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Automatique - Représentation Externe 1. Commande. Modèle d’un processus
TR 1. 1
AUTOMATIQUE
REPRESENTATION EXTERNE
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0. Préambule
Plan du cours AUTOMATIQUE CONTINUE 1. Commande. Modèle d’un processus 2. Performances d'un Système : Stabilité - Précision - Rapidité 3. Correction d'un Système Asservi Linéaire (SAL) AUTOMATIQUE DISCRETE 4. SALs échantillonnés 5. Correction numérique - Régulateurs standards 6. Performances d'un SAL échantillonné : Stabilité - Précision - Rapidité 7. Synthèse des correcteurs numériques - Réponse pile ANNEXE 8. Logique floue
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Bibliographie
[1] H. Bühler « Réglages échantillonnés » PPR [5] K. Ogata « Discrete Time Control systems » Prentice [7] M. Rivoire / J.L. Ferrier « Automatique » Eyrolles [8] Y. Sévely « Systèmes et asservissements linéaires échantillonnés » Dunod [9] Y. Thomas « Signaux & systèmes linéaires » Masson
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1. Commande. Modèle d’un processus COMMANDE 1. Introduction Automatique : Objectif : contrôler, commander un système. Domaines d'application : - commande de processus industriels (domaines initiaux) - économie, gestion, géophysique, biologie, etc... - Systèmes temps réel, capteurs - actionneurs : Constituants de l'automatique : - Théorie des systèmes. - Asservissement (≡ régulation). - Commande - Commande optimale. - Identification. Automatique Continue : Signaux / systèmes mis en jeu sont continus (≡ à TC). Ex.: régulation de la vitesse d'un moteur. Automatique Discrète : ∃ Signaux / systèmes mis en jeu discrets (≡ à TD). Ex. : séquenceur programmable de perçage de pièces.
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Représentation Externe : Représentation Fréquentielle Système représenté par sa FT Représentation Interne : Représentation Temporelle Système décrit par son état x dans le plan de phase ( , & )x x
& ( , )x x u= f ( u : entrée)
Exemples de régulation : - Puissance de frappe des touches du clavier d’un ordinateur contrôlée par le retour (feedback) du toucher (perception tactile) - Puissance vocale assujettie au retour (perception auditive). - Direction d’automobile corrigée (perception visuelle) ... Exemple : Asservissement de la direction de vol d’un vaisseau spatial, décrit dans le plan de phase : Contrôle de la direction de vol (l’inclinaison % verticale au sol) d'un vaisseau spatial.
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On veut θ 0 = θ (θ 0 : direction de consigne) :
fusées de direction
θ
Commande en Boucle Ouverte (non asservie) (BO)
Systèmeu0 θ
→ Déterminer le couple de commande u0 tel que θ = θ 0 Commande directe insuffisante car « aveugle » :
+
+
Perturbations
Systèmeu0 θ
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Commande en Boucle Fermée (≡ asservie) (BF)
(SB: Système Bouclé) Variations de la sortie prises en compte par un feedback
Exemple de retour le plus simple : (Γ : couple)
Commande en tout ou rien :
vvv
= − <= == >
Γ
Γ
si
si
si
θ θθ θθ θ
0
0
0
0
+
−v
eSystèmeu0 θ
Γ
−Γ θ 0θ
+
+
Perturbations
La commande se fait par l'erreur : e u v= −0 - si pas de perturbation : θ θ= 0 → v = 0 → e u= 0 - si perturbation : θ θ≠ 0 → v ≠ 0
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Inconvénient : fortes oscillations de θ autour de θ 0 . → amélioration: introduction d'une bande morte (dead zone) [ , ]− +ε ε autour de θ 0 :
vvv
= − < −= − ≤ ≤ += > +
Γ
Γ
si
si
si
θ θ εθ ε θ θ εθ θ ε
0
0 0
0
0
+
−v
eSystèmeu0 θ
Γ
−Γ θ 0θ
θ ε0 −θ ε0 +
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Equations du système (cas de régulation sans bande morte)
J : moment d’inertie du vaisseau.
RFD : Couples∑ = J &&θ (couple = moment de force)
J e u v&&θ = = − =0 uuu
0 0
0 0
0 0
+ <=
− >
Γ
Γ
si
si
si
θ θθ θθ θ
.θ θ< 0 : 000 θθθ &&&& +
Γ+=→
Γ+= t
Ju
Ju
00
20
2θθθ ++
Γ+
=→ ttJ
u &
.θ θ= 0 : 000 θθθ &&&& +=→= t
Ju
Ju
0020
2θθθ ++
=→ tt
Ju &
.θ θ> 0 : 000 θθθ &&&& +
Γ−=→
Γ−= t
Ju
Ju
0020
2θθθ ++
Γ−
=→ ttJ
u &
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→ Cycle de régulation (cas où θ 0 = 0) :
0 θ
&θ
Exemple similaire :
Régulation de la direction d’un véhicule automobile : Feedback visuel pour corriger les perturbations (pavé ...) écartant le véhicule de la direction de consigne. - commande analogique : observation de la route en permanence - commande échantillonnée : observation de la route à intervalles de temps réguliers
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2. Structure générale d'un asservissement Asservissement continu d'un processus continu
x(t)+
-
Capteur
y(t)
Comparateur
r(t)
e(t) = x(t) - r(t) u(t)Contrôleur analogique
Processuscontinu
Correcteur
analogique
x : entrée, ou consigne (commande de l’asservissement) u : commande (du processus) r : retour, ou feedback e : erreur y : sortie Asservissement numérique d'un processus continu
x(t)+
-
Contrôleur Processus y(t)
r(t)
e(t) u(kT)
Calculateur
numérique continuCAN CNA
Correcteuru (t)Ae (kT)q
Capteuranalogique
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Asservissement échantillonné d'un processus continu
x(t)+
-
Contrôleur Processus y(t)
r(t)
e(t) u*(t)
Calculateur
numérique continue*(t) u (t)
B
CorrecteurBloqueurd'ordre 0
échantillonneur 0B
Capteuranalogique
Asservissement numérique d'un processus numérique
x(k) Processus y(k)numérique
u(k)Calculateur
≡Processus
continuCNA CAN Processusnumérique
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Fonctionnement d’un asservissement
(l'asservissement obéit à la commande) - Fonctionnement en suiveur (≡ poursuite) : . L’entrée de commande (consigne) varie. . La sortie doit varier dans le même sens que la consigne (elle ne doit pas la contrer, s’y opposer). . Les perturbations peuvent être ignorées pour qualifier en 1ère approximation ce type de fonctionnement. - Fonctionnement en régulation : . L’entrée (consigne) est constante (réglable). . La sortie doit être constante malgré les perturbations. . L’entrée de perturbations doit être contrée. Structure de l’asservissement → commande par la consigne et non par les perturbations.
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3. Représentation externe
TEMPS CONTINU
TEMPS DISCRET
h(t)x(t)
)(*)()( thtxty =
TL (monolatérale) ↓ (causalité)
X(p) H(p) Y(p) = H(p) X(p)( si CI nulles)
H p Y pX p
( ) ( )( )
= : FT du système
H p TL h t( ) [ ( )]=
H pa p
b p
ii
i
m
ii
i
n( ) = =
=
∑
∑0
0
Réalisabilité (causalité) → n m>
Opérations Temps - Fréquence (p) ddt ↔ ⋅p
∫ ↔ ÷p
z epT=
hkxk
kkk hxy *=
TZ (monolatérale) ↓ (causalité)
X(z) H(z) Y(z) = H(z) X(z)( si CI nulles)
H z Y zX z
( ) ( )( )
= : FT du système
H z TZ hk( ) [ ]=
H za z
b z
ii
i
m
ii
i
n( ) = =
=
∑
∑0
0
Réalisabilité (causalité) → n m≥
Opérations Temps - Fréquence (z)
− ↔ ⋅ −( )z 1
∑ ↔ ÷ −( )z 1
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4. Relations fondamentales d'un système bouclé (TC)
Système Bouclé à retour unitaire
X(p)+
-Y(p)
E(p)H(p) ≡ Y(p)X(p) H'(p)
R(p)
[ ] [ ]Y p H p E p H p X p R p H p X p Y p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = − = −
Y pX p
H pH p
( )( )
( )( )
=+1
Y pX p
H p( )( )
( )= ′
→ ′ =
+H p H p
H p( ) ( )
( )1
H p( ) : FTBO :
′H p( ) : FTBF : ′ =H p Y p
X p( ) ( )
( )
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Système Bouclé à retour non unitaire
X(p)+
-Y(p)
R(p)
E(p)H(p)
K(p)
≡ Y(p)X(p) T'(p)X(p)+
-Y(p)
R(p)
E(p)H(p) K(p) K(p)
1≡R(p)
K(p)1R(p)
avec : T p H p K p( ) ( ) ( )=∆
et : ′ =+
T p T pT p
( ) ( )( )
∆
1
[ ] [ ]
−=−=−= )(
)()()()()()()()()()()()( pY
pKpXpKpHpYpKpXpHpRpXpHpY
)(1)(
)(1
)()(1)(
)()(
pTpT
pKpHpKpH
pXpY
+=
+=
E pX p H p
Y pX p T p
( )( ) ( )
( )( ) ( )
= =+
1 11
T p H p K p( ) ( ) ( )= : FTBO )()()(
pEpRpT =
1K p
T p( )
( )′ : FTBF )(
)()()(
1pXpYpT
pK=′
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Système Bouclé à comparateur +/+ :
X(p)+
+Y(p)
R(p)
E(p)H(p)
K(p)
≡ Y(p)X(p) G(p) ≡ X(p)+
-Y(p)
R(p)
E(p)H(p)
-K(p)
G p H pK p H p
( ) ( )( ) ( )
=−1
Performances d'un système bouclé - Rapidité - Précision - Stabilité Exemple : autofocus de caméra vidéo : - Rapidité : Correction de la mise au point rapide % à la variation de la prise de vue. - Précision : Mise au point précise sinon images floues. - Stabilité: Correction de la mise au point → écarts ou oscillations de la netteté dont l’amplitude doit diminuer avec le temps.
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Autre exemple : - Système d’antiblocage des roues (ABS) Dilemmes Les performances présentent des dilemmes : Exemple : Précision → Déstabilisation du système. Exemple : Phénomène de larsen 5. Causalité En automatique, les signaux et systèmes mis en jeu sont généralement causaux : l'asservissement se fait en temps réel (≡ on-line).
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MODELE D'UN PROCESSUS 1. Le signal de commande 1.1. Commande analogique
Erreur yyc −=ε évaluée en permanence
+
-
)(tyc
)(tε
)(ty
Ex. : Le conducteur d’un véhicule a l'oeil rivé sur la route. Le signal de commande u est alors ajusté en permanence par le correcteur pour corriger l'erreur.
+
-
y
Correcteur Processus)(tu
)(tyc
)(tε)(ty
Contrôleur
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a) Commande la plus simple : TOUT OU RIEN (non linéaire)
0>ε → u mis au maximum 0<ε → u mis au minimum
uε u
ε
b) Commande proportionnelle (commande linéaire) Améliore la commande du type « TOUT OU RIEN » :
Commande proportionnelle : )()( tKtu ε= Réalisation de cette commande : simple amplificateur de gain K
uε u
ε
uεK
t
u
ε
La précision du système croît avec K. Exemple: commande de la vitesse d’un véhicule :
le conducteur actionne d’autant plus la commande d’accélérateur qu’il est loin de sa consigne de vitesse.
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c) Commande intégrale (commande linéaire)
Pb de la commande proportionnelle:
variation brutale de la consigne cy (ex.: démarrage) → ε varie brutalement
→ εKu = est immédiatement saturé. Exemple de la commande de la vitesse d’un véhicule :
Au lieu d'écraser brutalement l'accélérateur au démarrage → commande u progressive, par une loi de commande intégrale :
∫=t
i
dxxT
tu0
)(1)( ε ( iT : Cte)
E E
+
-
Correcteurintégral u
Processus
tTE
i
εcy
La commande intégrale est progressive mais persévérante : tant que ε ≠ 0, u varie.
La commande intégrale améliore la précision du système ↓<
↑>
uu
00
ε
ε
Loi de commande intégrale associée à une commande proportionnelle :
)()(1)(
0
tKdxxT
tut
i
εε += ∫
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d) Commande dérivée (commande linéaire) Ex. : L'observation de la température y à un instant donné indique
qu'elle est inférieure de 10°C à la consigne cy → il faut chauffer, mais en tenant compte de la tendance de ε :
si ε il faut plus chauffer que si ε : commande différentielle, dérivée
Loi de commande : )()( tTtu dε&=
Loi de commande différentielle associée à une commande proportionnelle
)()()( tKtTtu d εε += &
Ex. : La commande d'accostage d'un navire (ε = distance au quai) :
t
ε
(vitesse nulle au quai)ε ' = 0
t
(1)
u
(2)(3)
Inversion du moteur
(1) action proportionnelle(2) action dérivée(3) action résultante
0 0
Commande dérivée → correction rapide sans risque de dépassement par rapport à la consigne (ε < 0 serait catastrophique !)
Elle permet d'accroître la rapidité et la stabilité d'un système.
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e) Commande PID (commande linéaire)
Correcteur standard : corrige stabilité, rapidité et précision d’un processus. Loi de commande PID (Proportionelle + Intégrale + Dérivée) :
)()(1)()(
0
tTdxxT
tKtu d
t
i
εεε &++= ∫
1.2. Commande échantillonnée
Avantage : Souplesse de réalisation du contrôleur.
L'erreur ε est évaluée périodiquement.
Ex. : Le conducteur d’un véhicule jette un coup d'oeil de temps en temps. Exemple : Commande échantillonnée d’un processus continu
ε *εyc+
-
Correcteurnumérique
Bloqueurd'ordre 0
u Processuscontinu
Capteur
ε *
0 T 2Tt
u*
B0
u
0 T 2Tt
y
0 T 2Tt
u*
yr
y
0t
yr
0t
0t
yc
(T : période d’échantillonnage).
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Loi de commande : algo reliant les échantillons de )(* tu et de )(* tε :
)]([)( ** tftu ε=
Commande PID échantillonnée (commande linéaire)
• Amplification analogique (K) → Amplification numérique (K)
• ∫ (Intégration) → ∑ (Sommation)
• dtd
(Dérivation) → − (Différence) 1.3. Commande numérique
Commande num. = commande échantillonnée + Bruit de quantification Exemple : Commande numérique d’un processus continu
ε *εyc+
-
Correcteurnumérique
u Processuscontinu
Capteur
yCAN CNA
u*
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1.4. Commande PWM (non linéaire) (analog. ou échantillonnée) L'action u n'est plus modulée en amplitude mais en largeur (durée) Ex. : Processus thermique : commande en tout ou rien
u
0 T 2Tt
τ
A
2. Modèle d'un processus 2.1. Modèle du 1er ordre (intégrateur (≡ passe-bas))
- FT : pkpHτ+
=1
)(
)( pH présente 1 pôle : τ1
0 −=p
- Réponse Fréquentielle :
H p i ki
k
i
k H i H t
c
c c
( )
: [ ( ) ] ( )
:/ :
= =+
=+
≡ = = ↔ =∞
=ω
ωτ ωω
ω ω ω
τ τω τ ωω πν ω ν
1 1
0 0
1
0Gain statique gain à noté
Cte
de temps ( >0)
Pulsation de coupure ( >0)
: pulsation frequence
=2 :
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2.1.1. Etude fréquentielle
ωωc (-1)
0 dB
| H(i ) |ω dB
(-1) ≡ pente de -20 dB/décade
3 dB
ωωc
0 °
Arg H i[ ( )]ω
-45 °-90 °
(échelle log.)
(échelle log.)(si k > 0)
ωωc
0
| H(i ) |ω
(échelle log.)
kH =0H k kdB dB0 20= = log
≡ pente de -6 dB/octave
2.1.2. Etude temporelle - Réponse Impulsionnelle (RI) :
)()()]([)( 0/1 tektekpHTLth tpt Γ=Γ== −−
τττ
t
h(t)
0 τ
H k0 / /τ τ=
H0 /τ0.05
τ3≈rt
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- Réponse indicielle :
[ ][ ] )()1()()1(1)()()()( 0/11 tektekp
pHTLtTLpHTLty tpt Γ−=Γ−=
=Γ⋅= −−− τ
t
y(t)
0 τ
063. ( )⋅ ∞y095. ( )⋅ ∞y
tr : temps de réponse à 95 %
y H k k( )∞ = ⋅ = ⋅ =0 1 1
τ3≈rt
2.1.3. Dualité Temporel - Fréquentiel Temps Fréquence • Constante de temps τ • Pulsation de coupure
τ1] −=Re[pôle τ
ω 1=c
τ petit ≡ ]Re[pôle élevé ≡ système rapide ( cω élevé)
• 0H • 0H
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2.2. Modèle du 2nd ordre (intégrateur (≡ passe-bas))
- FT :
H p kp m p
k H i H t
m m( )
: [ ( ) ] ( ):=
+ +
≡ = = ↔ =∞
=2
02
0
0
0 02 1
0 0
ω ω
ω ω ωω ω
Gain statique gain à noté
Pulsation propre non amortie ( )
Facteur d' amortissement ( )
>0
>0
- Réponse Fréquentielle :
H i k
mi
( )ωωω
ωω
=
+ −
1 2
0 0
2
2.2.1. Etude fréquentielle
ωω
0
(-2)
0 dB
| H(i ) |ω dB
m≥2
2
m< ≈2
207.
ωω
0
Arg H i[ ( )]ω
0 °-90 °-180 °
6 dB(échelle log.)
(échelle log.)(si k > 0)
(résonance)ω
r
ωr
(-2) ≡ pente de -40 dB/décade
: pulsation de résonance
ωω
00
| H(i ) |ω
(échelle log.)
kH =0
ωr
H k kdB dB0 20= = log
m grandm petit
m≥2
2Pas de résonance
m< ≈2
207. Résonance
Pulsation de résonance : 2
0 21 mr −= ωω
Facteur de résonance : 2121
mmQ
−=
( QQdB log20= )
0 à
maxi
)(
)(
=
=ω
ω
ω
iH
iHQ
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2.2.2. Etude temporelle - Réponse Impulsionnelle (RI) :
[ ][ ] [ ]y t TL H p TL t TL H p( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ =− −1 1δ 3 cas :
• m > 1 : régime hyper-amorti (apériodique) :
2 pôles réels de H(p) : p m m1
20 0
2 1= − ± −ω ω
( ) )(12
)(12
)( 2121
20
20 tee
mktee
mkty
tttptp Γ
−
−=Γ−
−=
−−ττωω
en posant 1
11p
−=∆
τ et
22
1p
−=∆
τ
ty(t)
0
pôles de H(p)
0
Im(p)
Re(p)
Un mode dû à un pôle réel est non oscillant.
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TR 1. 30
• m = 1 : régime critique (apériodique) :
1 pôle double réel de H(p) : p m0 0 0= − = −ω ω
)()()( 20
20
0 ttekttektyt
t Γ=Γ=−− τω ωω avec :
0
1p
−=∆
τ
t
y(t)
0
pôles de H(p)
0
Im(p)
Re(p)
Un mode dû à un pôle réel est non oscillant.
• 0 1< <m : régime sous-amorti (pseudo-périodique) :
2 pôles complexes conjugués de H(p) : (σ ω= m 0 ; ′ = −ω ω0 021 m )
p m i m i1
20 0
201= − ± − = − ± ′ω ω σ ω
( ) ( ) )(sin1
)(sin1
)( 020020
0
ttm
ekttm
ekty
ttm
Γ
′
−=Γ
′
−=
−−
ωωωωτω
en posant )(1
)(1
21 pRepRe−=−=
∆∆
τ
t
y(t)
0 =′
2
0
πω
: pseudo-période
′ω0 : pseudo-pulsation
0T′0T′
pôles de H(p)
0
Im(p)
Re(p)
Un mode dû à 2 pôles complexes conjugués est pseudo-oscillant
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TR 1. 31
- Réponse indicielle :
[ ][ ]y t TL H p TL t TL H pp
( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ =
− −1 1 1Γ
3 cas :
• m > 1 : régime hyper-amorti (apériodique) :
2 pôles réels de H(p) : 12
0021 −±−= mmp ωω
Im pRe p
)(1112
11)(1112
11)(222222
2121
tmm
emm
em
ktmm
emm
em
kty
tttptp
Γ
−−−
−+−+=Γ
−−−
−+−+=
−−ττ
en posant : 1
11p
−=∆
τ et
22
1p
−=∆
τ
t
y(t)
0
0 95. ( )⋅ ∞y
tr
tr : temps de réponse à 95 %
y H k k( )∞ = ⋅ = ⋅ =0 1 1
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TR 1. 32
• m = 1 : régime critique (apériodique) : 1 pôle double réel de H(p) : p m0 0 0= − = −ω ω
Im pRe p
( )[ ] ( ) )(11)(11)( 000 ttekttekty
tt Γ
+−=Γ+−=
−− ωω τω
avec : 0
1p
−=∆
τ
t
y(t)
0
0 95. ( )⋅ ∞y
tr
tr : temps de réponse à 95 %
y H k k( )∞ = ⋅ = ⋅ =0 1 1
Automatique - Représentation Externe 1. Commande. Modèle d’un processus
TR 1. 33
• 0 1< <m : régime sous-amorti (pseudo-périodique) :
2 pôles complexes conjugués de H(p) : (σ ω= m 0 ; ′ = −ω ω0 021 m )
p m i m i1
20 0
201= − ± − = − ± ′ω ω σ ω
Im pRe p
)(1
)(1
21 pRepRe−=−=
∆∆
τ
( ) ( ) )(sin1
1)(sin1
1)( 0202
0
ttm
ekttm
ekty
ttm
Γ
+′
−−=Γ
+′
−−=
−−
ψωψωτω
21arcsinarccos mm −==ψ ( 21sincos mm −== ψψ )
21arccosarcsin2
mm −==−=∆
ψπϕ
ϕ0ω
0ωm−
0ω′Im p
Re pψ
t
y(t)
0
0 95. ( )⋅ ∞y
tr
tr : temps de réponse à 95 %
1 05. ( )⋅ ∞y
=′
2
0
πω
: pseudo- période
′ω 0 : pseudo- pulsationy H k k( )∞ = ⋅ = ⋅ =0 1 1
0T ′
0T ′
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TR 1. 34
2.2.3. Dualité Temporel - Fréquentiel Temps Fréquence
• amortissement m • amortissement m
• Temps de réponse rt • Pulsation 0ω
0] ωmRe[pôles −=
rt petit ≡ ]Re[pôles élevé ≡ système rapide 0ω élevé
• 0H • 0H
2.2.4. Rapidité
Rapidité vue d’après le temps de réponse
6001000
300
50
20
3
1
0.01 0.5 0.7 1 100
m
(échelle log.) 0ωrt
(échelle log.)
A 0ω fixé, le temps de réponse minimal est obtenu pour m = 0.7
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TR 1. 35
Rapidité vue d’après le lieu des pôles
Im p
Re p
1p
*1p
2p
rt petit ≡ ]Re[pôle élevé ≡ système rapide
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TR 1. 36
2.3. Systèmes d'ordre supérieur à 2
Système dont la FT )( pH , du k ième ordre,admet donc k pôles.
)( pH peut être décomposée en produit de plusieurs FT (éléments simples).
→ Réponse du système = somme des réponses des sous-systèmes.
Réponse plus fortement marquée par les pôles situés près de l'axe imaginaire (pôles dominants) car ils correspondent aux Ctes de
Temps les plus élevées ( )(pôleRe est en τ/1− ).
→ On peut souvent négliger les pôles éloignés de l'axe imaginaire par rapport aux pôles dominants.
Exemple (lieu des pôles) :
3ème ordre (3 pôles) constitué d’un sous-système du 1er ordre
(pôle 2p ) et d’un sous-système du 2nd ordre (pôles 1p et *1p )
Im p
Re p
1p
*1p
2p
Pôle dominant (≡ mode lent) situé le plus près de l’axe imaginaire : 2p
→ 3ème ordre ∼ 1er ordre (pôle 2p ).
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TR 1. 37
3. Représentation graphique de la Réponse Fréquentielle )( ωiH
Exemple : Représentation d’un 1er ordre : pkpHτ+
=1
)(
(avec : 0>τ , 0>k ( 1>k ))
Représentation de Bode
Représentation de Nyquist
Représentation de Black
ω0 dB (échelle lo
)(ωiHdB
)(log20)( ωω iHiHdB=
τ1
ω0 ° (échelle log
ϕ ])([ ωϕ iHArg=
-90 °
τ1
0
)]([ pHIm
)]([ pHRe
ω
ω>0ω<0
+=0ω
−=0ω−∞=ω
+∞=ω
Courbe paramétrée en ω
0°ω
)( ωiHdB
-90°ϕ
])([ ωϕ iHArg=
0 dB0=ω
∞=ω Courbe paramétrée en ω
Domaine de variation de p Limité à p i= ω (ω > 0 )
Domaine de variation de p Contour de Bromwich :
0θ
γRe(p)
εp = e iθ (ε 0)
p i= ω>ω( )0
p i= ω<ω( )0
Im(p)
p = r e iθ )( r ∞
Domaine de variation de p Limité à p i= ω (ω ≥ 0 )
Avantage : Visuelle et simple.
Avantage : Générale, puissante.
Avantage : Prédiction du SB à partir de la BO.
Inconvénient : Pas générale (stabilité).
Inconvénient : Plus abstraite.
Inconvénient : Pas générale (stabilité).
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TR 1. 38
Passage de la représentation de Bode aux Représentation de Nyquist/Black :
Rappel : passage des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires
0
)]([ ωiHIm
)]([ ωiHRe
ω
M
ψ
x
y
ϕ
. iyxiH +=)( ω
. )( ωiHM = 22 yx +=
. dBdB iHiHMM )()(log20log20 ωω ===
. )]([ ωϕ iHArg= xyArctg=
. ϕπϕψ =−= 2
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TR 1. 39
4. ANNEXE : Représentations de Bode de RF élémentaires
Gain complexe )( ωiH
Module )(log20)( ωω iHiH
dB=
Phase )]([ ωiHArg
0
)(ωωω iiH =
ω0 dB (échelle log.)
)( ωiHdB
(+1)
0ω ω0 (échelle log.)
ϕ
0ω
2/π
0
1)(
ωω
ωi
iH = ω0 dB (échelle log.)
)( ωiHdB
(-1)0ω
ω0 (échelle log.)
ϕ
0ω
2/π−
n
iiH
=
0
)(ωωω
ω0 dB (échelle log.)
)( ωiHdB (+n)
0ω ω0 (échelle log.)
ϕ
0ω
2/πn
0
1)(ωωω iiH +=
ω0 dB (échelle log.)
)( ωiHdB
3 dBCourbe asymptotique
Courbe réelle
0ω
(+1)
ω0 (échelle log.)
ϕCourbe asymptotique
Courbe réelle
0ω
2/π4/π
0
1
1)(
ωω
ωi
iH+
= ω0 dB (échelle log.)
)( ωiHdB
-3 dBCourbe asymptotique
Courbe réelle
0ω
(-1)
ω0 (échelle log.)
ϕ
Courbe asymptotique
Courbe réelle
0ω
2/π−4/π−
n
iiH
+=
0
1)(ωωω ω0 dB (échelle log.)
)( ωiHdB
3n dBCourbe asymptotique
Courbe réelle
0ω
(+n)
ω0 (échelle log.)
ϕCourbe asymptotique
Courbe réelle
0ω
2/πn4/πn
Octave :
ff 2→
Décade :
ff 10→
Pente :
(-n) ≡ pente de -20 ndB/décade ≡ pente de -6 n dB/octave
(+n) ≡ pente de +20n dB/décade ≡ pente de +6 n dB/octave
__________