Álgebra Linear Aula 02

Determinante

Para aproveitar 100% dessa aula vocês precisam saber:

ü  Matrizes ü  Equação do 1º grau ü  Equação do 2º grau

Como representamos o determinante de uma matriz?

Colocando os elementos de uma matriz entre duas barras verticais.

Exemplos:

0421

0421

=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ADetA

355102041

355102041

=⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

= BDetB

Como calculamos o determinante de uma matriz quadrada?

à Se for uma matriz de ordem 1, então o determinante é o próprio elemento da matriz.

Exemplo: ( ) 44det4 −=−=⇒−= AA

à Se for uma matriz de ordem 2, então o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Exemplo:

0132

det0132

=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= AA

31.30.2 −=−

Exercício

(UF-PI) Sejam

Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1121 yx

Beyx

A

Solução

3x = 6 x = 2

424)(2

421

det

=+⇒=−−

=−

=

yxyxyx

A

2

211

det

=−

==

yx

yxB

⇒⎩⎨⎧

=−

=+⇒

⎩⎨⎧

=−

=+

242

242

yxyx

yxyx x - y = 2

2 - y = 2 y = 0

Logo, x + y = 2 + 0 = 2

Resposta: letra A.

à Se for uma matriz de ordem 3, então o determinante é calculado através da Regra de Sarrus.

Exemplo: det A = 10 – 4 + 0 + 6 + 0 – 12 det A = 0

Exercício

(Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que

é (ou são):

a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3

83210

21−=

−−

−

xx

x

Solução

-2 + 6x -2x -2x2 =-8

-2x2 + 4x +6 = 0

As raízes são -1 e 3.

Resposta: letra E.

83210

21−=

−−

−

xx

x8

3210

21−=

−−

−

xx

x 1 x

2

0 -2 x

6x -2 0 -2x2 -2x 0

Propriedades dos Determinantes

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

• Quando todos os elementos de uma fila são nulos

Ex: 1) 0000892531=−

2) 01605802501=

Uma fila pode ser uma linha ou uma coluna

• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais

3) 0

918092123180921

=

−

−

π

4) 0884201693

=−−

31 LL =

31 C.C2 =

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.

5)

6)

09114053961=

0

0957877097130531

=

−−

321 LLL =+

321 CC.C2 =+

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

Outras propriedades:

• det(A)=det(At)

Ex: 1)

2)

612189432

=−= 612189342

=−=

,10 Se =

tsrzyxcba

10 então =

tzcsybrxa

1)

2)

Ex:

• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal

=

797035002

427.3.2 =

=

−

2000530068500872

602.3.5.2 −=−

Outras propriedades:

1) Ex:

• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal

315189352

=−= 318153925

−=−=

2) ,5 Se =

tsrzyxcba

5 então −=

cbazyxtsr

Outras propriedades:

Ex: 1)

2)

69432= 306.5

94.532.5

==

,10 Se =

tsrzyxcba

7010.7.7.7.7 então ==

tsrzyxcba

• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no

Outras propriedades:

• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A

1)

2)

69432= 1506.5

9.53.54.52.5 2 ==

=

=

det(2.A) então 5,det(A) com 3x3 éA Se

=2.det(A)

Ex:

Outras propriedades:

3 405.8 =

• det(A.B)=detA.detB

Ex: .3214

B e 7523

A Sejam ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

det(A.B)? valeQuanto

11011.10det(A.B) ==

Outras propriedades:

11detA = 10detB =

• det(A-1)=1/detA

Ex:

:iaConsequênc IA.A-1 =det(I))det(A.A-1 =⇒

1)(Adet(A).det -1 =⇒

/detA1)det(A-1 =⇒

:é 9352

A de inversa da tedeterminan O ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1/3/detA1)det(A-1 ==

Para calcular determinantes de ordem superior a 3...

u Método de Laplace ou u Desenvolvimento de um Determinante por

uma Linha ou por uma Coluna.

+ ! + !! + ! ++ ! + !! + ! +

Teorema de Laplace

Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o determinante da matriz A será o número real que se obtém somando-se os produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos cofatores.

Esse teorema nos permite calcular o determinante de matrizes de ordem maior que 3.

Porém, antes vamos aprender os conceitos de Cofator.

O que é Cofator de uma matriz?

É o produto de (-1)i+j (sendo i e j o índice de um elemento) pelo determinante da matriz obtida quando eliminamos a linha e a coluna desse elemento.

Exemplo: Considerando a matriz

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−=

346120352

A

Vamos calcular os cofator c11.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−=

346120352

A

C11 = (-1)1+1 .

C11 = 1.[-2 .(-3) - (-1). 4] = 6 + 4 = 10

3412

−

−−

C =c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33

!

"

###

$

%

&&&

Matriz dos Cofatores

Vamos calcular os cofator c23.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−=

346120352

A

C23 = (-1)2+3 .

C23 = -1.[2 .4 – 5 . 6] = -1. (8 - 30)= -1(-22) = 22

4652

C =c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33

!

"

###

$

%

&&&

Matriz dos Cofatores

Teorema de Laplace Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1,

o determinante da matriz A será o número real que se obtém somando-se os produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer

pelos seus respectivos cofatores.

Exemplo: Considerando a matriz

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−=

346120352

A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−=

346120352

A

C21 = (-1)2+1 . = -1.[5 .(-3) – 3 . 4] = 27

C22 = (-1)2+2 . = 1.[2 .(-3) - (3. 6)] = -24

C23 = (-1)2+3 . = -1.[2 . 4 - 5. 6)] = 22

3435−

3632−

4652

Vamos calcular o determinante usando a segunda linha.

Pelo Teorema de Laplace é:

det A = 27.0 + (-24).(-2) + 22.(-1) det A = 0 + 48 - 22 det A = 26.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−=

346120352

A

Então, o cálculo do determinante da matriz

Inversão de Matrizes

Inversão de Matrizes – Se A é uma matriz quadrada de ordem n, dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = In.

D a d a u m a m a t r i z M inversível (não-singular), chama-se inversa de A, a matriz M-1 , que é única, tal que M. M-1 = M-1 .M = In.

Quando uma matriz M não é inversível, ela é dita matriz singular, cujo determinante é nulo. Logo, a matriz singular não tem inversa.

II ) (A-1)-1 = A

III ) I-1 = I (A matriz unidade é a sua própria inversa)

IV) (α.A)-1 = (1/α). A-1 , onde α ∈ IR e α ≠ 0

I ) (A + B)-1 = A-1 + B-1

V ) (A.B)-1 = B-1.A-1

Como calcular a Matriz Inversa ?

Há 3 processos:

Lembrando que M. M-1 = In.

Por meio de determinantes, temos:

( )t1 1M . M'detM

− =

M-1 é a matriz M invertida.

det M é o determinante da matriz M a inverter.

(M’)t é a matriz de cofatores transposta de M.

Por meio de operações elementares. A|I è I|A-1

EXEMPLO 1

Obtenha a matriz inversa das matrizes abaixo, pelos 3 processos.

3 6b)B

2 4

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

1 0 2

c)C 2 1 3

3 1 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 4 7

d)D 2 5 8

3 6 9

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2a)A

3 4

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

SOLUÇÃO I

12A.A I− = ⇒ 1

21 2

.A I3 4

−⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎣ ⎦2 x 2 2 x 2 2 x 2

1x z

Ay w

−⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2 x z 1 0.

3 4 y w 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x 2y z 2w 1 0

3x 4y 3z 4w 0 1

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

AGORA É SÓ

RESOLVER OS

SISTEMAS

1 2 x z 1 0.

3 4 y w 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x 2y z 2w 1 0

3x 4y 3z 4w 0 1

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x 2y 1 z 2w 0

3x 4y 0 3z 4w 1

+ = + =⎧ ⎧⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪+ = + =⎩ ⎩

y = 3/2

x = -2

w = -1/2

z = 1

1x z 2 1

Ay w 3/ 2 1/ 2

−−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

SOLUÇÃO II

1 2A

3 4

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2;detA 1.4 2.3 2

3 4= = − = −

( )t1 1M . M'detM

− = ( )t1 1A . A'detA

− =

1 111A ( 1) . 4 4+= − = 1 2

12A ( 1) . 3 3+= − = −2 1

21A ( 1) . 2 2+= − = − 2 222A ( 1) . 1 1+= − =

t4 3 4 2

A' (A')2 1 3 1

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

14 2 2 11A .

2 3 1 3 / 2 1/ 2−

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =

− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

SOLUÇÃO III

1 2A

3 4

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2 1 0

3 4 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⇒⎢ ⎥⎣ ⎦

1 0 2 1

3 4 0 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L1 = 2.L1 - L2

L2 = L2 + 3.L1 1 0 2 1

0 4 6 2

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

L1 = - L1

L4 = L4 : 4

1 0 2 1

0 1 3 / 2 1/ 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

PERCEBERAM QUE OS RESULTADOS NOS 3 PROCESSOS SÃO OS

MESMOS?

A-1

A|I è I|A-1

Bibliografias u  STEINBRUCH , A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron

Books, São Paulo, 1987; u  BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia,

Wetzler, Henry G. – Álgebra linear – 3a edição – Ed. Harbra – São Paulo SP - 1989.

u  STEINBRUCH , A. e WINTERLE, P. Introdução a Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo;

u  KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.