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Auto-similaridade, invariância de escala e
bolinhas de papel: A matemática experimental dos fractais
Bruno Mota
Bolinhas de papel…
1-ply
5 cm
8-ply
Luiza Houzel
6-ply
4-ply
3-ply2-ply
A4
A5
A6
A7
A8A9
.
.
.
.
.
1. Escalas naturais e invariância por escalas
Roteiro
2. Leis de potência e alometria
3. Fractais: Medindo litorais
4. Bolas de papel: qual é a escala fundamental?
1. Escalas naturais e invariância por escalas
Escalas naturais
Certas quantidades têm
valores típicos
A altura h de uma porta pode
variar; mas tipicamente
1m < h < 3m
A idade de humanos se
mede, tipicamente, em
décadas; não em dias, ou
em séculos
Escalas naturais II
O número de pessoas com idades entre, e.g. 30 e 40 anos, é dado
pela área sob o gráfico entre estes valores
Quantidades sem escalas naturais
Na escala Richter, um terremoto de magnitude 7 é dez
vezes mais intenso que um de magnitude 6, que é dez
vezes mais intenso que um de magnitude 5, etc.
É uma escala logarítmica
Eis os terremotos medidos na Califórnia em 1995
Quantidades sem escalas naturais
Sem as escalas (dias e MJ) é dificil
saber se o gráfico se refere à um dia,
ano ou século
Ao plotarmos a freqüência em que
ocorrem os tremores em função de
sua magnitude:
Em um gráfico log-log, obtemos uma
reta, válida por 7 ordens de grandeza
Ajustando a escala de energia, a
ocorrencia de terremotos tem a
mesma distribuição em qualquer
escala temporal!
Quantidades sem escalas naturais
É a isto que chamamos invariância por escala
A freqüência f é bem descrita como uma lei de potência da
intensidade I:
f = k I
Invariância por escala
f = k I
Leis de potência como esta são invariantes por escala: têm sempre a mesma forma em qualquer escala escolhida para f e I
De forma inversa, é possível provar que as únicas distribuições invariantes por escala são leis de potência
Assim,Lei de potência Invariância por escala
Invariância por escala II
f = k I
Em um gráfico log-log, temos:
log f = log k + log I
log k é o valor ao longo do eixo I=1 (log I=0)
é a inclinaçao do gráfico
1. Escalas naturais e invariância por escalas
Roteiro
2. Leis de potência e alometria
3. Fractais: Medindo litorais
4. Bolas de papel: qual é a escala fundamental?
2. Leis de potência e alometria
As várias ordens de grandeza da vida
Sob diversas formas de medida, seres vivos
abarcam uma enorme quantidade de
escalas:
Uma baleia (Balaenoptera musculus) pesa
150 toneladas
(1,5 x 108 gramas)
Um musaranho (Suncus etruscus) pesa
2 gramas
(2 x 100 gramas)
Alometria
Leis de potência surgem naturalmente em medições de
anatomia comparada
E.g., peso, massa encefálica, ritmo cardíaco, número de
bifurcações em geral (sistema circulatório, ramos de árvores)
ritmo metabólico, etc.
Parecem existir regras gerais para construir classes e ordens de
seres vivos, que permanecem válidas por diversas ordens de
grandeza
Alometria II
Leis de potência surgem naturalmente em medições de anatomia
comparativa
Tais leis se aplicam a uma enorme faixa de ordens de grandeza
O santo graal: Deduzir estas relações a partir de primeiros
princípios
Em alguns casos, isto já foi feito!
Exemplo: redes hierárquicas (West & Brown)
• Sistema respiratório (alvéolos),
• Sistema sanguíneo (células),
• Sistema vascular vegetal (folhas).
Suprem um sistema biológico até o seu nível elementar
E.g.:
Redes hierárquicas II
i. A rede preenche todo o espaço do sistema
ii. As unidades elementares são invariantes
iii. A energia gasta na distribuição (ou outra quantidade
escarsa equivalente ) é minimizada
Para obter as relações alométricas, foram tomadas as
seguintes hipóteses:
Usando somente estas premissas, foi possível obter modelos
analíticos para os sistemas circulatório e respiratório de
mamíferos (West et al 1997), e para o sistema vascular
vegetal (West et al 1999).
Os coeficientes das leis de potência calculados
correspondem aos observados!
1. Escalas naturais e invariância por escalas
Roteiro
2. Leis de potência e alometria
3. Fractais: Medindo litorais
4. Bolas de papel: qual é a escala fundamental?
3. Fractais: Medindo litorais
Britain’s coastline
The length of Britain’s coastline
It depends on the size of the ruler
How is the coastline length related toruler length?
Fractals: the Koch curve‘Folded’ down to fundamental scale lo
𝑑𝑘𝑜𝑐ℎ =𝑙𝑜𝑔4
𝑙𝑜𝑔3
l
lo0
lo1
lo2
lo3
lo
l4
l0
l1
l2
l3
lo4
𝑑𝑘𝑜𝑐ℎ =𝑙𝑜𝑔4
𝑙𝑜𝑔3
Fractals: the Koch curve II
𝑙𝑖𝑛𝑡𝑟𝑖𝑛𝑠𝑖𝑐 = 𝑛𝑙0= 𝑙𝑒𝑥𝑡𝑟𝑖𝑛𝑠𝑖𝑐𝑑
𝑙0𝑑−1
𝑙𝑖
𝑙𝑜=
𝑙𝑒
𝑙𝑜
𝑑
l
lo
lol4
l0
l1l2l3
𝑛=𝑙𝑒
𝑙𝑜
𝑑
1. Escalas naturais e invariância por escalas
Roteiro
2. Leis de potência e alometria
3. Fractais: Medindo litorais
4. Bolas de papel: qual é a escala fundamental?4. Bolas de papel: qual é a escala fundamental?
Bolinhas de papel
1-ply
5 cm
A4
A5
A6
A7
A8
A9
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𝑎 2
𝑎
A self-avoiding surface…
1-ply
5 cm
8-ply
Luiza Houzel
6-ply4-ply3-ply2-ply
A4
A5
A6
A7
A8A9
.
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.
.
...where sheet thickness is the
fundamental length scale
2α is the fractal dimension.
𝐴𝑇
𝑇2= 𝑘
𝐴𝐸
𝑇2
5
4
A self-avoiding surface…
1-p
ly
Luiza Houzel
6-p
ly4-p
ly
3-p
ly2-p
ly
𝑇1/2𝐴𝑇= 𝑘𝐴𝐸5/4
A mesma regra para o cortex...
a = 1.305 (mamíferos)
a = 1.252 (só humanos)
𝑇1/2𝐴𝑇= 𝑘𝐴𝐸𝑎
Obrigado!