aula18 escmeiosporosos pit
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Escoamento em Escoamento em leitos porosos leitos porosos (fixos e móveis)(fixos e móveis)
• Velocidade mínima de fluidização
• Equação de Ergun
OPERAÇÕES UNITÁRIAS I OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
• Lei de Darcy
• Porosidade, Diâmetro hidráulico
Leitos fixos
Leitos fluidizados
Transporte pneumático
• Equação de Carman-Kozeny
Lei de DarcyLei de Darcy
Henry Darcy em 1856 demonstrou que a velocidade média (v) de um fluido newtoniano quando escoa em regime laminar dentro de um leito poroso é proporcional ao gradiente de pressão e inversamente proporcional à distância percorrida.
L
PKv
)(
v = velocidade média do fluido (fora do leito),
K = constante que depende das propriedades físicas do leito e do fluído.
(-P) = queda de pressão através do leito;
L = percurso realizado no leito poroso;
3
L
PBv
)( A equação de Darcy
também pode ser escrita da seguinte maneira:
B = coeficiente de permeabilidade;depende apenas das propriedades físicas do leito poroso
Lei de DarcyLei de Darcy
A
Q
Adt
dVv
v = velocidade superficial do fluido(antes ou depois de escoar no leito):
μ = viscosidade do fluído.
Equação de PoiseuilleEquação de PoiseuilleExplica o escoamento em regime laminar de um fluido newtoniano dentro de um tubo.
2
32
D
v
L
P
L
PDv
)(
32
2 Colocando a equação em termos
da velocidade média no tubo:
Onde:∆p é a pressão (N/m2)v é a velocidade no tubo (m/s) D é o diâmetro (m)L é o comprimento (m)µ é a viscosidade (Pa.s)
5
L
PBv
tortuosocanal
)(
Comparando as equações:Comparando as equações:
L
PDvtubo
)(
32
2
k
DB
2
Nesta expressão o diâmetro usado deve ser o diâmetro equivalente.
Pode-se pensar em uma expressão para a porosidade:
Darcy modificadaPoiseuille
Quais são as variáveis que atuam no escoamento de um fluido newtoniano dentro de um leito de partículas sólidas rígidas?
Precisamos de equações para descrever como varia a pressão, com a distância percorrida (altura do leito) e a velocidade do fluido, em função de:porosidade diâmetro de partícula, primeiro em leitos fixos e depois em leitos móveis (ou fluidizados)
Considerações
• Um leito de percurso curto (L pequeno)
• Usar a pressão piezométrica que incorpora o efeito da pressão (p) e da altura (z) numa variável só: P=p+gz.
• As partículas se distribuem homogeneamente, o que permite a formação de canais de escoamento contínuos e uniformes.
• O leito pode ser modelado como um conjunto de canais tortuosos em paralelo.
• Que o fluxo é laminar (f F = 16/Re ou f D = 64/Re).
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PorosidadePorosidade
Em um leito poroso existem vazios (zonas sem partículas).
leitodototalVolume
vazioVolume
Fluido
Leito poroso
v
vc LL’
A porosidade () é definida como a razão entre o volume do leito que não está ocupado com material sólido e o volume total do leito.
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Fluxo através de um leito de partículas
Vazio Sólido
Fração
Volume
Massa
ε ε)(1
bb )ρ(SLε)(1 )(SLε)(1 b
fb )ρ(SLε)(1 )(SLε b
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Dedução de fórmula para calcular a porosidade a partir da densidade do leito e dos materiais:
)(SLV bT
T
T
V
mB
vs )1(B
vbsb )(SLε)(SLε)1(m T
)(B svs sv
s
B
11
Volumes no leito
leitodovolumeSLb
sólidasparticulaspelasocupadovolume)1( SLbfluxoparadisponívelvolumeSLb
Volume total do leito
Leito particulado
Conjunto de partículas
Volume = soma dos volumes unitários
Volume vazio
Volume do sólido
12
A vazão fora do leito é igual a vazão dentro do leito:
SuSu 0Balanço
de massa
Velocidade superficial e velocidade média no leito
lsuperficiavelocidade0 u
0uu
5,0
leitono médiavelocidadeu
Quando o leito não tem partículas: 1
02 uu Se a porosidade for 50%:
uu 0
0u
u
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Diâmetro equivalente
Como não se trata do escoamento em uma tubulação cilíndrica devemos usar o conceito de diâmetro equivalente e raio hidráulico.
úmidoperimetro
fluxodeltransversaárea44 Heq RD
líquidosólidoatritodeárea
fluxooparadisponívelvolume4eqD
Multiplicando por L/L
14
Diâmetro equivalente
líquidosólidoatritodeárea
fluxooparadisponívelvolume4eqD
fluxoparadisponívelvolumeSLb
sólidasparticulaspelasocupadovolume)1( SLb
sb
beq aSL
SLD
14
sólidode volume
sólidodeárea sa
s
eq aD
14
Diâmetro equivalente
s
eq aD
14
pp
ps DD
Da
63
61
2
Para uma esfera:
peq DD
16
4
as é a área superficial por unidade de volume.
P
Ps V
Aa
Leito particulado fixo
Como calculamos a perda de pressão no leito?
fff
uff
Ev
gzp
Wv
gzp
22
22
21
11 ˆ
24
2v
D
Lf
PF
f
Para o escoamento de um canal tortuoso temos:
Usamos o Balanço de Energia Mecânica:
f
F Dvf
16
17
L
PBv
tortuosocanal
)(
Comparando as equações
L
PDvtubo
)(
32
2
k
DB
2
264
2v
D
L
vD
P
ff
vD
LP
ff
232
L
PDv
tortuosocanal
)(
32
2
18
Substituindo termos:
L
PDv
tortuosocanal
)(
32
1 2
0u
u
peq DD
16
4
lsuperficiavelocidade0 u
leitododentro médiavelocidadeu
L
PDu po
)(
)1(6
4
32
12
L
PDu p
o )(
)1(72 2
32
3
2
2
172
p
o
D
Lup
o
tortuosocanal
uv
Fluxo Laminar
3
2
20 172
pD
Lup
Como a equação não considera o caminho tortuoso do fluido dentro do leito, os dados experimentais revelam que o valor da constante é maior: 150.
3
2
20 1150
pD
Lup
f
fpp
uDRe
)1(0
Equação de Blake-Kozeny, válida para <0.5 e Rep<10.
Reynolds de partícula:
20
2kf
p
1
Re
kf
21
Regimes de escoamentoRegimes de escoamento
f
eqffp
dv
..
Re
Número de Reynolds da partícula:
Definição do regime do fluxo do fluído:
Laminar quando Rep < 40
Turbulento quando Rep > 40
f
fpp
uDRe
0
1
f
fpp
uDRe
)1(0
22
Fluxo Turbulento
Para o regime turbulento pode propor-se:
3
20 13
p
f
D
Lukp
Experimentalmente: 000,1pRe
Equação de Burke-Plummer
3
20 175.1
p
f
D
Lup
24
2u
D
Lk
P
f
kf
0u
u ph DD
16
4
2)1(
4
12
o
pf
u
D
Lk
P
23
Equação geral
Equação de Ergun
75.1150
1
3
20
p
p
ReL
D
u
p
No escoamento de gases se usa o valor médio da densidade no leito (ρm) e a vazão mássica (G=ρmū).
3
20
3
2
20 175.11150
p
bf
p
b
D
Lu
D
Lup
75.1150
1
3
2
p
pf
ReL
D
G
p
24
Escoamento de gases em leitos porosos fixos vG
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Formas IrregularesNem todas as partículas tem forma esférica. Na indústria se usam partículas feitas especificamente para aumentar a área superficial para favorecer o contato entre fases na troca de massa e/ou calor.
partículadareal
partículadareal
eequivalentesféricap
partícula
esferas
V
S
D
a
a 6
Dp é o diâmetro da esfera do mesmo volume da partícula.
A partícula irregular é tratada como se fosse uma esfera, introduzindo o fator denominado esfericidade s que permite calcular um diâmetro equivalente.
26
Exemplo: Cubo
3
26
aV
aS
Qual é a esfericidade da esfera de volume a3?
33
6 pDa
313
13132
6/6
/)6( a
as
realpartícula
eequivalentesfera
VS
ass
aDp316 81.0 s
aDa
ps
31
31
33
6
66
aa
a
V
S 663
2
partículareal
partículareal Diâmetro equivalente da esfera de volume a3?
ps D
a6
131
32
6 aas
27
Para uma partícula esférica:
22peq dd deq = diâmetro equivalente
dp = diâmetro da partícula
Superfície específica da partículaSuperfície específica da partícula
2
2
.
.
p
eq
d
d
Para partículas quase esféricas do mesmo volume: p
eq
A
d 2.
pp
p
dV
A 6
p
pS V
Aa
partículadavolume
partículadaárea
deesfericida
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Partículas não esféricas
A equação de Ergun inclui a esfericidade(multiplicando ao diâmetro de partícula):
3
20
3
2
220 175.11150
ps
b
ps
b
D
Lu
D
Lup
3
20
3
2
20 175.11150
p
bf
p
b
D
Lu
D
Lup
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Resposta ao fluxo superficial
O fluido não fornece força de arraste suficiente para se sobrepor a
gravidade e fazer que as partículas se movimentem: Leito fixo.
A velocidade alta as forças de arraste e flotação superam a força da
gravidade e o leito se expande: Leito fluidizado.
Baixa velocidade
Alta Velocidade
p e o aumento da velocidade superficial u0
Enquanto se estabelece a fluidização o p cresce, depois se mantém constante.
Comprimento do leito quando aumenta u0
A altura (L) é constante até que se atinge o estado de fluidização depois começa a crescer.
30
Resposta a Velocidade Superficial
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Quando inicia-se a fluidização, há um aumento da porosidade do leito e da altura também. Essa relação é da pela seguinte expressão:
Sem fluxo Com fluxo
L1
L2
1
2
)1()1( 2211 LSLS
Altura do leito porosoAltura do leito poroso
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Velocidade do fluido no canalVelocidade do fluido no canal
Considerando área de fluxo igual, chega-se à equação da velocidade de circulação
do fluído através do canal (vc):
vSSvc .
v = velocidade do fluído livre de partículas;
L’= deslocamento do fluído no interior do leito
L = altura do leito
Fluido
Leito poroso
v
vc LL’.'
L
Lvvc
v
vc
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DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
A fluidização ocorre quando um fluxo de fluido ascendente através de um leito de partículas adquire velocidade suficiente para suportar as partículas, porém sem arrastá-las junto com o fluido.
Sem fluxo Com fluxo
L1
L2
1
2
O leito assume então o aspecto de um líquido em ebulição e devido a isso surgiu o termo “fluidizado”
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FINALIDADEFINALIDADE
A fluidização é empregada em:
• Secagem• Mistura • Revestimento de partículas • Aglomeração de pós • Aquecimento e resfriamento
de sólidos;• Congelamento.
Elevados coeficientes de transferência de calor e massa; Boa mistura dos sólidos; A área superficial das partículas sólidas fica
completamente disponível para a transferência.
Vantagens da Fluidização:
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EXEMPLO: resfriador de sólidos
Entrada de sólidos quentes
Entrada de ar
Entrada de ar
Leito fluidizado
Água fria
Saída de ar
Saída de sólidos frios distribuidor
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TIPOS DE FLUIDIZAÇÃOTIPOS DE FLUIDIZAÇÃO
1- Fluidização particulada:
Ocorre quando a densidade das partículas é parecida com a do fluido e o diâmetro das partículas é pequeno.
Observe como a presença do leito fluidizado melhora a distribuição do calor de um jato de gás quente no reator
Sem partículas Com partículas
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2. Fluidização agregativa: Ocorre quando as densidades das partículas e do fluído são muito diferentes ou quando o diâmetro das partículas é grande.
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Equação de ErgunEquação de Ergun
Pode ser utilizada para ambos os regimes, laminar e turbulento:
A equação de Ergun descreve a variação de pressão por unidade de comprimento do leito fluidizado.
23232
2 )1(75,1
)1(150
)(v
dv
dL
P
pp
f
pp
38
39
Velocidade mínima de fluidizaçãoVelocidade mínima de fluidização
Fg
Fp
O leito somente fluidizará a partir de um certo valor de velocidade do fluido ascendente que seria a velocidade mínima de fluidização (vmf).
Quando temos esta vmf , a força de pressão do fluido (Fp) se iguala a força peso do leito(Fg).
Logo,
(Fp) = (Fg) (Fp) = (Fg)
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Velocidade mínima de fluidizaçãoVelocidade mínima de fluidização
Fg
Fp gLSFg p )1.(.).(
SPFp ).( Sabe-se que
Assim, quando Fp = Fg
SPgLSp ).()1.(.).(
S=área transversal da coluna que contém as partículas;
p=densidade da partícula
gL
Pp )1)((
L=altura do leito
gSLF pg )1(
gSLFb )1(
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Velocidade mínima de fluidizaçãoVelocidade mínima de fluidização
Regime laminar
A parte final da equação de Ergun é insignificante em relação à primeira, logo temos:
mfvdpL
P23
2)1(150
)(
23
.)1(
)(
150
1dpgv p
mf
mfmf
2
3232
2 )1(75,1
)1(150
)(mf
p
fmf
p
vdp
vdpL
P
mfg
L
Pp )1)((
Considerando
1 p
42
Velocidade mínima de fluidizaçãoVelocidade mínima de fluidização
Regime turbulento
O termo de velocidade ao quadrado é o único relevante:
23
)1(75,1
)(v
dpL
P
2/1
32 )(756,0
dpgv mf
pmf
2
3232
2 )1(75,1
)1(150
)(mf
p
fmf
p
vdp
vdpL
P
1 p mfg
L
Pp )1)((
Considerando
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OA: Aumento da velocidade e da queda de pressão do fluído; AB: O leito está fluidizado; BC: Com o aumento da velocidade, há pouca variação na pressão de maneira instantânea, devido à mudança repentina da porosidade do leito; CD: A velocidade varia linearmente com a queda de pressão até chegar no ponto D. Após o ponto D, as partículas começam a ser carregadas pelo fluído e perde-se a funcionalidade do sistema.
vmf = velocidade mínima de fluidização
va = velocidade de arraste
Leito de ebulição (ou fluidização descontínua)
Transporte pneumático
Etapas da fluidizaçãoEtapas da fluidização
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Para determiná-la, usam-se as seguintes relações:
mfleito
sólidaspartículasdetotalmfleitomf V
VV
14
1. 3 mfp
Experimentalmente:
Porosidade mínima de fluidizaçãoPorosidade mínima de fluidização
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Distribuidor do fluidoDistribuidor do fluidoNuma boa distribuição, a perda de carga na placa deve ser: (a) aproximadamente 10% em relação a do leito, ou;(b) 35 cm ca, ou; Escolher sempre o maior valor.
Placa perfurada Desenho de chapéu
Entalhes horizontais contínuos
Desenho de edifício