automatique commande des syst`emes linéaires continus
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Automatique
Commande des Systemes Lineaires Continus
⋄ M1 ⋄
U.E. Csy – module P2
Christophe [email protected]
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sequence d’enseignement...
Concernant la partie Analyse et Synthese des Asservissements LineairesInvariants a Temps Continu
3 4 seances de 1h30 de Cours
3 11 seances de 1h30 de Travaux Diriges (dont 2 avec l’aide de Matlab)
3 une serie de Travaux Pratiques
Commande des Systemes Lineaires Continus – 1
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Introduction
Commande des Systemes Lineaires Continus – 2
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du systeme au modele 1
S.L.I. – T.C. – S.I.S.O
LineaireInvariant dans letempsa Temps ContinuMono-entreeMono-sortie
Commande des Systemes Lineaires Continus – 3
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du systeme au modele 2
ModeleFonction de transfert
H(p) fraction rationnelle en p
ex : H(p) = S(p)E(p) =
K1+τp
Commande des Systemes Lineaires Continus – 4
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systeme pilote (commande) 1
3 en Boucle Ouverte (BO)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 5
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systeme pilote (commande) 2
3 en Boucle Fermee (BF) – rebouclage, retroaction, feedback
Commande des Systemes Lineaires Continus – 6
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systeme pilote (commande) 3
3 interactions entre le systeme de commande et le systeme commande
Commande des Systemes Lineaires Continus – 7
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systeme pilote (commande) 4
3 systeme physique – commande (regulation) de la vitesse d’une voiture
Commande des Systemes Lineaires Continus – 8
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systeme pilote (commande) 4
3 systeme physique – commande (regulation) de la vitesse d’une voiture
Commande des Systemes Lineaires Continus – 9
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systeme pilote (commande) 5
3 systeme physiologique – regulation glycemie
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systeme pilote (commande) 5
3 systeme physiologique – regulation glycemie
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Chapitre 1
–
Asservissement – Boucle Fermee
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principe de l’asservissement dans le cas d’un systeme
physique
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representation du systeme de commande
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representation du systeme asservi (correction analogique)
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conditionnement de la consigne
Exemple d’un asservissement de niveau
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principe du systeme asservi avec une correction
numerique
3 pour les modeles : utilisation de la transformee en Z3 sera vu dans le cours de S.L.E (echantillonne)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 17
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exemple : enceinte a chauffage indirect 1
3 schema fonctionnel
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exemple : enceinte a chauffage indirect 2
3 modele (schema blocs) du systeme a commander
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exemple : enceinte a chauffage indirect 3
3 asservissement
Commande des Systemes Lineaires Continus – 20
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fonctions d’un systeme asservi 1
3 asservissement / poursuite
consigne
sortie
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fonctions d’un systeme asservi 2
3 regulation
consigne constante
sortie
perturbation sur lesystème
Commande des Systemes Lineaires Continus – 22
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schema-blocs – calcul de fonctions de transfert 1
Figure 1: boucle fermee no1
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schema-blocs – calcul de fonctions de transfert 1’
La fonction de transfert en boucle fermee (closed-loop system) est :
F (p) =Y (p)
R(p)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 24
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schema-blocs – calcul de fonctions de transfert 2
Figure 2: boucle fermee no2
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schema-blocs – calcul de fonctions de transfert 3
Figure 3: boucle fermee no3 (asservissement a retour unitaire)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 26
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schema-blocs – calcul de fonctions de transfert 4
Figure 4: boucle fermee no4
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schema-blocs – calcul de fonctions de transfert 5
Figure 5: boucle fermee no5
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schema-blocs – calcul de fonctions de transfert 6
Figure 6: boucle fermee no6
Commande des Systemes Lineaires Continus – 29
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performances dynamiques d’un systeme asservi
La consigne est un echelon de position R(p) = r0p
3 degre de stabilite – premier depassement (overshoot)
3 rapidite – temps de reponse (settling time)
3 nervosite, raideur, montee en regime – temps de montee (rise time)
Ces caracteristiques ont ete definies dans le cours d’Analyse (JJO) et sontrappelees sur le support de ce cours (fig 1.14 et paragraphes 1.3.2, 1.3.4 et1.3.5)
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performances en precision d’un systeme asservi
3 expression de l’erreur (error) : ε(p) = R(p)− Y (p)
3 la performance en precision s’evalue en regime permanent (steady-state error)
3 l’erreur est de meme nature que la sortie et la consigne
Commande des Systemes Lineaires Continus – 31
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Chapitre 2
–
Analyse d’un asservissement
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analyse d’un asservissement – notations 1
3 chaıne directe : G(p)
3 chaıne retour : H(p)
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analyse d’un asservissement – notations 2
3 fonction de transfert en boucle ouverte (open-loop)
T (p) = G(p)×H(p)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 34
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analyse d’un asservissement – notations 3
3 fonction de transfert en boucle fermee (closed-loop)
F (p) =Y (p)
R(p)=
G(p)
1 +G(p)H(p)=
G(p)
1 + T (p)
3 equation caracteristique (characteristic equation)
1 + T (p) = 0
Commande des Systemes Lineaires Continus – 35
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analyse d’un asservissement – exemple
3 Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (FTBO) :
T (p) = D(p)G(p)H1(p)
3 Fonction de Transfert en Boucle Fermee (FTBF) :
F (p) = H2(p)×D(p)G(p)
1 + D(p)G(p)H1(p)= H2(p)×
D(p)G(p)
1 + T (p)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 36
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analyse d’un asservissement – stabilite 1
Il faut et il suffit que les poles d’une fonction de transfert soient a partiereelle strictement negative pour que toute entree bornee se transforme ensortie bornee (∀ C.I.)
Pour qu’un asservissement soit stable, il faut donc que tous les poles dela fonction de transfert en boucle fermee F (p) soient a partie reellenegative.
Les poles de la fonction de transfert en boucle fermee F (p) sont les racinesde l’equation caracteristique :
1 + T (p) = 0
ou T (p) est la fonction de transfert en boucle ouverte.
Commande des Systemes Lineaires Continus – 37
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analyse d’un asservissement – stabilite 2
3 utilisation du critere de Routh a travers un exemple
G(p) = 1p(p+1)(p+2)
T (p) = k G(p)
F (p) = kG(p)1+kG(p) =
kG(p)1+T (p)
L’equation caracteristique s’ecrit :
1 + T (p) = 0 =⇒ 1 + kG(p) = 0 =⇒ p3 + 3p2 + 2p+ k = 0
→ condition necessaire : k > 0
Commande des Systemes Lineaires Continus – 38
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→ condition necessaire et suffisante (table de Routh)
p3 1 2
p2 3 k
p1 6−k3 0
p0 k
L’asservissement sera stable si
{
6−k3 > 0
k > 0=⇒ 0 < k < 6
Commande des Systemes Lineaires Continus – 39
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analyse d’un asservissement – stabilite 3
3 utilisation du critere geometrique du revers
Les criteres geometriques permettent de conclure sur l’existence de pole(s)de la Boucle Fermee F (p) a partie reelle non negative (et donc de concluresur la stabilite de l’asservissement) a partir de la reponse harmonique de lafonction de transfert en Boucle Ouverte T (p).
Le critere presente dans ce cours (critere du revers) est un critere simplifiedu critere de Nyquist (hors programme) applique lorsque la conditionsuffisante ≪ aucun element de la Boucle Ouverte n’admet de poles a partiereelle strictement positive ≫ est vraie.
Commande des Systemes Lineaires Continus – 40
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analyse d’un asservissement – stabilite 4
3 enonce du critere du revers
Un systeme en Boucle Fermee dont la fonction de transfert en BoucleOuverte n’admet pas de poles a partie reelle positive est stable si etseulement si en parcourant le lieu de Nyquist de la fonction de transfert enBoucle Ouverte dans le sens des ω croissants, on laisse le point critique(−1, 0) a gauche.
Commande des Systemes Lineaires Continus – 41
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analyse d’un asservissement – stabilite 5
3 illustration sur l’exemple (plan de Nyquist)
ℑ m{T(jω)}
ℜ e{T(jω)}
X −1
homothétie
K=1 K=6
K>6
+
+
+
T (p) =k
p(p+ 1)(p+ 2)
Pour k 6= 1 homothetiede valeur k par rapporta k = 1 (courbe rouge)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 42
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analyse d’un asservissement – stabilite 6
3 illustration sur l’exemple (plan de Bode)
arg{T(jω)}
|T(jω)|db
* k=1
k=6 k>6
* −180
ω
ω
0db T (p) =
k
p(p+ 1)(p+ 2)
Pour k 6= 1 translationde 20log(k) par rap-port a k = 1 (courberouge)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 43
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analyse d’un asservissement – stabilite 6
3 marges de stabilite (stability margin)
marge de gain (MG)(gain margin)
marge de phase (MΦ)(phase margin)
MG
Mφ
ω0db
ω−180°
ω
ω
|T(jω)|db
arg{T(jω)}
0
−180
Commande des Systemes Lineaires Continus – 44
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3 marge de gain dans le plan de Nyquist
La marge de gain (mesuree a ω−π)c’est le gain par lequel je dois mul-tiplier pour que le lieu passe par lepoint critique (-1,0) ; c’est donc legain (sans unite !)
1
ρ
Dans le cas T (p) = 1p(p+1)(p+2) la
marge de gain vaut :
116
= 6
Commande des Systemes Lineaires Continus – 45
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3marge de phase dans le plan de Nyquist
La marge de phase c’est l’angle mesure par rapport a −180o (−π) a lapulsation ω0dB c’est a dire a la pulsation ou |T (jω)| = 1 (0dB).
Asservissement STABLEAsservissement INSTABLE
Commande des Systemes Lineaires Continus – 46
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3 marges dans le plan de Black
|T(jω)| db
arg{T(jω)}
0 −180°
MG
Mφ
Commande des Systemes Lineaires Continus – 47
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analyse d’un asservissement – precision 1
3 erreur de l’asservissement :
ε(p) = R(p)− Y (p)
=(
1 − F (p))
R(p)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 48
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analyse d’un asservissement – precision 2
3 precision (en regime permanent) → theoreme de la valeur finale :
ε(∞) = limt→∞
ε(t) = limp→0
p ε(p)
3 l’erreur peut etre nulle, finie ou infinie
Commande des Systemes Lineaires Continus – 49
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analyse d’un asservissement – precision 3
3 erreur de position (position error)
consigne echelon de position (step)
R(p) = r0p
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
(sec)
consigne r(t) (échelon)
sortie y(t)
erreur deposition
temps
Commande des Systemes Lineaires Continus – 50
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analyse d’un asservissement – precision 4
3 erreur de vitesse (error to a ramp)
consigne rampe (ramp)
R(p) = r0p2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
15
20
25
30
35
40
(sec)
consigne r(t) (rampe)
sortie y(t)
erreur devitesse
temps
Commande des Systemes Lineaires Continus – 51
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analyse d’un asservissement – precision 5
Dans le cas particulier du retour unitaire
avec dans la chaıne directe
G(p) =K
pα (anpn + an−1pn−1 + . . .+ a1p+ 1)
3 nombre d’integrations dans la chaıne directe : α
3 dans le cas α = 0, le gain statique = K
Commande des Systemes Lineaires Continus – 52
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L’expression de l’erreur s’ecrit :
ε(p) = (1− F (p))R(p)
avec
F (p) = G(p)1+G(p)
= Kpα (anpn+an−1p
n−1+...+a1p+1)+K
il vient :
ε(p) =pα (anp
n + an−1pn−1 + . . .+ a1p+ 1)
pα (anpn + an−1pn−1 + . . .+ a1p+ 1) + K×R(p)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 53
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ε(p) =pα (anp
n + an−1pn−1 + . . .+ a1p+ 1)
pα (anpn + an−1pn−1 + . . .+ a1p+ 1) + K×R(p)
3 erreur de position (pour R(p) = r0p)
εpos = limt→∞
ε(t) = limp→0
pε(p)
= limp→0
ppα (anp
n+an−1pn−1+...+a1p+1)
pα (anpn+an−1pn−1+...+a1p+1)+K
× r0p
α = 0 εpos =1
1+Kr0
α = 1 εpos = 0
. . .
Commande des Systemes Lineaires Continus – 54
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ε(p) =pα (anp
n + an−1pn−1 + . . .+ a1p+ 1)
pα (anpn + an−1pn−1 + . . .+ a1p+ 1) + K×R(p)
3 erreur de vitesse (pour R(p) = r0p2)
εvit
= limt→∞
ε(t) = limp→0
pε(p)
= limp→0
ppα (anp
n+an−1pn−1+...+a1p+1)
pα (anpn+an−1pn−1+...+a1p+1)+K
× r0p2
α = 0 εvit
→ ∞
α = 1 εvit
= 1Kr0
α = 2 εvit
= 0
K est appele dans ce cas gain envitesse
Commande des Systemes Lineaires Continus – 55
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resume dans le cas du retour unitaire
En fonction du nombre α d’integrations dans la chaıne directe – i.e. chaınedirecte de classe α – on peut deduire directement le resultat suivant :
α εpos εvit
εacc . . .
0 finie ∞ ∞
1 0 finie ∞
2 0 0 finie
. . .
N.B. : ces resultats n’ont de sens que dans le cas d’un asservissement stable.
Commande des Systemes Lineaires Continus – 56
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compromis stabilite / precision
G(p) = 1p(p+1)(p+2)
1. εpos = 0, εvit
= 2r0k
2. si k ր alors εvit
ց
3. pour r0 = 1, l’ εvit
sera egale a 0.2 pour k = 10
4. or pour k > 6 l’asservissement est instable ! ! !
Commande des Systemes Lineaires Continus – 57
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G(p) = 1p(p+1)(p+2)
k 0 6 ∞
BF stable instable
MΦ ց 0 < 0
D1 ր aucun sens
εpos 0 aucun sens
εvit
ց aucun sens
Commande des Systemes Lineaires Continus – 58
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analyse d’un asservissement – lieu des racines 1
Le lieu des racines (appele egalement lieu d’Evans) – root locus – est lenom donne au trace, dans le plan complexe, de l’evolution des poles de laboucle fermee F (p) en fonction d’un gain k variant de 0 → +∞.
Les poles de F (p) sont les racines de l’equation caracteristique :
1 + kT (p) = 0
ou T (p) = G(p)H(p) : fonction de transfert en boucle ouverte pour k = 1.
Commande des Systemes Lineaires Continus – 59
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analyse d’un asservissement – lieu des racines 2
Le lieu des racines est une representation graphique de l’equation ca-racteristique ; il decrit donc l’egalite kT (p) = −1 pour toutes les valeurs dek c’est a dire que le lieu doit respecter :
— la condition des modules |kT (p)| = 1 ;
— et la condition des angles arg{kT (p)} = π mod 2π.
Commande des Systemes Lineaires Continus – 60
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analyse d’un asservissement – lieu des racines 3
En posant T (p) = N(p)D(p) peut calculer les points de depart (pour k → 0) et
les points d’arrivee (pour k → +∞) du lieu des racines :
pour k → 0 : 1 + kN(p)D(p) = 0 =⇒ D(p) = 0
les points de depart sont les poles de la boucle ouverte ;
pour k → +∞ : 1 + kN(p)D(p) = 0 =⇒ N(p) = 0
les points d’arrivee sont les zeros de la boucle ouverte + direc-
tions asymptotiques (le nombre de directions assymptotiques egalela difference entre le nombre de poles et le nombre de zeros de laboucle ouverte).
Commande des Systemes Lineaires Continus – 61
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analyse d’un asservissement – lieu des racines 4
illustration avec
G(p) =p+ 3
(p+ 1)(p+ 5)et
H(p) =1
p+ 2
Soit T1(p) la fonction de transfert en Boucle Ouverte pour k = 1 :
T1(p) = G(p)H(p) =p+ 3
(p+ 1)(p+ 2)(p+ 5)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 62
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Fonction de transfert en Boucle Ouverte : T1(p) =p+3
(p+1)(p+2)(p+5)
L’evolution des poles de la Fonction de Transfert F (p) en Boucle Fermeeen fonction du parametre k est representee sur le lieu des racines :
Commande des Systemes Lineaires Continus – 63
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analyse d’un asservissement – lieu des racines 5
G(p) = 1p(p+1)(p+2)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 64
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G(p) = 1p(p+1)(p+2)
3 analyse de la stabilite d’un asservissement dans le lieu des racines
Commande des Systemes Lineaires Continus – 65
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G(p) = 1p(p+1)(p+2)
3 caracteristiques dynamiques :
k = 0.27 ⇒ F (p) comprend 3 poles reels (−0.18, −0.7, −2.11)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 66
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G(p) = 1p(p+1)(p+2)
3 caracteristiques dynamiques :
k = 2 ⇒ F (p) comprend 3 poles (−0.24± 0.85i, −2.52)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 67
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analyse d’un asservissement – lieu des racines 5
3 Cas du TD no1 (question II.2) :
G(p) =4
(1 + 600p)(1 + 1200p)et H(p) = Kt = 0.15
Discuter de la stabilite etdes caracteristiques dyna-miques de l’asservissementen fonction de k
Commande des Systemes Lineaires Continus – 68
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quelques resultats
du T.D. no2
Commande des Systemes Lineaires Continus – 69
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1. Elements constitutifs de la chaıne directe
FdT du FdT de la FdT de l’ensembleservomoteur vanne echangeur/enceinte
Kp
p(1+τpp)Kv
Ke
(1+τep)2
G(p) =KpKvKe
p(1 + τpp)(1 + τep)2
si on neglige le mode rapide τp << τe, il vient :
G(p) =KpKvKe
p(1 + τep)2
Commande des Systemes Lineaires Continus – 70
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2. Schema blocs de l’asservissement
3. FTBO et FTBF
T (p) = K ×Kc ×G(p) =0.02K
p(1 + 1200p)2
F (p) =0.02K
144.104p3 + 2400p2 + p+ 0.02K
Commande des Systemes Lineaires Continus – 71
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4. Calcul de Klim base sur le critere du revers
T (p) = K ×Kc ×G(p) =0.02K
p(1 + 1200p)2
avec
∣
∣
∣T (jω)
∣
∣
∣=
0.02K
ω(1 + 144.104ω2)et arg
{
T (jω)}
= −π
2− 2 arctan(1200ω)
3 l’argument vaut −π pour ω−π = 11200 rad/s
3 le module a cette pulsation vaut 12K
Commande des Systemes Lineaires Continus – 72
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3 pour que l’asservissement soit stable il faut que 12K < 1 soit K < 0.08
Commande des Systemes Lineaires Continus – 73
![Page 75: Automatique Commande des Syst`emes Linéaires Continus](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100222/586e0ce01a28abab528b6540/html5/thumbnails/75.jpg)
5. Erreur de vitesse : εvit
= 10.02K
6. Discussion du compromis precision/stabilite
K 0 0.08 ∞
BF stable instable
MΦ ց 0 < 0
εvit
ց auncun sens
Commande des Systemes Lineaires Continus – 74
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Chapitre 3
–
Synthese de correcteurs
Commande des Systemes Lineaires Continus – 75
![Page 77: Automatique Commande des Syst`emes Linéaires Continus](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100222/586e0ce01a28abab528b6540/html5/thumbnails/77.jpg)
la correction P.I.D.
3 modele temporel standard
u(t) = K
{
v(t) +1
Ti
∫
v(t)dt + Tdv(t)
}
Commande des Systemes Lineaires Continus – 76
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3 schema blocs associe (PID mixte)
U(p) = K
(
1 +1
Tip+ Tdp
)
V (p)
Commande des Systemes Lineaires Continus – 77
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autres modeles possibles
3 P.I.D. parallele
U(p) =(
K + 1Tip
+ Tdp)
V (p)
3 P.I.D. serie
U(p) = KTip
(1 + Tip) (1 + Tdp) V (p)
3 jeu de parametres (K,Ti, Td) 6= selon la modele du P.I.D.
Commande des Systemes Lineaires Continus – 78
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synthese frequentielle d’un P.I.D.
Soit D(p) la fonction de transfert du correcteur
3 Action P. : D(p) = K
+ aux basses frequences → amelioration de la precision
- aux hautes frequences → degrade la Mφ
Dans le plan de Bode, l’action K se traduit par une translation du gain enboucle ouverte de 20 logK ; l’argument reste inchange.
Commande des Systemes Lineaires Continus – 79
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3 Action P.I. (cas particulier ou K = 1) : D(p) = 1Tip
(1 + Tip)
+ gain ∞ aux basses frequences → precision ∞
- dephasage < 0 → choisir 1Ti
≪ ω0db pour ne pas trop ց Mφ
- Ti grand ( 1Ti
→ 0) ralentit, ramollit la reponse . . .
Commande des Systemes Lineaires Continus – 80
![Page 82: Automatique Commande des Syst`emes Linéaires Continus](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100222/586e0ce01a28abab528b6540/html5/thumbnails/82.jpg)
3 Action P.D. (cas particulier ou K = 1) : D(p) = 1 + Tdp
+ avance la phase pour ր MΦ
- gain ∞ aux hautes frequences → amplification des bruits
Commande des Systemes Lineaires Continus – 81
![Page 83: Automatique Commande des Syst`emes Linéaires Continus](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100222/586e0ce01a28abab528b6540/html5/thumbnails/83.jpg)
3 Action P.I.D. : D(p) = K(1 + 1Tip
)(1 + Tdp)
+ action I aux basses frequences → precision
+ action D aux hautes frequences pour ր MΦ
Commande des Systemes Lineaires Continus – 82
![Page 84: Automatique Commande des Syst`emes Linéaires Continus](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022100222/586e0ce01a28abab528b6540/html5/thumbnails/84.jpg)
Illustration
Diaporama :
— action P slide.pdf— action PI slide.pdf— action PD slide.pdf— action PID slide.pdf
Commande des Systemes Lineaires Continus – 83