autor: rosana gagliotti de dio · a geodésia é a ciência que estuda a forma e as dimensões da...
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Autor: Rosana Gagliotti De DioNRE: Foz do IguaçuEscola: Colégio Estadual Barão do Rio Branco
Disciplina: Matemática( ) Ensino Fundamental (X) Ensino
MédioDisciplina da relação interdisciplinar 1: GeografiaDisciplina da relação interdisciplinar 2: Física
DIVERSÃO NA MATEMÁTICA OU MATEMÁTICA NA DIVERSÃO?
Desde os tempos antigos o céu atrai as pessoas. Sentir a leveza, a
liberdade e ver o mundo do alto. Uma das maneiras de tornar isso possível
é através do brinquedo "Chapéu Mexicano". O brinquedo "Chapéu
Mexicano" é muito popular e é preferido por jovens e adultos. Você
consegue ver alguma relação do brinquedo com a matemática?
Fig. 1-Chapéu Mexicano1
Pesquise e observe que forma tem o brinquedo parado? E em
movimento, qual é a forma observada?
Você já havia notado que até nas nossas horas de diversões
estamos em contato com a matemática? Em parque de diversões muitas
pessoas gostam de se aventurar no chapéu mexicano, montanha russa,
1Fonte:<http://www/itobrasil.com/catalog.asp?album_num=13&pagea=1>
1
roda gigante, carrossel, etc, sem saber que estes e outros brinquedos
estão norteados pela matemática.
Se observarmos a nossa volta, veremos que a geometria se
encontra em toda parte, na natureza, nas construções, na arte, na moda,
nos objetos, etc.
A geometria é um ramo da matemática que estuda as formas,
planas e espaciais, com as suas propriedades. A geometria assim como a
matemática surgiu de necessidades básicas de organizar, contabilizar,
administrar objetos, propriedades, patrimônios, etc. A origem da palavra
geometria vem do grego geo = terra + metria = medida, ou seja, "medir
terra".
Você deve estar se perguntando? Quem “inventou” essa tal de
Geometria?
Um possível percurso para a sua viagem:
- História da Geometria;
- Reconhecer a geometria plana e geometria espacial;
- Na geometria espacial distinguir os poliedros e os corpos redondos.
Para fazer esta viagem:
- Visite o Laboratório de Matemática;
- Navegue pelos sites:
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm16/historia.htm
http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial7.php
2
Que tal navegar na Internet, para
entender mais sobre a geometria?
Ou mergulhe em uma pesquisa em
livros didáticos. E não se esqueça de
registrar tudo.
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/poliedro/poliedro.h
tm
http://www.mat.ufmg.br/~chico/231_249.pdf
http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_19t.php
- Mergulhe nos livros
Vendo e entendendo Poliedros- Ana Maria M.R.Kaleff, EdUFF Rio de Janeiro
2003;
A Geometria Na Sua Vida – Nilson José Machado, Ed.Ática, São Paulo 2003;
Matemática Completa- José Ruy Giovanni, José R.Bonjorno, José R.Giovanni
Jr, FTD, São Paulo, 2002
Matemática Contexto & Aplicações- Luiz R. Dante, Ed. Ática, São Paulo
1999.
Agora que você conheceu a história da origem da geometria e viu a
sua importância, vamos trabalhar um pouco com essa disciplina que nos
mostra a harmonia das formas e dos movimentos.
Imagine um retângulo girando em torno de um eixo fixo o espaço
que esse movimento ocupará nos dá idéia de um sólido geométrico
chamado cilindro.
Fig. 2-Cilindro de revolução2
2 Fonte: <www.brasilescola.com/matematica/cilindro.htm>
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ATIVIDADE 1 Em grupos de até quatro alunos, construa uma galeria de fotos identificando os sólidos geométricos na natureza, nas construções, em seu bairro, etc...
São vários objetos que encontramos neste formato como: enlatados
(refrigerantes, extrato de tomate, milho, etc.), perfumes, colunas nas
construções, copos, corpo de garrafas, etc. E não é por acaso que eles têm
esta forma, o motivo se dá à praticidade de alojar e fluir o produto, aliado
a isto pela economia de matéria prima. Quando giramos o retângulo em
torno de um eixo que contém um de seus lados, a largura do retângulo
será o raio do círculo que ele determina no movimento de rotação e, o
comprimento do retângulo será a altura do cilindro.
Portanto os elementos do cilindro são:
Bases: São os círculos de centro no eixo de rotação e raio r (largura do
retângulo);
Altura: Distância entre os planos das bases (comprimento do retângulo);
Geratriz: Todo segmento paralelo ao eixo de rotação e com as
extremidades nas bases (no cilindro circular reto a medida da geratriz é
igual à medida da altura).
4
ATIVIDADE 3Um empresário disponibiliza seu produto em cilindros, cujo raio
mede 4 cm e tem altura igual a 6 cm . Para armazenar seu produto e transportá-lo ao comércio deseja embalá-los em caixas de papelão em forma de bloco retangular contendo 4 cilindros. Considerando essas duas opções:
o
Visando fazer economia, o empresário decide utilizar a menor quantidade de papelão para fabricar a caixa, qual é a melhor opção?
ATIVIDADE 2O diâmetro da parte circular de uma lata de achocolatado mede 10 cm. Sua altura é de 12 cm. Um rótulo cobre toda a parte lateral da lata.Responda:Qual é a forma do rótulo antes de ser colocado na lata?Qual é a área aproximada desse rótulo?
Fig. 3-Problema3
O que acontecerá se ao invés de girarmos um retângulo em torno de
um eixo, girarmos um triângulo retângulo?
Fig. 4:Cone de revolução4
Isso mesmo, o sólido geométrico que vamos obter através do espaço
ocupado pelo triângulo retângulo neste movimento de rotação será um
cone.
Assim como o cilindro são vários objetos que encontramos na forma
de cone como exemplos temos, o chapéu de bruxa, o cone usado no
trânsito, a casquinha do sorvete, etc. Veja a beleza da arquitetura da
catedral de Maringá, norte do Paraná.
Fig. 5:Catedral Basílica Menor de NossaSenhora da Glória, em Maringá (PR)5
3 Fonte:Problema adaptado do livro Matemática e Vida 8ª série, editora Ática 1991
4 Fonte: <http://www.brasilescola.com/matematica/cone.htm>5 Fonte 5: <www.guiageo-parana.com/mapas.htm>
5
A base do triângulo retângulo girado será o raio do círculo gerado
pela rotação, a altura do triângulo retângulo determinará a altura do cone
e a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) determinará a geratriz do
cone. Portanto os elementos do cone são:
Vértice: É um ponto onde se encontram as geratrizes.
Base: Região circular de centro no eixo de rotação e raio r (base do
triângulo retângulo);
Altura: distância entre o vértice e o plano da base (altura do triângulo
retângulo);
Geratriz: segmentos com extremidades no vértice e na circunferência da
base (medida da hipotenusa do triângulo retângulo girado).
Quando, na sorveteria, você escolhe uma casquinha com uma ou
duas bolas de sorvete, está optando, do ponto de vista da geometria, por
um cone com uma ou duas esferas. Outros cones simpáticos: Quer se
fantasiar de bruxa, de princesa ou de mago? Com um cone de cartolina dá
para fazer um chapéu bem legal. Se você desfizer o cone vai ver que,
esticado, ele parece um triângulo, com uma diferença: um de seus lados
(a base) é curvo. Os cones também são usados nas ruas para sinalização.
O que você acha que acontece se em um cone fizermos um corte
paralelo à base? À parte de cima continua sendo um cone, só que agora
menor, não é mesmo? E a parte de baixo? Não é mais um cone, mas sim
um tronco de cone. Em um tronco de cone, podemos observar duas bases
paralelas e circulares, sendo uma
maior que a outra.
Você conhece algum objeto que tem a forma de tronco
de cone? Com certeza sim. Faça uma lista desses objetos e
compare com a de seus colegas.
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Você come
corpos
geométricos?
Fig. 6: Cone6
Existe também uma esfera que gira em torno de um eixo, você sabe
de qual esfera estou falando? Isso mesmo, a Terra. Para alguns efeitos
práticos, pode-se considerar a Terra como uma esfera.
A Geodésia é a ciência que estuda a forma e as dimensões da Terra.
No século XVII, os cientistas calcularam a circunferência terrestre de modo
quase exato, porém trabalhavam com a hipótese de que a Terra fosse
esférica. Na realidade, o planeta apresenta um achatamento polar quase
insignificante, o que o torna um sólido geométrico diferente de qualquer
outro. Essa forma singular recebeu a denominação de geóide.
A distribuição da insolação na superfície é condicionada, também,
pelos movimentos da Terra no espaço. A rotação, movimento da Terra em
torno de seu eixo imaginário, produz os dias e as noites. A translação,
movimento da Terra em torno do Sol, é responsável pelas estações do ano
e se completa em um período de cerca de 365 dias ou um ano.
O planeta Terra tem a forma esférica, mas é “achatado” nos pólos.
Por isso, quando nos referimos ao seu raio dizemos:
O raio polar mede aproximadamente 6 360 km;
6Fonte: <www.brasilescola.com/matematica/cone.htm>
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DEBATE
Porque os copos descartáveis têm a forma de
tronco de cone e não de cilindro, no qual
caberia mais líquido? Pense nisso e discuta
O raio equatorial mede aproximadamente 6 380 km;
O raio médio mede aproximadamente 6 370 km.
A superfície do planeta Terra tem aproximadamente 51 x 107 km2,
dos quais cerca de 43
são cobertos por água. O volume do planeta Terra é
de aproximadamente 108 323 x 107 km3.
Movimento Circular
Dizemos que um móvel realiza um movimento circular quando sua
trajetória é circular.
Aceleração Centrípeta
A aceleração centrípeta, também chamada de aceleração normal ou
radial, é a aceleração originada pela variação da direção vetor velocidade
de um móvel, característico de movimentos curvilíneos ou circulares. Ela é
perpendicular à velocidade e aponta para o centro da curvatura da
trajetória. A aceleração centrípeta pode ser calculada como:
ac = nurv2
onde: é a aceleração centrípeta (unidade SI: metros por
segundo ao quadrado); é a velocidade (unidade SI: metros por segundo);
r é o raio da trajetória (unidade SI: metros); é o versor normal à
trajetoria.
A equação acima pode ainda ser expressa como: , onde:
ω é a velocidade radial em radianos por segundo.
Se ac deixar de atuar o corpo descreverá MRU (movimento retilíneo
uniforme). Além da aceleração centrípeta, existe uma força centrípeta(Fc)
responsável pelo movimento circular. De acordo com a 2ª lei de Newton, a
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Que tipo de movimento é esse que o brinquedo chapéu mexicano realiza?
resultante das forças e a aceleração tem sempre a mesma direção e o
mesmo sentido.
Fc=mv²/R sendo massa -> kg e Força -> N (Newton)
Até agora vimos que há matemática nas diversões. Mas será que há
diversão na matemática?
Ordem na Desordem
Como vimos à geometria se encontra em toda parte, mas como
podemos classificar as formas de uma nuvem, uma montanha, a superfície
dos pulmões humanos, a trajetória das gotículas de água quando
penetram na terra e outros fenômenos da natureza? Pela suas
irregularidades não podem ser descritos pela geometria euclidiana. Temos
duas maneiras de descrever o mundo, a geometria Euclidiana e a dos
fractais. Só a chamada geometria fractal consegue descrevê-los.
De acordo com Mandelbrot, 1982 “Nuvens não são esferas, montanhas
não são cones, os contornos dos litorais não são arcos, a casca do tronco das
árvores não é nada plana e nem a luz sequer viaja sobre uma linha reta...”.
A palavra fractais baseia-se no latim, do adjetivo fractus, cujo verbo
frangere correspondente significa quebrar; criar fragmentos irregulares,
fragmentar. FRACTAL é uma nova linguagem geométrica descoberta
através da Teoria do Caos. Foi criada por Benoit Mandelbrot.
Diferentes, porém parecidos. Pois não basta ter dimensão fracionária
para ser um fractal. É preciso que o objeto seja auto-semelhante: suas
partes devem se parecer muito entre si e representar o todo. Uma couve-
flor é um bom exemplo de fractal, pois se alguém cortar um pedaço dele,
verá que ele tem a cara da verdura inteira. A terceira e última
característica de um fractal é ser fruto de inúmeras repetições de uma
fórmula. É dessas repetições que surge a imagem.
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ATIVIDADE 4Construa uma maquete com sólidos geométricos utilizando material
reciclável.
Um dos mais belos e, sem dúvida, o mais colorido é o uso dos
fractais na arte. Veja alguns exemplos:
TRIÂNGULO DE SIERPINSKI
A construção do triângulo de Sierpinski começa com o desenho de
um triângulo qualquer. Depois se marca os pontos médios dos três lados e
temos a construção de um novo triângulo com vértices nesses pontos,
formando assim quatro triângulos com lados iguais a metade do triângulo
anterior e, o triângulo central deve ser eliminado, removido ou pintado.
Repetem-se em cada um dos triângulos não eliminados as mesmas
construções anteriores no mínimo mais duas vezes.
Fig. 7: triângulo de Sierpinski 7
TAPETE DE SIERPINSKI
Consideremos uma peça quadrada. Substitua o quadrado por um
quadrado 3X3, removido o quadrado central, obtendo o fractal ao nível 1
(fig. 8.1). E, em seguida substitua cada quadrado pelo fractal nível 1, para
obter o fractal nível 2 (fig.8.2); e novamente, para obter o fractal nível 3
(fig.8), substitua cada quadrado do nível 2 pelo fractal nível 1.
Fig.8.1 –nível 1
Fig.8.2-
nível 2
7 Fonte: <http://www.matematicas.unal.edu.co/revistas/lecturas/graficas/
60.gif>
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ATIVIDADE 5
Fig.8: tapete de Sierpinski-nível 3 8
FRACTAL TRIMINÓ
Consideremos o triminó não-reto, construído pela conexão de 3
quadrados (fig.9.1), que será o fractal em nível 1. Substitua cada peça
quadrada por um triminó L (fig.9.2), que corresponde à construção
empregando 3 figuras iguais à fig. 9.1; então teremos o fractal em nível 2.
Novamente substitua cada quadrado por um triminó (fig.9.3), que
corresponde à construção empregando 3 figuras iguais à 1.2, obtendo
então o fractal ao nível 3 e assim sucessivamente. Qual seria o número de
peças necessárias para se construir um fractal triminó de nível 4? E de
nível 5? E de nível n?
Fig.9: Triminó-nível 4 9 Fig.9.1-nível 1 Fig.9.2-nível 2 Fig.9.3-nível 3
Algumas Sugestões:
a) Construção de Cartões Fractais10: Veja a beleza de cartões que
podemos construir usando os fractais;
O Conjunto de Cantor Triângulo de
Sierpinski
8 Fonte: <Descobrindo a Geometria Fractal – Ruy Madsen Barbosa, Ed. Autêntica 2002, Belo Horizonte pag. 93>.9 Fonte: <Descobrindo a Geometria Fractal – Ruy Madsen Barbosa, Ed. Autêntica 2002, Belo Horizonte pag.92 >.10 Cartões Fractais : <Fotos cedidas pela autora>
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ATIVIDADE 6
Triângulo de Sierpinski Tapete de
Sierpinski
b) Você também pode fazer uso de recursos computacionais, como os
softwares Nfract, Cabri-géométre II e SLogow para construir belas imagens
de fractais. No site da Unicamp/Nied você poderá encontrar esses e outros
programas interessantes.
Encare esse desafio e construa belos cartões.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
ARAUJO, R.; MAGNOLI, D. Geografia a construção do mundo. São
Paulo: Moderna, 2005.
12
BARBOSA, R.M. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de
aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.
BONGIOVANNI, V.; LEITE, O.R.V.; LAUREANO, J.L.T. Matemática e vida. 2.
ed. São Paulo: Ática, 1991.
BONJORNO, R.A.; BONJORNO, J.R.; BONJORNO, V.; RAMOS, C.M. Física 2º
grau: mecânica, eletricidade, termologia, ondulatória, óptica
geométrica. São Paulo: FTD, 1988.
DANTE, L.R. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
KALEFF, A. M. M. R. Vendo e entendendo Poliedros. 2. ed. Rio de
Janeiro: EdUFF, 2003.
MACHADO, N.J. A geometria na sua vida. São Paulo: Ática, 2003.
Mandelbrot, .B. P.Objetos Fractais.Lisboa:Gradiva,1998.
ANEXOS
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Secretaria de Estado da Educação – SEEDSuperintendência da Educação - SUED
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais – DPPE
PARECERES DO MATERIAL DIDÁTICO – PROFESSORES COLABORADORES - 2008
COLABORADOR 1
1. IDENTIFICAÇÃO
a) Nome do professor: Wilson Antonio Rodrigues
Ferreira_________________
b) R.G.: 4.376.051-3_______________________________________________
c) CPF : 615.580.959.34____________________________________________
d) Escola que atua: Colégio Estadual Almirante
Tamandaré________________
e)Área/Disciplina: Geografia_________________________________________
2. PARECER CONCLUSIVO:
“...se proclama de bom grado que a matemática deve ser ensinada
com base em exemplos concretos.” (Georges Glaeser, educador
matemático francês)________________________________
Vivemos na era da informação e da comunicação. A autenticidade é
uma característica fundamental desse trabalho. O problema a resolver é
relevante e tem caráter genuíno para os alunos.
Não se trata de uma mera reprodução de algo já feito por outros.
Além disso, o problema não é independente do contexto e os alunos
procurarão construir respostas pessoais originais. A situação estudada não
é de natureza exclusiva da matemática, atacar tal problema implica fazê-
lo sob muitos pontos de vista, o que facilita a interdisciplinaridade.
As atividades apresentam situações que motivam os alunos e
contribuem para torná-los ativos, críticos e cooperativos.
COLABORADOR 2
1. IDENTIFICAÇÃO
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a) Nome do professor: _EDMUNDO RICARDO
VIMIÊIRO_________________
b) R.G.:_3 098 965 -1 _____________________________________________
c) CPF : __366 799 509 -10_________________________________________
d) Escola que atua: _COLÉGIO ESTADUAL BARÃO DO RIO
BRANCO______
e)Área/Disciplina: ___FÍSICA________________________________________
2. PARECER CONCLUSIVO:
O referido trabalho serve para abrir horizontes aos alunos,
correlacionando o modelo real do cotidiano, com a atividade prática
(científica) da matemática e da física.
A partir daí, o aluno perceberá que as disciplinas não devem ser
interpretadas como absolutas e independentes. Mas, como peças que
funcionam em harmonia, permitem a compreensão plena do universo.
COLABORADOR 3
1. IDENTIFICAÇÃO
a) Nome do professor: _LIEGE FONTOURA CORREA _
_
b) R.G.:__4527907-3______________________________________________
c) CPF : _234 303 200 - 97_
______________________________
d) Escola que atua: _Colégio Estadual Ulysses
Guimarães_________________
e) Área/Disciplina: _Matemática______________________________________
2. PARECER CONCLUSIVO:
Trata-se de um trabalho atualizado e sintonizado com as mudanças
presentes nos currículos de matemática. Aborda a utilização da
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informática de forma orientada como recurso metodológico, o que faz com
que o aluno participe ativamente. Apresenta sugestões interessantes de
software instigando o aluno a buscar mais informações sobre o conteúdo
trabalhado. Leva os alunos a entender as implicações matemáticas de um
problema usando uma forma descontraída, mostrando que a matemática
que se estuda na escola está relacionada com a nossa vivência.
Este trabalho propicia aos alunos a oportunidade para que pensem,
explorem e apliquem conceitos adquiridos ao longo de seu percurso
escolar.
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