AutomatykaWykad 3Modele matematyczne (opis matematyczny) liniowych jednowymiarowych (o jednym wejciu i jednym wyjciu) obiektw, elementw i ukadw regulacji.

Rwnanie wejcia wyjcia Transmitancja operatorowa i widmowa Rwnania stanu i rwnanie wyjcia

u(t)y(t)Obiekt

Rwnanie wejcia wyjcia okrela zwizek zachodzcy midzy sygnaem wejciowym u(t) obiektu a jego sygnaem wyjciowym y(t) i wynika z prawa rwnowagi dynamicznej ( prawo Newtona, prawa Kirchchoffa itd.)Transmitancj operatorow uzyskuje si z rwnania wejcia - wyjcia po jego przeksztaceniu wg. Laplacea.Transmitancja widmowa opisuje obiekt w dziedzinie czstotliwoci. Ma istotne znaczenie dla sygnaw sinusoidalnych.Rwnania stanu uzyskuje si z rwnania wejcia wyjcia. Stan obiektu w kadej chwili okrelaj zmienne stanu zwizane z magazynami energii wystpujcymi w obiekcie.Rwnanie wyjcia okrela zaleno sygnau wyjciowego y(t) od zmiennych stanu x1(t), x2(t), .

(1)Zakadajc zerowe warunki pocztkowei przeksztacajc rwnanie (1) wg. Laplacea otrzymujemy(2)(3)(4)Rwnanie wejcia wyjcia obiektuTransmitancja operatorowa obiektu

Transmitancja widmowa obiektu regulacji

Rwnanie wyjciaRwnania stanuRwnania stanu i rwnanie wyjcia

Zapis wektorowo-macierzowy rwna stanu i rwnania wyjcia rwnanie stanu rwnanie wyjcia- wektor stanu o skadowych A macierz obiektu o wymiarach b macierz kolumnowa wejcia o wymiarach n x 1- sygna sterujcy (sterowanie)- sygna wyjciowy (odpowied) cT macierz wyjcia o wymiarach

Wyznaczanie transmitancji operatorowej na podstawie rwnania stanu i rwnania wyjcia rwnanie stanu rwnanie wyjciaSchemat blokowy zmiennych stanu

- rwnanie stanu- rwnanie wyjcia

Obiekty regulacji

Obiekty statyczne: inercyjne i oscylacyjne2. Obiekty astatyczne (cakujce)

Obiekty inercyjneObiekty statyczne

Rwnanie stanu:Rwnanie wyjcia:

Czwrnik RC jako przykad obiektu inercyjnego I rzdu Rwnanie wejcia wyjcia: Transmitancja operatorowa:

Transmitancja widmowa: Rwnanie stanu:zmienna stanu

Obiekt inercyjny drugiego rzduRwnanie wejcia wyjcia:Transmitancja operatorowa:

Podwjny czwrnik RC jako przykad obiektu inercyjnego II rzdu.Na podstawie praw Kirchhoffa mamyZatem: Rwnanie wejcia wyjcia:

.- stae czasowe.

Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:

Rwnania stanu:Zmienne stanu:

Obiekt dwuinercyjny Obiekt inercyjny z opnieniemRwnanie wejcia wyjcia:Transmitancja operatorowa:

Obiekt oscylacyjny II rzduRwnanie wejcia wyjcia:Transmitancja operatorowa:n - pulsacja drga nietumionych, - wspczynnik tumienia.

Transmitancja widmowa:

Rwnania stanu:Zmienne stanu: rwnania stanuRwnanie wyjcia:

Przykad:

Transmitancja operatorowa czwrnika RLC

Rwnania stanu i rwnanie wyjcia czwrnika RLCZmiennymi stanu s:rwnania stanuRwnanie wyjcia:

- rwnanie stanu- rwnanie wyjciaWyznaczanie transmitancji operatorowej na podstawie rwna stanu i rwnania wyjcia