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AULA 8
Análise Diferencial: Equação fundamental do movimento de uma
partícula de fluído Ideal e Real
Prof. Geronimo Virginio Tagliaferro
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Equação de Euler
Equação de Navier-Stokes
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Equação de Euler
Vamos desconsiderar as forças viscosas, ou seja, viscosidade nula.
Teremos um fluído ideal.
As forças de contato irão se resumir ao efeito das pressões.
Forças de campo:
Forças de campo para gravidade:
Força de pressão num ponto qualquer da superfície:
fdm
gdm
-pndA
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No caso geral, essas três equações podem apresentar cinco incógnitas:
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a) O campo de velocidades, constituído por vx, vy e vz em
coordenadas cartesianas, ou vr, v e vz em coordenadas
cilíndricas;
b) A distribuição das massas específicas;
c) A distribuição das pressões.
Neste caso, o sistema de equações apresentado terá necessidade do
auxílio de mais duas equações:
Equação da continuidade:
Equação de estado:
0d
div vdt
,f p T T – outra equação da
distribuição da temperatura
- Dependendo do problema o número de equações é grande e de difícil solução.
- Existem simplificações que tornam a solução mais confortável.
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Vamos estudar alguns casos para familiarizarmos com as equações.
Fluido incompressível em repouso, campo da gravidade. f g
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tep z c
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Equilíbrio relativo para fluido incompressível
- Vamos considerar que o fluído está em movimento em relação a um
inercial, porem estará em repouso em relação ao recipiente, no qual se
fixará o sistema de referência.
- Estando o recipiente acelerado, do ponto de vista do sistema de referência
fixo, a aceleração será vista como uma força de inércia, isto é
1f
1f 0
grad p a
a grad p
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3
3
3
x
y
z
apz C
g
apz C
g
apz C
g
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- Geometria do movimento
Queremos determinar a trajetória de um partícula.
Trajetória: é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma
partícula, com o passar do tempo.
Partindo das equações paramétricas do movimento em
coordenadas cartesianas, temos:
v v v
v v v
v v v
x x
x
y y
y
z z
z
dx dxdx dt dt
dt
dy dydy dt dt
dt
dz dzdz dt dt
dt
Eliminando o tempo nas
equações, obtêm-se as equações
em coordenadas cartesianas que
representam a linha geométrica
percorrida pela partícula
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Linhas de Corrente
2
2
x
y
o
Vamos considerar para um mesmo
tempo e z = 0, temos:
v v
v v
x y
x y
dx dydt dt
dx dy
Logo para outras configurações temos:
v v 0 v v
v v 0 v v
v v 0 v v
y x
x y
x z
x z
z y
y z
dx dydx dy
dx dzdz dx
dy dzdy dz
As linhas de corrente é a
linha tangente aos vetores
da velocidade nos seus
pontos de aplicação, num
certo instante.
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Escoamento bidimensional de fluido ideal, incompressível
A equação de uma linha
de corrente num plano xy
qualquer é dada por:
v v
v v 0
vamos chamar essa equação = psi
= v v 0
= Função de corrente
se 0 =C
x y
x y
x y
te
dx dy
dy dx
d dy dx
d
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Nos pontos onde = Cte , num plano de escoamento bidimensional,
deverá pertencer a uma linha de corrente.
O valor da constante denomina-se “cota da linha de corrente”.
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Equação de Navier-Stokes
Há efeitos da viscosidade. Fluído real.
Há formação de tensões de cisalhamento.
No movimento da partícula há translação, rotação ou
deformação.
A previsibilidade só é precisa em escoamento laminar.
Movimento em escoamento turbulento precisará dos cálculos
de estatística. Foge do nosso foco.
Somente em escoamento laminar.
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Embora a equação utilize conceitos já introduzidos, não está
nas finalidades deste desenvolvimento a sua dedução.
Vamos apresentar apenas o resultado.
A equação de Navier-Stokes representa a dinâmica da
partícula, ou seja, a equação da quantidade de movimento
completa com todos os seus termos.
Equação de Navier-Stokes
2v 1 1f div v v
3
da grad p grad
dt
Equação de Euler Efeito da viscosidade no fluido
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O uso da equação de Navier-Stokes para casos gerais é de grande
complexidade, exigindo métodos numéricos de integração (software) que
fogem do escopo deste estudo.
Vamos amenizar a complexidade aplicando a equação para fluidos
incompressíveis já que para eles
A equação se reduz:
div v = 0
2v 1f v
da grad p
dt
Equação de Navier-Stokes
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Equação de Navier-Stokes
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Equação de Navier-Stokes
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Exemplos:
1) Dado o escoamento cujo campo de velocidade é:
Determinar:
a) A equação da linha de corrente que passa pelo ponto P1 = (2;1;2);
b) A equação da trajetória que passa por P1 , no instante t = 1;
c) A aceleração num instante t qualquer, no ponto P1.
v ; v e v 0x y z
x y
t t
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Solução:
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Solução:
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Exemplo 2 – Considere um escoamento permanente, incompressível e
laminar, totalmente desenvolvido, de um fluido newtoniano com viscosidade
constante, no interior de um duto horizontal de seção circular constante de
raio interno R, conforme mostrado na figura abaixo. Determine a distribuição
(perfil) de velocidade de escoamento numa seção, a partir da equação de
Navier-Stokes, considerando um gradiente de pressão dp/dz constante ao
longo do escoamento
escoamento R r
z
Duto