aula 4. comprimento de mistura de prandtl- distribuição de velocidade

Aula 4

Comprimento de Mistura de Prandtl- Distribuição de Velocidade

É a distância necessária, partindo-se do início do tubo, a partir da qual o perfil de velocidades não se modifica mais com o aumento da distância ao longo do tubo.

Comprimento de Mistura

Comprimento de Mistura de Prandtl – Distribuição de Velocidade

Q

y

x

dA

xv

yv

dAvVazão ymassa

xyat v)dAv(dF

xyat

t vvdA

dF 2.15

v

y dy/dv

dy/dvy

v

dy

dvvv yx

Comprimento de Mistura de Prandtl – Distribuição de Velocidade

xyat

t vvdA

dF

2

2t dy

dv

2.16

Relação para comprimento de mistura proposto por von Karmán

)dy/vd(

dy/dv22

2.17

38,0Água limpa

Lei de Distribuição Universal de Velocidade

Supõe-se que o esforço cortante na região do núcleo turbulento seja igual ao que se desenvolve na parede do tubo

O esforço cortante que predomina é o turbulento, dado pela equação

2

2t dy

dv

Como nas proximidades da parede as velocidades de perturbação tendem a zero, há uma variação linear do comprimento de mistura com a distância y da parede, dada por y


2

2t dy

dv

y

2

220t dy

dvy

dy

dvy0

dvy

dyu

dy

dvyu *0

*

Cyln1

u

v

*

2.18


0v0y

vRy máx Cyln1

u

v

*

Rln1

u

vCCRln

1

u

v

*

máx

*

máx

Rln1

u

vyln

1

u

v

*

máx

*

Para tubos lisos e rugosos 40,0

R

y

y

Rln5,2

u

vv

*

máx

2.20

y

Rln

1

u

vv

*

máx

2.19


Derivando-se a eq. 2.18, com = 0,40 tem-se

y

u5,2

dy

dv * no centro do tubo y = R

máxvv0dy

dv

Usando conceito velocidade média V em uma seção e integrando-se a Eq. 2.18 tem-se

rdr2vvdARVQR

0

R

0

2


rdr2]Cu)rRln(5,2u[RVR

0

**2

rRy

Cuyln5,2uv ** 2.18

)75,3C(Rln5,2u

V

*

2.21

Experiência de Nikuradse

Experiência de Nikuradse

http://www.news.uiuc.edu/news/06/0131turbulence.html

Link Artigo



I

IIIII

IVV

Harpa de Nikuradse

Região I Re<2300

Escoamento laminar, o fator de atrito independe da rugosidade,devido ao efeito da subcamada limite laminar e vale

Re

64f

Região Critica onde o valor de f não fica caracterizado

Região II 2300<Re<4000

Região III (pode ser representada 3000<Re<105)

Curva dos tubos hidraulicamente lisos, influência da subcamada limite laminar, o fator de atrito só depende do número de Reynolds. Escoamento turbulento hidraulicamente liso.

25,0Re

316,0f Fórmula de Blasisus 2.22

Harpa de Nikuradse

Região IV

Transição entre o escoamento turbulento hidraulicamente liso e rugoso, o fator de atrito depende simultaneamente da rugosidade relativa e do número de Reynolds

Região V

Turbulência completa, escoamento hidraulicamente rugoso, o fator de atrito só depende da rugosidade relativa e independe do número de Reynolds.

Leis de Resistência no Escoamento Turbulento

Subcamadaviscosa

Tubos Rugosos

SubcamadaviscosaSubcamadaviscosa

Tubos Lisos


Tubos Lisos

R

yln5,2

u

v

u

v

*

máx

*

Multiplicando e dividindo por: *u

*

*

*

máx

* u

u

R

yln5,2

u

v

u

v

*

**

máx

*

yuln5,2

Ruln5,2

u

v

u

v

Experimento de Nikuradse5,5

*

*

yuln5,25,5

u

v

2.23

2.24

Viscosidade cinemática


Cyln5,2yu

ln5,25,5u

v *

*

Usando as eq. 2.24 e 2.18 com tem-se

*u

ln5,25,5C

Substituída na eq. 2.21 torna-se

75,1Ru

ln5,2u

V *

*

2.25

Tubos Lisos


Da definição da velocidade de atrito (eq. 1.28) pode escrever:

8

f

2

Re

V

u

2

VDRu

V2

V2R*u **

f

8

u

V

*

2.26

618,0Ru

ln884,0f

1 *

2.27

1.28

Tubos Lisos


913,0)flog(Re035.2f

1 2.28

Tubos Lisos

8,0)flog(Re2f

1 )

51,2

fRelog(2

f

1

Para

5u*

14,14/D

fRe

2.29


yln5,2

Rln5,2

u

v

R

yln5,2

u

v

u

v

*

máx

*

máx

*

2.30

Tubos Rugosos

yln5,248,8

u

v

*

Experimento de Nikuradse

2.31

Comparando a Eq. 2.18 com Eq.2.31 encontra-se: ln5,248,8C

)75,3C(Rln5,2u

V

*

2.21

Leis de Resistência no Escoamento Turbulento Tubos Rugosos

73,4ln5,2Rln5,2u

V

*

2.3273,4R

ln5,2u

V

*

67,1R

log04,2f

1

2.33

Com ajuste numéricos, através de experimentos

74,12

Dlog2

f

1

D71,3log2

f

1

Para 70*u

198/D

fRe

Lei de resistência para escoamento turbulento em tubos circulares rugosos

Exemplo 2.1 Um ensaio de laboratório, em uma tubulação de diâmetro igual a 0,30m, mostrou que a velocidade, medida com tubo de Pitot, em pontos situado a 2cm da parede era de 2,5m/s. Sendo a rugosidade absoluta da tubulação = 1,0mm e a viscosidade cinemática da água =10-6m2/s, determine:

a) A tensão tangencial na parede da tubulação;b) Se o escoamento é hidraulicamente rugoso;c) A distribuição de velocidade, corresponde à máxima vazão, para a

qual a mesma tubulação pode ser considerada lisa;d) O valor da velocidade na linha de centro da tubulação em ambos

os perfis, liso e rugoso.

0,3

mm0,1

Exemplo 2.1-Solução

a) Assumindo que o escoamento seja hidraulicamente rugoso, pode-se utilizar a equação 2.31, na forma

1,0

2ln5,248,8

u

5,2

*

02*u

s/m156,0u*

yln5,248,8

u

v

*

2230 m/N3,24156,010


b) O número de Reynolds de rugosidade vale:

7015610

10156,0u6

3*

c) Limite para qual fronteira ainda é hidraulicamente lisa é:

s/m10.510

105u5

u 33

6

**

Usando a equação 2.24, tem-se

yln510,12134,0v10

105yln5,25,5

105

v 36

3

3


d) Na linha de centro, y = 0,15 e v = vmáx, assim :

s/m11,015,0ln105,12134,0v 3máx

Escoamento liso:

Escoamento rugoso (eq. 2.31):

s/m28,3v10

15,0ln5,248,8

156,0

vmáx3

máx

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