AULA 1 DE GEOMETRIA DIFERENCIAL.

CURVAS PARAMETRIZADAS EM R2 E EM R3

Prof. Sergio Luiz Silva

Curvas Parametrizadas

Uma curva parametrizada em R2(R3)e uma funcao : I R2 (R3), onde I R e um intervalo nao-

degenerado(I e nao-degenerado quando I 6= e I nao se constitui de um unico ponto).

Traco de uma Curva Parametrizada. O traco de uma curva parametrizada : I R2 (R3) e o conjunto(I) = {(t) | t I } R2 (R3)(a imagem da funcao ).

Exemplo 1.1. Fixados um ponto p R2 (R3) e um vetor nao-nulo v R2 (R3), a curva parametrizada :R R2 (R3), dada por (t) = p+ t v, t R, tem como traco a reta que passa por p e e paralela ao vetor v.

Por exemplo, a curva parametrizada 1 :R R2, dada por 1(t) = (2 t,1 + 3t), t R, tem como traco areta que passa por (2,1) e e paralela ao vetor (1, 3) pois 1(t) = (2,1)+t (1, 3). Ja a curva parametrizada2 :R R3, dada por 2(t) = (t, 1 2t, 3), t R, tem como traco a reta que passa por (0, 1, 3) e e paralela aovetor (1,2, 0) tendo em vista que 2(t) = (0, 1, 3)+ t (1,2, 0).

Exemplo 1.2. A curva parametrizada : [0, 2pi] R2, definida por (t) = (cos(t), sen(t)), t [0, 2pi], temcomo traco a circunferencia de centro (0, 0) e raio 1. (Lembre-se que a circunferencia de centro (0, 0) e raio 1 eo conjunto dos pontos (x, y) no plano que satisfazem a equacao cartesiana x2 + y2 = 1.) De fato, por um lado,colocando x(t) = cos(t) e y(t) = sen(t) e tendo em vista que x(t)2 + y(t)2 = cos2(t) + sen2(t) = 1, para todonumero real t, vemos que os pontos do traco de estao na circunferencia de centro (0, 0) e raio 1. Por outrolado, se um ponto (x, y) no plano satisfaz x2 + y2 = 1, podemos colocar x = cos(t) para algum t [0, 2pi] (a

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equacao x2 + y2 = 1 implica 1 x 1 e 1 y 1 e, quando t percorre o intervalo [0, 2pi], cos(t) assumetodos os valores reais de 1 a 1). Com isto, deduzimos

y2 = 1 x2 = y2 = 1 cos2(t) = y2 = sen2(t) = y = sen(t).

Se y = sen(t) entao o ponto (x, y) da circunferencia de centro (0, 0) e raio 1 e da forma (cos(t), sen(t)) paraalgum t no intervalo [0, 2pi] e, consequentemente, (x, y) e um ponto do traco de . Se y = sen(t) = sen(t),como x = cos(t) = cos(t), temos que o ponto (x, y) da circunferencia de centro (0, 0) e raio 1 e da forma(cos(t), sen(t)) para algum t no intervalo [2pi, 0] ja que t esta no intervalo [0, 2pi]. Levando-se em contaque cos(t+ 2pi) = cos(t) e sen(t + 2pi) = sen(t), obtemos que o ponto (x, y) da circunferencia de centro(0, 0) e raio 1 e da forma (cos(t + 2pi), sen(t + 2pi)) com t + 2pi [0, 2pi]. Assim, em qualquer caso, oponto (x, y) da circunferencia de centro (0, 0) e raio 1 e tambem um ponto do traco de . Logo, o traco de eprecisamente a circunferencia de centro (0, 0) e raio 1. Mais geralmente, fixados numeros reais a e b e um numeroreal positivo r, o traco da curva parametrizada : [0, 2pi] R2, dada por (t) = (a + r cos(t), b + r sen(t)),t [0, 2pi], tem como traco a circunferencia de centro (a, b) e raio r cuja equacao cartesiana e dada por(x a)2 + (y b)2 = r2, (x, y) R2(verifique os detalhes).

Exemplo 1.3. A curva parametrizada :R R3, dada por (t) = (cos(t), sen(t), t), t R, tem como tracoa helice cilndrica abaixo, contida no cilindro de equacao cartesiana x2 + y2 = 1, (x, y, z) R3.

Dizemos que a curva parametrizada : I R3 e de classe C0 quando a funcao e contnua. Se (t) =(1(t), 2(t), 3(t)) entao e contnua se, e somente se, as suas funcoes coordenadas 1, 2, 3 : I R sao

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contnuas. Dizemos que e de classe C1 quando a funcao e derivavel e a funcao e contnua. Lembre-seque e derivavel em t I quando existe o vetor limite(1.1) (t) = lim

h0(t + h) (t)

h.

O limite acima, quando existe, e tambem representado por ddt(t) e chamado de o vetor derivada primeira

de em t. Quando (t) representa a posicao de uma partcula no instante t, o vetor (t) e, por definicao,a velocidade da partcula no instante t e e normalmente representado por V (t). O escalar v(t) = |V (t)| edito a velocidade escalar da partcula no instante t. Em termos de funcoes coordenadas, e derivavel emt I se, e somente se, as suas funcoes coordenadas 1, 2, 3 sao derivaveis em t I . Alem disso, vale(t) = (1(t),

2(t),

3(t)). Assim, e de classe C

1 se, e somente se, as suas funcoes coordenadas 1, 2, 3sao derivaveis e as funcoes 1,

2,

3 sao contnuas. Dizemos que e de classe C

2 quando existe e e derivavela funcao e = () e contnua. Temos que (t) e o vetor limite

(t) = limh0

(t+ h) (t)h

.

O limite acima, quando existe, e tambem representado por d2dt2

(t) e chamado de o vetor derivada segunda de em t. Se (t) representa a posicao de uma partcula no instante t, o vetor (t) e, por definicao, a aceleracaoda partcula no instante t e e normalmente representado por A(t). Em termos de funcoes coordenadas, existe(t) se, e somente se, existem 1(t),

2 (t),

3 (t). Alem disso, vale

(t) = (1 (t), 2(t),

3(t)). Logo, e de

classe C2 se, e somente se, existem e sao derivaveis as funcoes 1, 2, 3 e as funcoes 1 , 2 , 3 sao contnuas.Indutivamente, para k 2, dizemos que e de classe Ck quando existe e e derivavel a funcao (k1)(derivadade ordem k 1 de ) e (k) = ((k1)) e contnua. Em termos de funcoes coordenadas, e de classe Ckse, e somente se, existem e sao derivaveis as funcoes (k1)1 ,

(k1)2 ,

(k1)3 e as funcoes

(k)1 ,

(k)2 ,

(k)3 sao

contnuas. Finalmente, dizemos que e de classe C quando e de classe Ck para to k N. Todas asdefinicoes e consideracoes acima valem para curvas parametrizadas :R R2 mudando apenas o numero defuncoes coordenadas. Por exemplo, as curvas parametrizadas dos Exemplos 1.1, 1.2 e 1.3 sao de classe C.

Exemplo 1.4. A curva parametrizada :R R2, dada por (t) = (t, |t|), t R, e apenas de classe C0 jaque as suas funcoes coordenadas 1(t) = t e 2(t) = |t|, t R, sao contnuas mas 2 nao e derivavel em t = 0.Curva Parametrizada Regular. Diremos que uma curva parametrizada : I R2 (R3) e uma curvaparametrizada regular quando (t) 6= (0, 0)( (0, 0, 0) ) para todo t I .Reta Tangente. Sejam C o traco de uma curva parametrizada e p um ponto de C. Para cada q C, q 6= p,consideremos a reta s determinada pelos pontos p e q. A reta tangente a C no ponto p e, por definicao, a retar para a qual tende a reta s quando q tende a p, caso a reta s tenda a alguma reta quando q tende a p. Se areta s nao tende a nenhuma reta, quando q tende a p, diremos que C nao possui reta tangente em p.

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Interpretacao Geometrica do Vetor Derivada. Seja C o traco de uma curva parametrizada (t), t I , declasse C1 com (t) = p. Para cada h R, h 6= 0, tal que t+h I , consideremos os vetoresW (h) = (t+h)(t)e V (h) = W (h)h . De acordo com (1.1), temos

(t) = limh0

V (h). Intuitivamente, da FIG 1.5 acima, observamos

que se C possui reta tangente em p entao o vetor (t), quando nao-nulo, e paralelo a reta tangente a C em p.

Exemplo 1.5. Nas figuras abaixo, C e L nao tem reta tangente definida em p

Exemplo 1.6. A curva parametrizada (t) = p + tv, t R, cujo traco e a reta r que passa pelo ponto p e eparalela ao vetor nao-nulo v, e uma curva parametrizada regular de classe C pois (t) = v, t R, e (k)(t)e o vetor nulo para todo k 2 e todo t R.

Exemplo 1.7. A curva parametrizada (t) = (a+r cos(t), b+r sen(t)), t [0, 2pi), cujo traco e a circunferenciade centro (a, b) e raio r, e uma curva parametrizada regular de classe C pois (t) = (r sen(t), r cos(t)) 6=(0, 0), t [0, 2pi). A curva parametrizada do Exemplo 1.3, cujo traco e uma helice cilndrica, tambem e umacurva parametrizada regular C(verifique).

Vimos acima, que se p e um ponto do traco C de uma curva parametrizada , com (t) = p e (t) nao-nulo,entao (t) e paralelo a reta tangente a C em p, caso esta esteja bem definida. Assim, a curva parametrizadaregular (s) = (t) + s(t), s R, tem como traco a reta tangente a C em p.

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Exemplo 1.8. A circunferencia de centro (0, 0) e raio 1 e o traco da curva parametrizada (t) = (cos(t), sen(t)),t [0, 2pi). Temos (pi

4

)=(

22,22

). Vale, (t) = (sen(t), cos(t)) para todo t. Logo, (pi

4

)=(22,22

)e paralelo a reta tangente a` circunferencia no ponto

(22,22

). Consequentemente,

(s) =

(22,

22

)+ s

(22,

22

)=22(1 s, 1 + s), s R,

tem como imagem a reta tangente a` circunferencia de centro (0, 0) e raio 1 no ponto(

22,22

).

Exemplo 1.9. Dado o ponto(0, 1, pi2

)da helice cilndrica do Exemplo 1.3, temos que (t) = (cos(t), sen(t), t),

t R, satisfaz (pi2

)=(0, 1, pi

2

). Valem, (t) = (sen(t), cos(t), 1) para todo t e (pi

2

)= (1, 0, 1). Assim, a

reta tangente a` helice no ponto(0, 1, pi

2

)e a imagem da curva parametrizada

(s) =(0, 1,

pi

2

)+ s (1, 0, 1) =

(s, 1, pi

2+ s), s R.

Comprimento de Curvas. Seja C o traco de uma curva parametrizada de classe Ck . Suponhamos que Ctenha extremos p e q. Seja P uma poligonal com extremos p e q, inscrita em C; ou seja, P e uma uniao desegmentos de reta pp1, p1p2, . . . , pn1q, onde p0 = p, p1, . . . , pn1 sao pontos distintos dois a dois da curva C.Quanto menor o comprimento do maior dos segmentos pipi+1, i = 0, 1, . . . , n 1, com pn = q, mais proximoo comprimento de P (soma dos comprimentos dos segmentos que compoem P ) esta do que intuitivamenteentendemos como o comprimento de C, que e o comprimento de uma linha ajustada a C. Assim, definimos ocomprimento l(C) de C como sendo o limite dos comprimentos das poligonais P de extremos p e q, inscritas emC, quando o comprimento do maior dos segmentos pipi+1 tende a zero, caso este limite exista. Caso tal limitenao exista, dizemos que C nao tem comprimento definido. Quando C e a imagem de uma curva parametrizada(t), t [a, b], de classe C1, injetiva em (a, b), tal que (a) = p, (b) = q, e conhecido do Calculo Diferencial eIntegral que l(C) e dado pela integral l(C) =

ba|(t)| dt. No caso em que p = q, ver FIG 1.9, C, dita fechada,

na verdade nao tem extremos ou abstratamente qualquer um de seus pontos pode ser considerado os extremos.Na Figura 1.8 abaixo, C e a imagem da curva parametrizada e estao identificados os vertices (t0) = p, (t1), (t2) = q e (s0) = p, (s1), (s2), (s3) = q de duas poligonais inscritas

Exemplo 1.10. Para calcularmos o comprimento da circunferencia de centro (a, b) e raio r, podemos utilizara curva parametrizada (t) = (a+ r cos(t), b+ r sen(t)), t [0, 2pi], de classe C. Observe que e injetiva em[0, 2pi). Vale, (t) = (r sen(t), r cos(t)) para todo t. Pela formula (1.2), temos que o comprimento da referidacircunferencia e dado por 2pi

0

|(t)| dt = 2pi0

|(r sen(t), r cos(t))| dt = 2pi0

(r sen(t))2 + (r cos(t))2)dt =

2pi0

r dt = 2pir.

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Logo, o comprimento da circunferencia de centro (a, b) e raio r e 2pir.

EXERCICIOS

1.1) Esboce o traco de cada uma das curvas parametrizadas abaixo:

(a)(t) = (1 + t, 2 t), t R, (b)(t) = (1 + t2, 2 t2) , t R,(c)(t) =

(cos2t, sen2t

), t R, (d)(t) = (sen t, cos 2t), t [0, 2pi],

(e)(t) = (3 cos t, 2 sen t), t [0, 2pi], (f)(t) = (cos t, 3 + sen 2t), t [0, 2pi],(g) (t) = (2, 1, t), t R, (h) (t) = (t, t, t), t R,(i) (t) = (2 cos t, 3 sen t, 5), t [0, 2pi], (j) (t) = (3, cos t, sen t), t [0, pi],(k) (t) = (t2 1, 2, t), t R+.

1.2) Verifique que os conjuntos definidos pelas equacoes abaixo sao tracos de curvas parametrizadas de classeC:

(a) a reta 2x 3y = 6, (x, y) R2.(b) a parabola x2 = 4ay, (x, y) R2, sendo a uma constante.(c) a elipse x

2

a2+ y

2

b2= 1, (x, y) R2, x 0, sendo a, b contantes positivas fixadas.

(d) a hiperbole x2

a2 y2

b2= 1, (x, y) R2, x a, sendo a, b contantes positivas fixadas.

(e) a reta x12

= y+13

= z12, (x, y, z) R3.

1.3) Considere C o traco da curva parametrizada (t) =(1 + 2 ln (1 + t), (1 + t)2

), t > 1.

(a) Determine uma curva parametrizada cujo traco e a reta tangente a C no ponto (1, 1).(b) De a equacao cartesiana de C.

1.4) Seja C o traco da curva parametrizada (t) = (cos t, sen t, 1 2 sen t), t [0, 2pi].

(a) Determine o vetor (t).

(b) Determine uma curva parametrizada cujo traco e a reta tangente a C no ponto (1, 0, 1).

1.5) Seja a curva parametrizada definida por

(t) = (2t

1 + t2,1 t21 + t2

, 1), t R.

Verifique que o angulo entre (t) e (t) nao depende do parametro t.

1.6) As equacoes das trajetorias de dois carros sao dadas por (t) = (1+ t, 2+ 3t) e (t) = (1 t, 3+ t2), ondet 0 e o tempo.

(a) Mostre que eles nunca se chocarao.(b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.(c) Em que ponto as trajetorias se cruzam?(d) Em que ponto a velocidade escalar do segundo carro e mnima e qual e esta velocidade escalar?

1.7) Um objeto inicia o seu movimento no ponto (0,4) e se move ao longo da parabola y = x24, (x, y) R2,com velocidade horizontal d x

d t= 2t 1. Encontre o vetor posicao do objeto, os vetores velocidade e aceleracao

no instante t = 2.

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1.8) Calcule o comprimento dos tracos das curvas parametrizadas abaixo:

(a) (t) = (etcos t, etsen t), 1 t 2.(b) (t) = (a(cos t+ t sen t), a(sen t t cos t)), t [0, 2pi].(c) (t) = (t, 1 t2, 1), t R, do ponto (0, 0, 1) ao ponto (1, 0, 1).(d) (t) = (sen t, t, 1 cos t), t [0, 2pi].(e) (t) = (t, ln t, 1), t [1, e].(f) (t) = (t cos t, t sen t), 1 t 2pi(g) (t) = (at a sen t, a a cos t), 0 t 2pi, a > 0 e uma constante real.

1.9) Um projetil e lancado de um certo ponto da superfcie do chao fazendo um angulo , 0 < < pi2 , com amesma e com velocidade escalar inicial vo. Supondo que a unica forca que age sobre o projetil e o seu peso,determine a equacao da trajetoria do projetil.

1.10) Fixado a > 0, consideremos no plano y = 0 a reta l de equacao cartesiana x = a, z 0. Suponhamosque uma partcula p percorra a reta l com velocidade escalar constante v ao mesmo tempo que a reta l gira emtorno do eixo dos z, no sentido anti-horario do plano dos x e dos y, com velocidade angular constante > 0,gerando um cilindro de raio a, tendo o eixo dos z como eixo de simetria. Assuma que, para t = 0, temosp(0) = (a, 0, 0). Seja p(t) o vetor posicao da partcula no instante t. Encontre as equacoes de p(t) e esboce atrajetoria da partcula.

1.11) Seja : I R2 (R3) uma curva parametrizada derivavel. Mostre que (t) (t) para todo t I se, esomente se, |(t)| = a para todo t I e alguma constante real positiva a.