1 ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAO CLCULO I Prof. Irazel CLCULO INTEGRAL COM UMA VARIVEL INTEGRAL DEFINIDA TEOREMA FUNDAMENTAL DO CLCULO Sejafuma funo contnua num intervalo [a,b] eFuma primitiva def , ento, _(x)Jxbu= |F(x)]ub= F(b) -F(o) onde: a o limite inferior de integrao b o limite superior de integrao f(x) o integrando PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA P1)_(x)Jx = F(o) -F(o) = uuu P2)_(x)Jx = -_(x)Jxubbu PS)_(x)Jx = _(x)Jx +_(x)Jx,o c bbccubu P4)_k. (x)Jx = k _(x)Jx, k e \bubu EXERCCIOS DE FIXAO u1. Colculc_x2 JxR:7 S 21 u2. Colculc_4 Jx3-1 R: 16 uS. _c-xJxR: 1 -1 c 10 ( Mais exerccios: Guidorizzi, vol.1, 5 edio, pginas 308, 309 e 310, exerccios 11.5) 2 APLICAES DA INTEGRAL DEFINIDA I.CLCULODEREASSeja(x)umafunocontnuanointervalo|o, b].Areaentreo grfico de (x) e o eixo dos x, de x = oox = b, dado por: A = _(x)Jxbu II.CLCULODAREACOMPREENDIDAENTREOGRFICODEDUASFUNES - A rea entre os dois grficos das funes f e g no intervalo [a,b] dado por: A = _|(x) -g(x)]buJx EXERCCIOS DE FIXAO 01. Use integrao para calcular a rea das regies delimitadas pelo eixo-x e pelas funes abaixo: a) (x) = 2x +1, no intcr:olo |1, S] b) (x) = x2-4x, x e |1, S] c) (x) = x3-2x2-Sx +6, x e |-2, S] 02. Calcule a rea da regio compreendida pelas curvas (x) = -x2+4x c g(x) = x2 03. Calcule a rea da regio compreendida pelas curvas y2= 2x -2c y = x -S ( Mais exerccios: Guidorizzi, vol.1, 5 edio, pginas 316 e 317, exerccios 11.6) o b 3 III.TEOREMA DO VALOR MDIO PARA INTEGRAIS Se f uma funo contnua em [a,b], ento existe ce(a,b) tal que _(x)dx = (c)(h -a)ha INTERPRETAO GEOMTRICA DO TEOREMA DO VALOR MDIO Se f (x) 0, x[a,b] , ento a rea sob o grfico de f igual rea do retngulo de lados (b a) e f(c). IV.VOLUME OBTIDO PELA ROTAO DE UMA CURVA DESCRITA POR y = (x) EM TORNO DE OX Dada uma regio plana R, girando-se a regio R em torno do eixo dos x obtm-se um slido denominado de slido de revoluo. ConsiderandoumacurvasuaveCdescritapory=f(x)(nonegativanointervalo[a,b]),ovolume V(S) do slido de revoluo gerado pela rotao da curva C em torno do eixo OX no intervalo [a,b] dado por: (c) =1b -o_(x)Jxbu O valor mdio de f em [a,b] dado por: 4 I = n _|(x)]2 Jxbu Volume obtido pela rotao de uma curva descrita por y=f(x) em torno do eixo dos y I = 2n _x (x) Jxbu EXERCCIOS DE FIXAO 01.Determineovolumeobtidopelarotaocompleta,emtornodoeixodosx,doconjuntodepontos 2 2 2, 0 ( 0) x y r y r + > . 02.Determineaexpressodovolumedoconeobtidopelarotaocompletade( )rf x xh= ,emtornodo eixo dos x. 02. Determine o volume do tronco de cone gerado pela rotao do segmento de reta AB, em torno do eixo dos x, sendo A(1,1) e B(2,3). R.:13303. Calcule ovolumedoslido obtidopela rotao do grfico de 2( ) f x x = ,[1, 3] x ,emtornodoeixo dos x. R.: 2425 04.Acurva 1( ) f xx= ,[1, 4] x ,aosergiradaemtornodoeixodosxdeterminaumslidodevolumeV. Calcule V. R.:34 V.TRABALHO DE UMA FORA VARIVEL Sejafumafunocontnuanointervalofechado[a,b]esejaf(x)onmerodeunidadesdaforaatuando sobre um objeto no ponto x sobre o eixo dos x. Ento, sefor o trabalho realizado pela fora enquanto o objeto se move de a para b, ser dado por: = _(x) Jxbu EXERCCIOS DE FIXAO 01. Determine o trabalho realizado por uma fora para distender uma mola de constante elstica k, de x1 a x2. (Adote: x1=0 e x2=x) 5 02. Uma mola tem um comprimento natural de 1,4 m. Se uma fora de 5N exigida para conservar a mola esticada de 0,2 m, qual o trabalho realizado para que a mola se estenda de seu comprimento natural a um comprimento de 1,8 m? R.: 2 J VI.COMPRIMENTO DO ARCO DE UMA CURVA PLANA Seafuno(x)esuaderivadai(x)socontnuasnointervalofechado[a,b],ento,o comprimento do arco da curva y = (x) do ponto (a, f(a)) ao ponto (b, f(b)), que representaremos por L dado por EXERCCIOS DE FIXAO 01. Determine o comprimento da curva 2, 0 12xy x = . 02. Determine o comprimento do arco da curva 23( ) f x x =do ponto (1,1) a (8,4). R..3 312 2(40 13 ) 7, 627 03. Determine o comprimento de uma circunferncia de raio r. R.: I = 2nr ( Mais exerccios: Guidorizzi, vol.1, 5 edio, pgina 405, exerccio 13.1) I = _1 +|(x)]2 Jxbu