aula aletas ft2
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Transferência de Calor emSuperfícies Estendidas:
Aletas
Universidade Federal de AlfenasInstituto de Química
Professor: Adriano Aguiar Mendes
� Superfície estendida écomumente usado paradescrever um caso especialimportante envolvendo atransferência de calor porcondução no interior de umsólido e a transferência decalor por convecção (e/ouradiação) nas fronteiras dosólido.
� Em uma superfícieestendida, a direção datransferência de calor nasfronteiras é perpendicular àdireção principal datransferência de calor dosólido.
Transferência de Calor
Aletas� Existem várias situações diferentes que envolvem os
efeitos combinados de condução/convecção, aaplicação mais frequente é aquela na qual umasuperfície estendida é usada especificamente paraaumentar a taxa de transferência de calor entre umsólido e um fluído adjacente. Tal superfície estendida échamada de aleta.
� Objetivo do uso de aletas é aumentar a taxa detransferência de calor.
� Aletas são superfícies que estendem a partir dasuperfície de um objeto, de modo a aumentar a taxade transferência de calor para o ambiente (ou vice-versa) através do aumento da convecção.
Aletas
Como aumentar a taxa de transferência de calor?
1 – Aumentando o gradiente de temperatura. 2 – Aumentando o coeficiente de convecção. 3 – Reduzir a resistência.3 – Aumentando a área de contato.
Aletas: Aplicações� Para resfriar motores a combustão (Radiadores).
� Transformadores de potência elétrica.
� Motores elétricos.
� Trocadores de calor com tubos aletados.
Aletas: Aplicações
Aletas: Configurações
Aleta plana comseção transversaluniforme.
Aleta plana comseção transversalnão-uniforme.
Aleta anular Aleta piniforme
Equações de TC com Aletas
Lei de Conservação de Energia
Equação de Fourier: e
VCacumuladaVCgerada
conv
SCsai
cond
SCsai
cond
SCentra EEEEE =+−−00
0=−− conv
SCsai
cond
SCsai
cond
SCentra EEE
0=−− + convdxxx qqq
dx
dTkAq trx −= dx
dx
dqqxq x
dxx +=+
dxdx
dTA
dx
dk
dx
dTkAq trtrdxx
−−=+
Condução de calor:Lei de Conservação de EnergiaConvecção de calor:
� Substituindo as equações, tem-se:
( ) 0... =−−
∞TTdxPhdx
dx
dTAk
dx
dtr
ou
( ) ( )∞−= TTdxPhqconv ...
( ) 0...2
2
=−− ∞TTPhdx
TdAk tr
Equação Geral de Transferência de Calor em superfícies estendidas (aletas)
( ) 0.
.2
2
=−− ∞TTAk
Ph
dx
Td
tr
Lei de Conservação de Energia
� Simplificando a equação anterior, tem-se:
� Onde m é o coeficiente da aleta (m-1).
02
2
2
=− θθ
mdx
d
trkA
hPm ≡2
( ) ( ) ∞−≡ TT xxθ
trkA
hPm =
Lei de Conservação de Energia
� A expressão anterior é uma equação diferencial linearordinária de segunda ordem, cuja solução geral é:
� Em que: C1 e C2 são constantes para seremdeterminadas através das condições de contornoapropriadas.
� Aplicando CC na equação de segunda ordem:
x=0; T=TS
mxmx eCeCTT −∞ +=− 21
Lei de Conservação de EnergiaCaso A: Barra infinitamente longa.
∞−∞∞ +==− mm eCeCTT 210
� Neste caso, sua temperatura se aproxima datemperatura do fluido quando x T, ou T=TS em x T.Substituindo essa condição na equação anterior, tem:
� Como o segundo termo da equação acima é zero, acondição de contorno é satisfeita apenas se C1=0.Substituindo C1 por 0, na equação acima, tem-se:
� A distribuição de temperatura é:
∞−= TTC s2
∞−∞∞ −=− m
S eTTTT )(
Lei de Conservação de Energia
� Como o calor transferido por condução através da baseda aleta deve ser transferido por convecção dasuperfície para o fluido, tem-se:
� Substituindo a equação anterior na equação acima ederivando para x=0, tem-se:
0=
−=x
traletadx
dTkAq
( ) ( )[ ] ( )
−−−=−−−= ∞=
−∞ TT
kA
hPkAeTTmkAq S
tr
trx
m
Straleta 0
0...
( )∞−= TThPkAq Straleta
Lei de Conservação de EnergiaCaso B: Barra de comprimento finito, com perda de calorpela extremidade desprezível.
ml
S
e
TTC
211+−
= ∞
� Neste caso, a 2° CC irá requerer que o gradiente detemperatura em x=L seja igual a zero, ou seja,dT/dx=0 em x=L. Com estas condições:
� Substituindo as CC na equação anterior, tem-se:
ml
S
e
TTC
221 −
∞
+−
=
( )
++
+−=− −
−
∞∞ ml
mx
ml
mx
SSe
e
e
eTTTT
22 11.
Lei de Conservação de Energia� Considerando que o cosh é definido como� Neste caso, a equação anterior pode ser escrita em uma
forma adimensional simplificada :
� A transferência de calor pode ser obtida através daequação abaixo, substituindo o gradiente detemperatura na base:
( )( )ml
xlm
TT
TT
S cosh
cosh −=
−−
∞
∞
( ) 2cosh xx eex −+=
( ) ( )
+−
−=
+
++
−= −
−
∞−∞=
mlml
mlml
SmlmlS
x ee
eemTT
eemTT
dx
dT.
1
1
1
1.
22
0
( ) ( )mltghmTTdx
dTS
x
.0
∞=
−=
Lei de Conservação de Energia� O calor transferido, na unidade de tempo, é então:
( ) ( )mltghTThPkAq Straleta ∞−=
Caso C: Barra de comprimento finito, com perda de calorpela extremidade.
� Neste caso, a álgebra envolvida é algo maiscomplicado, entretanto o princípio é o mesmo e o fluxode calor transferido é:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
+
+−= ∞
mlsenhmkhml
mlmkhmlsenh
TThPkAq Straletacosh
cosh
Tipos de Aletas
� Aletas com secção transversal retangular.Considerando que a aleta tem espessura b e largura e(espessura pequena em relação à largura), ocoeficiente da aleta m pode ser calculado assim :
trkA
hPm =
twA
wtwP
tr .
.2.2.2
=
≅+=
kwt
whm
2=
kt
hm
2=
Tipos de Aletas
� Aletas com secção transversal não-retangular. Ocálculo do coeficiente m pode ser feito de modo similarao caso anterior, considerando uma área transversalmédia.
Tipos de Aletas
� Aletas curvas. Depende da direção do escoamento dofluido externo, pois as aletas não devem prejudicar ocoeficiente de película, ou seja, não podem provocarestagnação do fluido.
trkA
hPm =
( )erA
rrP
tr ...2
..4..2.2
πππ
=
≅≅
erk
hrm
...2.
...4
ππ
=ke
hm
2=
Tipos de Aletas
� Aletas piniformes. O coeficiente da aleta m pode sercalculado assim:
trkA
hPm =
2.
..2
rA
rP
tr π
π
=
=
2..
..2.
rk
rhm
ππ
=kr
hm
2=
Eficiência das Aletas
� Considerando uma superfície-base sobre a qual estãofixadas aletas de seção transversal uniforme. As aletastem espessura e, altura l e largura b. A superfície baseestá na temperatura TS maior que a temperaturaambiente T∞.
Eficiência das Aletas
� O fluxo de calor total transferido através da superfíciecom as aletas é igual ao fluxo transferido pela áreaexposta das aletas (AA) mais o fluxo transferido pelaárea exposta da superfície base (AB):
� A diferença de temperatura para a área das aletas (T? -T∞) é desconhecida. A temperatura TS é da base daaleta, pois à medida que a aleta perde calor, a suatemperatura diminui, ou seja, AA não trabalha com omesmo potencial térmico em relação ao fluido.
aletaBT qqq +=( )∞−= TThAq SBB
( )∞−= TThAq Aaleta ?
Eficiência das Aletas
� Por este motivo qA, calculado com o potencial (TS–T∞),deve ser corrigido, multiplicando este valor pelaeficiência da aleta (η). A eficiência da aleta pode serdefinida assim:
� Portanto:
SA TatemperaturnaestivesseAsetrocadoseriaquecalor
aletapelatrocadorealmentecalor=η
( )∞−=
TThA
q
SA
aletaη
Eficiência das Aletas
� O fluxo de calor em uma aleta cuja troca de calor pelaextremidade é desprezível é obtido através da equaçãoabaixo, obtida anteriormente:
� Igualando as duas equações para o fluxo de calor, tem-se:
� Isolando a eficiência da aleta, obtém-se:
( ) ( )mltghTThPkAq Straleta ∞−=
( ) ( ) ( )mltghTThPkATTAh StrSA ∞∞ −=− η..
( )mltghAh
hPkA
A
tr
.=η
( )∞−=
TThA
q
SA
aletaη
Eficiência das Aletas� A área de troca de calor da aleta pode ser aproximada
para:
� Substituindo a equação acima na equação anterior,obtém-se:
� O coeficiente da aleta (m) pode ser introduzido naequação acima para dar a expressão final da eficiênciada aleta:
( ) ( ) ( )
lkA
Ph
lmthgmltgh
hPl
kAmltgh
lPh
kAPh
t
tt
..
.
...
. 2/12/1
===η
lPAA .=
( )lm
lmtgh
.
.=η onde:
tAk
Phm
.
.= e ( )
mlml
mlml
ee
eelmtgh −
−
+−
=.
Eficiência das Aletas� De acordo com a equação abaixo, anteriormente
determinada, o fluxo de calor trocado em umasuperfície aletada por ser calculado:
� Rearranjando a equação acima, tem-se:
� A eficiência da aletas é obtida a partir da equaçãoacima e as áreas não-aletada (AB) e das aletas (AA) sãoobtidas através de relações geométricas.
aletaBT qqq +=
( )( )∞−+= TTAAhq sABT η
( ) ( )η... ∞∞ −+−= TTAhTTAhq SASBT
Exercícios� 1) A dissipação de calor em um
transistor de formato cilíndrico podeser melhorada inserindo um cilindrovazado de alumínio (k=200 W/m.K)que serve de base para 12 aletasaxiais. O transistor tem raio externode 2 mm e altura de 6 mm, enquantoque as aletas tem largura de 10 mm eespessura de 0,7 mm. O cilindrovasado com as aletas, cuja espessuraé 1 mm, está perfeitamente ajustadoao transistor e tem resistência térmicadesprezível. Sabendo que ar fluindo a20°C sobre as superfícies das aletasresulta em um coeficiente de películade 25 W/m2.K, calcule o fluxo de calordissipado quando a temperatura dotransistor for 80°C.
Exercícios� 2) Uma placa plana de alumínio
(k=175 Kcal/h.m.°C) de resistênciatérmica desprezível tem aletasretangulares de 1,5 mm de espessurae 12 mm de largura, espaçadas entresi de 12 mm, ocupando toda a largurada placa. O lado com aletas está emcontato com ar a 40°C e coeficientede película 25 Kcal/h.m2.°C. No ladosem aletas escoa óleo a 150°C ecoeficiente de película 225Kcal/h.m2.°C. Calcule por unidade deárea da placa:
� a) Fluxo de calor pela placa aletadadesprezando a resistência da películade óleo;
� b) Idem item anterior levando emconta a resistência a convecção napelícula de óleo.
Considerar a área 1 m2
Lembrar que “L” é alargura da aleta = 12 mm
Exercícios� 3) Determine o aumento do calor dissipado por unidade de tempo
que poderia ser obtido de uma placa plana usando-se porunidade de área 6400 aletas de alumínio (k=178 Kcal/h.m.°C),tipo pino, de 5 mm de diâmetro e 30 mm de altura. Sabe-se quena base da placa a temperatura é 300°C, enquanto que oambiente está a 20°C com coeficiente de película de 120Kcal/h.m2.oC.
Exercícios� 4) Determine a porcentagem de
aumento da transferência de calorassociada com a colocação de aletasretangulares de alumínio (k=200W/m.K) em uma placa plana de 1mde largura. As aletas tem 50 mm dealtura e 0,5 mm de espessura e adensidade de colocação é 250 aletaspor unidade de comprimento da placa(as aletas são igualmente espaçadase ocupam toda a largura da placa). Ocoeficiente de película do ar sobre aplaca sem aletas é 40 W/m2.K,enquanto que o coeficiente depelícula resultante da colocação dealetas é 30 W/m2.K. (OBS: desprezaras áreas laterais das aletas).
Exercícios� 5) Numa indústria deseja-se projetar um dissipador de calor para
elementos transistores em um local onde o coeficiente de películaé 3 Kcal/h.m2.°C. A base do dissipador será uma placa plana, de10 x 10 cm, sobre a qual estarão dispostas 8 aletas, de seçãotransversal retangular, com espaçamento constante, de 2 mm deespessura e 40 mm de altura. Sob a placa deve ser mantida umatemperatura de 80°C, com temperatura ambiente de 30°C.Considerando a condutividade térmica das aletas igual a 35Kcal/h.m.°C, pede-se :
a) a eficiência da aleta;b) calor dissipado pela placa aletada;c) razão percentual entre os fluxos de calor dissipado pelas
aletas e o total.