aula de vetores geometria analitica-2015
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
1/160
Faculdade Pitgoras /Fama
So Lus
Disciplina: Geometria Analtica e lgebra etorialPro!essor: "os# de $ibamar Serra Dutra%&ecaDutra'Graduado em (ngen)aria (l#trica%*F+A'
Graduado em Licenciatura em +atemtica%,F+A'P-s.graduado em (ng de Seguran0a do1rabal)o%FA+A'
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
2/160
+A1$,&(S
Definio: Sejam m e n nmeros inteiros positivos. Uma
matriz m x n (l-se: matriz m por n, com m e n ) umatabela retangular e m lin!as e n colunas e nmeros reais.
"Usaremos tambm a nota#$o genrica " % para representaressa matriz.&aa elemento a matriz usa a nota#$o e uplo 'nice.
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
3/160
" orem a matriz m x n simplesmente einia por mlin!as e n colunas.Ex: A = B = C =Matriz linha* a matriz +ue possui uma nica lin!a, ou seja, temorem x n.x:
Matriz coluna* a matriz +ue possui uma nica coluna, ou seja, tem
orem m x .x:
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
4/160
Matriz quadrada* a matriz +ue possui o nmero e lin!as igual ao nmero ecolunas. esse caso, izemos +ue a matriz +uaraa e orem n.
x:
Matriz nulaUma matriz / % ita nula, +uano toos os elementos a matrizs$o nulos.
x:
Matriz OpostaSeja uma matriz " % c!ama-se oposta a matriz ", a matriz 0 " emesma +ue a matriz " cujos elementos s$o os opostos os
elementos a matriz ".x:
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
5/160
Matriz Identidade&!ama-se matriz ientiae toa matriz +uaraa e oremn. 1oa matriz cujos elementos a iagonal principal s$o
unit2rios e os emais elementos nulos. 3epresentaa por .x:Matriz transposta
4aa a matriz " e orem m x n, c!ama-se matriz transpostae ", inicaa por "t, a matriz cuja orem n x m, seno assuas lin!as orenaamente iguais 5s colunas a matriz ".x:
Igualdade de matrizes4uas matrizes s$o iguais se tm a mesma orem e oselementos corresponentes s$o iguais.x:
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
6/160
x: 4etermine x e 6 para +ue as matrizes " e 7 sejam iguais." % e 7 %
Soma ou subtrao de matrizesSomamos ou subtra'mos uas matrizes e mesma orempela soma ou subtra#$o e seus elementos corresponentes.
x: 4aas as matrizes " % ,7 % e & % . 4etermine:a) " 8 7 0 &b) " 8 7c) 7 8 ") " 0 7e) 7 0 "
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
7/160
Propriedades da adioSejam as matrizes ", 7, & e /(matriz nula), se existir aai#$o entre as matrizes. 9alem as seguintes proprieaes:
) " 8 7 % 7 8 " (proprieae comutativa);) (" 8 7) 8 & % " 8 (7 8&) (proprieae associativa)
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
8/160
Multiplicao de uma matriz por um escalar Seja a matriz " e orem m x n e ? um nmero real, c!ama-se?" a matriz +ue se obtm multiplicano-se toos os elementosa matriz " pelo nmero real ?.x: 4aa a matriz " % . 4etermine a matriz 0
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
9/160
x: 4etermine se poss'vel, o prouto "7, one:a) " % e 7 %b) " % e 7 %Propriedades da multiplicao de matrizesSeno ", 7 e & matrizes e ? um nmero real, e amitino-seas opera#Aes abaixo sejam poss'veis, s$o v2lias as seguintesproprieaes:
) ("7)& % "(7&) ("ssociativa);) "(7 8 &) % "7 8 "& (4istributiva 5 es+uera, em rela#$o5 ai#$o)
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
10/160
x: 4etermine se poss'vel, o prouto "7, one:a) " % e 7 %b) " % e 7 %Propriedades da multiplicao de matrizesSeno ", 7 e & matrizes e ? um nmero real, e amitino-seas opera#Aes abaixo sejam poss'veis, s$o v2lias as seguintesproprieaes:
) "(7&) % "(7&) ("ssociativa);) "(7 8 &) % "7 8 "& (4istributiva 5 es+uera, em rela#$o5 ai#$o)
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
11/160
&Obser'a(es:B) " multiplica#$o e matrizes n$o comutativa. 4e moogeral "7 C 7".
;B) Duano uas matrizes, " e 7, s$o tias +ue "7 % 7",izemos +ue " e 7 comutam ou +ue s$o comut2veis.x: 4aas as matrizes . ssas matrizes comutamE
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
12/160
Matriz in'ersaSeja a matriz " % , com n F ;, se existir uma matriz 7, tal +ue
"7 % 7" % , ent$o 7 a inversa a matriz ". screvemos 7 %
"-
. Gogo temos:
/bs: Duano uma matriz possui inversa izemos +ue ela invers'vel, caso contr2rio izemos +ue ela n$o invers'vel ousingular.x: 4etermine a matriz inversa a matriz " % , se existir.Propriedades da matriz in'ersa) ( (Uma matriz invers'vel igual 5 inversa e sua inversa);) ( ( " transposta a inversa igual 5 inversa a transposta)
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
13/160
Determinantes4eterminante o nmero real associao a uma matriz+uaraa, obtio por meio e opera#Aes +ue envolvem toos
os elementos a matriz.Determinante de uma matriz quadrada de ordem )Seja a matriz +uaraa e orem , inicaa por " % HaijI.or eini#$o, o eterminante e " igual ao nmero aij.
Determinante de uma matriz quadrada de ordem *Se " uma matriz +uaraa e orem ;, calculamos seueterminante azeno o prouto os elementos a iagonalprincipal menos o proutos os elementos a iagonalsecun2ria.4aa a matriz " % , inicamos seu eterminante por:
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
14/160
Determinante de uma matriz quadrada de ordem +&onsieremos a matriz genrica e orem
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
15/160
Determinante de uma matriz de ordem maior que +,ara calcular um eterminante e orem maior +ue
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
16/160
Propriedades dos determinantes) et " % et
;) et 7 % ? et "-O.SE/01.-I%S:
B) et 7 % et "
;B) et(? ") % et ", seno ? nmero real e n orem amatriz.
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
17/160
S,S1(+AS D( (2*A34(S L,5(A$(S4enomina-se sistema linear m x n o conjunto S e m e+ua#Aesem n incMgnitas +ue poe ser representao a seguinte orma:
ax8 a;x;8 a
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
18/160
4izemos +ue (, ;,
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
19/160
6LASS,F,6A378 D( *+ S,S1(+A L,5(A$/s sistemas lineares s$o classiicaos +uanto ao nmero esolu#Aes em a seguinte orma:
S,S1(+AL,5(A$
POSS23E4
Duano amite solu#$o.
IMPOSS23E4
Duano n$o amite solu#$o.
DE5E6MI.%DO:"mite uma nica solu#$o.
I.DE5E6MI.%DO:"mite ininitas solu#Aes.
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
20/160
M%56I7ES %SSO-I%D%S % 0M SIS5EM% 4I.E%6Seja o sistema linear e m e+ua#Aes e n incMgnitas:
a11x1+ a12x2+ a13x3+ ... + a1nxn= b1 a11x1+ a12x2+ a13x3+ ... + a1nxn= b2 . . . . . .
. . .am1x1+ am2x2+ am3x3+ ... + amnxn= bm
Katriz completa Katriz incompletaA = =
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
21/160
Katriz as incMgnitas Katriz os termos inepenentesX = 7 =
6esoluo de sistema pela regra de -ramer
Seja o sistema:ara resolver o sistema pela regra e &ramer necessitamosos eterminantes:4 % , 4
x
% , 46
% e
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
22/160
4z%" solu#$o o sistema ser2 aa pelos valores e x, 6 e z,calculaos a seguinte orma:
x % , 6 % e z %/bs: ssa regra recomenaa para resolu#$o e sistemalineares +ue sejam o tipo S4, isto , cujo eterminante 4 amatriz os coeicientes n$o seja nula.
xemplo: 3esolver os sistemas:a)
b)
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
23/160
6ESO4089O DE 0M SIS5EM% 4I.E%6 PO6 ES-%4O.%ME.5O
Um sistema ito escalonao +uano est2 isposto nasseguintes ormas:
x 8 6 %
x 8 ;6 - z % ;
Jx 8>6 8 z % Jx 8 J6 0 z % P
/bserve +ue, nestes exemplos, na primeira e+ua#$o aparecem
toas as incMgnitas, na ;B esaparece a incMgnita x,
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
24/160
Mtodo do escalonamento* o processo usao para resolu#$o e um sistema linear +ueenvolve elimina#$o e incMgnitas.
ste mtoo procura transormar o sistema ao em sistemase+uivalentes, at c!egar a um sistema escalonao, usano asseguintes transorma#Aes elementares sobre as e+ua#Aes osistema ao:Q1rocar as posi#Aes e uas e+ua#Aes.QKultiplicar uma as e+ua#Aes por um nmero real ierentee zero.QKultiplicar uma e+ua#$o por um nmero real e aicionar oresultao a outra e+ua#$o.
xemplos:. 3esolver os sistemas:a) =x 0
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
25/160
b) x 8 ;6 8 =z % > ;x 0 6 8 ;z % R
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
26/160
(9($66,8S
J. Seja " % uas matrizes ; x ;. Se " % 7, etermine a, b e
c.a) a % b % c
b) a % < e b % c
c) a % - < e b % - c
) a % b e c % , 7=xP, &Pxe @m x n, sabeno +ue " @% 7. Duantos elementos possui a matriz @ &EJ. 4aa a matriz " % e sabeno +ue et " % R, calcule:a) et 7 % b) et (>") c) et (
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
35/160
;. 4aas as matrizes " % (, com e7 % (, com , calcule o eterminante e " L 7. 3esp: - P>;
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
36/160
=. "s coni#Aes sociais no 7rasil, atravs os anos, tmemonstrao +ue a m2 istribui#$o e rena, somaa a outrosatores, alimenta movimentos organizaos como os os sem-
terra, no campo, e sem-teto, na ciae. &onlitos, invasAes emorte geraas por essa injusti#a social tm sio manc!ete ejornais e notici2rios, eixano no ar a perspectiva e +ue asolu#$o parece estar istante, porm evemos estacar algunscasos e assentamentos e am'lias +ue oram bem-suceios.o caso e uma esapropria#$o e terras, eterminao juizsentenciou: X&aa gleba e terra, comO JJJ m;, ser2 iviia em ; lotes e ocupaa por uas am'lias,seno uma elas com at < il!os e a outra com mais e )>> )*>
# > A> +>
- )*> A> B>
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
39/160
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
40/160
(18$DeJni0o
Considere o segmento orientado (um segmentoest orientado quando nee se es!o"e um sentidode #er!urso$ !onsiderado #ositi%o&. 'enimos #or
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
41/160
B
A
uando es!re%emos (gura abaixo&$ estamosarmando que o %etor determinado #eo segmentoorientado AB. orm$ quaquer outro segmento de mesmo!om#rimento$ mesma dire,o e mesmo sentido de ABre#resenta tambm o mesmo %etor . B
A/ m4duo$ a dire,o e o sentido de um %etor o m4duo$a dire,o e o sentido de quaquer um dos seusre#resentantes. 5ndi!a6se o m4duo de #or .
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
42/160
etores no planoConsidere dois %etores n,o #araeos$re#resentados !om a origem no mesmo #onto/$ sendoe retas !ontendo estes re#resentantes$res#e!ti%amente. (gura abaixo&.
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
43/160
4a igura anterior, temos:
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
44/160
/s vetores s$o n$o paralelos +uais+uer e um vetorarbitr2rio o plano eterminao por .
/ vetor expresso como em (), iz-se +ue combina#$o linear e . / conjunto 7 % \ ] c!amao e
base no plano. Dual+uer conjunto e ois vetores n$oparalelos constitui uma base no plano.
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
45/160
/ !on)unto base do #ano ordenado. Ent,o$dada uma base quaquer no #ano$ todo %etordesse #ano !ombina,o inear dos %etores
dessa base$ de modo 0ni!o./ n0meros da iguadade (1& s,o !"amados!om#onentes ou !oordenadas de na base B./ %etor da iguadade (1& #ode ser re#resentado
tambm #or = (&7a #rti!a as bases mais utii8adas s,o asortogonais.'entre as innitas bases ortogonais(%etores
ortogonais e unitrios& no #ano$ uma deas #arti!uarmente im#ortante. 9rata6se da baseque determina o sistema !artesiano ortogonax/. /s %etores ortogonais e unitrios$ neste
!aso$ s,o
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
46/160
;imboi8ados #or $ ambos !om origem em / eextremidades em (1$
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
47/160
/s n0meros x e s,o !om#onentes de nabase !anni!a.
/ %etor em (2& ser tambm re#resentado#or = (x$ & (3&
Como na re#resenta,o (3& n,o " re*er>n!ia$#odemos ter a deni,o:?etor no #ano um #ar ordenado (x$ &den0meros reais.
x
x
, 5>, C> e 7>
esto abaixo desse plano e tm cota ? 0:ponto A!@, 2, 0", situado no ;< octante1
ponto 5!/, 4, 0", situado no 0< octante1
ponto C!/@, /, 0", situado no 4< octante1
ponto 7!, /4, 0", situado no 2< octante1ponto A>!@, 2, /0", situado no < octante1
ponto 5>!/, 4, /0", situado no @< octante1
ponto C>!/@, /, /0", situado no B< octante1
ponto 7>!, /4, /0", situado no < octante.
Docaliza#o dos pontos =
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
89/160
.
A
?
N
AQ
C
.
. .
DQ
6Q
EQ
6
D
E
E!E6-2-IOS
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
90/160
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
91/160
coorenaas os pontos.
J
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
92/160
seguinte opera#$o .
Igualdade? Opera(es? 3etor Definidos por DoisP t P t Mdi P l li Md l d
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
93/160
Pontos? Ponto Mdio? Paralelismo e Mdulo de um3etor,
Para encontrar as coordenadas do ponto 5, somam/se
ordenadamente as coordenadas do ponto inicial a com as
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
94/160
ordenadamente as coordenadas do ponto inicial a com as
componentes do vetor .
I*" Ee A(" e 5 (so pontos extremos de um segmento, o pontom'dio = de A5 '
*" Ee os vetores = (" e = (so paralelos,
8
O %aI bI
c'
A%
?
N
= E %aR '
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
95/160
P$8D*18 (S6ALA$
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
96/160
P$8D*18 (S6ALA$Definio %lgbrica
&!ama-se prouto escalar e ois vetores % 8 8 e% 8 8 , e se representaas por , o nmero real
%
Obser'ao: 4enota-se tambm o prouto escalar epor as seguintes maneiras: e se l Xescalar Y.Obser'ao:
/ prouto escalar c!amao quadrado escalarovetor e se enota :
) xemplo: Se e calcular o prouto escalar e por .
Solu#$o:
;) Sejam os vetores e . &alcular:a) () b) c)
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
97/160
a) () b) c)Soluo:a) % (;, -;, J) e % (P, R,
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
98/160
VVV)V9) .9)
xemplo: Seno , calcular (Soluo:( % -
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
99/160
4aos ois vetores e , se um os vetores nulo, ent$o o prouto nulo. 1oavia, a rec'proca n$o veraeira, pois poemos ter, porexemplo, ois vetores e e ent$o:
Definio:
4ois vetores e s$o itos ortogonaisse o seu prouto escalar nulo.4enotaremos vetores ortogonais com a nota#$o .Observao: m particular o vetor nulo ortogonal a +ual+uer
vetor.xemplo: 9eriicar se os vetores: , s$o ortogonais ois a ois.
Exem#o: 'eterminar um %etor ortogona aos %etores .;ou,o: ;e ta que se)a ortogona a $ temos:
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
100/160
q ) g $
/ sistema #ossui uma indetermina,o. Togo #ara $ temos:. Ent,o um dos %etores ortogonais a e o %etorDeJni0o Geom#trica de Produto (scalar;e e s,o %etores n,o6nuos e U Gnguo entre ees$ ent,o:A#i!ando a Tei dos Cossenos no triGnguo ABC$ temos:?imos que:Com#arando as duas ex#resses$ mostramos que:
"
&
7
Gogo, o prouto escalar e ois vetores n$o-nulos igual ao prouto e seus mMulos pelocosseno o Wngulo por eles ormao.xemplo: Seno o Wngulo entre calcular
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
101/160
xemplo: Seno o Wngulo entre , calculara) b) c)Soluo:
a) % (;)(
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
102/160
sta ltima airma#$o estabelece a condio de ortogonalidadee ois vetores.Obser'ao:/ vetor ortogonal a too vetor, isto , para too .
xemplo: rovar +ue o triWngulo e vrtices um triWngulo retWngulo.Solu#$o: ara provar +ue os pontos s$o e um triWngulo retWngulo, temos +ueprovar +ue !2 um Wngulo reto entre os vetores. 9amos encontrar os vetoresligaos e epois azer o prouto escalar entre os mesmos.
Gogo o triWngulo retWngulo em 7
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
103/160
Gogo, o triWngulo retWngulo em 7.-lculo do Jngulo de dois 3etores" partir a eini#$o e prouto escalar , poemos encontrar o Wngulo existente entre os vetores n$o-nulos atravs a express$o:
einimos esse Wngulo como seno o Wnguloentres os vetores e .
xemplo:&alcular o Wngulo entre os vetores .
Exem#o: Ca!uar o Gnguo entre os %etores .;ou,o:Togo
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
104/160
Togo$Exem#o: ;abendo que o %etor *orma Gnguo de
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
105/160
que *orma !om os %etores $ res#e!ti%amente:
/s cossenos diretores de s,o os !ossenos de seus Gnguos diretores$isto $ .
Como o %ersor um %etor unitrio$ ogo:
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
106/160
Como o %ersor um %etor unitrio$ ogo:
Exem#o: Ca!uar os Gnguos diretores de
P$8D*18 (18$,AL
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
107/160
Antes de ini!iarmos !om a deni,o do
#roduto %etoria$ #re!isamos *a8er uma bre%ere%is,o sobre determinantes de ordem 2 eordem3. 7a resou,o do determinante deordem 3 utii8aremos o 9eorema de Ta#a!e:
'eterminante de /rdem 2:Exem#o:
'eterminante de /rdem 3:
Exem#o:Definio&!ama se prouto vetorial e ois vetores % 8 8 e % 8 8 tomaos nesta
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
108/160
&!ama-se prouto vetorial e ois vetores % 8 8 e % 8 8 , tomaos nestaorem, e se representa por ao vetor
/ #roduto %etoria de #or tambm indi!ado #or e >6se I %etoria J.Ptii8amos na resou,o do #roduto %etoria o desen%o%imento do 9eoremade Ta#a!e$ de *orma que substitu@mos os %aores de a$ be c#eos %etoresunitrios .
7o !!uo do #roduto %etoria n,o temos determinante$ #ois$ a #rimeira in"a!ontm %etores. Ptii8amos esta nota,o #ea *a!iidade de memori8a,o queea #ro#i!ia #ara o !!uo #ois s4 determinante quando temos es!aares
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
109/160
ea #ro#i!ia #ara o !!uo$ #ois$ s4 determinante quando temos es!aares.
/ #roduto %etoria tambm denominado #orproduto externoouprodutocruzado.Exem#o: 'ados e . Ca!uar .
'is#ositi%o #rti!o #ara o !!uo deA#esar do determinante !onter uma in"a que !ontm %etores em %e8 de es!aares Psaremos a regra
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
110/160
A#esar do determinante !onter uma in"a que !ontm %etores em %e8 de es!aares. Psaremos a regrade ;arrus #ara a resou,o do #roduto %etoria$ #ois torna mais *!i a memori8a,o.Te%ando6se em !onsideraes agumas #ro#riedades dos determinantes$ !on!u@mos de imediato que:1V& = 6 (&$ isto $ os %etores e s,o o#ostos$ #ois a tro!a de ordem dos %etores no #roduto %etoria
im#i!a na tro!a do sina do determinante$ ou se)a$ tro!a de sina de todas suas !om#onentes.Togo$ !on!ui6se que o #roduto %etoria n,o !omutati%o.2V& = se$ somente se$ $ #ois neste !aso$ todos os determinantes t>m suas in"as #ro#or!ionais.Casos #arti!uares:1& (determinantes !om in"as iguais&
2& (determinantes !om in"a de 8eros&Exem#os de #roduto %etoria de %etores #araeos:a&b&(2
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
111/160
b&(2!& ( x (d& ( x (sabemos que um %etor est bem denido quando !on"e!emos sua dire,o$ seu sentido e seu
!om#rimento. A seguir #assaremos a denir o %etor no !aso de serem n,o #araeos.6aractersticas do
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
112/160
'e *orma anoga$ demonstra6se que .Como o %etor tem mesma dire,o de (a#enas sentidos o#ostos&$ tambm ee ortogonatanto a !omo .Exem#o: dados os %etores = (3$ 1$ 2& e = (6 2$ 2$ &$ tem6se= (1$ 61S$ Q& e( = (1$ 61S$ Q& L () % - ; 0
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
113/160
Caso ten"amos d0%idas sobre o sentido de $ #odemos asso!iar estes dois %etores a uma du#a de %etoresunitrios es!o"idos entre . or exem#o$ asso!iando $ !om
= (
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
114/160
,nterpreta0o Geom#trica do +-dulo do Produto etorial/bser%ando que no #araeogramo determinado #eos %etores n,o6nuos (gura abaixo&$ a medida da base e da atura $ rea A deste #araeogramo A = (base&^(altura) % ou se)a$
A =Ia rea do #araeogramo determinado#eos %etores numeri!amente igua ao!om#rimento do %etor J.?amos !om#ro%ar este resutado #or meio de um exem#o #arti!uar tomando os %etores = 2 e =3. 9emos$ ent,o
sen^
= (
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
115/160
Exem#o:enquanto que2& ara quaquer %etores e o es!aar as #ro#riedadese
Exem#os:1& 'eterminar o %etor $ ta que se)a ortogona ao eixo e $ sendo;ou,oComo $ temos = (x$ < $ 8&$ ent,o equi%ae a
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
116/160
(1$ 1$ 61& (1$ 1$ 61& = (8$ 6x + 28$ 6x&8 = 1$ 6x + 28 = 1 e 6x = 61 ogo x = 1 e 8 = 1.= (1$ < $ 1&2& ;e)a um triGnguo equitero ABC de ado 1
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
117/160
;abemos que
B& Como A = (base&(atura&$ temos:
A =" =& 'eterminar a distGn!ia do #onto ($ 1$ 2& D reta r que #assa #eos #ontos A(3$ 1$ 3& e B($ 1$1&.
;ou,o:;e)a d a distGn!ia do #onto D reta r$ !omo mostra a gura.
;e)a d a distGn!ia do #onto D reta r$ !omo mostra a gura.
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
118/160
d = $ !omo $ ogo temos:
e $ ent,o:d = BA
r
d
.^
& 'ados os %etores $ !a!uar o %aor de a #ara que a rea do #araeogramodeterminado #or se)a igua a .;ou,o
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
119/160
A rea do #araeogramo dada #or
Ee%ando ambos os membros ao quadrado$ temos:
Neso%endo a equa,o do 2V grau temos:
a = 3 ou a =
& 4aos os ponto "(;, , ), 7(
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
120/160
Solu#$oa) " partir o triWngulo "7& poss'velconstruir um paralelogramo "7&4, poisa 2rea o triWngulo igual a metae a
2rea o paralelogramo." 2rea o paralelogramo eterminaa pelos vetores , ent$o a 2rea o triWngulo ser2: " %
eA =b& " = $" =
BA
'C
"
.^
(9($66,8S
J. 4aos os vetores . 4etermine e o vetor unit2rio e .
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
121/160
J. 4aos os vetores . 4etermine e o vetor unit2rio e .a)
b)c)
)
e)
J;. 4aos os vetores , etermine .a)
a)
c))
e)
J
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
122/160
J=. &alcule os valores e m para +ue o mMulo o vetor seja
igual a PO.a) m % - ;b) m % ;c) m % - ; ou m % ;
) m % ; ou m % ;e) m % - ; e m % - ;
J>. Seja o paralelogramo "7&4 e vrtices "(=, , ;), 7(>, J,), &(-, ;, -;) e 4(-;,
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
123/160
a) ; ou =b) - =
c) - O) =e) OJP. 4aos os vetores . 4etermine o Wngulo entre os vetores .
(,J ponto)4aos: cos-J,;J % PR,=OJcos-J,R % P,O
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
124/160
a) 4etermine o mMulo e .b) 4etermine o prouto escalar entre o vetor .
J. " torre mantia reta pelos trs cabos. Se a or#a em caacabo +ue atua sobre a torre or a+uela mostraa na igura.
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
125/160
4etermine:a) /s vetores .b) 4 i W l i
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
126/160
b) 4etermine os Wngulos iretores o vetor ./bserve a igura a seguir, e respona as +uestAes J e .
J. / sen!or `os possui um terreno +ue tem o ormato aigura cujos vrtices s$o os pontos 7_. Se o sen!or `os
t t t
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
127/160
pretene cercar o terreno com arame arpao ano +uatrovoltas e ao reor o mesmo. Duanto ele ir2 gastar se a
meia real e caa lao J vezes a o esen!o e o metroo arame arpao igual a 3 ;,>JE4aos:
. Se a 2rea real o terreno igual a J vezes a 2rea oesen!o. Dual a 2rea em metros +uaraos +ue o sen!or `osir2 usar para construir sua casa, se ele pretene ocuparapenas OJ a 2rea real o terrenoE4ao:;. / poste a igura abaixo est2 sujeito a uma or#a e OJ na ire#$o e & para 7. 4etermine:4aos:
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
128/160
a) / a intensiae (mMulo) a or#a .b) / prouto escalar entre os vetores e .
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
129/160
4aos: cos-J,;J % PR,=OJcos-J,R % P,O
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
130/160
Definio
&!ama-se prouto misto os vetores % 8 8 ,
% 8 8 e % 8 8 , tomaos nesta orem, ao nmero real/ prouto misto e tambm inicao por ().
4o prouto vetorial entre , temos:
% %
% , logo:
%
xemplo:&alcular o prouto misto os vetores , e .
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
131/160
() %
P6OP6IED%DES DO P6OD05O MIS5O"s proprieaes o prouto misto ecorrem, em sua maioria,as proprieaes os eterminantes.I) / prouto misto () mua e sinal se trocarmos a posi#$o e
ois vetores.m rela#$o ao exemplo acima, em () % ;P, temos:() % - ;P() % - ;P() % - ;P() % - ;P
xemplo:&alcular o prouto misto os vetores , e .
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
132/160
() %
P6OP6IED%DES DO P6OD05O MIS5O"s proprieaes o prouto misto ecorrem, em sua maioria,as proprieaes os eterminantes.I) / prouto misto () mua e sinal se trocarmos a posi#$o e
ois vetores.m rela#$o ao exemplo acima, em () % ;P, temos:() % - ;P() % - ;P() % - ;P() % - ;P
Se +ual+uer um estes trs ltimos proutos eetuarmos novapermuta#$o e ois vetores, o prouto misto resulta volta a ser;P
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
133/160
;P.m rela#$o ao prouto misto () ocorrer:
a) uma permuta#$o !aver troca e sinal[b) uas permuta#Aes o valor n$o altera.3esulta esta proprieae +ue os sinais poem serpermutaos, isto ,
II
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
134/160
vetores ,
"mitino-se +ue sejam coplanares, o vetor , por ser ortogonala e , tambm ortogonal a .&omo e s$o ortogonais, o prouto escalar entre eles igual azero.% () % J
Y
/bserva#$o:a) Se pelo menos um os vetores nulo (o eterminante zero por ter uma ilas e zeros e os trs vetores s$o
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
135/160
zero por ter uma ilas e zeros e os trs vetores s$ocoplanares)[
b) Se ois eles orem paralelos (o eterminante zero por teruas ilas e elementos proporcionais ou iguais e os trsvetores s$o coplanares).xemplos:
) 9eriicar se os vetores .
;) Dual eve ser o valor e m para +ue os vetorese sejam coplanaresE
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
136/160
eometricamente, o prouto misto igual, em mMulo, aovolume o paralelep'peo e arestas eterminaas pelos
vetores n$o-coplanares . (_ig. )
))
Y
Y
Figura
" 2rea a base o paralelep'peo .Seja o Wngulo entre os vetores . Seno um vetor ortogonal 2base a altura ser2 paralela a ele logo temos:
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
137/160
base, a altura ser2 paralela a ele, logo temos:
9olume 9 o paralelep'peo igual a:9 % (2rea a base) (altura) %
9 % %
nt$o poemos escrever +ue o volume ser2 igual a: 3 $xemplo:Sejam os vetores . &alcular o valor e m para +ue o volume
o paralelep'peo eterminao por seja O u.v.
Solu#$o:o volume ser2 igual a: 3 $(
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
138/160
(
, logo temos: m % - ; ou m % =3O40ME DO 5E56%ED6OSejam ", 7, & e 4 pontos n$o coplanares. ortanto os vetorestambm n$o coplanares. &omo esse trs vetores eterminamum paralelep'peo representao na igura ;.
A E
6D
Figura
/ volume o paralelep'peo igual a:3 $3epartino o paralelep'peo em ois prismas triangulares e
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
139/160
3epartino o paralelep'peo em ois prismas triangulares emesmo taman!o. / volume o prisma triangular ser2:
/ prisma poe ser repartio em trs pirWmies e mesmovolume, seno uma elas o tetraero "7&4, logo seu volumeser2 igual a:
x: Sejam "(, ;, -), 7(>, J, ), &(;, -, ) e 4(O, , -
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
140/160
&onsieremos um ponto "( um vetor . SM existe uma reta r +uepassa por " e tem a ire#$o o vetor .
Um ponto (x, 6, z) pertence a r se, e somente se, o vetor paralelo a (igura
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
141/160
/ vetor c!amao vetor iretor a reta r e t o parWmetro.xemplo:
" reta r +ue passa por "(, -, =) e tem a ire#$o e % (;,
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
142/160
4e acoro com
% " 8 ttem-se
"
/bserva#Aes:a) 9imos +ue a caa nmero real t correspone um pontoe caa correspone um nmero real t.
Y
Y
YY
Y
A
21
61 3
t=61
t =, >, R) pertence 5 reta r, pois:r: (x, 6, z) % (, -, =) 8 t(;, > R) % ( - =) 8 t(; < ;)
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
143/160
(>, >, R) % (, -, =) 8 t(;, , >, R) 0 (, -, =) % t(;,
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
144/160
reta.x:
. " reta r +ue passa pelo ponto "(, -=, , n)pertence a r.
) screver outros ois sistemas e e+ua#Aes paramtricas er.g) screver e+ua#Aes paramtricas a reta s +ue passa por
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
145/160
g) screver e+ua#Aes paramtricas a reta s +ue passa por(>, ;, - =) e paralela a r.
!) screver e+ua#Aes paramtricas a reta s +ue passa por "e paralela ao eixo os 6.3esolu#$o:a) r:
b) para t % , temos:
para t % =, temos:
c) / ponto o tipo (=, 6, z), logo temos:= % ; 8 t t % ;, ent$o: o ponto (=, -, ;)) 5 reta se existir um real t +ue torna as e+ua#Aes e r
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
146/160
) 5 reta se existir um real t +ue torna as e+ua#Aes e rveraeiras. ara 4(=, -, ;), temos:
,logo . ois t % ; satisaz as e+ua#Aes.ara (>, - =, -
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
147/160
r:ara &(O, ->, R) r e vetor iretor , temos:
r:g) Se , os vetores iretores e s s$o os mesmos e r. ara, tem-se
s:
) &omo a reta s paralela ao eixo 6 e passa pelo ponto ", ume seus vetores iretores . nt$o:s: ou
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
148/160
s: ouf 6E5% DEI.ID% PO6 DOIS PO.5OS
" reta einia pelos pontos " e 7 a reta +ue passa por " ou7 e tem a ire#$o o vetor .x: screver as e+ua#Aes paramtricas a reta r +ue passapor " (
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
149/160
"s e+ua#Aes paramtricas o segmento "7 s$o as mesma a reta r,porm, com . 1emos:
"7: , com/bserve +ue:se t % J, obtm-se o ponto "[
se t % , obtm-se o ponto 7[e para t entre J e , obtm-se os pontos entre " e 7.Se o segmento or 7" com o mesmo intervalo e varia#$o e t, tomano oponto 7 e para vetor iretor . nt$o:
"7: , com
A Er
f E/0%8KES SIML56I-%S D% 6E5%"s e+ua#Aes paramtricas e uma reta s$o[
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
150/160
Seno a J, b J e c J, ent$o poemos escrever:
"s e+ua#Aes simtricas a reta +ue passa pelo ponto" ( e tem a ire#$o o vetor (a, b, c) s$o aas por: $ $
x: " reta +ue passa pelo ponto "() e tem a ire#$o ovetor tem e+ua#Aes simtricas: $ $ara obter outros pontos a reta, basta atribu'mos +ual+uervalor a uma as vari2veis.
f 6E5%S P%6%4E4%S %OS P4%.OS -OO6DE.%DOSUma reta paralela a um os planos x/6, x/z ou 6/z se seusvetores iretores orem paralelos ao corresponente plano.
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
151/160
eto es eto es o e pa a e os ao co espo e te p a oesse caso, uma as componente o vetor nula.
" igura abaixo mostra a reta r (r x/6) +ue passa pelo ponto"(- , ;,
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
152/160
#
&omo toos os pontos e r s$o o tipo (x, 6, =), ou seja, s$opontos e cota =, toos eles istam = uniaes o plano x/6 e,por isso, r x/6.
pontos istintos a reta r, o vetor iretor" igura a seguir mostra a reta r +ue passa por "(, >,
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
153/160
f 6E5%S P%6%4E4%S %OS EI!OS -OO6DE.%DOSUma reta paralela a um eixo /x, /u ou /z se seus vetoresiretores orem paralelos a , aina, a .
A
r
?
N
.
B
xemplo: Seja a reta r +ue passa por "(;,
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
154/160
p" reta r poe ser representaa pelas e+ua#Aes:
ara o caso particular a reta ser paralela a um eixo
coorenao. "s e+ua#Aes s$o escritas somente pelasconstantes. nt$o as e+ua#Aes a reta r s$o:
A
r
?
N
=
B
subenteneno-se z uma vari2vel livre +ue assume toos osvalores reais. /ne toos os pontos e r s$o o tipo (;,
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
155/160
p p ( , , )as coorenaas constantes ientiicam a reta.
"s iguras e ; apresentam retas +ue passam pelo ponto s$oparalelas aos eixos /x e /6, respectivamente. a ormasimpliicaa suas e+ua#Aes s$o:
A r
?N
=
8
A
r
?N
=
8
Figura
Figura B
f J.C04OS DE D0%S 6E5%S&!ama-se Wngulo e uas retas o menor Wngulo e um vetoriretor e e e um vetor e .
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
156/160
Sejam as retas com as ire#Aes e , respectivamente como
mostra a igura a seguir:
Seno o Wngulo procurao temos:
?N
=
8
xemplo: &alcular o Wngulo entre as retas
solu#$o:
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
157/160
#/s vetores +ue einem a ire#$o as retas s$o:
f 6E5%S O65OCO.%ISSejam as retas com as ire#Aes e , respectivamente. nt$o:
xemplo: "s retas s$o ortogonaisE
Seno vetores iretores e ., logo as retas s$o ortogonais./bserva#$o
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
158/160
4uas retas ortogonais poem ser concorrentes ou n$o. a
igura, as retas , s$o ortogonais a r. orm, e r s$oconcorrentes. esse caso, iz-se +ue s$o perpeniculares.
r
Y
Y
f 6E5%S O65OCO.%4 % D0%S 6E5%SSejam as retas n$o paralelas, com as ire#Aes e ,respectivamente. 1oa reta r ortogonal e ter2 a ire#$o e um
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
159/160
vetor tal +ue:
m vez e tomarmos um vetor como uma solu#$o particular osistema poemos utilizar o prouto vetorial para obter o vetoriretor a reta r.
1eno o vetor ireto a reta r, basta termos um ponto a retapara eterminarmos sua e+ua#$o.xemplo: 4eterminar as e+ua#Aes paramtricas a reta r +uepassa pelo ponto "(
-
7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015
160/160
"s e+ua#Aes paramtricas a reta r s$o:
r: