aulas de matematica financeira (juros compostos)
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BRUNIBRUNICapítuloCapítulo
Juros compostosJuros compostos
Matemática Financeira
Adriano Leal [email protected]
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BRUNIBRUNIPara saber mais ...Para saber mais ...
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BRUNIBRUNIPara aprender ainda mais ...Para aprender ainda mais ...
CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1
CAPÍTULO 6CAPÍTULO 6
CAPÍTULO 4CAPÍTULO 4
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BRUNIBRUNIPara conhecer meus livros e Para conhecer meus livros e minhas aulasminhas aulas
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BRUNIBRUNIPara pensar ...Para pensar ...
"O juro composto é a "O juro composto é a
maior invenção da maior invenção da
humanidade, porque humanidade, porque
permite uma confiável permite uma confiável
e sistemática e sistemática
acumulação de acumulação de
riqueza”.riqueza”.
Albert EinsteinAlbert Einstein
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BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo
Entender operações com Entender operações com
juros compostosjuros compostos
Saber usar a equivalência Saber usar a equivalência
de taxasde taxas
Compreender as Compreender as
operações com operações com
equivalência de capitaisequivalência de capitais
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BRUNIBRUNIConceito de juros compostosConceito de juros compostos
Juros sempre sobre o Juros sempre sobre o
MONTANTE MONTANTE
ANTERIORANTERIOR
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BRUNIBRUNIPreste atenção!!!Preste atenção!!!
EmpréstimoEmpréstimo Valor atual na data Valor atual na data
zero igual a $100,00zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p.Taxa igual a 10% a.p.
Considere Considere juros juros compostoscompostos
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BRUNIBRUNIJuros compostosJuros compostos
nn JurosJuros VFVF FórmulaFórmula
0 - 100,00 VF=VP
1 10,00 110,00 VF=VP (1+i)10% x $100
2 11,00 121,00 VF=VP (1+i) (1+i)10% x $110
n i.VFant VF VF=VP (1+ i)n
Juros compostos sempreincidem sobre montante
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BRUNIBRUNIUma constataçãoUma constatação
Juros sobre Juros sobre montantemontante
Montante inclui jurosMontante inclui juros
Juros sobre Juros sobre jurosjuros
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BRUNIBRUNIFórmula dos juros compostosFórmula dos juros compostos
VF=VP (1+ i)n
Expoente!Desafio matemático …Contas mais difíceis …
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BRUNIBRUNICalculando no braçoCalculando no braço
Um investidor aplicou Um investidor aplicou $4.000,00 por seis meses a $4.000,00 por seis meses a uma taxa composta igual a uma taxa composta igual a 8% a.m. Calcule o valor do 8% a.m. Calcule o valor do resgate.resgate.
VFVF
-4000-4000
6 meses6 meses00
i = 8% a.m.i = 8% a.m.
VF = VP (1+i)VF = VP (1+i)nn
VF = 4000 (1+0,08)VF = 4000 (1+0,08)66
VF = $6.347,50 VF = $6.347,50
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BRUNIBRUNIAs tabelas padronizadasAs tabelas padronizadas
Para facilitar as contas …Para facilitar as contas …
VF=VP (1+ i)n
an,i=(1+ i)n
linhalinhacolunacoluna
Tabelas padronizadasTabelas padronizadas
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BRUNIBRUNIPara o exemploPara o exemplo
n\in\i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937
n=6n=6 i=8%i=8%
a6,8=1,5869
VFVF
-4000-4000 6 meses6 meses00
i = 8% a.m.i = 8% a.m.
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BRUNIBRUNISubstituindo aSubstituindo an,in,i
VF = VP (1+i)VF = VP (1+i)nn
VF = $6.347,50 VF = $6.347,50
VF = VP. aVF = VP. an,in,i
VF = 4000. (1,5869)VF = 4000. (1,5869)
VFVF
-4000-4000 6 meses6 meses00
i = 8% a.m.i = 8% a.m.
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BRUNIBRUNICaracterísticas dos compostosCaracterísticas dos compostos
Juros incidem sobre jurosJuros incidem sobre juros Valor futuro cresce Valor futuro cresce
exponencialmenteexponencialmente
Capitalização ExponencialCapitalização Exponencial
Valor Futuro
Tempo
VP
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BRUNIBRUNICompostos superam simples?Compostos superam simples?
Valor Futuro
Tempo
VP
Juros simples maioresque compostos
Juros compostos maioresque simples
N = 1
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BRUNIBRUNIPara valor de n …Para valor de n …
N < 1 N < 1 Juros simples são maiores Juros simples são maiores
que juros compostosque juros compostos
N = 1N = 1 Juros simples são iguais a Juros simples são iguais a
juros compostosjuros compostos
N>1N>1 Juros compostos são Juros compostos são
maiores que juros simplesmaiores que juros simples
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BRUNIBRUNIEquivalência de CapitaisEquivalência de Capitais
““Dois ou mais capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com nominais, supostos com datas de vencimento datas de vencimento determinadas, dizem-se determinadas, dizem-se equivalentes quando, equivalentes quando, descontados para uma descontados para uma data focal, à mesma taxa data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas de juros, e em idênticas condições, produzem condições, produzem valores iguais”.valores iguais”.
(mesmo conceito em juros simples)(mesmo conceito em juros simples)
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BRUNIBRUNIExemplo GExemplo G
Pedro pensa em comprar um carro novo, com Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.preço a vista igual a $30.000,00.
Pagará uma entrada de $8.000,00Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 diasPagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 diasPagará X em 60 dias Taxa Taxa compostacomposta igual a 3% a.m. igual a 3% a.m.
Calcule o valor de XCalcule o valor de X$30.000,00
-$8.000,00 -$14.000,00 -X
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BRUNIBRUNITaxa composta igual a 3% a.m.Taxa composta igual a 3% a.m.
$30.000,00
-$8.000,00 -$14.000,00 -X
$22.000,00 $23.339,80
$14.420,00
$8.919,80
Capitalizando $22.000,00
VF = VP (1+i)n
VF = 22000 (1+0,03)2
VF = $23.339,80
Capitalizando $14.000,00
VF = VP (1+i)n
VF = 14000 (1+0,03)1
VF = $14.420,00
0 1 2
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BRUNIBRUNIExemplo HExemplo H
Uma loja anuncia um Uma loja anuncia um produto a vista por produto a vista por $500,00 ou em duas $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. entrada, iguais a X. Sabendo que a loja Sabendo que a loja cobra juros cobra juros compostacomposta, , iguais a 4%, calcule o iguais a 4%, calcule o valor de X.valor de X.
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BRUNIBRUNIResolução …Resolução …
-X -X
$500,00
0 1 2
i = 4% a.m. (JC)i = 4% a.m. (JC)
Descapitalizando X1
VF = VP (1+i)n
VP = VF / (1+i)n
VP = X / (1+0,04)1
VP = 0,9615.X
Descapitalizando X2
VF = VP (1+i)n
VP = VF / (1+i)n
VP = X / (1+0,04)2
VP = 0,9246.X
Como a soma a valor presente é igual a $500,00,
500 = 0,9615.X + 0,9246.X = 1,8861.X X = 500/1,8861 = $265,10 X = 500/1,8861 = $265,10
$264,91$264,91 $264,91$264,91
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BRUNIBRUNIExemplo IExemplo I
Uma empresa comercial, para efetuar o Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juros final. Se a aplicação for feita a juros compostos, à taxa de 4% ao mês, qual compostos, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? deverá ser o valor de X?
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BRUNIBRUNIEquivalência de taxasEquivalência de taxas
Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros compostos capitalização ou dos juros compostos são equivalentes quando resultam no são equivalentes quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. o mesmo principal.
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BRUNIBRUNIFórmula da equivalênciaFórmula da equivalência
ia = [(1+ib)ia = [(1+ib)(nb/na)(nb/na)]-1]-1
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BRUNIBRUNIExemplo JExemplo J
1. Determinar as taxas semestral e anual 1. Determinar as taxas semestral e anual equivalentes à taxa de juros compostos equivalentes à taxa de juros compostos de 3% ao mês.de 3% ao mês.
RespostaResposta : 19,41% a.s. e 42,58% a.a. : 19,41% a.s. e 42,58% a.a.
2. Calcular a taxa mensal equivalente de 2. Calcular a taxa mensal equivalente de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio.ao ano; c) 96% ao biênio.
RespostaResposta : a) 11,29% a.m., b) 10,2% a.m., c) : a) 11,29% a.m., b) 10,2% a.m., c) 2,84 a.m.2,84 a.m.
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BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo
Entendemos operações Entendemos operações
com juros compostoscom juros compostos
Sabemos usar a Sabemos usar a
equivalência de taxasequivalência de taxas
Compreendemos as Compreendemos as
operações com operações com
equivalência de capitaisequivalência de capitais
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BRUNIBRUNIUsando as antigas e funcionais Usando as antigas e funcionais
TabelasTabelas
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BRUNIBRUNITabela de fatores (1+i)Tabela de fatores (1+i)nn
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937
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BRUNIBRUNITabela de fatores (1+i)Tabela de fatores (1+i)nn
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531
12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384
13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523
14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975
15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772
16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950
17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545
18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599
19 1,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,0256 3,6165 4,3157 5,1417 6,1159
20 1,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 6,7275