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Física I
2º Semestre de 2013
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 4 Forças Atrito e Centro de Massa
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: [email protected] Fone: 3091.7104
Atrito
Atrito
Objetos comuns que parecem lisos, são ásperos e corrugados emescala atômica. Quando as superfícies entram em contato, elas setocam apenas nas saliências (asperezas). Assim, apenas algumasmoléculas de sua superfície interagem quimicamente (atraçãoeletromagnética) com as moléculas do corpo vizinho. Essas interaçõessão responsáveis pelas forças de atrito.
Atrito estático é a força de atrito que atua quando não existe
deslizamento entre as duas superfícies em contato.
Ele se opõe ao movimento relativo entre as superfícies.
É proporcional às forças que pressionam as duas superfícies entre si.
Atrito Estático
nee Ff max
μe é o coeficiente de atrito estático
efef
NF
P
Fe_max é um limite superior para a força de atrito estático.Além deste limite, as interações químicas se rompem,permitindo o movimento relativo entre as superfícies.
A orientação da força de atrito estático é tal que se opõe à tendência dos deslizamentos.
Atrito Estático
nee Ff μe é o coeficiente de atrito estático
Se o esforço entre as superfícies for alto, podehaver movimento relativo. Nestas circunstânciashaverá um atrito entre as superfícies, chamado deatrito cinético (de deslizamento) que se opõe aomovimento.
Este atrito é também proporcional às forças deinteração entre as superfícies.
A orientação da força de atritoé tal que se opõe à tendênciados deslizamentos.
Atrito Cinético
ncc Ff
μc é o coeficiente de atrito cinético
ec
Atrito Estático e Cinético
ec
Os materiais reais (pneus e estradas) estão continuamente se deformando, o que gera calor e portanto dissipação de energia. Assim, existe uma força de atrito de rolamento, que se opõe ao movimento e depende da dissipação de energia.
Valores típicos para μr são de 0,01 a 0,02 entre pneus de borracha e concreto e 0,001 e 0,002 entre rodas de aço e trilhos de aço.
Atrito de Rolamento
ecr
nrr Ff
μr é o coeficiente de atrito de rolamento
Forças de atrito de rolamento são frequentemente desprezadas.
Em um jogo de hockey, o jogador dá uma tacada no disco (massa= 0,40 kg) queestá inicialmente em repouso. O disco parte inicialmente com uma rapidez de8,5 m/s e desliza por uma distância de 8,0 m antes de parar. Encontre ocoeficiente de atrito cinético entre o disco e o chão.
Exemplos
Direção y: xresxc
n
rescgn
maFf
mgF
amFfFF
_
0
mgFn
ga
mamg
maF
maf
cx
xc
xnc
xc
xgv
xgv
xavv
c
c
x
2
20
2
2
0
2
0
2
0
2
46,0c
Usando Torricelli, temos:
Direção x:
Uma moeda foi colocada sobre a capa de um livro, que está sendo abertoprogressivamente. O ângulo θmax é o ângulo que a capa forma com ahorizontal, quando a moeda começa a se mover. Encontre o coeficiente deatrito estático entre a capa e a moeda.
Exemplos
mas:
0sin
0cos
0
mgf
mgF
amFfFF
e
n
resegn
nee Ff
tanne Ff
maxtan e
No limite de escorregamento
no limite quando a moeda começa a se mover
Direção y:
Direção x:
Duas crianças estão sentadas em um trenó em repouso. Voce começa a puxá-laspor uma corda que faz um ângulo de 40° em relação à horizontal. A massa totaldas crianças é 45 kg e do trenó 5 kg. Os coeficientes de atrito estático ecinético são 0,20 e 0,15. Encontre a força de atrito entre o trenó e a neve e aaceleração do trenó, se a tensão na corda for (a) 100 N e (b) 140 N.
Exemplos
Verificar se a condição é estática
0cos
0sin
Tf
mgTF
e
n
nee Ff
cosmax_ Tff ee
em x:
em y:
mgTFn sin
0 amTfFF gn
Antes de se mover
no limite quando começa a se mover
Para T= 100 NNTfe 77cos
NfmgTF eene 85)sin( max_ nee Ff
Para T= 140 N
NTfe 107cos nee Ff
cosTfe
mgTFn sin
2/64.050
75107cos
cos
smm
fTa
maTf
cin
cin
NFf nccin 75
Temos que considerar atrito cinético
Antes de se mover
NfmgTF eene 80)sin( max_
0cos Tfe
Na figura abaixo, o bloco m2 =5,0 kg está ajustado para que o bloco m1 =7,0kg estejana iminência de escorregar.
(a) Qual é o coeficiente de atrito estático entre a mesa e o bloco?
(b) (b) Com um pequeno toque, os blocos se movem. Encontre a aceleração, sabendo queo coeficiente de atrito cinético entre bloco e mesa é de 0,54.
Exemplos
0
01
Tf
gmF
e
n
nee Ff
(a) Condição estática
71,01
2 m
me
gmf
gmF
e
n
2
1
No limite de escorregamento
02 Tgm
em x:
em y:
Bloco 1
Bloco 2
ncc Ff (b) Em movimento
2
21
12 /0,1 smgmm
mma c
amgmT 22
amTf
gmF
c
n
1
1 0
gmFn 1
amTgm 22
em x:
em y:
Bloco 1
Bloco 2
ammgmgm
amamgmf
amTf
c
c
c
)( 2121
122
1
gmf cc 1
amTfc 1 amgmT 22 Duas equações
0cos
0)0(sin
mgF
mfmgF
N
e
no limite de se mover cosmax_ mgFff eneee
cossin
0cossin
0sin
mgmgF
mgmgF
fmgF
e
e
e
Para bloco de m=2000 kg
e=0,40 e =52 graus
F=2,027x104 N
Se cada pessoa pode carregar
686 N então precisamos 30 operários
Problema da pirâmide
Quando um objeto se move através de um fluido, este exerce uma força dearraste, que se opõe ao movimento do objeto.
A força de arraste depende da forma do objeto, das propriedades do fluido eda rapidez do objeto em relação ao fluido.
Tipicamente a força de arraste é do tipo Fa=bvn , onde b é uma constante.
Porém, para pequenas velocidades, n= 1.
Forças de arraste
mabvmg n Considere um objeto largado do repouso, caindo no ar.
n
lb
mgv
/1
nvm
bga
Na medida que o objeto cai, sua velocidade aumenta, até que a aceleração se torne nula, atingindo uma velocidade limite vl.
Um para-quedista de 64 kg cai com uma rapidez terminal de 180 km/h, com seus braços e pernas estendidos. (a) Qual a magnitude da força de arraste, sobre o para-quedista? (b) Se n=2, qual é o valor de b?
Exemplos
(a) Velocidade constante
Força de arraste
NF
mgF
a
a
628
mkgv
mgb
bvFa
/251,02
2
(b) Valor de b
Naturalmente, devido à inércia, os corpos se movem em linha reta. Trajetórias curvas envolvem acelerações e forças centrípetas.
Vamos analisar vários casos particulares.
Para t pequeno, h é desprezível frente a 2r
Movimento em Trajetória Curva
22
22222
222
)2(
2
)()(
tvhrh
rtvhhrr
rvthr
Movimento de um satélite em órbita terrestre
Considere que o satélite esteja a 200 km da superfície da Terra, onde o valor de g é próximo ao da superfície.
Se não houvesse g, a trajetória seria P1-P2.
Devido à g, a trajetória é P1-P2’ . 22
22
2
1
2
tr
vh
tvrh
r
vmF
r
va
res
2
2
Portanto,
Força centrípeta
Considere um corpo de massa m, suspenso por um fio, fazendo um
movimento circular de raio r e com rapidez constante v.
Movimento Pendular Cônico
Chamamos de Força Centrípeta a
componente da resultante que é
responsável pelo movimento circular.
r
g
maT
mgT
amFT
sin
0cos
sin2
2
Tr
vmF
r
va
cp
r
Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda amassa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forçasexternas estivessem aplicadas sobre ele.
Centro de Massa
Para um corpo constituído de N partículas, o Centro de Massa é dado por
kzjyixr cmcmcmcmˆˆˆ
i
iicm rmM
rmrmM
r
112211
onde
i
iicm
i
iicm
i
iicm
zmM
z
ymM
y
xmM
x
1
1
1e
Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele.
Centro de Massa
Para duas partículas unidas por uma haste de comprimento d
2211
1xmxm
Mxcm
21
21
1211 )(1
mm
dmxx
dxmxmM
x
cm
cm
21
22
1
mm
dmdm
Mxcm
Colocando o referencial na partícula 1
então x1=0
Centro de Massa da molécula de água (H20).
Com mO= 16,0 uma e mH= 1,0 uma, distância entre o oxigênio e o hidrogênio de 96,0 pm e ângulo de abertura da molécula de 104,5°.
Exemplos
Para 3 partículas, temos
M
ymy
M
xmx
ii
cm
ii
cm
,
onde
OHH
OOHHHH
cm
OHH
OOHHHH
cm
mmm
ymymymy
mmm
xmxmxmx
21
2211
21
2211
25,52sin1096
25,52cos1096
0
12
12
21
21
xyy
xxx
yx
HH
HH
OO
mjixrcm )ˆ0ˆ1053,6( 12
Centro de Massa de uma folha uniforme de madeira.
Com densidade superficial s.
Exemplos
Vamos determinar o centro de massa de cada parte
ss
ss
04,0
32,0
22
11
Am
Am
Onde a massa de cada parte é
my
mx
my
mx
cm
cm
cm
cm
50,0
70,0
20,0
40,0
2
2
1
1
my
mx
cm
cm
23,0
43,0
21
2211
21
2211
mm
ymymy
mm
xmxmx
cm
cm
Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele.
Centro de Massa
Para um corpo extenso com distribuição contínua de massa
dmrM
rcm
1
onde
dmM
Se o corpo possuir simetrias geométricas, o centro de massa estará no centro de simetria.
i
iicm rmM
r 1
Centro de Massa de uma barra uniforme de comprimento L e densidade linear de massa λ.
Exemplos
A massa total M está distribuida ao longo do comprimento L, portanto a densidade linear de massa λ=M/L.
Para um pedaço infinitezimal dx, temos uma massa dm=λdx
Para o centro de massa temos
dmixM
dmrM
rcmˆ11
dmM
LdxdmMLL
00
idxxM
dmixM
rLL
cmˆ)
1(ˆ1
00
iL
Mixdx
Mr
L
cmˆ)
2
1(ˆ)
1(
2
0
iL
iL
Lrcm
ˆ2
ˆ)2
1(
2
Centro de Massa de um anel semicircular uniforme de raio R e densidade linear de massa λ.
Exemplos
A massa total M está distribuida ao longo do comprimento πR, portanto a densidade linear de massa λ=M/ πR.
Para um pedaço infinitezimal ds, temos uma massa dm=λds
Mas, um pedaço ds pode ser escrito como Rdθ
Para o centro de massa temos
dmjyixM
rcm )ˆˆ(1
RRddsdmMLL
000
jRrcmˆ2
dmjiRM
rcm )ˆsinˆ(cos1
0
)ˆsinˆ(cos1
RdjiRM
rcm
0
2
)ˆsinˆ(cos djiM
Rrcm
)ˆˆ( cossin00
jiR
rcm
dmRM
dmrM
rcm
11
Podemos decompor o movimento de um corpo como o movimentodo Centro de Massa mais o movimento individual das partículasconstituintes em relação ao Centro de Massa.
Movimento do Centro de Massa
Mas, da terceira Lei de Newton, as forças internas aparecem aos pares e se cancelam.
i
iicm rmM
r 1
cm
i
ii
i
ii
cm vvmMdt
rdm
Mdt
rd
11derivando
derivandocm
i
ii
i
ii
cm aamMdt
vdm
Mdt
vd
11
i
i
i
iicm FM
amM
a 11
i
i
i
icm extFF
Ma
int
1
i
Ricm extextF
MF
Ma
11 O Centro de Massa de um sistema se move como uma partícula pontual com a massa total do sistema, sob a influência da força externa resultante que atua sobre o sistema.
Um projétil é disparado em uma trajetória que o faria pousar 56 m adiante. Ele explode no topo da trajetória, partindo-se em dois pedaços iguais. Um dos fragmentos tem velocidade nula. Onde aterriza o outro pedaço?
Exemplos
X2= 84 m
RR
Rx
xR
R
mxmxmx
xmxmMx
cm
cm
2
3
22
22
2
2
2
21
2211
Pedro (80 kg) e Davi (120 kg) estão em um barco de massa 60 kg. Davi está na proa e Pedro na popa, a 2,0 m de Davi. O barco está em repouso e ele trocam de lugar. De quanto o barco se move, devido à troca de lugares?
Exemplos
1111 bbddppcm xmxmxmMx
Situação inicial
Situação final
2222 bbddppcm xmxmxmMx
bbddppcm xmxmxmxM
Supondo que o barco se moveu d
Lmmm
mmd
bpd
pd
dmLdmLdm bdp )()(0
md 31,0