 = 883,720 − −2,76 = 886,480 𝑚
Utilizando-se a Fórmula Internacional da Gravidade obtemos o
seguinte valor para 𝑔:
𝑔 = 9,785067558 Τ𝑚 𝑠2
Força da Gravidade
N = -2,760
h = 883,720
H = 886,480
(MGIN) = -22,31856202778
g = 9,7850675583
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A aceleração da gravidade pode ser determinada por equipamentos
chamados Gravímetros.
Princípio Básico de Funcionamento de um Gravímetro
Medição da Aceleração da Gravidade
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Existem modelos Relativos:
Medição da Aceleração da Gravidade
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Medição da Aceleração da Gravidade
E modelos Absolutos:
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A aceleração da gravidade pode ser medida por diferentes métodos
tais como:
⚫ Pêndulo Simples, Físico e Reversível;
⚫ Variação do comprimento de uma mola;
⚫ Queda Livre;
⚫ Gravímetros Absolutos;
⚫ Gravímetros Relativos.
Com o trabalho de Huigens (1673), estabelecendo a relação entre o
período de oscilações de um pêndulo e a aceleração de gravidade,
surgiu o método pendular que consiste na medição isolada de
pequenos intervalos de tempo devido ao isocronismo pendular,
descoberto por Galileu (1589).
Medição da Aceleração da Gravidade
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O método pendular na medição gravimétrica absoluta consiste
basicamente em medir o período de oscilações de um pêndulo. A
maior aplicação do método pendular em relação ao da queda livre no
passado deve-se ao isocronismo (diz-se dos movimentos que se
realizam com a mesma duração ou com intervalos iguais) pendular.
Medição da Aceleração da Gravidade
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⚫ Pêndulo Simples:
Consiste em medir o período de oscilações de um pêndulo. Foi muito
utilizado no passado devido à sua facilidade de implementação. O
período 𝑇 de um pêndulo simples pode ser expresso em função do
seu comprimento 𝐿 e do valor local da aceleração da gravidade 𝑔,
representado pela seguinte expressão:
𝑇 = 2𝜋𝐿
𝑔∙ 1 +
1
2∙ sen2
𝛼
2+⋯
onde 𝛼 a elongação máxima do pêndulo.
Medição da Aceleração da Gravidade
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Pêndulo Físico:
Mas o pêndulo simples é puramente teórico. A realização
prática de um pêndulo simples é o pêndulo físico isócrono
e de comprimento:
𝐿 =𝐼
𝑀 ∙ ℎ
Onde 𝐼 é o momento de inércia em relação ao eixo de oscilação, 𝑀 a
massa total do pêndulo e ℎ a distância do centro de massa ao eixo de
oscilação.
Medição da Aceleração da Gravidade
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Pêndulo Reversível:
As dificuldades para a obtenção
precisa das grandezas físicas que
aparecem no método físico são
evidentes, mas podem ser
parcialmente contornadas com o
chamado pêndulo reversível,
idealizado por Kater (1818) e que,
por quase um século, serviu de
base para os trabalhos
desenvolvidos na medição pendular.
Esse pêndulo pode oscilar suspenso
pelas duas extremidades
alternadamente.
Medição da Aceleração da Gravidade
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Pêndulo Reversível:
Medindo-se o período de oscilação 𝑇 , pode-se chegar a uma
expressão para o cálculo da aceleração 𝑔, dada por:
𝑔 =8𝜋2
𝑇12 +𝑇2
2
ℎ1+ℎ2+𝑇12 −𝑇2
2
ℎ1−ℎ2
Medição da Aceleração da Gravidade
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Queda Livre:
O princípio deste método consiste em medir o tempo 𝑡, necessário
para um objeto percorrer a distância 𝑥, onde tanto o intervalo de
tempo como a distância são medidos em relação a uma origem
arbitrária. Temos, assim, a equação do movimento:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 ∙ 𝑡 +𝑔 ∙ 𝑡2
2
onde 𝑥 é a distância percorrida pelo objeto até o instante 𝑡 e 𝑣0 é a
velocidade do objeto no instante do lançamento. Do ponto de vista
prático, é conveniente subdividir a distância percorrida e o intervalo de
tempo correspondente. Assim, a distância pode ser dividida em 𝑥1, 𝑥2e 𝑥3 que correspondem aos intervalos de tempo 𝑡1, 𝑡2 e 𝑡3.
Medição da Aceleração da Gravidade
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Queda Livre:
Com isso, as constantes 𝑥0 e 𝑣0 podem ser eliminadas da equação do
movimento, resultando em:
g = 2 ∙𝑥3 − 𝑥1 𝑡2 − 𝑡1 − 𝑥2 − 𝑥1 𝑡3 − 𝑡1
𝑡3 − 𝑡1 𝑡3 − 𝑡2 𝑡2 − 𝑡1
Medição da Aceleração da Gravidade
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Queda Livre:
Na prática realizam-se observações superabundantes que conduzem
às equações de observação:
𝑧𝑖 + 𝑟𝑖 = 𝑧1 + 𝑣1 ∙ 𝑡𝑖 − 𝑡1 +𝑔 ∙ 𝑡𝑖 − 𝑡1
2
2
com 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛. Se 𝑣1 = 𝑡1 = 𝑧1 = 0
𝑔 =2 ∙ 𝑧2
𝑡22
ou
𝑧 =𝑔 ∙ 𝑡2
2
Medição da Aceleração da Gravidade
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Queda Livre:
Aplicando a lei de propagação de variâncias para a equação 𝑧 em
relação às incógnitas 𝑔 e 𝑡 temos:
𝜎𝑧2 =
𝛿𝑧
𝛿𝑔
2
∙ 𝜎𝑔2 +
𝛿𝑧
𝛿𝑡
2
∙ 𝜎𝑡2 =
𝑡2
2
2
∙ 𝜎𝑔2 + 𝑔𝑡 2 ∙ 𝜎𝑡
2
Logo, para se obter uma precisão de 0,01 𝑚𝐺𝑎𝑙 em g, é necessário
que se conheça uma distância de 1m com precisão de 10𝑛𝑚 (10−8 𝑚)
um intervalo de 0,5𝑠 com uma precisão de centésimo milionésimo de
segundo (10−8𝑠 )
Medição da Aceleração da Gravidade
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Gravímetros:
Os gravímetros consistem basicamente numa
massa suspensa por um sistema elástico (molas)
tal que a tensão da mola seja proporcional ao seu
comprimento.
O peso da massa (𝑚𝑔) está equilibrado pela força
elástica da mola. Seja 𝑙0 o comprimento inicial da
massa e 𝑙 o comprimento quando carregada. Pela
lei de Hooke, a deformação é proporcional a força
que a produz.
𝑚 ∙ 𝑔 = 𝑘 ∙ 𝑙 − 𝑙0 = 𝑘 ∙ ∆𝑙
O coeficiente 𝑘 depende das características
elásticas da mola.
Medição da Aceleração da Gravidade
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Gravímetros:
Numa segunda estação teremos 𝑔 + 𝛿𝑔 e,
consequentemente, ∆𝑙 + 𝛿𝑙 , onde a deformação
𝛿𝑙 pode ser medida pela diferença das leituras na
escala 𝐸, nas duas estações. Com a variação da
deformação, pode-se calcular a variação da
gravidade. Assim, para a estação 1, tem-se:
𝑚 ∙ 𝑔1 = 𝑘 ∙ ∆𝑙 → 𝑔1 =𝑘
𝑚∙ ∆𝑙
Na estação 2, tem-se:
𝑚 ∙ 𝑔2 = 𝑘 ∙ ∆𝑙 + 𝛿𝑙 → 𝑔2 =𝑘
𝑚∙ ∆𝑙 + 𝛿𝑙
Medição da Aceleração da Gravidade
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Gravímetros:
Logo, como 𝛿𝑔 = 𝑔2 − 𝑔1 temos:
𝛿𝑔 = 𝑔2 − 𝑔1 =𝑘
𝑚∙ 𝛿𝑙
ou ainda:
𝛿𝑔 = 𝐶 ∙ 𝛿𝑙 = 𝐶 ∙ 𝐸2 − 𝐸1
onde 𝐶 é uma constante de calibração previamente
determinada.
Medição da Aceleração da Gravidade
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Referências Bibliográficas
Gemael, C. Introdução à geodésia física – Ed. da UFPR,
Curitiba, 1999.
Oliveira Filho, K. S.; Saraiva, M. F. O. Astronomia e
astrofísica – 2. ed. Editora Livraria da Física, São Paulo, 2004.
Halliday, D., Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Física,
volume 2: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução e
revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Cientifico S.A - LTC, 2009.