automatyka algebra bool’a, - zawt.polsl.plzawt.polsl.pl/studia/wyklad_zaoczne/automatyka zaoczne...
TRANSCRIPT
2015-11-06
1
Automatyka
dr inż. Szymon Surma [email protected]
pok. 202, tel. +48 32 603 4136
Treść wykładów:
1. Podstawy automatyki 1. Wstęp,
2. Różnice między sygnałem analogowym a cyfrowym,
3. Podstawowe elementy logiczne (suma, iloczyn, negacja),
4. Algebra Bool’a,
5. Prawa de Morgana,
6. Minimalizacja funkcji logicznej,
2. Układy kombinacyjne,
3. Układy sekwencyjne synchronicze,
4. Układy sekwencyjne asynchroniczne,
5. Kolokwium zaliczeniowe.
Wstęp
● Warunek zaliczenia przedmiotu:
o Kolokwium zaliczeniowe w postaci testu
wyboru lub zadania,
o Ocena końcowa jest oceną z kolokwium,
● Konsultacje w miarę wolnego czasu (macie
pytania, przychodzicie my staramy się
odpowiedzieć),
Literatura
● J. Mikulski: „Podstawy automatyki - liniowe układy
regulacji” WPŚ, Gliwice 2001.
● H. Kamionka-Mikuła, H. Małysiak, B. Pochopień:
„Synteza i analiza układów cyfrowych”
Wyd. J. Skalmierski, Gliwice 2006
● J. Kalisz: „Podstawy elektroniki cyfrowej”, WKŁ,
Warszawa 2002
Sygnał analogowy a cyfrowy Sygnał analogowy a cyfrowy
2015-11-06
2
Sygnał cyfrowy interpretowany
przez bramkę Podstawowe bramki logiczne
OR (suma) AND (iloczyn)
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
X Y Z
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Podstawowe bramki logiczne
BUF (bufor) NOT, INV (negacja)
X Y
0 0
1 1
X Y
0 1
1 0
Podstawowe bramki logiczne
NOR
(zanegowana suma)
NAND
(zanegowany iloczyn)
X Y Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
X Y Z
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Podstawowe bramki logiczne
XOR XNOR
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
X Y Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Algebra Bool’a
Powszechnie stosowane układy cyfrowe (logiczne) pracują
w oparciu o tzw. logikę dwuwartościową.
Wartości zmiennych (sygnałów) mogą przyjmować dwie
wartości:
prawda oraz fałsz.
W praktyce oznacza się je cyframi binarnymi, odpowiednio:
1 i 0.
Algebrę dwuwartościowych sygnałów logicznych nazywa
się algebrą Boole'a.
2015-11-06
3
Algebra Bool’a
Algebrą Boole'a nazywa się szóstkę:
( {0,1} , , , , 0 , 1 ) gdzie:
{0,1} - jest zbiorem możliwych wartości;
- jest operatorem sumy logicznej;
- jest operatorem iloczynu logicznego;
- jest operatorem negacji logicznej
(spotyka się także symbole: ~ lub );
0 , 1 - są tzw. niezmiennikami operacji sumy i iloczynu.
Algebra Bool’a Dla dowolnych zmiennych a, b, c algebry Boole'a zachodzą następujące
własności:
A1 a b = b a A2 a b = b a 1)
A3 a (b c) = (a b) c A4 a (b c) = (a b) c 2)
A5 1 = 0 A6 0 = 1
A7 a 1 = 1 A8 a 1 = a
A9 a 0 = a A10 a 0 = 0
A11 a a = 1 A12 a a = 0
A13 a a = a A14 a a = a
A15 (ab) c = a c b c A16 a b c = (a c)(a b) 3)
A17 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏
A18 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 4)
A19 𝑎 = 𝑎
1 - prawa przemienności, 2 - prawa łączności
3 - prawa rozdzielności, 4 - prawa de’Morgana
Algebra Bool’a Dla dowolnych zmiennych a, b, c algebry Boole'a zachodzą następujące
własności:
A1 a + b = b + a A2 a · b = b · a 1)
A3 a + (b + c) = (a + b) + c A4 a · (b · c) = (a · b) · c 2)
A5 1 = 0 A6 0 = 1
A7 a + 1 = 1 A8 a · 1 = a
A9 a + 0 = a A10 a · 0 = 0
A11 a +a = 1 A12 a ·a = 0
A13 a + a = a A14 a · a = a
A15 (a + b) · c = a · c + b · c A16 a + b · c = (a + c)·(a + b) 3)
A17 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 · 𝑏
A18 𝑎 · 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 4)
A19 𝑎 = 𝑎
1 - prawa przemienności, 2 - prawa łączności
3 - prawa rozdzielności, 4 - prawa de’Morgana
Tablice prawdy dla praw de Morgana
𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏
𝑎 b 𝑎 b 𝑎 b 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0
𝑎 b 𝑎 b 𝑎 b 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 0
1 0 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 0 0
Wyrażenia logiczne
Zmienną logiczną nazywamy zmienną przyjmującą tylko jedną z dwóch
możliwych wartości (0 lub 1).
Wyrażeniem logicznym nazywamy połączenie przy pomocy operatorów
logicznych i nawiasów szeregu zmiennych logicznych.
Przykłady wyrażeń logicznych:
a , x1 , cd+a(c+b) , x1x2(x3+x4)
Wyrażenia logiczne mogą być zapisane dowolnie.
Wyrażenia logiczne
W teorii układów logicznych wykorzystuje się także dwa standardowe
zapisy wyrażeń logicznych. Są to:
KPS - Kanoniczna Postać Sumacyjna, będąca sumą prostych
iloczynów zmiennych logicznych lub ich negacji. W każdym z iloczynów
składających się na zapis wyrażenia muszą być uwzględnione
wszystkie argumenty wyrażenia. np.:
𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 𝑐 + 𝑎𝑏 𝑐
KPI - Kanoniczna Postać Iloczynowa, będąca iloczynem prostych sum
zmiennych logicznych lub ich negacji. Każda z sum, będących
czynnikami KPI, musi uwzględniać wszystkie argumenty wyrażenia,
np.:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
2015-11-06
4
Funkcje logiczne
Metody opisu funkcji logicznych
1. Opis słowny. Jawnym tekstem podaje się ilość i znaczenie zmiennych
logicznych (argumentów funkcji) i określa jakie wartości przyjmuje dana
funkcja dla poszczególnych słów wejściowych.
2. Tablica prawdy. Jest to tabela, zawierająca wszystkie kombinacje Ai
zmiennych wejściowych i odpowiadające im wartości funkcji logicznych.
3. Wyrażenie. Typowo matematyczny, zwięzły zapis funkcji wykorzystujący
symbole zmiennych i operatory logiczne.
4. Zapis dziesiętny. Syntetyczny zapis operujący ujętymi w nawiasy
kwadratowe numerami słów wejściowych reprezentujących kombinacje Ai
wartości argumentów funkcji. Zapis dziesiętny umożliwia także wskazanie,
dla których słów wejściowych wartość funkcji jest nieokreślona (f(Ai)=X) -
symbole tych słów podaje się w nawiasach zwykłych.
Funkcje logiczne – przykład
Opis słowny
Funkcja F ma 3 zmienne wejściowe a, b, c;
dla a=1 i b=c F=1,
dla a=c=0 F=0,
Dla pozostałych kombinacji a, b, c funkcja jest nieoznaczona.
Tablica prawdy Wyrażenie
𝐹 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 + 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
Zapis dziesiętny Zapis dziesiętny warunki działania (kombinacje dla których funkcja przyjmuje wartość jeden)
𝐹 = 4,7 (1,3,5,6) 𝑎𝑏𝑐
Zapis dziesiętny warunki niedziałania (kombinacje dla których funkcja przyjmuje wartość zero)
𝐹 = 0,2 (1,3,5,6) 𝑎𝑏𝑐
a b c F
0 0 0 0
0 0 1
0 1 0 0
0 1 1
1 0 0 1
1 0 1
1 1 0
1 1 1 1
Funkcje logiczne – przykład
Zapis dziesiętny umożliwia minimalizację funkcji albo podanie wprost
odpowiednich wyrażeń logicznych. W tym drugim przypadku otrzymuje
się:
•postać KPS wychodząc z zapisu z
•postać KPI wychodząc z zapisu z .
𝐹 = 4,7 (1,3,5,6) 𝑎𝑏𝑐
4 : 100 : 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 7 : 111 : 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
FKPS= 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 + 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
𝐹 = 0,2 (1,3,5,6) 𝑎𝑏𝑐
0 : 000 : 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 : 010 : 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
FKPI= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Kody zerojedynkowe
Naturalny kod binarny (BIN)
DEC BIN
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
10 1010
BIN 23 22 21 20 DEC
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 1
0 1 0 1 0 4 0 1 5
1 1 0 1 8 4 0 1 13
1 1 1 1 8 4 2 1 15
Kody zerojedynkowe
Binarny kod dziesiętny (BCD)
DEC BCD
0 0000 0000
1 0000 0001
2 0000 0010
3 0000 0011
4 0000 0100
5 0000 0101
6 0000 0110
7 0000 0111
8 0000 1000
9 0000 1001
10 0001 0000
BCD 23 22 21 20 23 22 21 20 DEC
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 4 0 1 5
0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 2 1 13
0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 4 0 1 15
0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 4 0 1 25
Kody zerojedynkowe
Kod Grey’a
0
1
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0
0 0 1
0 1 1
0 1 0
1 1 0
1 1 1
1 0 1
1 0 0
2015-11-06
5
Minimalizacja funkcji logicznej
𝐹 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑎 𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑎 𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑎𝑏𝑐 𝑑 𝑒 + 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 + 𝑎𝑏𝑐 𝑑 𝑒 + 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 𝐹 = 𝑏𝑐𝑑 𝑒 𝑎 + 𝑎 + 𝑏𝑐𝑑 𝑒 𝑎 + 𝑎 + 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 𝑎 + 𝑎 + 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 𝑎 + 𝑎
𝐹 = 𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 + 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 𝐹 = 𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑒 + 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 + 𝑒
𝐹 = 𝑏𝑐𝑑 + 𝑏𝑐 𝑑 𝐹 = 𝑏𝑑 𝑐 + 𝑐
𝐹 = 𝑏𝑑
𝑎 + 𝑎 = 1
𝑎 + 𝑎 = 1
𝑎 + 𝑎 = 1
Minimalizacja funkcji logicznej
𝐹 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑎 𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑎 𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑎𝑏𝑐 𝑑 𝑒 + 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 + 𝑎𝑏𝑐 𝑑 𝑒 + 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑒
𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑒 1 1 1 0 1 29
𝑎 𝑏𝑐𝑑 𝑒 0 1 1 0 1 13
𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑒 1 1 1 0 0 28
𝑎 𝑏𝑐𝑑 𝑒 0 1 1 0 0 12
𝑎𝑏𝑐 𝑑 𝑒 1 1 0 0 1 25
𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 0 1 0 0 1 9
𝑎𝑏𝑐 𝑑 𝑒 1 1 0 0 0 24
𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 0 1 0 0 0 8
BIN 24 23 22 21 20 DEC
a b c d e
16 8 4 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 2
0 0 0 1 1 0 0 0 2 1 3
0 0 1 0 0 0 0 4 0 0 4
Minimalizacja funkcji logicznej
Siatka Karnaugha c d
a b 00 01 11 10
00 0 1 3 2
01 4 5 7 6
11 12 13 15 14
10 8 9 11 10
Minimalizacja funkcji logicznej
Siatka Karnaugha c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8 9 11 10 14 15 13 12
11 24 25 27 26 30 31 29 28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
Minimalizacja funkcji logicznej KPS => Jedynki
𝐹 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑎 𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑎 𝑏𝑐𝑑 𝑒 + 𝑎𝑏𝑐 𝑑 𝑒 + 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 + 𝑎𝑏𝑐 𝑑 𝑒 + 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑒
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 1 8
1 9 11 10 14 15
1 13
1 12
11 1 24
1 25 27 26 30 31
1 29
1 28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑒 1 1 1 0 1 29
𝑎 𝑏𝑐𝑑 𝑒 0 1 1 0 1 13
𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑒 1 1 1 0 0 28
𝑎 𝑏𝑐𝑑 𝑒 0 1 1 0 0 12
𝑎𝑏𝑐 𝑑 𝑒 1 1 0 0 1 25
𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 0 1 0 0 1 9
𝑎𝑏𝑐 𝑑 𝑒 1 1 0 0 0 24
𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑒 0 1 0 0 0 8
• Liczba pól w grupie jest potęgą liczby 2, tj. 1, 2,
4, 8, 16, 32, 64…,
• Grupy są symetryczne względem siatki,
• Liczba grup: o Jak najmniej,
o Jak największych,
o + eliminacja hazardu (ukł. asynchroniczne)
Minimalizacja funkcji logicznej Grupy
2015-11-06
6
Minimalizacja funkcji logicznej Grupy
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
Minimalizacja funkcji logicznej Grupy
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
Minimalizacja funkcji logicznej Grupy
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
!!!!!! Minimalizacja funkcji logicznej Grupy
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
Minimalizacja funkcji logicznej Grupy
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
Minimalizacja funkcji logicznej Grupy
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 1 8
1 9 11 10 14 15
1 13
1 12
11 1 24
1 25 27 26 30 31
1 29
1 28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
2015-11-06
7
Minimalizacja funkcji logicznej Grupy
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 1 8
1 9 11 10 14 15
1 13
1 12
11 1 24
1 25 27 26 30 31
1 29
1 28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
b
Minimalizacja funkcji logicznej Grupy
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 1 8
1 9 11 10 14 15
1 13
1 12
11 1 24
1 25 27 26 30 31
1 29
1 28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
b
𝑑
b bo „1”
𝑑 bo „0”
Minimalizacja funkcji logicznej Grupy
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 1 8
1 9 11 10 14 15
1 13
1 12
11 1 24
1 25 27 26 30 31
1 29
1 28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
b
𝑑
𝐹 = 𝑏𝑑 Iloczyn bo „1”
Minimalizacja funkcji logicznej KPI => Zera
𝐹 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 )(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 )
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1
0 3
0 2
0 6
0 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17
0 19
0 18
0 22
0 23 21 20
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 0 0 0 1 0 2
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 1 0 0 1 0 18
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 0 0 0 1 1 3
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 1 0 0 1 1 19
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 0 0 1 1 0 6
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 1 0 1 1 0 22
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 ) 0 0 1 1 1 7
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 ) 1 0 1 1 1 23
Minimalizacja funkcji logicznej Grupy
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1
0 3
0 2
0 6
0 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17
0 19
0 18
0 22
0 23 21 20
b
b bo „0”
𝑑 bo „1”
Minimalizacja funkcji logicznej Grupy
c d e
a b 000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1
0 3
0 2
0 6
0 7 5 4
01 8
9 11 10 14 15
13
12
11 24
25 27 26 30 31
29
28
10 16 17
0 19
0 18
0 22
0 23 21 20
b
𝑑
𝐹 = 𝑏 + 𝑑 Suma bo „0”
2015-11-06
8
Dziękuję za uwagę