aula cálculo
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An´ atica II 1a Aula Pr´alise Matem´ atica 2o Semestre 2004/2005
1a Aula Pratica
c˜Observa¸oes: Recorde que “P cos x = sen x” significa “uma primitiva de cos e . . . ”, e que so-c˜mando uma constante qualquer se obtem outra primitiva. A no¸ao de primitiva e as suas
propriedades elementares a usar nesta aula podem ser revistas observando os seguintesexemplos:
P cos x = sen x porque D sen x = cos x
P 2 cos x = 2 sen x porque . . .xP(cos x + ex) = sen x + e porque “a derivada da soma e . . . ”
1P cos 3x = sen 3x porque D sen 3x = . . .
3·
2P 2x cos x2 = sen x porque . . .
1) Determine uma primitiva da fun¸ao definida (em algum intervalo apropriado) pela ex-c˜pressao:
a) x5
b) x +√
x
3 x√
xc) +√
x 4( )21 1
d)2
+x√
xx
1e)
2cos xf) 2x
1g) √
4 − x2
1h)
5 + x2
i) ex+3
j) (x2 + 1)3
k) 2x−1
1l)
5√
1 − 2x
m) tg2 x
2) Determine uma primitiva da fun¸ao:c˜
a) sen 2x
b) e5x
c) x sen x2
xd)
1 + x2
e) tg x
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An´ atica II 1a Aula Pr´alise Matem´ atica 2o Semestre 2004/2005
f) cotg x
1g)
sen2 3x1
h)3x − 7
i) tg 2x
j) cotg(5x − 7)
k) tg x sec2 x
c˜Obs. Note que a ideia da resolu¸ao e a mesma ideia que permitiu resolver 2.c) e ate2.b), 2.a), etc. Observe a regra geral:
Se P f(x) = F (x)entao P u′f(u) = F (u)
l) cos3x sen x
m) x√
x2 + 1cos x
n)sen2 x
xeo)
ex2 +3x
p)
q) sh(2x + 1) ch(2x + 1)
x8 + 1
2r) 3sen x sen 2x
tg√
xs) √
xxe
t)2x
√1 − e
u) tg3 x
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An´ atica II 2a Aula Pr´alise Matem´ atica 1o Semestre 2004/2005
2a Aula Pratica
1) Determine uma primitiva da fun¸ao definida (em algum intervalo apropriado) pela ex-c˜pressao:
a) 3ex +√
x( )21 4
b)3
+x√
xx
1c) cotg(2x)
4
d) xe−x2
cos(log x)e)
xf) x sh x2
2) Determine primitivas das seguintes fun¸oes:c˜
1a)
x − 53
b)(x + 2)2
1c)
x2 + 4x
d)x2 + 4
1e)
x2 + x + 1x
f)x2 + x + 1
c˜3) Determine primitivas das seguintes fun¸oes:
a) sen2 x
b) cos2 x
c) cotg2 x
d) sec x
e) cosec x
f) sen3 x
g) cos3 x sen2 x
4) Determine primitivas das seguintes fun¸oes:c˜
xa) xe
b) log xxc) e sen x
d) x2 sen x
e) arctg x
f) cos(log x)
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An´ atica II 3a Aula Pr´alise Matem´ atica 1o Semestre 2004/2005
3a Aula Pratica
1) Determine uma primitiva da fun¸ao definida (em algum intervalo apropriado) pela ex-c˜pressao:
1a)
2x − 13x + 1
b)x3 − x
4xc)
1 − xx + 1
d)x(x − 2)2
1e)
(x + 1)(x2 + 1)
x + 1f)
x5 + 4x3
1g)
x4 − x3 − x + 11
h)(x2 + 1)2
1i)
x4 + 1
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∫
∫
∫∫
∫
An´ atica II 4a Aula Pr´alise Matem´ atica 1o Semestre 2004/2005
4a Aula Pratica
1) Calcule os seguintes integrais:∫ 3 xa)
2dx
x − 252∫ 4 3xb) dx
2 x − 12e
c) x log x dxe
2) Considere a fun¸ao F : R+
R definida pela identidade:c˜ →t2+1x
teF (x) = dt
t1
a) Mostre que F ( 1 ) = −F (x), para todo x ∈ R+.
x
b) Mostre que F e diferenciavel em R+ e calcule F ′(x) para todo x ∈ R
+.
3) Sendo F a fun¸ao definida em R pela seguinte express˜c˜ ao, calcule F ′(x) para todo x ∈ R.∫ 0
a) F (x) = sen2 t dtx
b) F (x) = log(1 + t
2x2) dt
x
x x+tec) F (x) = dt
t2 + 10
c˜ c˜4) Dada uma fun¸ao contınua ϕ : R R, mostre que a fun¸ao f : R R definida pela→ →expressao
x
f(x) = (x − t)ϕ(t) dt0
e duas vezes diferenciavel em R.
x5) Calcule todas as primitivas da fun¸ao definida por e em R \ {0}.c˜
6) Calcule uma primitiva de:
sen xa)
(1 − cos x)3(Recorra ` c˜a substitui¸ao cos x = t.)
1b)
sen x(1 − cos x)3
7) Mostre que existe uma (e uma s´ c˜ c˜o) fun¸ao f : R R que verifica as seguintes condi¸oes:→⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
xef ′′(x) =
(ex + 1)2para todo x ∈ R
f(0) = 0
f(1) = 1
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∫
An´ atica II 4a Aula Pr´alise Matem´ atica 1o Semestre 2004/2005
8) Calcule os seguintes integrais:∫ 8 dxa)
x√
x + 11∫ 1√
4 − 2xao: substitui¸ao x = 1/t)b)
4dx (Sugest˜ c˜
1/2 x∫ 1/2
c)1/4
dx√x − x
(x = sen2 t)2
3x∫ 2 e2x + 2ed) dx
1 1 − ex
π/2 sen xe) dx (cotg x = t)
π/4 sen x + cos x
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{
{
An´ atica II 5a Aula Pr´alise Matem´ atica 2o Semestre 2004/2005
5a Aula Pratica
1) Determine a ´ ao compreendida entre o eixo dos xx e o gr´ c˜area da regi˜ afico da fun¸ao
f(x) = (x + 2)−2 , x ∈ [0, 2] .
2) Determine a area delimitada pelas curvas
y = x , y = sen x , x = π/2 .
area do conjunto de todos os pontos (x, y) que verificam as condi¸oes:3) Determine a ´ c˜
2 2x + y ≤ 10
x + y| | | | ≥ 4
4) Calcule a ´ ao plana delimitada pelas linhas dearea e o comprimento do bordo da regi˜c˜equa¸oes y = x + 1 e y = (x − 1)2.
5) Calcule a ´ ao delimitada pelo gr´area da regi˜ afico de y = log x e pela recta que o intersectanos pontos de abcissa 1 e e. Calcule o comprimento da linha que delimita esta regiao.
area da regi˜ aficos das fun¸oes f e g definidas em R por:6) Calcule a ´ ao delimitada pelos gr´ c˜
2f(x) = 3x3 − x − 10x
g(x) = −x2 + 2x
area da regi˜ c˜7) Calcule a ´ ao delimitada pelas curvas de equa¸ao x = 3 − y2 e x = y + 1.
8) Considere a fun¸ao f : R R definida por:c˜ →
f(x) =cos x (x ≤ 0)
ex (x > 0)
a) Determine todas as primitivas de f em R.
b) Determine todas as primitivas de f em R \ {0}.c) Determine a primitiva F de f em R \ {0} tal que F (1) = F (−π) = 0.
3 + cos x x9) Calcule uma primitiva de , recorrendo ` c˜a substitui¸ao tg = t.
1 + sen x 2
2x
10) Calcule uma primitiva de .4x − 1
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( (
√
∫
√
√
An´ atica II 6a Aula Pr´alise Matem´ atica 1o Semestre 2004/2005
6a Aula Pratica
c˜ ao1) Calcule o volume do elipsoide gerado pela rota¸ao, em torno da recta y = 0, da regi˜do plano delimitada pela elipse de equa¸aoc˜
)2 )2x
a+
y
b= 1 ,
onde a e b sao maiores que zero.
olido gerado pela rota¸ao, em torno do eixo indicado, da regi˜2) Calcule o volume do s´ c˜ ao doplano delimitada pelas curvas dadas.
a) y = x2 , y = 4 , x = 0 (so no primeiro quadrante); eixo dos yy
b) y = 1/x , y = 0 , x = 0, 1 , x = 1; eixo dos xx2c) y = x2 , x = y ; eixo dos xx
c˜3) Considere a fun¸ao g : D → R definida por g(x, y) = ( 1 − x2 − y2)−1 no domınio Ddesta expressao.
a) Determine o domınio D e represente-o geometricamente. Diga se e um conjuntolimitado, e justifique.
b) Verifique se a fun¸ao g e limitada.c˜
c) Identifique as linhas de nıvel da fun¸ao g e represente-as graficamente. Calcule oc˜contradomınio de g.
d) Mostre que o conjunto D e aberto.∂ge) Determine ∂g e∂y
para (x, y) ∈ D.∂x
4) Calcule as derivadas parciais, para cada ponto (x, y) ∈ R2, da fun¸ao g definida porc˜
g(x, y) =1
2x y
e−t2 dt .
5) Calcule as derivadas parciais, nos pontos em que existam, da fun¸ao f : R2
R definidac˜ →por:
a) ⎧⎨f(x, y) = x⎩
x + yse (x, y) = (0, 0)
2 + y2�
0 se (x, y) = (0, 0)
b)
f(x, y) =
⎧⎨⎩
2x 3x2 + yse (x, y) = (0, 0)
x2 + y2�
0 se (x, y) = (0, 0)
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{ }
{ }
An´ atica II 7a Aula Pr´alise Matem´ atica 1o Semestre 2004/2005
7a Aula Pratica
1) Considere a fun¸ao g : D → R definida por g(x, y) = log y − x no domınio D destac˜ | 2|expressao.
a) Determine o domınio D e represente-o geometricamente. Diga se e um conjuntolimitado, e justifique.
b) Verifique se a fun¸ao g e limitada.c˜
c) Identifique as linhas de nıvel da fun¸ao g e represente-as graficamente. Calcule oc˜contradomınio de g.
d) Mostre que o conjunto D e aberto.∂ge) Determine ∂g e∂y
para (x, y) ∈ D.∂x
2) Considere a fun¸ao f definida porc˜
1f(x, y) =
2 − y2x
no conjunto D em que a expressao do 2o membro faz sentido.
a) Determine e represente graficamente o domınio de f .
b) Determine as linhas de nıvel de f e esboce-as graficamente.
c) Determine o contradomınio de f .∂fd) Determine ∂f e∂y
no ponto (1, 0).∂x
3) Considere o subconjunto de R2 definido por:
D = (x, y) : xy > 1
a) Represente-o graficamente e diga se e aberto, fechado ou limitado. Identifique a suafronteira.
b) De um exemplo de uma sucess˜ aoao de termos em D que convirja para um ponto n˜pertencente a D.
4) Considere a fun¸ao f : D R definida por:c˜ →D = (x, y) : xy > 0
f(x, y) = x log(xy)
a) Interprete geometricamente o domınio D e determine o seu interior, exterior e fron-teira. Diga se D e aberto, fechado, limitado. (Justifique a resposta.)
c˜b) A fun¸ao f e contınua no seu domınio? Justifique a resposta.
c) Mostre que para qualquer semi-recta S com origem no ponto (0, 0) e contida em D olimite
lim f(x, y)(x,y)→(0,0)
(x,y)∈S
existe e nao depende de S.
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{ }
√
An´ atica II 7a Aula Pr´alise Matem´ atica 1o Semestre 2004/2005
e−1/x2d) Sendo E = (x, y) ∈ R
2 : y = , calcule, se existir, o limite:
lim f(x, y)(x,y)→(0,0)
(x,y)∈E
e) Existe lim(x,y)→(0,0) f(x, y)? Justifique a resposta.
1 + (x − 1)(x − 2)5) Calcule uma primitiva de .
x
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√
√√ �
An´ atica II 8a Aula Pr´alise Matem´ atica 2o Semestre 2004/2005
8a Aula Pratica
1) Considere a funcao f : D → R definida por
1f(x, y) = √
xy − 1,
onde D = {(x, y) : xy > 1).
a) Interprete geometricamente o domınio.
b) Justifique que f e contınua em D.
c) Existe algum ponto fronteiro a D ao qual f seja prolongavel por continuidade?
d) Indique o contradomınio de f .
a continuidade a fun¸ao f : R2
R definida por:2) Estude quanto ` c˜ →
f(x, y) =
⎧⎪⎨⎪⎩
2x se x2 + y2 < 2y22 + y = 2yx|
2
| se x2 + y2 > 2yy se x
c˜3) Seja f : R2 \ {(0, 0)} → R a fun¸ao dada por:
2 2
f(x, y) = 1 +x − y
2x2 + y
Calcule, se existir, o limite lim(x,y)→(0,0) f(x, y).
4) Repita o exercıcio anterior, com a funcao
f(x, y) = 1 + xy · x2 − y2
x2 + y2.
5) Considere a funcao f : R2 → R dada por:
⎧⎨ x + yse (x, y) = (0, 0)
2 + y2�
f(x, y) = x⎩0 se (x, y) = (0, 0)
Estude a fun¸ao f quanto `c˜ a continuidade.
6) Considere a fun¸ao f : R2
R dada por:c˜ → ⎧⎪⎨ 23x2 + yxse (x, y) = (0, 0)
f(x, y) = x
0
22 + y⎪⎩ se (x, y) = (0, 0)
Estude a fun¸ao f quanto `c˜ a continuidade.
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An´ atica II 8a Aula Pr´alise Matem´ atica 2o Semestre 2004/2005
7) Verifique se a fun¸ao f : R2 \ {(0, 0)} → R definida pela express˜c˜ ao
2xyf(x, y) =
4x2 + y
e prolongavel por continuidade ao ponto (0, 0).
8) Calcule (ou mostre que nao existe) cada um dos seguintes limites:
a) limsen x − sen y
(x,y)→(0,0) x − 2y2y
b) lim (z + 1) sen 3x(x,y,z)→(0,1,1) x
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( )
( )
( )
{√
An´ atica II 9a Aula Pr´alise Matem´ atica 1o Semestre 2004/2005
9a Aula Pratica
c˜Notacao: fv′(u) e a derivada da fun¸ao f no ponto u, segundo o vector v.
Quanto ` c˜ avel em (a, b)” e equivalente a:a defini¸ao de diferenciabilidade: “f e diferenci´
r1(x, y)lim = 0
(x,y)→(a,b) ‖(x, y) − (a, b)‖
com r1(x, y) = f(x, y) − f(a, b) + α(x − a) + β(y − b) ,
∂f ∂fonde α = (a, b) e β = (a, b).
∂x ∂y
1) Calcule, se existirem, os seguintes limites:
sen(x + y)a) lim
(x,y)→(0,0) x + y1
2b) lim e−
x2+y2+z
(x,y,z)→(0,0,0)
2x − 2x − y2 + 4y − 3c) lim 1 +
(x,y)→(1,2) (x − 1)2 + (y − 2)2
2) Considere a fun¸ao f : D R2 definida pela express˜c˜ ao→
x2f(x, y) = log(4 − x2 − y ),x2 + y2
2no domınio D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x + y2 < 4}.
a) Represente geometricamente o conjunto D, e diga se e aberto, fechado ou limitado.
ao e prolong´b) Mostre que f n˜ avel por continuidade a nenhum ponto fronteiro a D.
3) Considere a fun¸ao f : R2
R dada por:c˜ →⎧ 2x⎨(x2 + y2) senx2 + y2
se (x, y) �= (0, 0)f(x, y) = ⎩
0 se (x, y) = (0, 0)
a) Mostre que f e contınua em R2.
b) Calcule as derivadas parciais na origem.
c˜4) Seja f : R2
R a fun¸ao definida por:→
x2 + y2 se x + y > 0f(x, y) =
x + y se x + y ≤ 0
a) Calcule, caso existam, as derivadas parciais de f no ponto (0, 0).
b) Determine, se existirem, as derivadas de f segundo o vector (1, 1) nos pontos (1, 1) e(1,−1).
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An´ atica II 9a Aula Pr´alise Matem´ atica 1o Semestre 2004/2005
5) Considere a fun¸ao f : R2
R definida porc˜ →
f(x, y) = x sen y .
c˜ avel no ponto (1,0), recorrendo ` c˜Verifique se a fun¸ao e diferenci´ a defini¸ao de diferenci-abilidade.
6) Estude a fun¸ao f definida em R3 \ {(0, 0, 0)} pela express˜c˜ ao
+y2+z2)f(x, y, z) = e−1/(x2
quanto a diferenciabilidade, e calcule as suas derivadas parciais.
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{
( )
( √ )
′
An´ atica II 10a Aula Pr´alise Matem´ atica 2o Semestre 2004/2005
10a Aula Pratica
Notacao: Matriz jacobiana de f no ponto u: (J f)(u) ou (J f)u.
1) Seja g a fun¸ao definida em R2 por:c˜
x + y se xy > 0g(x, y) =
0 se xy ≤ 0
a) Calcule ∂g∂y
(0, 0).∂x
(0, 0) e ∂g
b) Calcule g(1,1)(0, 0). Que pode concluir quanto `′ a diferenciabilidade de g no ponto
(0, 0)?
2) Seja f a fun¸ao definida em R2 por:c˜
g(x, y) =
⎧⎨⎩
3xse (x, y) = (0, 0)
x2 + y2�
0 se (x, y) = (0, 0)
a) Mostre que f e contınua em todo o seu domınio.
b) Estude f quanto a diferenciabilidade no ponto (0, 0).
3) Prove que a fun¸ao f : R2
R definida porc˜ →
f(x, y) =
⎧⎨⎩
1xy sen se (x, y) = (0, 0)
x2 + y2�
0 se (x, y) = (0, 0)
e diferenci´ ao s˜avel. Mostre que as derivadas parciais n˜ ao contınuas na origem.
c˜4) Seja F : D R2 a fun¸ao definida por→
xyF (x, y) =
1 − x2
y2 − x,
x− y2,
no domınio de existencia desta expressao.
a) Represente geometricamente o domınio D.
b) Determine o domınio de diferenciabilidade de F .
c) Calcule F(1,1)(1, 2).
5) Considere a fun¸ao g : R3
R3 definida por:c˜ →
g1(u, v, w) = eu cos v cos w
g2(u, v, w) = eu cos v sen w
g3(u, v, w) = eu sen v
a) Determine o domınio de diferenciabilidade de g e defina a derivada g′(0, 0, 0).
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An´ atica II 10a Aula Pr´alise Matem´ atica 2o Semestre 2004/2005
b) Sendo f uma fun¸ao de R3 em R
2, diferenci´c˜ avel no ponto (1, 0, 0), mostre que f ◦ ge diferenciavel em (0, 0, 0) e determine (f ◦ g)′(0, 0, 0), sabendo que:
∂f(1, 0, 0) = (1, 2)
∂x∂f
(1, 0, 0) = (−1, 0)∂y∂f
(1, 0, 0) = (−1, 3)∂z
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′
An´ atica II 11a Aula Pr´alise Matem´ atica 2o Semestre 2004/2005
11a Aula Pratica
c˜ afico da fun¸ao f(x, y) = 3x2−y no ponto1) Determine a equa¸ao do plano tangente ao gr´ c˜ 2
correspondente a (5, 2). Determine as equa¸oes da recta normal a esse plano no mesmoc˜ponto.
c˜ a curva de equa¸ao x+y−log xy = e2) Determine as equa¸oes das rectas tangente e normal ` c˜no ponto (x, y) = (1, e).
3) Determine a equa¸ao do plano que e tangente ao parabol´ c˜ 2c˜ oide de equa¸ao z = 2x2 + 3yc˜e que e paralelo ao plano de equa¸ao 4x − 6y − z = 10.
4) Para cada um dos seguintes casos, determine a equa¸ao do plano tangente ao gr´c˜ afico dafun¸ao f no ponto correspondente ao ponto P do domınio de f . Sendo p o polin´c˜ omiocujo grafico e esse plano, compare o erro que se comete ao aproximar f(Q) por p(Q) coma distancia entre P e Q.
1a) f(x, y) = √ , P = (4, 3), Q = (3.92, 3.01)
2x2 + y0.3b) f(x, y) = x0.5y , P = (1, 1), Q = (1.05, 0.97)
c) f(x, y) = x sen x, P = (0, 0), Q = (0.003, 0, 004)
d) f(x, y) = log(xy), P = (1, 2), Q = (1.01, 2.02)
5) Sejam ϕ : R3
R2 uma fun¸ao diferenci´ c˜c˜ avel em R
3 e ψ : R2
R a fun¸ao definida por→ →ψ(u, v) = arctg(u2 + v) .
Calcule (ψ ϕ) (0, 0, 0), sabendo que ϕ(0, 0, 0) = (1, 2) e que as coordenadas da derivada◦ao as fun¸oes dadas por:de ϕ no ponto (0, 0, 0) s˜ c˜
L1(x, y, z) = 2x + 3y + z
L2(x,y, z) = x − y + z
6) Considere a fun¸ao f definida porc˜
z(x − y)2
f(x, y, z) =2(x − y)4 + z
no domınio de existencia desta expressao.
a) Determine todos os limites (na origem) segundo rectas.
b) Mostre que a fun¸ao n˜c˜ ao tem limite na origem.
7) Considere a fun¸ao F : R3
R definida porc˜ →2 2 2F (x, y, z) = G(x2 − y , y − z ) ,
onde G e uma fun¸ao real diferenci´c˜ avel em R2.
Indique em que pontos F e diferenciavel e mostre que
yzF ′( )x, y, zz′( ) + xyFx, y, zy
′( ) + xzFx, y, zx = 0
para qualquer (x, y, z) ∈ R3.
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