Autoreferat

1. Imię i nazwisko: Edyta Hetmaniok.

2. Posiadane dyplomy i stopnie naukowe:

– magister inżynier matematyki, Politechnika Śląska, Wydział Matematyczno-Fizyczny,Gliwice 2000,

– doktor nauk fizycznych w zakresie fizyki, Politechnika Śląska, Wydział Matematyczno-Fizyczny, Gliwice 2005.

3. Dotychczasowe zatrudnienie w jednostkach naukowych:

– doktorant, Instytut Matematyki Politechniki Śląskiej, 2000–2005,

– asystent, Instytut Matematyki Politechniki Śląskiej, 2005–2006,

– adiunkt, Instytut Matematyki Politechniki Śląskiej, od 15 lutego 2006 roku.

4. Osiągnięcie wynikające z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r. o stopniach nauko-wych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U. nr 65, poz.595 ze zm.) stanowi jednotematyczny cykl publikacji pod tytułem:

Rozwiązywanie odwrotnych zagadnień przewodnictwa ciepła przy użyciu wy-branych optymalizacyjnych algorytmów sztucznej inteligencji.

Lista publikacji wchodzących w skład ww. osiągnięcia:

1. Edyta Hetmaniok, Iwona Nowak, Damian Słota, Adam Zielonka, 2012, Determinationof optimal parameters for the immune algorithm used for solving inverse heat conduction

problems with and without a phase change. Numer. Heat Transf. B, vol. 62 iss. 6, s. 462-478,IF 1.955, punktacja MNiSW 30 (czasopismo odnotowane w Web of Science).

2. Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, 2012, Identification of the heat transfercoefficient in the inverse Stefan problem by using the ABC algorithm. Arch. Foundry Eng.,vol. 12 spec. iss. 2, s. 27-32, punktacja MNiSW 6.

3. Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, 2013, Experimental verification of Im-mune Recruitment Mechanism and Clonal Selection Algorithm applied for solving the inverse

problems of pure metal solidification. Int. Commun. Heat Mass Transf., vol. 47, s. 7-14,IF 2.124, punktacja MNiSW 40 (czasopismo odnotowane w Web of Science).

4. Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, 2014, Experimental verification of selec-ted artificial intelligence algorithms used for solving the inverse Stefan problem. Numer. HeatTransf. B, vol. 66 iss. 4, s. 343-359, IF 1.172, punktacja MNiSW 30 (czasopismo odnotowanew Web of Science).

5. Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, 2014, Solution of the inverse continu-ous casting problem with application of the Invasive Weed Optimization algorithm. Comput.Methods Mater. Sci., vol. 14 no. 2, s. 114-122, punktacja MNiSW 10.

6. Edyta Hetmaniok, Damian Słota, 2014, Determination of the heat flux in the process ofsolidification by applying the Ant Colony Optimization algorithm. (15th International Con-ference on Metal Forming 2014, Palermo, Italy, September 21-24. Part 2. Ed. by F. Micari,L. Fratini. Pfaffikon, Trans Tech Publications), Key Engineering Materials, vol. 622/623,s. 764-771.

7. Edyta Hetmaniok, 2014, Artificial Bee Colony algorithm used for solving some inverseproblem in solidification of the binary alloy. (15th International Conference on Metal Forming2014, Palermo, Italy, September 21-24. Part 2. Ed. by F. Micari, L. Fratini. Pfaffikon, TransTech Publications), Key Engineering Materials, vol. 622/623, s. 756-763.

8. Edyta Hetmaniok, 2014, Invasive Weed Optimization algorithm applied for solving theinverse Stefan problem. Hutnik – Wiadomości hutnicze, vol. 81 nr 1, s. 76-79, punktacjaMNiSW 6.

9. Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, 2015, Using the swarm intelligence al-gorithms in solution of the two-dimensional inverse Stefan problem. Comput. Math. Appl.,vol. 69 iss. 4, s. 347-361, IF 1.697 (za rok 2014), punktacja MNiSW 40 (czasopismo odnoto-wane w Web of Science).

10. Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, 2015, Restoration of the cooling condi-tions in a three-dimensional continuous casting process using artificial intelligence algorithms.

Appl. Math. Modelling, vol. 39, s. 4797-4807, IF 2.251 (za rok 2014), punktacja MNiSW 35(czasopismo odnotowane w Web of Science).

11. Edyta Hetmaniok, 2015, Solution of the inverse problem in solidification of binary alloy byapplying the ACO algorithm. Inverse Probl. Sci. Eng., doi:10.1080/17415977.2015.1088538, IF0.8 (za lata 2013/2014), punktacja MNiSW 20 (czasopismo odnotowane w Web of Science).

12. Edyta Hetmaniok, 2015, Artificial Bee Colony algorithm in the solution of selected inver-se problem of the binary alloy Solidification. Thermal Science, doi:10.2298/TSCI140715136H(artykuł opublikowany w trybie ”online first” pod adresem:http://thermalscience.vinca.rs/pdfs/papers-2014/TSCI140715136H.pdf), IF 1.222 (za rok2014), punktacja MNiSW 25 (czasopismo odnotowane w Web of Science).

13. Edyta Hetmaniok, 2015, Numerical procedure for the heat transfer coefficient identificationin solidification of the binary alloy and its experimental verification. Numer. Heat Transf. B,vol. 68, s. 93-114, IF 1.172 (za rok 2014), punktacja MNiSW 30 (czasopismo odnotowanew Web of Science).

14. Edyta Hetmaniok, 2015, Inverse problem for the solidification of binary alloy in the castingmould solved by using the bee optimization algorithm. Heat Mass Transfer, doi:10.1007/s00231-015-1654-8, IF 0.946 (za rok 2014), punktacja MNiSW 25 (czasopismo odnotowane w Web ofScience).

15. Edyta Hetmaniok, 2015, Solution of the two-dimensional inverse problem of the binaryalloy solidification by applying the Ant Colony Optimization algorithm. Int. Commun. HeatMass Transf., vol. 67, s. 39-45, IF 2.782 (za rok 2014), punktacja MNiSW 35 (czasopismoodnotowane w Web of Science).

Poniżej znajduje się omówienie celu naukowego ww. prac i osiągniętych w nich wyników.Na stronach 23–24 znajduje się wykaz publikacji uzupełniających powyższą listę. Wreszcie nastronach 25–32 omówiłam część moich pozostałych osiągnięć naukowych.

Cel naukowy badań

W wielu procesach wytwórczych istotne znaczenie ma możliwość sterowania procesami ciepl-nymi. Jednym z najważniejszych narzędzi wykorzystywanych do nowoczesnego przygotowaniaprodukcji są programy komputerowe symulujące przebieg procesów cieplnych. Aby jednak ta-kie programy móc tworzyć, ważna jest umiejętność sprawnego modelowania tych procesów orazrozwiązywania zadań przewodnictwa ciepła. Celem mojej działalności naukowej było opracowa-nie procedur wykorzystujących algorytmy sztucznej inteligencji, które mogą znaleźć ewentualnezastosowania przemysłowe, np. przy projektowaniu instalacji ciągłego odlewania. Rozwiązujączadania odwrotne można bowiem tak dobrać warunki brzegowe, aby krzepnięcie przebiegałow zadany sposób, co pozwala kontrolować jakość i własności gotowych wlewków. Sprawne rozwią-zywanie zadań odwrotnych ma znaczenie przy modelowaniu różnych zjawisk i procesów fizycz-nych, gdyż rozwiązania odpowiednio sformułowanych zadań odwrotnych pozwalają tak dobraćnp. warunki brzegowe lub parametry materiału, aby dane procesy zachodziły w ściśle określonysposób oraz aby produkty tych procesów posiadały odpowiednie właściwości.

2

Modele matematyczne badanych procesów

Rozważane w prezentowanym cyklu publikacji zadania dotyczyły rozwiązywania brzegowychzagadnień odwrotnych przewodnictwa ciepła, ze szczególnym uwzględnieniem brzegowego od-wrotnego zagadnienia Stefana oraz odwrotnych zagadnień krzepnięcia w przedziale temperatur,w tym również z uwzględnieniem zjawiska makrosegregacji. W zagadnieniach tych należało takdobrać warunek brzegowy na części brzegu obszaru (tzn. dobrać współczynnik wnikania ciepłalub strumień ciepła), aby obliczona temperatura w wybranych punktach obszaru jak najdokład-niej przybliżała zadane wartości. Na podstawie zadanej informacji na temat przebiegów tem-peratury budowany był funkcjonał określający błąd rozwiązania przybliżonego. Funkcjonał tenkonstruowany był w oparciu o metodę najmniejszych kwadratów i minimalizowany za pomocąalgorytmów sztucznej inteligencji.Do zbudowania funkcjonału potrzebne było rozwiązanie, przy pewnych założeniach, zagad-

nienia bezpośredniego związanego z rozważanym zagadnieniem odwrotnym. Do rozwiązywaniazagadnień bezpośrednich przewodnictwa ciepła służyła metoda różnic skończonych lub meto-da elementów skończonych. Do wyznaczania rozwiązania bezpośredniego zagadnienia Stefanawykorzystywana była metoda przemiennej fazy lub jej uogólnienie. Do rozwiązania zagadnie-nia bezpośredniego krzepnięcia stopu wykorzystano natomiast metodę elementów skończonychuzupełnioną procedurą poprawiania pola temperatur w pobliżu krzywych likwidusu i solidusu.Wymienione metody zostały wybrane ze względu na ich dokładność oraz łatwość zastosowa-nia. Zagadnienia odwrotne należą do zagadnień źle uwarunkowanych, czyli rozwiązanie ich, jeśliw ogóle istnieje, jest niestabilne ze względu na błędy danych wejściowych. Oznacza to, że małebłędy na wejściu mogą powodować duże błędy na wyjściu. W celu uniknięcia takiego zachowaniastosuje się odpowiednie procedury stabilizacyjne lub też, i właśnie takie podejście wykorzysta-ne zostało w prezentowanym cyklu prac, źle uwarunkowany problem jest regulowany poprzezredukcję zadania do wyznaczania stosunkowo niedużej liczby parametrów.Poniżej przedstawione zostaną pokrótce modele matematyczne wykorzystane do opisu dys-

kutowanych procesów.

Zagadnienie przewodnictwa ciepła

Rozkład temperatury T w jednowymiarowym pręcie opisuje, przy pewnych uproszczeniach,równanie przewodnictwa ciepła:

c ρ∂T

∂t(x, t) = λ

∂2T

∂x2(x, t), x ∈ [0, b], t ∈ [0, t∗], (1)

z zadanym warunkiem początkowym:

T (x, 0) = T0, x ∈ [0, b] (2)

i warunkiem brzegowym:∂T

∂x(0, t) = 0, t ∈ [0, t∗], (3)

gdzie c, ρ i λ oznaczają ciepło właściwe, gęstość oraz współczynnik przewodności cieplnej, zaś ti x odnoszą się do zmiennej czasowej i przestrzennej. Na brzegu x = b zdefiniowany jest warunekbrzegowy trzeciego rodzaju:

−λ∂T∂x(b, t) = α(t) (T (b, t) − T∞), t ∈ [0, t∗], (4)

gdzie T∞ oznacza temperaturę otoczenia, a α opisuje współczynnik wnikania ciepła, któregowartość wraz z rozkładem temperatury w rozważanej dziedzinie należało odtworzyć. Zadanieodwrotne opisane powyższym modelem rozważane jest w pracy [1].

3

Zagadnienie Stefana

Zagadnienie Stefana określa szeroką klasę modeli matematycznych opisujących procesy ciepl-ne charakteryzujące się przemianami fazowymi. Należą do nich m.in. krzepnięcie metali, powsta-wanie kryształów, tworzenie się skał magmowych, zamrażanie żywności, zamarzanie wody, top-nienie lodu itp. Rozwiązanie zagadnienia Stefana polega na jednoczesnym określeniu rozkładutemperatury w badanym obszarze oraz położenia granicy rozdziału faz dzielącej dany obszarna podobszary Ω1, zajęty przez fazę ciekłą, oraz Ω2, zajęty przez fazę stałą, jak pokazuje torysunek 1.

t

x

y

Ω1

Ω2

d

b

Γ0

Γ1

Γ2

Γ3

Γ4

ΓgΓ0 = (x, y, 0); x ∈ [0, b], y ∈ [0, d] ,Γ1 = (0, y, t); y ∈ [0, d], t ∈ [0, t∗] ,Γ2 = (x, 0, t); x ∈ [0, b], t ∈ [0, t∗] ,Γ3 = (b, y, t); y ∈ [0, d], t ∈ [0, t∗] ,Γ4 = (x, d, t); x ∈ [0, b], t ∈ [0, t∗] .

Rysunek 1: Dziedzina dwuwymiarowego zagadnienia Stefana

Funkcja Tk opisująca rozkład temperatury w obszarze Ωk (dla k = 1, 2) musi spełniać we-wnątrz obszarów Ωk równanie przewodnictwa ciepła:

ck k∂

∂tTk(x, y, t) = λk∇2Tk(x, y, t), (5)

gdzie ck, k i λk (dla k = 1, 2) oznaczają ciepło właściwe, gęstość oraz współczynnik przewodnościcieplnej odpowiedniej fazy, jak również warunek początkowy na brzegu Γ0 (T0 > T ∗):

T1(x, y, 0) = T0, (x, y) ∈ Γ0, (6)

warunki brzegowe, np. jednorodne drugiego rodzaju, na brzegach Γ1 i Γ2:

−λk∂

∂nTk(x, y, t) = 0, (x, y, t) ∈ Γ1 ∪ Γ2 (7)

oraz trzeciego rodzaju, na brzegach Γ3 i Γ4:

−λk∂

∂nTk(x, y, t) = α(x, y, t)

(

Tk(x, y, t) − T∞)

, (x, y, t) ∈ Γ3 ∪ Γ4 (8)

i wreszcie warunek ciągłości temperatury oraz warunek Stefana na granicy rozdziału faz Γg:

T1(x, y, t)∣

∣

∣

Γg= T2(x, y, t)

∣

∣

∣

Γg= T ∗, (9)

L2 vn = −λ1∂

∂nT1(x, y, t)

∣

∣

∣

∣

Γg

+ λ2∂

∂nT2(x, y, t)

∣

∣

∣

∣

Γg

, (10)

gdzie T ∗ określa temperaturę krzepnięcia, L opisuje ciepło przemiany fazowej, zaś vn oznaczaskładową normalną wektora prędkości przemieszczania się granicy rozdziału faz. Celem zadań

4

modelowanych powyższymi równaniami było odtworzenie rozkładu temperatury w rozważanymobszarze oraz wartości funkcji α określającej współczynnik wnikania ciepła w warunku brzego-wym (8). Zadanie odwrotne opisane dwuwymiarowym modelem Stefana rozważane jest w pracy[9], zaś jednowymiarowe odwrotne zagadnienie Stefana dyskutowane jest w pracach [1-4] oraz[8].

Zagadnienie odlewania ciągłego

Rozważmy urządzenie pionowe do ciągłego odlewania pracujące w niezakłóconym cyklu przyzałożeniu, że zmieniające się, w odniesieniu do kierunku wyciągania wlewka, warunki chłodzeniasą identyczne na całym obwodzie wlewka. Zakładamy ponadto, że przepływ ciepła odbywa siętylko w kierunku prostopadłym do osi wlewka. Założenie to wynika z faktu, że ilość ciepła prze-wodzonego w kierunku ruchu wlewka, w porównaniu z ilością ciepła przewodzonego w kierunkuprostopadłym do osi wlewka, jest znikoma. Przy przyjętych założeniach i z uwagi na symetrięcieplną obszar wlewka Ω można traktować jako obszar dwuwymiarowy, złożony z dwóch pod-obszarów: Ω1 zajętego przez fazę ciekłą i Ω2 zajętego przez fazę stałą, które rozdziela granicarozdziału faz Γg, co pokazuje rysunek 2. W obszarach tych, przy przyjętej orientacji przestrzeni,proces wymiany ciepła, w tym pseudoustalone pole temperatury i położenie granicy rozdziałufaz, opisuje dwufazowe zagadnienie Stefana.

Γ3Γ5

Γ4

Γ6

ΓgΩ1

Ω2z

x

y

z1

b

d

Γ0 = (x, y, 0); x ∈ [0, b], y ∈ [0, d] ,Γ1 = (0, y, z); y ∈ [0, d], z ∈ [0, z∗] ,Γ2 = (x, 0, z); x ∈ [0, b], z ∈ [0, z∗] ,Γ3 = (x, d, z); x ∈ [0, b], z ∈ [0, z1] ,Γ4 = (x, d, z); x ∈ [0, b], z ∈ [z1, z∗] ,Γ5 = (b, y, z); y ∈ [0, d], z ∈ [0, z1] ,Γ6 = (b, y, z); y ∈ [0, d], z ∈ [z1, z∗] .

Rysunek 2: Dziedzina trójwymiarowego zagadnienia odlewania ciągłego

Funkcje temperatury Tk w obszarach Ωk (dla k = 1, 2) spełniają zatem równanie przewod-nictwa ciepła:

ck k w∂

∂zTk(x, y, z) = λk∇2Tk(x, y, z), (11)

gdzie w oznacza prędkość ciągłego odlewania oraz odpowiednie warunki początkowe i brzegowe,np. w następującej postaci:

T1(x, y, 0) = Tz na Γ0, (12)

−λk∂

∂nTk(0, y, z) = 0 na Γ1, (13)

−λk∂

∂nTk(x, 0, z) = 0 na Γ2, (14)

−λk∂

∂nTk(x, d, z) = q3(x, z) na Γ3, (15)

−λk∂

∂nTk(b, y, z) = q5(y, z) na Γ5, (16)

5

−λk∂

∂nTk(x, d, z) = α4(x, z)

(

Tk(x, d, z) − T∞)

na Γ4, (17)

−λk∂

∂nTk(b, y, z) = α6(y, z)

(

Tk(b, y, z) − T∞)

na Γ6, (18)

T1(x, y, z)∣

∣

Γg= T2(x, y, z)

∣

∣

Γg= T ∗ na Γg, (19)

L2 vn = −λ1∂

∂nT1(x, y, z)

∣

∣

∣

Γg+ λ2

∂

∂nT2(x, y, z)

∣

∣

∣

Γgna Γg, (20)

gdzie Tz i T ∗ (Tz > T ∗) oznaczają, odpowiednio, temperaturę zalewania i temperaturę krzep-nięcia.Nieznanymi elementami zadania, oprócz rozkładu temperatury w badanym obszarze, są funk-

cje q3 i q5 opisujące strumień ciepła w krystalizatorze (czyli na brzegach Γ3 i Γ5) oraz funkcjeα4 i α6 opisujące współczynnik wnikania ciepła w strefie chłodzenia wtórnego (czyli na brze-gach Γ4 i Γ6). Celem zadania jest więc rekonstrukcja wartości funkcji f(x, y, z) zdefiniowanejnastępująco:

f(x, y, z) =

q3(x, z) dla z ¬ z1 ∧ y = d ∧ x ∈ (0, b),q5(y, z) dla z ¬ z1 ∧ x = b ∧ y ∈ (0, d),α4(x, z) dla z > z1 ∧ y = d ∧ x ∈ (0, b),α6(y, z) dla z > z1 ∧ x = b ∧ y ∈ (0, d).

(21)

Zadanie odwrotne odlewania ciągłego, opisane powyższym modelem w wersji dwuwymia-rowej, rozważane jest w pracach [3] oraz [5]. Trójwymiarowe zagadnienie odwrotne odlewaniaciągłego dyskutowane jest natomiast w pracy [10].

Proces krzepnięcia w przedziale temperatur

Omówione powyżej zagadnienie Stefana jest modelem matematycznym krzepnięcia czystychmetali, natomiast proces krzepnięcia stopu opisuje model krzepnięcia w przedziale temperatur.Model ten, biorący pod uwagę tylko rozkład temperatury, jest oparty na równaniu przewodnictwaciepła z dołączonym członem źródłowym, w którym jest uwzględnione ciepło przemiany fazowejoraz udział objętościowy fazy stałej. Przy założonej postaci funkcji opisującej ten udział równanieprzekształca się do równania przewodnictwa ciepła z tzw. zastępczą pojemnością cieplną. Tymsamym przekształcone równanie różniczkowe opisuje przepływ ciepła w całym ujednorodnionymobszarze (w fazie stałej, strefie dwufazowej oraz fazie ciekłej).Rozważmy obszar Ω = [0, b] × [0, d] ⊂ R

2, pokazany na rysunku 3 dla ustalonej chwiliczasu. Obszar ten podzielony jest na trzy podobszary zajęte, odpowiednio, przez fazę ciekłą,przejściową (zwaną również strefą dwufazową, w której współistnieją obie fazy - ciekła i stała)oraz fazę stałą, zaś jego brzeg Ω = Ω× [0, t∗] składa się z części opisanych również na rysunku 3.W obszarze Ω rozkład temperatury T opisuje równanie przewodnictwa ciepła:

c ∂T (x, y, t)∂t

= λ∇2T (x, y, t) + L ∂fs(x, y, t)∂t

, (x, y, t) ∈ Ω, (22)

gdzie fs opisuje udział objętościowy fazy stałej. Funkcja fs zależy od temperatury, można więcją wyrazić w postaci:

∂fs

∂t=∂fs

∂T

∂T

∂t. (23)

Podstawiając zależność (23) do równania (22), po odpowiednich przekształceniach dostajemy:

(

c− L ∂fs∂T

)

∂T (x, y, t)∂t

= λ∇2T (x, y, t). (24)

6

x

y

b

d

G2

G4

G1 G3

faza ciekla

faza stala

strefa dwufazowa

solidus

liquidus

Γ0 = (x, y, 0); x ∈ [0, b], y ∈ [0, d] ,Γ1 = (0, y, t); y ∈ [0, d], t ∈ [0, t∗] ,Γ2 = (x, 0, t); x ∈ [0, b], t ∈ [0, t∗] ,Γ3 = (b, y, t); y ∈ [0, d], t ∈ [0, t∗] ,Γ4 = (x, d, t); x ∈ [0, b], t ∈ [0, t∗] ,

Rysunek 3: Dziedzina zagadnienia krzepnięcia w przedziale temperatur w chwili t (Γi = Γi∩t)

Wprowadzając następującą definicję zastępczej pojemności cieplnej:

C = c− L ∂fs∂T, (25)

równanie (24) można zapisać w postaci:

C ∂T (x, y, t)∂t

= λ∇2T (x, y, t), (x, y, t) ∈ Ω. (26)

Powyższe równanie uzupełniają warunki początkowe i brzegowe zdefiniowane na odpowied-nich brzegach, które mogą przyjąć np. następującą formę:

T (x, y, 0) = T0, na Γ0 (27)

−λ ∂∂nT (x, y, t) = 0, na Γ1 i Γ2, (28)

−λ ∂∂nT (x, y, t) = α(x, y, t)

(

T (x, y, t)− T∞)

, na Γ3 i Γ4, (29)

gdzie T0 oznacza temperaturę początkową, a T∞ temperaturę otoczenia.Jeśli założymy liniową zmianę funkcji fs wraz z temperaturą, to ponieważ muszą zachodzić

równości:fs(TL) = 0 oraz fs(TS) = 1, (30)

gdzie TL i TS oznaczają temperaturę likwidus i solidus, funkcja fs przyjmuje wówczas postać:

fs(T ) =TL − TTL − TS

dla T ∈ [TS , TL]. (31)

Różniczkując powyższą funkcję mamy: dfs(T )dT= −1TL−TS

, dla T ∈ [TS , TL], a tym samym zastępczapojemność cieplna jest równa:

C =

cl T > TL,

cmz +L

TL − TST ∈ [TS , TL],

cs T < TS ,

(32)

gdzie cl, cmz i cs oznaczają odpowiednio ciepło właściwe fazy ciekłej, strefy dwufazowej i fazystałej.

7

W równaniu (26) wartości gęstości i współczynnika przewodności cieplnej zmieniają się rów-nież w zależności od temperatury:

=

l T > TL,

mz T ∈ [TS , TL],s T < TS ,

λ =

λl T > TL,

λmz T ∈ [TS , TL],λs T < TS.

(33)

Dzięki tak zdefiniowanym parametrom C, i λ równanie (26) opisuje przepływ ciepła w ca-łym rozważanym ujednorodnionym obszarze. Jednowymiarowe zagadnienie opisane powyższymmodelem (z warunkiem brzegowym drugiego rodzaju) rozważane jest w pracy [6].

Proces krzepnięcia z uwzględnieniem zjawiska makrosegregacji

W pracach [11-15], jak również w pracy [7], model opisany powyższymi równaniami w wersjijedno- bądź dwuwymiarowej (z warunkiem brzegowym drugiego rodzaju w pracy [7]) uzupeł-niony jest o dodatkowe zjawisko mające wpływ na przebieg krzepnięcia stopu. Jest to processegregacji składników stopowych, polegający na różnicach w składzie chemicznym występującychw odlewie, co objawia się na przykład tym, że wraz ze zmianą koncentracji składnika stopowegoulegają zmianie temperatury likwidus oraz solidus. Do opisu stężenia wykorzystuje się wówczasodpowiednie modele, spośród których najczęściej stosowane są model równowagowy oraz modelScheila.W modelu równowagowym zakłada się natychmiastowe wyrównywanie składu chemicznego

stopu w fazie ciekłej oraz w fazie stałej (reguła dźwigni). W modelu tym zakłada się więc, żeDi → ∞, dla i = 1, 2, gdzie D1 i D2 są współczynnikami dyfuzji odpowiednio w fazie ciekłejoraz w fazie stałej. W modelu Scheila natomiast ze względu na to, że współczynnik dyfuzjiw fazie stałej jest znacznie mniejszy niż w fazie ciekłej, zakłada się, że współczynnik dyfuzjiw fazie stałej jest równy zero, czyli że dyfuzja w fazie stałej nie zachodzi. Z drugiej strony,występująca w fazie ciekłej konwekcja powoduje wyrównywanie stężenia składnika stopowegow tej fazie, w związku z tym w modelu zakłada się, że współczynnik dyfuzji w fazie ciekłej dążydo nieskończoności. Przy powyższych założeniach otrzymuje się odpowiednie formuły opisującekoncentrację składnika stopowego w fazie ciekłej i stałej w danym momencie czasu. W pracach[7], [11] oraz [14-15] wykorzystano model równowagowy, zaś w pracach [12-13] zastosowanopodejście związane z zastosowaniem modelu Scheila. W pracach [12] i [14] uwzględniono ponadtoobecność formy odlewniczej.

Wykorzystane algorytmy sztucznej inteligencji

Ważną część procesu rozwiązywania zagadnień odwrotnych przewodnictwa ciepła, propo-nowaną w prezentowanych pracach, stanowi zadanie minimalizacji funkcjonału określającegobłąd rozwiązania przybliżonego. Większość problemów optymalizacyjnych związana jest z róż-nego rodzaju ograniczeniami dotyczącymi optymalizowanego obiektu (funkcji, funkcjonału), jegozmiennych, dziedziny, a także oczekiwanych wyników. W związku z tym potrzebne okazało sięposzukiwanie algorytmu ogólnego przeznaczenia, który będzie elastyczny, łatwo dostosowującysię do ograniczeń, niezależny od ilości zmiennych i wielkości przestrzeni rozwiązań, a dodatko-wo stosunkowo łatwy w implementacji. Liczne badania naukowe wskazują na to, że algorytmyoptymalizacyjne oparte na naturalnych zachowaniach zwierząt, roślin czy ludzie spełniają tenpostulat, tzn. poza założeniem istnienia rozwiązania problemu nie są obarczone żadnymi in-nymi ograniczeniami, a jednocześnie często dostarczają lepsze wyniki od rozwiązań osiąganychprzez algorytmy klasyczne. Naturalnym stało się więc połączenie klasycznych metod rozwiązywa-nia zagadnień bezpośrednich i odwrotnych przewodnictwa ciepła z nowoczesnymi algorytmamioptymalizacyjnymi inspirowanymi naturą, gdyż uniwersalność i elastyczność tych ostatnich, po-łączona z ich efektywnością i szybkością działania, pozwoliły usprawnić metodykę rozwiązywania

8

tego rodzaju zadań. Jest to istotne tym bardziej, że, jak już wspomniano, zagadnienia odwrotneprzewodnictwa ciepła są źle uwarunkowane w tym sensie, że rozwiązanie zagadnienia może nieistnieć, a jeśli istnieje, to może być niejednoznaczne lub niestabilne. Skutkiem tego są trudnościw doborze metod rozwiązywania tego typu zagadnień oraz uzyskiwaniu wyników teoretycznych.Brakuje również uniwersalnych metod umożliwiających ich rozwiązywanie, a metody powszech-nie stosowane dotyczą konkretnych wariantów danych wejściowych.Algorytmy inteligencji roju (swarm intelligence), zwanej też inteligencją grupową, należą do

grupy algorytmów sztucznej inteligencji, w których zachowanie inteligentne wynika ze współ-działania wielu prostych osobników. Pojedyncze osobniki nie są świadome całości zadania jakiejest rozwiązywane, jednak ich liczność oraz specyficzne zachowanie nakierowane są na wspól-ny sukces i w efekcie prowadzą do wykonania zadania. Tego rodzaju metodę rozwiązywaniaproblemów reprezentują algorytmy mrówkowe i pszczele, algorytmy immunologiczne, a takżealgorytmy sztucznej inteligencji naśladujące zachowanie roślin czy specyficzne zachowania ludzi.W algorytmach tych wyimaginowane osobniki budują wspólnie rozwiązanie problemu wybie-rając samodzielnie jedynie fragmenty rozwiązania, o których jakości informują w odpowiednisposób pozostałe osobniki roju, np. za pomocą wirtualnego feromonu w przypadku mrówek lubimitacji tańca odbywającego się w ulu w przypadku pszczół. Warto również wspomnieć, że al-gorytmy te należą do grupy algorytmów heurystycznych, co oznacza, że każde ich uruchomieniemoże prowadzić do uzyskania nieco innego wyniku. Ta specyfika algorytmów heurystycznych niestanowi jednak żadnego ich ograniczenia, wymaga jednak kilkukrotnego powtórzenia procedury,aby mieć możliwość wyboru najlepszego osiągniętego rozwiązania.Poniżej opisane zostaną pokrótce algorytmy sztucznej inteligencji wykorzystane w prezento-

wanych pracach.

Algorytm ACO optymalizacji kolonią mrówek (Ant Colony Optimization)

Mrówki występujące w przyrodzie są niemalże ślepymi istotami, komunikującymi się ze sobąprzy pomocy pewnej substancji chemicznej zwanej feromonem. Substancja ta, pozostawiona napodłożu przez poruszającą się mrówkę, jest wyczuwana i rozpoznawana przez inne mrówki z roju,co skłania je do wędrówki zaznaczoną ścieżką. Im krótsza odległość dzieli mrowisko od źródłapokarmu, tym szybciej jest ona pokonywana przez mrówki, które wzmacniają ślad feromonowypodążając do pokarmu i wracając do mrowiska. Im silniejszy jest ślad feromonowy, tym więcejmrówek wybiera zaznaczoną nim ścieżkę, zaś ślad feromonowy na dłuższej, rzadziej używanejścieżce, paruje.Ten prosty mechanizm naśladowany jest w następujący sposób. Rolę mrówek odgrywają

wektory xk, k = 1, ...,m, losowo rozproszone w rozważanym obszarze. W każdym kroku jedenz osobników wybierany jest jako najlepszy xbest – jest to oczywiście ten, dla którego minimali-zowana funkcja przyjmuje najmniejszą wartość. W każdej iteracji wektor reprezentujący każdąz mrówek jest aktualizowany określoną ilość razy. Proces parowania ścieżki feromonowej jestsymulowany poprzez zmniejszenie zakresu rozproszenia mrówek według odpowiedniego wzoru,co zmusza mrówki do gromadzenia się wokół najlepszego rozwiązania.

Algorytm ABC optymalizacji kolonią pszczół (Artificial Bee Colony)

Sposób komunikacji pszczół poszukujących nektaru jest następujący: po odkryciu atrakcyj-nego źródła pokarmu pszczoła (zwana „poszukującą”) wraca z próbką nektaru do ula celempoinformowania innych pszczół (zwanych „widzami”) o lokalizacji obiecującego źródła. Przeka-zywanie informacji odbywa się w ulu podczas tzw. tańca wykonywanego przez „poszukujące”pszczoły.Symulując powyżej opisane zachowanie przyjmujemy podział populacji pszczół na dwie rów-

noliczne grupy: grupę „poszukujących” pszczół oraz grupę pszczół „widzów” oczekujących w ulu

9

na informacje na temat odnalezionych obiecujących źródeł pokarmu. Główna część algorytmurównież składa się z dwóch części. W pierwszej części każda poszukująca pszczoła lokalizuje jednoźródło nektaru – wektor xk należący do rozważanego obszaru. Aby znaleźć najlepsze lokalizacjeźródeł nektaru, poszukujące pszczoły wykonują pewną ilość kontrolnych ruchów w przeszuki-wanej części obszaru. Miarą jakości wybranego źródła jest oczywiście wartość minimalizowanejfunkcji w odpowiadającym mu wektorze (im mniejsza, tym atrakcyjniejsze jest źródło). Następ-nie poszukujące pszczoły wracają do ula, przekazują informacje pszczołom „widzom” i zostająw ulu oczekując na kolejny cykl algorytmu. W drugiej części algorytmu pszczoły „widzowie”wybierają, z określonym prawdopodobieństwem (tym większym im lepszej jakości jest źródło),źródło nektaru do dalszej eksploracji spośród źródeł wyselekcjonowanych w pierwszej części.Oczywiście jedno źródło może być wybrane przez kilka pszczół. Następnie pszczoły „widzowie”eksplorują wybrane przez siebie źródło, również wykonując pewną ilość kontrolnych ruchów ce-lem polepszenia jego lokalizacji. Tym sposobem każdy cykl algorytmu polega na podwójnymprzeszukaniu rozważanego obszaru – najpierw ogólnie, potem bardziej szczegółowo w otoczeniuźródeł o najlepszej lokalizacji.

Algorytmy immunologiczny IRM (Immune Recruitment Mechanism)

Mechanizm rekrutacji immunologicznej należy do grupy algorytmów immunologicznych na-śladujących funkcjonowanie systemu immunologicznego ssaków. Głównymi elementami biorą-cymi udział w obronnej reakcji organizmu są białe komórki krwi, czyli limfocyty. W obecnościpewnych niebezpiecznych antygenów limfocyty, wyposażone w receptory rozpoznające te antyge-ny, aktywują się i łączą się z nimi. Algorytm IRM symuluje mechanizm usuwania nieefektywnychkomórek i ich klonów wraz z jednoczesnym doborem nowych komórek.Działanie algorytmu rozpoczynamy od wylosowania początkowej populacji limfocytów, re-

prezentowanych przez wektory leżące w rozważanym obszarze, i uporządkowania ich wedługrosnącej wartości funkcji celu. Dla każdego osobnika populacji obliczamy poziom stymulacji za-leżny od jego pozycji w uporządkowanym szeregu, zaś dla całej bieżącej populacji wyznaczamywartość progową, zależną od wartości funkcji celu dla pewnej ustalonej liczby limfocytów uzna-nych za najlepsze. Limfocyty, których poziomy stymulacji przekraczają wartość progową, ulega-ją mutacji. Nowe zmutowane limfocyty wchodzą następnie do populacji na miejsce najgorszychosobników populacji.

Algorytm selekcji klonalnej CSA (Clonal Selection Algorithm)

Algorytm selekcji klonalnej jest również przedstawicielem grupy algorytmów immunologicz-nych wykorzystującym zasadę, zgodnie z którą im bardziej przeciwciało jest podobne to an-tygenu tym efektywniej przeciwciało funkcjonuje. Toteż, rozwiązując zadanie optymalizacyjne,poszukiwane rozwiązanie optymalne pełni rolę antygenu, wartości funkcji celu w uzyskanych roz-wiązaniach cząstkowych to przeciwciała, zaś działanie algorytmu sprowadza się do minimalizacjiróżnic pomiędzy antygenem (poszukiwanym rozwiązaniem) a przeciwciałami.Algorytm rozpoczynamy standardowo, czyli od wylosowania populacji początkowej limfocy-

tów i uporządkowania ich według nierosnących wartości funkcji celu. Następnie część populacjio ustalonej liczności poddajemy klonowaniu, przy czym liczba kopii danego osobnika zależyod jego pozycji w rankingu. Utworzone klony poddajemy procesowi „dojrzewania”, czyli hi-permutacji polegającej na losowej zmianie wszystkich składowych sklonowanego wektora. Nowewartości składowych klonu zależą od parametru, zwanego zasięgiem mutacji, który jest tymmniejszy, im lepsze jest przystosowanie macierzystego limfocytu (im korzystniejsza jest war-tość funkcji celu dla macierzystego limfocytu). Po zastosowaniu hipermutacji obliczamy wartośćfunkcji dla otrzymanego rozwiązania. Jeśli nowe rozwiązanie jest lepsze niż pierwotne, zastępuje

10

je. W konsekwencji, do następnego pokolenia przechodzi najlepszy spośród klonów, zaś pozosta-ła, nie podlegająca klonowaniu część populacji jest zastępowana nowymi, losowo generowanymiwektorami.

Algorytm poszukiwania harmonii HS (Harmony Search algorithm)

Algorytm poszukiwania harmonii wykorzystuje podobieństwo improwizacji jazzowej, czyliprocesu tworzenia harmonijnej muzyki na podstawie chaotycznych dźwięków, do procesu poszu-kiwania minimum zadanego funkcjonału. Dźwięki wydawane przez instrumenty są utożsamianez wartościami funkcji celu, a ich zadaniem jest osiągnięcie pełnej harmonii. Kolejne wektorywybierane z zadanej dziedziny reprezentują zatem uzyskane brzmienie składu jazzowego i sągromadzone w wektorze pamięci, które można interpretować jako doświadczenie muzyków. Ele-menty wektora pamięci porządkujemy według rosnących wartości funkcji celu. Kolejne iteracjealgorytmu polegają na wyborze nowego wektora (zestawu dźwięków). Z pewnym założonymprawdopodobieństwem wybór ten odbywa się spośród danych zebranych już w wektorze pamię-ci harmonii, w pozostałych przypadkach nowy wektor wybieramy losowo z przyjętego zakresu.W przypadku, gdy składowe nowego wektora wybrane zostały z wektora pamięci, z pewnym za-łożonym prawdopodobieństwem dokonujemy ich modyfikacji, co może być utożsamiane z regulo-waniem tonacji instrumentu. Utworzony nowy wektor wstawiamy do wektora pamięci harmoniiw miejsce ostatniego elementu i ponownie porządkujemy elementy wektora pamięci. Po wyko-naniu ustalonej liczby iteracji za rozwiązanie zadania przyjmujemy pierwszy element wektorapamięci.

Algorytm inwazji chwastów IWO (Invasive Weed Optimization algorithm)

Algorytm IWO naśladuje zachowanie populacji chwastów, czyli roślin czyniących znaczneszkody na plantacjach ze względu na swoje wyjątkowe zdolności do reprodukcji i rozsiewanianasion.Algorytm inicjujemy wybierając losowo założoną liczbę wektorów reprezentujących populację

początkową chwastów i obliczając dla każdego osobnika wartość funkcji dopasowania. W zależno-ści od wartości funkcji dopasowania obliczamy liczbę nasion dla każdego osobnika. Liczba nasionoznacza szanse osobnika na reprodukcję, dlatego jest tym większa, im lepsza jest adaptacja dane-go osobnika. Następnie odbywa się rozsiew nasion i tworzenie nowych chwastów. Nowy osobnikpowstaje w miejscu upadku nasienia. Odległość między miejscem upadku nasienia a roślinąmacierzystą opisuje rozkład normalny o zerowej wartości średniej i odchyleniu standardowymzmniejszającym się z każdą iteracją. Nową populację tworzą najlepiej przystosowane osobnikiwybierane spośród potomków i roślin macierzystych na podstawie wartości funkcji dopasowania.

Zasadniczymi osiągnięciami prezentowanego cyklu prac są zatem:- zastosowanie wymienionych wyżej algorytmów sztucznej inteligencji w proce-

durze rozwiązywania zagadnień odwrotnych opisywanych przy pomocy wcześniejzaprezentowanych modeli;- rozważanie zagadnień odwrotnych dla modelu krzepnięcia w przedziale tempe-

ratur z uwzględnieniem segregacji składnika stopowego.

11

Opis uzyskanych wyników

Praca [1] przedstawia rozwiązanie odwrotnego zagadnienia przewodnictwa ciepła, opisane-go równaniami (1)-(4), oraz odwrotnego jednowymiarowego dwufazowego zagadnienia Stefanaz warunkami brzegowym trzeciego rodzaju (równania (5)-(10) dla jednowymiarowego przypad-ku) uzyskane przy użyciu algorytmu immunologicznego IRM. Wykorzystany algorytm najpierwprzebadany został ze względu na optymalne wartości parametrów zapewniające najlepsze rozwią-zanie odwrotnego zagadnienia przewodnictwa ciepła, a następnie otrzymane wartości parame-trów algorytmu wykorzystano do rozwiązania odwrotnego zagadnienia Stefana. W obu przypad-kach zadanie polegało na wyznaczeniu rozkładu temperatury oraz odtworzeniu współczynnikawnikania ciepła, przyjmującego trzy wartości w trzech różnych przydziałach czasowych, na pod-stawie danych pomiarowych niezaburzonych oraz zaburzonych 1%, 2% i 5% błędem, pobranychw punkcie pomiarowym położonym na brzegu obszaru lub w pewnej odległości od brzegu. Do-kładne rozwiązania zadań były znane, dzięki czemu możliwa była ocena uzyskanego rozwiązaniaprzybliżonego. Dla danych niezakłóconych otrzymane rozwiązania przybliżone obarczone byłyniemalże zerowym błędem, zaś dla danych zakłóconych błąd odtworzenia współczynników wni-kania ciepła był mniejszy lub w najgorszym razie porównywalny z błędem danych wejściowych,natomiast błędy odtworzenia temperatury w punkcie kontrolnym były znikome.

0 20 40 60 80

1

2

3

4

5

6

7

iterations

error[%]

0 20 40 60 80

1

2

3

4

5

6

7

iterations

error[%]

Rysunek 4: Błędy względne odtworzenia trzech wartości współczynnika wnikania ciepła (w od-wrotnym zagadnieniu Stefana) dla kolejnych iteracji algorytmu IRM dla danych wejściowychzaburzonych 2% (lewy rysunek) lub 5% błędem (prawy rysunek)

Na rysunku 4 przedstawione są błędy względne odtworzenia trzech wartości współczynnikawnikania ciepła w odwrotnym zagadnieniu Stefana dla kolejnych iteracji algorytmu IRM dla 2%i 5% zaburzenia danych wejściowych. Możemy zaobserwować, że na początku procesu błędy wa-hają się dość znacznie, ale począwszy od pewnego momentu stabilizują się na pewnym poziomiei dalsze wykonywanie iteracji procedury nie poprawia znacząco wyniku. Jest to cecha charak-terystyczna używanych algorytmów heurystycznych. Stosunkowo szybko dają one dobre bardzowyniki, lecz od pewnego momentu poprawiają je już tylko nieznacznie. Dlatego uzasadnionymwydaje się połączenie klasycznych algorytmów optymalizacyjnych, dających bardziej precyzyjnywynik, ale pod warunkiem odpowiednio dobrego punktu startowego, z algorytmami sztucznejinteligencji, które będzie można wykorzystać do ustalania punktu startowego i kończyć zadaniewybranym algorytmem klasycznym. Tego rodzaju podejście stanowić będzie obiekt przyszłychbadań.Podobnie sformułowane odwrotne jednowymiarowe dwufazowe zagadnienie Stefana, polega-

jące na odtworzeniu współczynnika wnikania ciepła (zdefiniowanego przy pomocy trzech warto-ści) oraz rozkładu temperatury, rozwiązywane poprzez minimalizację funkcjonału wyrażającegosumę kwadratów różnic między odtworzonymi wartościami temperatury a wartościami pomia-rowymi zebranymi w punkcie kontrolnym położonym w pewnej odległości od brzegu, przedsta-

12

wione jest w pracy [2] z tym, że w tym przypadku wykorzystano do minimalizacji funkcjonałualgorytm pszczeli ABC. Rysunek 5 pokazuje błędy względne odtworzenia trzech wartości identy-fikowanego współczynnika dla kolejnych iteracji algorytmu ABC dla 2% i 5% zaburzenia danychwejściowych. Analiza wyników potwierdza wcześniejsze obserwacje, można ponadto zauważyć, żew przypadku algorytmu pszczelego znacznie mniej iteracji jest potrzebnych, aby wyniki zaczęłysię stabilizować na zadowalającym poziomie.

2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

iterations

error[%]

2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

iterations

error[%]

Rysunek 5: Błędy względne odtworzenia trzech wartości współczynnika wnikania ciepła (w od-wrotnym zagadnieniu Stefana) dla kolejnych iteracji algorytmu ABC dla danych wejściowychzaburzonych 2% (lewy rysunek) lub 5% błędem (prawy rysunek)

Analogiczne zagadnienie dyskutowane jest również w pracy [8], gdzie trzy wartości współ-czynnika wnikania ciepła na brzegu obszaru w odwrotnym zagadnieniu Stefana rekonstruowanesą na drodze minimalizacji funkcjonału wyrażającego błąd rozwiązania przybliżonego przy po-mocy algorytmu IWO. Błąd odtworzenia temperatury w punkcie kontrolnym zlokalizowanymw pewnej odległości od brzegu jest znikomy, zaś błąd względny odtworzenia szukanych wartościwspółczynnika prezentuje rysunek 6. W tym przypadku 100 iteracji algorytmu jest potrzebnychdo uzyskania satysfakcjonujących, stabilnych wyników.

0 100 200 300 4000

2

4

6

8

10

12

14

iterations

error[%]

0 100 200 300 400

2

4

6

8

10

12

14

iterations

error[%]

Rysunek 6: Błędy względne odtworzenia trzech wartości współczynnika wnikania ciepła (w od-wrotnym zagadnieniu Stefana) dla kolejnych iteracji algorytmu IWO dla danych wejściowychzaburzonych 2% (lewy rysunek) lub 5% błędem (prawy rysunek)

Analizę porównawczą trzech procedur, opartych na trzech algorytmach sztucznej inteligen-cji (algorytm mrówkowy ACO, algorytm pszczeli ABC i algorytm poszukiwania harmonii HS),zastosowanych do rozwiązania odwrotnego zagadnienia Stefana, przedstawia praca [4]. Meto-dy oparte na wymienionych algorytmach optymalizacyjnych porównane zostały ze względu naszybkość działania oraz precyzję uzyskanych wyników, zaś do zweryfikowania ich efektywno-ści wykorzystano dane eksperymentalne otrzymane, dzięki uprzejmości pracowników Wydziału

13

Mechanicznego Technologicznego Politechniki Śląskiej, w procesie krzepnięcia aluminium ENAW-Al99.5 złożonego z następujących komponentów: 99.528% Al, 0.3% Fe, 0.11% Si, 0.02%Cu, 0.01% Mg, 0.003% Mn, 0.02% Zn, 0.003% Ti, 0.004% Ni, 0.002% Pb. Eksperyment zo-stał przeprowadzony przy użyciu urządzenia UMSA (Universal Metallurgical Simulator andAnalyzer) służącego do przeprowadzania analiz procesów cieplnych zachodzących w metalach.W doświadczeniu wykorzystano cztery walcowe próbki o średnicy 18mm i wysokości 20mm.Materiał wsadowy był topiony w indukcyjnym piecu tyglowym i odlewany do grafitowej kokilio średnicy 25mm. Następnie materiał był mechanicznie obrabiany, aby dostosować go do pożą-danych wymiarów. W przypadku dwóch pierwszych próbek termopara była zlokalizowana w osipróbki, w dwóch kolejnych próbkach czujnik umieszczono w odległości 4.5mm od osi, w obuprzypadkach w połowie wysokości próbki. Górna i dolna powierzchnia próbki były termicznieizolowane. Podczas doświadczenia przeprowadzone zostały trzy przebiegi wytopu i krzepnięciamateriału próbkowego, czyli z każdej próbki uzyskano trzy rozkłady temperatury.Ze względu na geometrię obszaru oraz symetrię cieplną do opisu procesu wykorzystano mo-

del dwufazowego, osiowosymetrycznego, jednowymiarowego zagadnienia Stefana dla odpowied-nio dobranych parametrów. Celem zadania było natomiast odtworzenie funkcji α, opisującejwspółczynnik wnikania ciepła i zależącej od ustalonej różnej liczby parametrów:

α(t) = α(t;α1, α2, . . . , αn), n ∈ 1, 3, 6, 10, 15,

jak również odtworzenie rozkładu temperatury w rozważanym obszarze.W tabeli 1 zebrane są średnie i maksymalne błędy względne odtworzenia krzywej chłodzenia

w punkcie kontrolnym uzyskane dla funkcji α, wyznaczonej dla różnej liczby parametrów, przypomocy każdego z trzech badanych algorytmów. Wyniki zgromadzone w tabeli pokazują, żedokładność odtworzenia temperatury rośnie wraz ze wzrostem liczby parametrów charakteryzu-jących funkcję α. Jeśli zaś porównać pod tym względem wykorzystane algorytmy, nie zauważamywyraźnych różnic. Wszystkie trzy algorytmy należy uznać za narzędzia bardzo dobrze nadają-ce się do rozwiązywania tego rodzaju zadań, zarówno pod względem dokładności uzyskanychwyników, stabilności oraz szybkości działania. Pod względem stabilności najlepszy okazał sięalgorytm ACO (dla tego algorytmu wartości odchyleń standardowych wyznaczonych dla wy-ników uzyskanych w kolejnych próbach okazały się najmniejsze), zaś satysfakcjonujące wynikinajszybciej otrzymano dla algorytmu ABC.

Tabela 1: Błędy odtworzenia krzywej chłodzenia otrzymanedla różnej liczby parametrów charakteryzujących funkcję αprzy użyciu trzech algorytmów sztucznej inteligencji

α 1 3 6 10 15ACO

δmean[%] 10.154 0.714 0.543 0.393 0.132δmax [%] 29.354 6.120 2.006 1.586 1.420

ABCδmean[%] 10.154 0.714 0.538 0.397 0.227δmax [%] 29.354 6.120 2.212 1.964 1.259

HSδmean[%] 10.153 0.719 0.577 0.448 0.259δmax [%] 29.353 6.109 2.293 1.935 1.734

Porównanie działania algorytmów mrówkowego i pszczelego w rozwiązywaniu dwuwymiaro-wego odwrotnego zagadnienia Stefana przeprowadzone zostało także w pracy [9]. Zadanie po-

14

nownie polegało na identyfikacji współczynnika wnikania ciepła na podstawie znanych pomiarówtemperatury w wybranych punktach obszaru. Działanie procedur opartych na wymienionych wy-żej algorytmach badano na dwóch przykładach. Pierwszy przykład miał charakter teoretycznyi polegał na odtworzeniu sześciu wartości funkcji α na poszczególnych fragmentach brzegu roz-ważanego dwuwymiarowego obszaru na podstawie pomiarów temperatury pobieranych co 1, 2, 4i 8 sekund z czterech czujników zlokalizowanych 4mm (położenie A) lub 8mm (położenie B) odbrzegu obszaru. Na rysunku 7 zestawione są względne błędy odtworzenia wartości współczynnikawnikania ciepła otrzymane przy użyciu algorytmów ABC i ACO, dla pomiarów odczytywanychco 8 sekund z czujników w położeniu A, zaburzonych 1% i 2% błędem losowym. Otrzymanebłędy są bardzo podobne i, co ważne, są one mniejsze lub w najgorszym razie porównywalnez zaburzeniami danych wejściowych.Do drugiego przykładu wykorzystane zostały natomiast dane eksperymentalne uzyskane

w tym samym doświadczeniu, które opisano w pracy [4]. Maksymalny błąd względny odtworze-nia krzywej chłodzenia dla piętnastu parametrów charakteryzujących rekonstruowaną funkcjęopisującą współczynnik wnikania ciepła, w przypadku zastosowania algorytmu ACO wynosił0.452%, zaś w przypadku algorytmu ABC błąd ten wynosił 0.456%. Pod względem dokładnościotrzymanych odtworzeń, jak i stabilności działania, oba algorytmy są bardzo podobne. Jeśli zaśchodzi o szybkość działania, w tym wypadku nieco szybszy okazał się algorytm ACO, niemniejróżnice między testowanymi algorytmami są nieznaczne.

H1L H2L

H1L H2L

H1L H2L

H1L H2L

H1L H2L

H1L H2L0.0

0.5

1.0

1.5

Err

or@%D

H1L ABC

H2L ACO

∆Α1

∆Α2

∆Α3

∆Α4

∆Α5

∆Α6

H1L H2L

H1L H2L

H1L H2L

H1L H2L

H1L H2L H1L H2L

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Err

or@%D

H1L ABCH2L ACO

∆Α1

∆Α2

∆Α3

∆Α4

∆Α5 ∆Α6

Rysunek 7: Błędy odtworzenia wartości współczynnika wnikania ciepła w dwuwymiarowym od-wrotnym zagadnieniu Stefana otrzymane przy użyciu algorytmów ABC i ACO, dla pomiarówodczytywanych co 8 s z czujników w położeniu A, zaburzonych błędem 1% (lewy rysunek) i 2%(prawy rysunek)

Te same dane eksperymentalne zostały również wykorzystane w pracy [3] do porównaniadwóch algorytmów immunologicznych: IRM i CSA wykorzystanych w rozwiązywaniu odwrot-nego zagadnienia krzepnięcia czystych metali. Maksymalny błąd względny odtworzenia krzywejchłodzenia dla dziesięciu parametrów opisujących przebieg zmienności współczynnika wnikaniaciepła w przypadku zastosowania algorytmu IRM wynosił 1.584%, zaś w przypadku algorytmuCSA błąd ten wynosił 1.583%. Pod względem precyzji otrzymanych wyników algorytmy te sąwięc niemal identyczne, choć algorytm IRM wymagał większego nakładu obliczeń, aby zapewnićrozproszenie wyników na poziomie porównywalnym z algorytmem CSA.Poza odwrotnym zagadnieniem Stefana wymienione algorytmy immunologiczne były także

porównywane w pracy [3] pod względem użyteczności w rozwiązywaniu odwrotnego zadaniaodlewania ciągłego. Rozważane zadanie polegało na odtworzeniu warunków chłodzenia, to zna-czy strumienia ciepła w krystalizatorze i współczynnika wnikania ciepła w strefie chłodzeniawtórnego, jak również rozkładu temperatury w rozważanej dziedzinie, na podstawie pomiarówtemperatury odczytanych z dwóch czujników zlokalizowanych w pewnej odległości od brzeguobszaru. W tabeli 2 zestawione są względne błędy odtworzenia warunków chłodzenia (pierw-

15

szy wynik dotyczy odtworzonego strumienia ciepła, drugi – współczynnika wnikania ciepła)oraz procentowe rozproszenie wyników (informujące jaką część wyniku stanowi odchylenie stan-dardowe obliczone dla dziesięciokrotnego uruchomienia procedury) uzyskane przy pomocy obualgorytmów immunologicznych dla różnych zaburzeń danych pomiarowych. Błędy odtworzeniadla niezaburzonych danych wejściowych są minimalne i wynikają jedynie z przyjętego kryteriumzatrzymania procedur, pozostałe błędy są w każdym przypadku mniejsze od zaburzeń danychwejściowych, również poziomy rozproszenia wyników są nieznaczne, co świadczy o stabilności obuprocedur. Jeśli zaś chodzi o ilość iteracji niezbędnych do uzyskania satysfakcjonujących wyników,w przypadku tego zadania była ona porównywalna dla obu algorytmów. Analizowane w pracyprzykłady w szczególności pokazują jak istotny jest właściwy dobór parametrów w przypadkustosowanych algorytmów sztucznej inteligencji.

Tabela 2: Błędy odtworzenia warunków chłodzenia oraz pro-centowe rozproszenie wyników w zagadnieniu odwrotnymodlewania ciągłego uzyskane przy pomocy algorytmów im-munologicznych

zaburzenie δIRM [%] δCSA [%] σpIRM [%] σ

pCSA [%]

0%0.09506 0.09506 0.09506 0.095060.03902 0.03902 0.03930 0.03930

1%0.80663 0.91113 0.80609 0.895180.61102 0.60895 0.61086 0.64172

2%0.61406 0.45891 0.61440 0.733530.70506 0.81652 0.70511 0.75871

5%2.20811 1.03475 2.20814 1.739121.45959 1.13150 1.45985 1.37555

Odwrotne zagadnienie odlewania ciągłego, analogiczne do zadania rozwiązywanego w pra-cy [3], jest również dyskutowane w pracy [5], gdzie warunki chłodzenia krzepnącego wlewkabyły odtwarzane przy pomocy algorytmu IWO. Wyniki odtworzenia strumienia ciepła w kry-stalizatorze i współczynnika wnikania ciepła w strefie wtórnego chłodzenia dla tych samychzaburzeń danych pomiarowych są bardzo podobne do wyników uzyskanych dla algorytmów im-munologicznych. Rozproszenie wyników, wyrażone jako procentowy udział w końcowym wyni-kach odchyleń standardowych obliczonych dla dziesięciu uruchomień procedury, jest natomiastrzędu 10−7 − 10−6. Algorytm IWO jest zatem stabilniejszy niż testowane wcześniej algorytmyimmunologiczne.Odwrotne zagadnienie odlewania ciągłego w wersji trójwymiarowej jest natomiast rozważa-

ne w pracy [10], gdzie odtwarzane były warunki chłodzenia, wyrażone w postaci funkcji (21),przy pomocy algorytmów mrówkowego i pszczelego. Obie procedury testowane były poprzezprzeprowadzenie eksperymentu numerycznego dla parametrów właściwych dla ciągłego odlewa-nia aluminium. W obliczeniach przyjęto obecność w próbce czterech termopar, rozlokowanych10mm od brzegu obszaru. Z każdego czujnika uzyskano, kolejno, 15, 75 i 150 pomiarów tempe-ratury. Odległości między kolejnymi pomiarami wzdłuż osi Oz były równe, odpowiednio, 0.02,0.004 i 0.002m.Wyniki uzyskane z obu procedur były bardzo podobne pod względem dopasowania do da-

nych pomiarowych. Wniosek ten ilustruje rysunek 8 przedstawiający średnie błędy odtworzeniafunkcji f (czyli średnie błędy uwzględniające odtworzenie wszystkich czterech współczynnikówopisujących warunki chłodzenia) dla 1% oraz 2% zakłócenia danych wejściowych uzyskane przypomocy algorytmów pszczelego i mrówkowego.

16

Rozważając zatem dokładność otrzymanych wyników, użyteczność obu sprawdzanych al-gorytmów jest prawie identyczna. Porównując jednak czas działania procedur, uznać należyprzewagę algorytmu pszczelego. W przypadku zastosowania schematu niejawnego w metodzieróżnic skończonych, stosowanej przy wyznaczaniu wartości minimalizowanego funkcjonału (roz-wiązaniu zagadnienia bezpośredniego), obliczenia przy użyciu algorytmu ABC trwały około 100minut, zaś przy użyciu algorytmu ACO około 160 minut. Jeśli jednak zastosowano schemat jaw-ny, czas obliczeń wzrósł drastycznie – do około 340 godzin dla algorytmu ABC i 543 godzin dlaalgorytmu ACO. Tak wyraźny wzrost czasu obliczeń w przypadku schematu jawnego spowodo-wany został koniecznością zagęszczenia siatki, aby utrzymać stabilność rozwiązania zagadnieniabezpośredniego. Niemniej jednak, oba dyskutowane algorytmy zapewniają satysfakcjonujące roz-wiązania rozważanego odwrotnego trójwymiarowego zagadnienia odlewania ciągłego, uzyskanew rozsądnym czasie, stabilne zarówno ze względu na błąd danych wejściowych, jak i na liczbępomiarów kontrolnych.

H1L H2L

H1L H2L H1L H2L

0

1

2

3

Err

or@%D

H1L ABCH2L ACO

N2=150

N2=75 N2=15

H1L H2L

H1L H2LH1L H2L

0

1

2

3

Err

or@%D

H1L ABCH2L ACO

N2=150

N2=75 N2=15

Rysunek 8: Średni błąd odtworzenia warunków chłodzenia w trójwymiarowym odwrotnym za-gadnieniu odlewania ciągłego przy użyciu algorytmów ABC i ACO dla 1% (lewy rysunek) oraz2% (prawy rysunek) zakłócenia danych wejściowych

W pracy [6] zadanie krzepnięcia czystych metali zostało zastąpione zagadnieniem krzepnięciastopu dwuskładnikowego. Praca prezentuje procedurę odtworzenia gęstości strumienia ciepła nabrzegu obszaru, w którym zachodzi proces krzepnięcia stopu, na podstawie pomiarów tempera-tury w punkcie kontrolnym znajdującym się na brzegu odlewu. Przedstawiona w pracy proceduraoparta jest na dwóch metodach: metodzie różnic skończonych z zastosowaniem uogólnionej me-tody przemiennej fazy, służącej do rozwiązania bezpośredniego zagadnienia krzepnięcia, orazalgorytmie ACO optymalizacji kolonią mrówek, wykorzystanego do minimalizacji funkcjonałuwyrażającego błąd odtworzenia temperatury.Odtwarzany w pracy strumień ciepła reprezentowały cztery wartości w różnych przedzia-

łach czasowych. Na rysunku 9 przedstawione są błędy względne odtworzenia tych wartości dlakolejnych iteracji algorytmu ACO dla 1% i 2% zaburzenia danych wejściowych. Jak widać narysunku, zaledwie 2-3 iteracje są potrzebne, aby wyniki zaczęły się stabilizować na zadowalają-cym poziomie. Jeśli chodzi o odtworzenie temperatury, błąd bezwzględny tego odtworzenia nieprzekroczył poziomu 0.4-0.5 K.Podobne zadanie rozważane jest w pracach [7] i [11], gdzie dodatkowo uwzględnione zosta-

ło zjawisko makrosegregacji wpływające na proces krzepnięcia stopu. Rozważane zagadnienieodwrotne polegało również na odtworzeniu strumienia ciepła, reprezentowanego przez czterywartości, oraz rozkładu temperatury w przypadku, gdy znane są pomiary temperatury w punk-cie zlokalizowanym na brzegu stopu. Matematycznie zagadnienie modelowane było przy pomocyrównania przewodnictwa ciepła z zastępczą pojemnością cieplną oraz temperaturą likwidusui solidusu zmieniającymi się w zależności od koncentracji składnika stopowego. Do opisu kon-centracji wykorzystany został model równowagowy, a minimalizację odpowiedniego funkcjonału

17

1

1 1 1 1 1

11

22 2 2 2 2

3

3

3 3 3 3 3

4

4

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

iterations

error[%]

1

1 1 1 1 1

11 1 1

2 22 2 2 2

3 3 3 3 3 34

4

4 4 4 4

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

iterations

error[%]

Rysunek 9: Błędy względne odtworzenia czterech wartości strumienia ciepła (w zagadnieniuodwrotnym krzepnięcia stopu) dla kolejnych iteracji algorytmu ACO dla danych wejściowychzaburzonych 1% (lewy rysunek) lub 2% błędem (prawy rysunek)

przeprowadzono w pracy [7] przy pomocy algorytmu pszczelego, zaś w pracy [11] przy pomocyalgorytmu mrówkowego. Rysunek 10 przedstawia błędy względne odtworzenia czterech wartościstrumienia ciepła dla kolejnych iteracji algorytmu pszczelego, dla 1% i 2% zaburzenia danychwejściowych. W przypadku pierwszego zaburzenia błędy odtworzenia trzech pierwszych warto-ści strumienia ciepła po zaledwie dwóch iteracjach stabilizują się na poziomie niższym od błędudanych wejściowych, jedynie błąd odtworzenia czwartej wartości jest wyższy – wynosi około 2%.Podobną sytuację można zaobserwować w przypadku drugiego zaburzenia, gdzie po czterech ite-racjach błędy trzech pierwszych wartości strumienia ciepła ustalają się na poziomie niższym odzaburzenia danych wejściowych, zaś błąd czwartej wartości ustala się na poziomie 5%. Uzyskanewyniki można jednak uznać za jak najbardziej zadowalające, zwłaszcza wobec bardzo dobre-go odtworzenia temperatury, którego błąd bezwzględny w punkcie pomiarowym nie przekracza0.8 K dla 2% zaburzenia danych wejściowych.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 122 2 2 2 2 2 2 2 2

3

3 3 3 3 3 3 3 3 3

4

4 4 4 4 4 4 4 4 4

0 2 4 6 8 100.0

0.5

1.0

1.5

iterations

error[%]

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

33 3 3 3 3 3 3 3 3

4

4 4

4 4 4 4 4 4 4

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

iterations

error[%]

Rysunek 10: Błędy względne odtworzenia czterech wartości strumienia ciepła (w zagadnieniu od-wrotnym krzepnięcia stopu z uwzględnieniem makrosegregacji) dla kolejnych iteracji algorytmuABC dla danych wejściowych zaburzonych 1% (lewy rysunek) lub 2% błędem (prawy rysunek)

Podobny zestaw wyników, uzyskany jednak przy pomocy algorytmu mrówkowego, przedsta-wiony jest na rysunku 11. W tym przypadku błędy względne odtworzenia wszystkich poszu-kiwanych wartości strumienia ciepła stabilizują się na poziomach nie przekraczających błędudanych wejściowych, bądź wyraźnie niższych od błędu danych wejściowych. Błąd bezwględnyodtworzenia temperatury w punkcie pomiarowym nie przekracza natomiast 1.752 K.

18

1

1 1 1 1 1

111

2 2

2

2 2 2 2

3

3 3 3 3 3

4 4 44 4 4

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

iterations

error[%] 1

1 1 1 1 1

111 1

2

2

2 2 2 2

3

3

3 3 3 3

4

4 4 4 4

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

iterations

error[%]

Rysunek 11: Błędy względne odtworzenia czterech wartości strumienia ciepła (w zagadnieniu od-wrotnym krzepnięcia stopu z uwzględnieniem makrosegregacji) dla kolejnych iteracji algorytmuACO dla danych wejściowych zaburzonych 1% (lewy rysunek) lub 2% błędem (prawy rysunek)

Zagadnienie krzepnięcia stopu z uwzględnieniem zjawiska makrosegregacji jest również anali-zowane w pracy [12], gdzie poza obszarem krzepnącego stopu jest także brany pod uwagę obszarformy odlewniczej. W obu obszarach rozkład temperatury modelowany jest przy pomocy rów-nania przewodnictwa ciepła w odpowiedniej postaci, do opisu koncentracji składnika stopowegowykorzystano model Scheila, zaś do minimalizacji funkcjonału wyrażającego błąd odtworzeniatemperatury zastosowano również algorytm pszczeli. Celem opracowania było odtworzenie war-tości współczynnika wnikania ciepła na brzegu krzepnącego stopu oraz rozkładu temperatury wobszarze krzepnącego stopu na podstawie pomiarów temperatury odczytywanych w określonychodstępach czasu z termopary umieszczonej w środku formy. Pomiary były zaburzone błędem 1%i 2% o rozkładzie normalnym. W przypadku 1% zakłócenia danych wejściowych błąd względnyodtworzenia wartości współczynnika wnikania ciepła dla pomiarów odczytywanych co 1, 2, 5 i 10sekund wynosił, odpowiednio, 0.925%, 0.749%, 0.329% i 1.547%, natomiast w przypadku 2% za-kłócenia danych wejściowych błędy te wynosiły, odpowiednio, 1.684%, 0.654%, 2.030% i 5.429%.Błąd względny odtworzenia temperatury w najgorszym przypadku danych wejściowych wynosił0.129%, uzyskane wyniki są więc w pełni zadowalające, co dodatkowo potwierdza ich stabilność,odchylenia standardowe wyników otrzymanych w dziesięciokrotnym powtórzeniu procedury sąbowiem niewielkie.Wyniki podobnego doświadczenia numerycznego, w którym jednak do opisu koncentracji

składnika stopowego wykorzystano model równowagowy, rozwiązywanego również w oparciuo algorytm pszczeli, zaprezentowane zostały w pracy [14]. Najwyższa wartość błędu odtworze-nia wartości współczynnika wnikania ciepła na brzegu krzepnącego stopu wynosiła 1.8461%i dotyczyła najgorszego zestawu danych wejściowych, czyli pomiarów zakłóconych 2% błędemi odczytywanych co dziesięć sekund z termopary umieszczonej w środku formy. Na rysunku 12przedstawione jest porównanie rozkładów temperatury odtworzonych w punkcie kontrolnym napodstawie pomiarów odczytywanych co dziesięć sekund i zaburzonych, odpowiednio, 1% i 2%błędem z odczytanymi wartościami pomiarowymi.W pracy [13] problem identyfikacji współczynnika wnikania ciepła na brzegu krzepnącego sto-

pu dwuskładnikowego z uwzględnieniem zjawiska makrosegregacji dyskutowany jest na dwóchprzykładach. Pierwszy przykład ma charakter teoretyczny i polegał na odtworzeniu czterechwartości opisujących przebieg zmienności współczynnika wnikania ciepła oraz na wyznaczeniurozkładu temperatury na podstawie znanych wartości temperatury w punkcie pomiarowym zlo-kalizowanym w pewnej odległości od brzegu. Pomiary temperatury były odczytywane co 1, 2,5 i 10 sekund i zaburzane były 1% i 2% błędem, wykorzystywano również dane niezaburzo-

19

0 100 200 300 400 500

590

600

610

620

630

640

650

t @sD

T@KD

0 100 200 300 400 500

590

600

610

620

630

640

650

t @sD

T@KD

Rysunek 12: Porównanie odtworzonych rozkładów temperatury (linie ciągłe) z wartościami po-miarowymi (kropki) w punkcie kontrolnym, wyznaczonych na podstawie pomiarów odczytywa-nych co 10 sekund i zaburzonych 1% (lewy rysunek) i 2% (prawy rysunek) błędem (w zagadnieniuodwrotnym krzepnięcia stopu z uwzględnieniem makrosegregacji)

ne. Rozkład temperatury w krzepnącym stopie zamodelowany został przy pomocy równaniaprzewodnictwa ciepła z dołączonym członem źródłowym i temperaturą solidusu i likwidusuzmieniającą się w zależności od koncentracji składnika stopowego, do opisu której wykorzystanomodel Scheila. Parametry modelu zostały zaś dobrane tak, aby rozważane zadanie symulowałoproces krzepnięcia stopu Al–Cu (z 2% udziałem Cu). W procedurze rozwiązania, powtarza-nej dziesięciokrotnie dla każdego zestawu danych wejściowych, zastosowano ponownie algorytmoptymalizacji kolonią pszczół. Na rysunku 13 przedstawione są maksymalne błędy względne od-tworzenia czterech wartości współczynnika wnikania ciepła dla poszczególnych zestawów danychwejściowych, zaś największy maksymalny błąd względny odtworzenia temperatury, biorąc poduwagę wszystkie rozważane zestawy danych wejściowych, był równy 0.217%.

H1L H2L H3L H4LH1L

H2L

H3L

H4L

H1L

H2L

H3L

H4L

0

1

2

3

4

5

6

7

erro

r@%D

H1L 1 sH2L 2 sH3L 5 sH4L 10 s

0%

1%

2%

Rysunek 13: Maksymalne błędy względne odtworzenia czterech wartości współczynnika wnikaniaciepła w zagadnieniu odwrotnym krzepnięcia stopu z uwzględnieniem makrosegregacji uzyskaneprzy pomocy algorytmu ABC

W drugim przykładzie analizowanym w pracy [13] wykorzystano natomiast dane ekspery-mentalne uzyskane w procesie krzepnięcia stopu Al–Cu (z 5% udziałem Cu) przeprowadzonymw urządzeniu UMSA. W doświadczeniu wykorzystano dwie próbki w kształcie walca, a termo-para zlokalizowana był w osi próbki. Rozważane zadanie modelowane było analogicznie jak wewcześniej opisanym przykładzie numerycznym z tym, że współczynnik wnikania ciepła rekon-

20

struowany był w postaci funkcji zależącej od zadanej różnej liczby parametrów:

α(t) = α(t;α1, α2, . . . , αn), n ∈ 1, 3, 6, 10.

W tabeli 3 zestawione są błędy odtworzenia temperatury uzyskane dla kolejnych ilości parame-trów opisujących funkcję α. Jakość otrzymanych wyników rośnie oczywiście wraz ze wzrostemliczby parametrów w funkcji α, osiągając zadowalający poziom już dla sześciu, a tym bardziejdla dziesięciu parametrów. Poprawność zastosowanej procedury potwierdza również jej stabil-ność, wartości odchyleń standardowych dla przyjętych liczb parametrów w funkcji α wynosząbowiem odpowiednio 4.72 × 10−4, 9.10× 10−3, 0.484 oraz 0.113.

Tabela 3: Błędy odtworzenia krzywej chłodzenia otrzyma-ne dla różnej liczby parametrów charakteryzujących funkcjęα w zagadnieniu odwrotnym krzepnięcia stopu z uwzględ-nieniem makrosegregacji uzyskane przy pomocy algorytmuABC

n ∆max [K] δmax [%] ∆mean [K] δmean [%]1 27.010 4.489 12.308 1.8133 27.220 4.202 12.251 1.7796 9.111 1.131 1.874 0.26010 8.416 1.031 1.442 0.210

Wreszcie w pracy [15] rozważane jest dwuwymiarowe zagadnienie odwrotne krzepnięcia stopudwuskładnikowego, polegające na odtworzeniu wartości współczynnika wnikania ciepła wystę-pującego w warunku brzegowym (29) modelu krzepnięcia w przedziale temperatur z uwzględnie-niem zjawiska makrosegregacji opisanym przy pomocy modelu równowagowego. Współczynnikwnikania ciepła odtwarzany był w postaci sześciu wartości zdefiniowanych na odpowiednich frag-mentach brzegu w dwóch przedziałach czasowych na podstawie pomiarów temperatury odczyty-wanych co 1 sekundę oraz co 5 sekund z czterech czujników zlokalizowanych w pewnej odległościod brzegu obszaru. W przeprowadzonym eksperymencie numerycznym obliczenia wykonano dladokładnych wartości temperatury w punktach kontrolnych oraz wartości pseudo-pomiarowychzaburzonych 1% i 2% błędem o rozkładzie normalnym. Rysunek 14 przedstawia średni i maksy-malny błąd względny odtworzenia wszystkich sześciu wartości współczynnika wnikania ciepła αi,i = 1, ..., 6, uzyskane dla różnych zaburzeń pomiarów temperatury odczytywanych co 1 sekundę.W przypadku odczytów temperatury dokonywanych co 5 sekund i zaburzonych 2% błędem naj-gorsze uzyskane odtworzenie jednej z sześciu wartości współczynnika wnikania ciepła obarczonebyło błędem względnym równym 13.384%. Podkreślić należy jednak, że jest to najwyższy z uzy-skanych błędów odtworzenia wartości współczynnika wnikania ciepła, pozostałe w zdecydowanejwiększości utrzymują się na poziomie danych wejściowych. Otrzymane wyniki należy więc uznaćza całkowicie satysfakcjonujące, zwłaszcza wobec błędów odtworzenia temperatury, który dlanajgorszego wariantu danych wejściowych nie przekracza 0.5%.

Wyniki opisane w przedstawionych pracach potwierdzają, że procedury oparte na wybranychalgorytmach sztucznej inteligencji stanowią obiecujące narzędzie rozwiązywania rozważanychzagadnień przewodnictwa ciepła. Uzyskane odtworzenia warunków brzegowych oraz rozkładówtemperatury były zakłócone błędami, wynikającymi z przyjętego kryterium zatrzymania pro-cedur, w każdym przypadku porównywalnymi z zaburzeniami danych wejściowych, a bardzoczęsto znacznie od nich mniejszymi. Ponadto małe wartości odchyleń standardowych wynikówświadczą o stabilności stosowanych procedur.

21

H1L

H2L

H3L

H1L

H2L

H3L

0

1

2

3

4

erro

r

H1L noise=0%H2L noise=1%H3L noise=2%

∆mean @%D

∆max @%D

Rysunek 14: Średni i maksymalny błąd względny odtworzenia sześciu wartości współczynnikawnikania ciepła αi, i = 1, ..., 6, w dwuwymiarowym zagadnieniu odwrotnym krzepnięcia stopudwuskładnikowego z uwzględnieniem makrosegregacji składnika stopowego, uzyskane dla róż-nych zaburzeń pomiarów temperatury odczytywanych co 1 sekundę

Porównując efektywność zastosowanych procedur najmniej iteracji potrzebnych do uzyskaniawyników ustabilizowanych na zadowalającym poziomie wymagały algorytmy mrówkowy ACOi pszczeli ABC. Jest to o tyle ważne, że każda iteracja wymaga wielokrotnego wyznaczenia war-tości funkcji celu, czyli wielokrotnego rozwiązania odpowiedniego zadania bezpośredniego, cowydłuża czas obliczeń. Ta zaleta algorytmów mrówkowego i pszczelego została zaobserwowanaprzy okazji rozwiązywania odwrotnych jednowymiarowych zagadnień przewodnictwa ciepła dlaczystych metali, dlatego te właśnie algorytmy zostały wykorzystane do rozwiązywania zadań wie-lowymiarowych oraz zadań opisanych bardziej skomplikowanymi modelami. Dodatkową zaletąalgorytmu mrówkowego jest to, że jego specyficzna struktura pozwala w stosunkowo łatwy spo-sób zmodyfikować go tak, aby możliwe było przeprowadzanie obliczeń równoległych. Właściwośćta pozwoliła wykonać w rozsądnym czasie obliczenia dla dwuwymiarowego odwrotnego zadaniakrzepnięcia stopu z uwzględnieniem zjawiska makrosegregacji, dysponując układem zwykłychkomputerów PC z procesorem Intel Core i7. Jedną z prac zawierających wyniki tych obliczeńjest praca [15], pozostałe zaś prace znajdują się obecnie w recenzji.Prace [2-15] powstały w ramach projektu badawczego finansowanego przez Narodowe Cen-

trum Nauki na podstawie decyzji DEC-2011/03/B/ST8/06004, kierowanego przez ProfesoraDamiana Słotę, którego byłam głównym wykonawcą.

Uwaga:W pracach: [6] (wzory (3), (4)), [7] (wzory (3), (4)) oraz [14] (wzór (12)) pojawił siębłąd. We wskazanych wzorach, opisujących warunki brzegowe rozważanych zagadnień, zamiastpochodnej po zmiennej czasowej t powinna być pochodna po zmiennej przestrzennej x. Bardzoprzepraszam za te pomyłki, zauważyłam je niestety już po opublikowaniu prac.

Główny cykl publikacji [1-15] uzupełniają poniższe prace, zaprezentowane w większości nakonferencjach międzynarodowych, takich jak: 26th International Conference on Industrial, En-gineering & Other Applications of Applied Intelligent Systems (Amsterdam, 17-21.06.2013),12th and 13th International Conference on Artificial Intelligence and Soft Computing (Zako-pane, 9–13.06.2013 oraz 1-5.06.2014), 10th International Conference on Parallel Processing andApplied Mathematics (Warszawa, 8–11.09.2013), International Conference on Man-Machine In-teractions (Brenna, 22-25.10.2013).

22

Publikacje uzupełniające:

[U1] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, Mariusz Pleszczyński, 2013, In-verse continuous casting problem solved by applying the Artificial Bee Colony algorithm.

(Artificial Intelligence and Soft Computing. ICAISC 2013. 12th International conferen-ce, Zakopane, Poland, June 9-13, 2013. Part 2. Eds.L. Rutkowski et al. Berlin, Springer),Lecture Notes in Computer Science, vol. 7895, s. 431-440 (odnotowane w Web of Science).

[U2] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, 2013, Application of the swarmintelligence algorithm for investigating the inverse continuous casting problem. (Contem-porary challenges and solutions in applied artificial intelligence. Eds: M. Ali et al. Berlin,Springer), Studies in Computational Intelligence, vol. 489, s. 157-162.

[U3] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, RomanWituła, 2013, Solution of theinverse Stefan problem by applying the procedure based on the modified Harmony Search

algorithm. (Contemporary challenges and solutions in applied artificial intelligence. Eds:M. Ali et al. Berlin, Springer), Studies in Computational Intelligence, vol. 489, s. 175-180.

[U4] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, 2014, Solution of the inverse conti-nuous casting problem with the aid of modified Harmony Search algorithm. (PPAM 2013.10th International conference, Warsaw, Poland, September 8-11, 2013, Revised selectedpapers. Part 1. Eds. R. Wyrzykowski et al. Berlin, Springer), Lecture Notes in ComputerScience, vol. 8384, s. 402-411 (odnotowane w Web of Science).

[U5] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, 2014, Clonal Selection Algorithm in identificationof boundary condition in the inverse Stefan problem. (Man-machine interactions 3. Eds:Aleksandra Gruca, Tadeusz Czachórski, Stanislaw Kozielski. Berlin, Springer), Advan-ces in Intelligent Systems and Computing, vol. 242, s. 511-518 (odnotowane w Web ofScience).

[U6] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, 2014, Artificial Bee Colonyalgorithm used for reconstructing the heat flux density in the solidification process.

(ICAISC 2014. 13th International conference, Zakopane, Poland, June 1-5, 2014, Eds.L. Rutkowski et al., Berlin, Springer), Lecture Notes in Computer Science, vol. 8468(Lecture Notes in Artificial Intelligence), s. 363-372 (odnotowane w Web of Science).

[U7] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, 2015, Experimental verification ofapproximate solution of the inverse Stefan problem obtained by applying the Invasive Weed

Optimisation algorithm. Thermal Science, vol. 19, suppl. 1, s. S205-S212, IF 1.222 (za rok2014), punktacja MNiSW 25.

Wymienione prace oparte są na opisanych wcześniej modelach matematycznych i algoryt-mach sztucznej inteligencji. Praca [U1] przedstawia zastosowanie algorytmu kolonii sztucznychpszczół do rozwiązania odwrotnego jednowymiarowego zagadnienia odlewania ciągłego, pole-gającego na odtworzeniu odpowiednich parametrów charakteryzujących warunki chłodzenia wkrystalizatorze (strumień ciepła) oraz w strefie wtórnego chłodzenia (współczynnik wnikaniaciepła). Prezentowana procedura polega, tak jak zostało to wspomniane wcześniej, na wyko-rzystaniu algorytmu pszczelego do minimalizacji funkcjonału stanowiącego istotny etap metodyrozwiązania rozważanego zadania. Podobna procedura, oparta na zastosowaniu innego algoryt-mu inteligencji roju, naśladującego naturalne zachowanie kolonii mrówek, została przedstawionaw pracy [U2]. Następnie praca [U3] zawiera opis procedury, bazującej na zmodyfikowanej wersjialgorytmu poszukiwania harmonii, imitującego proces komponowania muzyki jazzowej, i służącej

23

do rozwiązywania dwufazowego jednowymiarowego odwrotnego zagadnienia Stefana, polegają-cego na odtworzeniu funkcji opisującej współczynnik wnikania ciepła przy dodatkowej informa-cji, którą stanowiły pomiary temperatury w zadanych punktach fazy stałej. Ten sam algorytmwykorzystany został w pracy [U4] do rozwiązania odwrotnego jednowymiarowego zagadnieniaodlewania ciągłego, w którym ponownie odtwarzano warunki chłodzenia w krzepnącym wlewku.Praca [U5] przedstawia ponownie procedurę służącą do identyfikacji współczynnika wnika-

nia ciepła występującego w warunku brzegowym odwrotnego dwufazowego jednowymiarowegozagadnienia Stefana, ale tym razem opartą na algorytmie selekcji klonalnej należącym do gru-py optymalizacyjnych algorytmów immunologicznych. Nieznana postać współczynnika wnikaniaciepła odtwarzana była na podstawie znanych pomiarów temperatury. Wreszcie praca [U6] pre-zentuje procedurę odtworzenia gęstości strumienia ciepła na brzegu obszaru, w którym zachodziproces krzepnięcia stopu, na podstawie pomiarów temperatury w wybranych punktach odlewu.Rozważany proces opisany jest poprzez jednowymiarowy model krzepnięcia w przedziale tempe-ratur, jednakże bez uwzględnienia makrosegregacji składnika stopowego, zaś procedura rozwiąza-nia oparta jest na uogólnionej metodzie przemiennej fazy, służącej do rozwiązania odpowiedniegobezpośredniego zagadnienia krzepnięcia, oraz algorytmie optymalizacji kolonią pszczół, wyko-rzystanego do minimalizacji funkcjonału, stanowiącego ważną cześć procedury. Ostatnią z grupyprac uzupełniających jest [U7], w której na podstawie danych eksperymentalnych uzyskanych wprocesie krzepnięcia aluminium przebadana została procedura rozwiązywania jednowymiarowe-go dwufazowego odwrotnego zagadnienia Stefana, polegającego na odtworzeniu funkcji opisują-cej współczynnik wnikania ciepła i zależącej od ustalonej różnej liczby parametrów, oparta naalgorytmie heurystycznym inwazji chwastów.

24

5. Omówienie pozostałych osiągnięć naukowo-badawczych (artystycznych).

Wyróżnię tu cztery grup osiągnięć związanych z moją działalnością naukową, zrealizowanychprzeze mnie po doktoracie:

1. Analityczne metody rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych

2. Twierdzenia o wartościach średnich

3. Wybrane zagadnienia teorii ciągów i szeregów liczbowych

4. Tematyka wielomianowa

Na osiągnięcia te składają się następujące publikacje:

[O1] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Adam Zielonka, 2011, Solution ofthe two-phase Stefan problem by using the Picard ’s Iterative Method. Thermal Science,vol. 15 suppl. 1, s. S21-S26, IF 0.779, punktacja MNiSW 20.

[O2] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Roman Wituła, Adam Zielonka, 2011, Comparisonof the Adomian Decomposition Method and the Variational Iteration Method in solving

the moving boundary problem. Comput. Math. Appl., vol. 61 iss. 8, s. 1931-1934, IF 1.747,punktacja MNiSW 30.

[O3] Edyta Hetmaniok, Konrad Kaczmarek, Damian Słota, Roman Wituła, Adam Zielonka,2012, Application of the Variational Iteration Method for determining the temperature inthe heterogeneous casting-mould system. International Review of Chemical Engineering,vol. 4, s. 511-515.

[O4] Edyta Hetmaniok, Iwona Nowak, Damian Słota, Roman Wituła, 2012, Application ofthe Homotopy Perturbation Method for the solution of inverse heat conduction problem.

Int. Commun. Heat Mass Transf., vol. 39 iss. 1, s. 30-35, IF 2.208, punktacja MNiSW 30.

[O5] Edyta Hetmaniok, Iwona Nowak, Damian Słota, Roman Wituła, Adam Zielonka, 2013,Solution of the inverse heat conduction problem with Neumann boundary condition by

using the Homotopy Perturbation Method. Thermal Science, vol. 17 iss. 3, s. 643-650,IF 0.962, punktacja MNiSW 20.

[O6] Edyta Hetmaniok, Mariusz Pleszczyński, Damian Słota, Adam Zielonka, 2014, Usageof the Homotopy Analysis Method for determining the temperature in the casting-mould

system. Hutnik – Wiadomości hutnicze, vol. 81 iss. 1, s. 50-54, punktacja MNiSW 6.

[O7] Rafał Brociek, Edyta Hetmaniok, Damian Słota, 2014, Application of the HomotopyAnalysis Method for Solving the Two-dimensional Steady-state Heat Conduction Problem.

AMiTaNS 2014, M.D. Todorov (ed.), AIP Conf. Proc., vol. 1629, s. 408-413 (odnotowanaw Web of Science).

[O8] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Roman Wituła, Adam Zielonka, 2015, Solution of theOne-Phase Inverse Stefan Problem by Using the Homotopy Analysis Method. Appl. Math.Modelling, doi: 10.1016/j.apm.2015.02.025, IF 2.251 (za rok 2014), punktacja MNiSW 35.

25

[O9] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Roman Wituła, Adam Zielonka, 2015, An AnalyticalMethod for Solving the Two-Phase Inverse Stefan Problem. Bull. Pol. Acad. Sci., Tech.Sci., vol. 63 no. 3, s. 583-590, IF 0.914 (za rok 2014), punktacja MNiSW 25.

[O10] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Roman Wituła, 2012, Convergence and error esti-mation of Homotopy Perturbation Method for Fredholm and Volterra integral equations.

Appl. Math. Comput., vol. 218 iss. 21, s. 10717-10725, IF 1.349, punktacja MNiSW 35.

[O11] Edyta Hetmaniok, Iwona Nowak, Damian Słota, Roman Wituła, 2013, A study ofthe convergence of and error estimation for the Homotopy Perturbation Method for the

Volterra-Fredholm integral equations. Appl. Math. Lett., vol. 26 iss. 1, s. 165-169, IF 1.480,punktacja MNiSW 35.

[O12] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Tomasz Trawiński, Roman Wituła, 2014, An ana-lytical technique for solving general linear integral equations of the second kind and its

application in analysis of flash lamp control circuit. Bull. Pol. Acad. Sci., Tech. Sci., vol.62 no. 3, s. 413-421, IF 0.914, punktacja MNiSW 25.

[O13] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Tomasz Trawiński, Roman Wituła, 2014, Usage ofthe Homotopy Analysis Method for solving the nonlinear and linear integral equations

of the second kind. Numer. Algorithms, vol. 67 no. 1, s. 163-185, IF 1.417, punktacjaMNiSW 30.

[O14] Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Roman Wituła, 2012, Twierdzenia o wartościachśrednich. Gliwice, Wydaw. Politechniki Śląskiej.

[O15] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Damian Słota, 2012, A stronger version of the se-cond mean value theorem for integrals. Comput. Math. Appl., vol. 64 iss. 6, s. 1612-1615,IF 2.069, punktacja MNiSW 30.

[O16] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Damian Słota, 2012, Mean-value theorems for one-sided differentiable functions. Fasc. Math., nr 48, s. 145-154.

[O17] Roman Wituła, Damian Słota, Edyta Hetmaniok, 2013, Bridges between differentknown integer sequences. Ann. Math. Informat., vol. 41, s. 255-263.

[O18] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Damian Słota, 2013, Families of increasing sequen-ces possessing the harmonic series property. Folia Math., vol. 18 no. 1, s. 3-10.

[O19] RomanWituła, Konrad Kaczmarek, Edyta Hetmaniok, Damian Słota, 2013, On certainapproximation problem connected with the sums of subseries. Tatra Mt. Math. Publ.,vol. 55, s. 37-45, punktacja MNiSW 8 (odnotowane w Web of Science).

[O20] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Konrad Kaczmarek, Damian Słota, 2014, On Cer-tain Approximation Problem in Normed Spaces. Applications of Mathematics in Technicaland Natural Sciences, AMiTaNS 2014, M.D. Todorov (ed.), AIP Conf. Proc. vol. 1629,s. 368-372 (odnotowana w Web of Science).

[O21] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Damian Słota, 2014, Generalized Gregory’s series.Appl. Math. Comput., vol. 237, s. 203-216, IF 1.600, punktacja MNiSW 40.

[O22] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Konrad Kaczmarek, 2014, On series whose rear-rangements possess discrete sets of limit points. J. Appl. Anal., vol. 20 no. 1, s. 93-96,punktacja MNiSW 8.

26

[O23] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Damin Słota, 2012, Ma’s identity and its appli-cation. Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia Mathematica, vol. 11,s. 43-51, punktacja MNiSW 7.

[O24] Edyta Hetmaniok, Mariusz Pleszczyński, Damian Słota, Roman Wituła, 2013, On simi-larities between exponential polynomials and Hermite polynomials. J. Appl. Math. Comp.Mech., vol. 12 iss. 3, s. 93-104, punktacja MNiSW 6.

[O25] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Natalia Gawrońska, 2013, Sums ofthe rational powers of roots of the polynomials. Int. J. Pure Appl. Math., vol. 85 no. 1,s. 179-191.

[O26] Edyta Hetmaniok, Piotr Lorenc, Mariusz Pleszczyński, Roman Wituła, 2014, Iteratedintegrals of polynomials. Appl. Math. Comput., vol. 249, s. 389-398, IF 1.600, punktacjaMNiSW 40.

[O27] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Damian Słota, 2014, A geometric property of theroots of Chebyshev polynomials. J. Appl. Math. Comp. Mech., vol. 13 iss. 1, s. 143-148,punktacja MNiSW 6.

[O28] Edyta Hetmaniok, Piotr Lorenc, Damian Słota, Roman Wituła, 2015, Periodic orbitsof boundary logistic map and new kind of modified Chebyshev polynomials. Monograph onthe Occasion of 100th Birthday Anniversary of Zygmunt Zahorski. Ed. by Roman Wituła,Damian Słota, Waldemar Hołubowski. Gliwice, Wydaw. Politechniki Śląskiej, s. 325-343.

[O29] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Damian Słota, Tomasz Trawiński, Wojciech Kołton,2015, On the three, five and other periodic orbits of some polynomials. (Analysis andSimulation of Electrical and Computer Systems. Eds. Lesław Gołębiowski, Damian Mazur.Berlin, Springer), Lecture Notes in Electrical Engineering, vol. 324, s. 91-107.

[O30] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Alicja Wróbel, 2015, On application of decomposi-tions of the known two variable polynomials to generating some identities of trigonometric

nature. Int. J. Pure Appl. Math., vol. 101 no. 4, s. 561-569.

[O31] Roman Wituła, Edyta Hetmaniok, Alicja Wróbel, Jarosław Matlak, 2015, On the limitsof quotients of polynomials in two variables. J. Appl. Math. Comp. Mech., vol. 14 iss. 1,s. 121-132, punktacja MNiSW 6.

Ad 1. Na osiągnięcie to składają się publikacje [O1–O13].

W ostatnich latach liczne zastosowania znalazły metody przybliżone o charakterze analitycz-nym, pozwalające znajdować rozwiązania różnego rodzaju liniowych i nieliniowych problemówmatematycznych oraz technicznych. Do metod tych zaliczają się, między innymi, metoda de-kompozycji Adomiana, wariacyjna metoda iteracyjna, iteracyjna metoda Picarda, homotopijnametoda perturbacyjna oraz homotopijna metoda analizy. W swoim ogólnym matematycznymsformułowaniu metody te pozwalają rozwiązywać liniowe i nieliniowe równania operatorowew taki sposób, że konstruowany jest ciąg lub szereg funkcyjny, którego granicą (lub sumą) przyodpowiednich założeniach jest funkcja będąca rozwiązaniem rozważanego zagadnienia. W więk-szości rozpatrywanych przypadków odpowiednie ciągi lub szeregi są dość szybko zbieżne, dziękiczemu policzenie już kilku pierwszych wyrazów często zapewnia bardzo dobre przybliżenie szu-kanego rozwiązania. O popularności wymienionych metod świadczy fakt, że poświęcone są im

27

numery specjalne różnych czasopism, w tym również czasopism należących do ISI Master Jour-nal List (na przykład Computers and Mathematics with Applications, Topological Methods inNonlinear Analysis).Tematem artykułów [O1–O13] jest opis zastosowania wymienionych metod analitycznych

do rozwiązywania zagadnień matematycznych (w szczególności do rozwiązywania równań cał-kowych) oraz technicznych (opisanych równaniami różniczkowymi i dotyczących odwrotnychzagadnień przewodnictwa ciepła). Zaletą stosowanych tutaj metod jest to, że pozwalają one wy-znaczyć rozwiązanie w postaci funkcji ciągłej, co ma duże znaczenie z matematycznego punktuwidzenia, zapewnia bowiem wiele pożytecznych własności otrzymanego rozwiązania. Uzyskanierozwiązań zagadnień przewodnictwa ciepła w postaci funkcji ciągłych jest również interesujące,umożliwia bowiem, na przykład, analizę procesów krzepnięcia pod względem powstawania wadodlewu.W pracy [O1] przedstawione jest zastosowanie iteracyjnej metody Picarda do rozwiązania

dwufazowego zagadnienia Stefana, polegające na wyznaczeniu rozkładu temperatury w rozważa-nym obszarze oraz określeniu położenia granicy rozdziału faz. Istotą metody Picarda jest zbudo-wanie zależności iteracyjnych w oparciu o postać równania przewodnictwa ciepła, pozwalającychwyznaczać rozkłady temperatury w rozpatrywanym obszarze, natomiast nieznane położenie gra-nicy rozdziału faz jest tutaj przybliżane kombinacją liniową funkcji bazowych. Współczynnikitej kombinacji liniowej wyznaczane są poprzez minimalizację odpowiednio zbudowanego funkcjo-nału. W pracy pokazany jest również przykład ilustrujący dokładność oraz szybkość zbieżnościrozważanej procedury iteracyjnej do rozwiązania dokładnego.Problem ruchomego brzegu reprezentuje grupę zagadnień, w których rozważany obszar ogra-

niczony jest ruchomym, zmieniającym się w czasie brzegiem. Rozwiązanie takiego zagadnieniapolega na wyznaczeniu funkcji spełniającej równanie różniczkowe zadane w rozpatrywanym ob-szarze wraz z odpowiednimi warunkami brzegowymi oraz określeniu funkcji opisującej położe-nie ruchomego brzegu. Artykuł [O2] przedstawia porównanie dwóch metod wykorzystanych dorozwiązania zagadnienia z ruchomym brzegiem: metody dekompozycji Adomiana i wariacyjnejmetody iteracyjnej (VIM). Pierwsza z metod, autorstwa G. Adomiana, polega na przedstawieniuszukanej funkcji w postaci szeregu funkcyjnego, a następnie na wyprowadzeniu, przy pomocyzadanych warunków początkowych i brzegowych oraz zaproponowanych przez autora metodyspecjalnych wielomianów Adomiana, wzoru rekurencyjnego określającego postać kolejnych wy-razów szeregu. Również metoda VIM, wprowadzona przez Ji-Huan He, polega na wyprowadze-niu związku rekurencyjnego pozwalającego, na podstawie zadanego przybliżenia początkowego,wyznaczyć przybliżone rozwiązanie zadania. Związek ten powstaje na drodze konstrukcji odpo-wiedniego funkcjonału korygującego, związanego z rozwiązywanym równaniem i zawierającegotak zwany uogólniony mnożnik Lagrange’a, wyznaczany w oparciu o rachunek wariacyjny. Wpracy [O3] zaprezentowane zostało natomiast zastosowanie wariacyjnej metody iteracyjnej dowyznaczenia temperatury w niejednorodnym układzie odlew-forma. Zagadnienie modelowanejest układem dwóch równań przewodzenia ciepła, dla odlewu oraz formy, na styku których za-dany jest warunek brzegowy z niezerowym oporem cieplnym.W pracach [O4] oraz [O5] opisane jest zastosowanie homotopijnej metody perturbacyjnej do

rozwiązania odwrotnego zagadnienia przewodzenia ciepła z różnie sformułowanymi warunkamibrzegowymi. W obu przypadkach zadanie dotyczyło wyznaczenia rozkładu temperatury w ob-szarze oraz odtworzenia funkcji opisujących temperaturę i strumień ciepła na brzegu obszaru,gdy znane były pomiary temperatury w wybranych punktach obszaru, zaś zastosowana meto-da polega na konstrukcji, w oparciu o odpowiednio zdefiniowany operator homotopii, szeregufunkcyjnego, którego sumą jest funkcja będąca rozwiązaniem rozważanego zagadnienia.Homotopijna metoda analizy została opracowana w latach dziewięćdziesiątych ubiegłego wie-

ku przez Shijun Liao i jej zastosowanie do rozwiązania równania przewodnictwa ciepła w niejed-norodnym układzie odlew-forma, przy założeniu idealnego kontaktu na styku odlewu i formy,

28

zostało zaprezentowane w pracy [O6]. W opisywanej metodzie tworzony jest szereg, któregoelementy spełniają pewne równanie różniczkowe wynikające z rozważanego zagadnienia i w któ-rym pojawia się odpowiednio sformułowany i wyznaczany współczynnik kontroli zbieżności. Jeśliotrzymany szereg jest zbieżny, to jego suma jest rozwiązaniem wyjściowego równania. W pra-cy sformułowany został warunek wystarczający tej zbieżności, podano także oszacowanie błędurozwiązania przybliżonego, które uzyskujemy, gdy ograniczymy się do sumy częściowej rozważa-nego szeregu. Podobnie w pracy [O7] przedstawiono wykorzystanie homotopijnej metody analizydo rozwiązania dwuwymiarowego stacjonarnego zagadnienia przewodzenia ciepła ze sformuło-waniem warunku wystarczającego zbieżności tworzonego szeregu oraz oszacowaniem błędu roz-wiązania przybliżonego. W pracy [O8] w podobny sposób homotopijna metoda analizy zostaławykorzystana do rozwiązania jednofazowego odwrotnego zagadnienia Stefana polegającego nawyznaczeniu rozkładu temperatury w danej dziedzinie oraz strumienia ciepła na brzegach ob-szaru. Wreszcie praca [O9] dotyczy zastosowania metody homotopii do rozwiązania odwrotnegodwufazowego problemu Stefana, gdzie rozwiązanie złożonego problemu z nieznanym i rucho-mym brzegiem sprowadzone zostało do analizy problemu odwrotnego ze znaną postacią brzeguruchomego. Rozwiązanie tak postawionego problemu poszukiwane jest przez zbudowanie odpo-wiedniego operatora homotopii z określonym parametrem homotopii oraz parametrem kontrol-nym i znajdowane jest za pomocą szeregu aproksymacyjnego, dla którego podano dostatecznewarunki zbieżności.W pracy [O10] przedstawiono zastosowanie homotopijnej metody perturbacyjnej do rozwią-

zania równań całkowych Fredholma i Volterry drugiego rodzaju. W pracy sformułowano orazudowodniono warunki jakie muszą być spełnione aby tworzony szereg funkcyjny był zbieżny,wyprowadzono również wzory na oszacowanie błędów rozwiązania przybliżonego, które uzysku-jemy gdy ograniczymy się do sumy częściowej szeregu. Na podkreślenie zasługuje fakt, że jest tojedna z pierwszych prac, w której podano wyniki teoretyczne, dotyczące zbieżności i oszacowaniabłędu, dla homotopijnej metody perturbacyjnej. Również w pracy [O11] zaprezentowana zostałametoda rozwiązania równania całkowego Volterry-Fredholma drugiego rzędu oparta na homo-topijnej metodzie perturbacyjnej. W pracy przedstawione i udowodnione zostało zagadnieniezbieżności tworzonego szeregu, a także oszacowanie błędu rozwiązania przybliżonego. W pra-cy [O12] dyskutowane jest zastosowanie homotopijnej metody perturbacyjnej do rozwiązaniauogólnionych liniowych równań całkowych. Oprócz rozważań teoretycznych dotyczących zbież-ności tworzonego w metodzie szeregu i oszacowania błędu rozwiązania przybliżonego, w pracytej podano przykład wykorzystania metody do przybliżonego rozwiązania równania mającegopraktyczne zastosowanie do obliczania napięcia zasilaczy lamp błyskowych używanych w apa-ratach fotograficznych. Praca [O13] przedstawia natomiast zastosowanie homotopijnej metodyanalizy do rozwiązywania liniowych i nieliniowych równań całkowych drugiego rzędu. Podobniejak w poprzedniej pracy, zaprezentowane w niej zostały warunki zapewniające zbieżność two-rzonego szeregu oraz oszacowanie błędu rozwiązania przybliżonego, podano ponadto przykładyzastosowania badanej metody, w tym również zastosowania praktyczne w elektronice, dotyczące,jak wcześniej, obliczania napięcia w zasilaczach lamp stosowanych w aparatach fotograficznych.

Ad 2. Na osiągnięcie to składają się publikacje [O14–O16].

Pozycja [O14] poświęcona jest ważnemu, a zarazem podstawowemu zagadnieniu dla wie-lu działów matematyki, a mianowicie twierdzeniom o wartościach średnich. Nazwą twierdzeniao wartości średniej obejmuje się całą gamę twierdzeń odnoszących się zarówno do funkcji różnicz-kowalnych, jak i do funkcji całkowalnych i to w odniesieniu do funkcji rzeczywistych, zespolonych,a także wektorowych. Lista tych twierdzeń nie jest zamknięta i ciągle inspiruje badaczy. Histo-ria twierdzeń o wartości średniej sięga początków klasycznej analizy matematycznej i wiąże się

29

z nazwiskami największych jej współtwórców. Pełna jest nieoczekiwanych wątków i zaskakujerozwojem zdarzeń, które autorzy starali się naświetlić. Książka ta jest adresowana do szerokiegokręgu odbiorców, zarówno studentów kierunku matematyka, studentów studiów doktoranckichkierunków technicznych, a także pracowników naukowych, którzy w swoich badaniach stosująmetody klasycznej analizy matematycznej, oraz licznego grona miłośników królowej nauk.Uzupełnienie monografii [O14] stanowią: praca [O15], w której udowodniono silną wersję

klasycznego drugiego twierdzenia o wartości średniej dla całek oraz praca [O16], w której z koleiudowodniono, że uogólnienia Kubika klasycznych twierdzeń o wartości średniej dla jednostronnieróżniczkowalnych funkcji są równoważne wynikom Karamaty i Vuckovica, jak również podanoprzykłady zastosowań tych twierdzeń.

Ad 3. Na osiągnięcie to składają się publikacje [O17-O22].

Celem prac [O17-O22] jest dyskusja wybranych zagadnień analizy rzeczywistej związanychz szeregami i ciągami liczbami rzeczywistych, a w szczególności z ciągami pewnych szczególnychliczb zwanych liczbami Fibonacciego, liczbami Lucasa, liczbami Bernoulliego i tym podobnymi.Praca [O17] przedstawia nową metodę generowania tożsamości dla liczb Fibonacciego i Lu-

casa. Metoda ta oparta jest na podstawowych tożsamościach dla potęg złotego podziału i jegosprzężeń. Tożsamości te podają wiele interesujących związków między liczbami Fibonacciegoi Lucasa a liczbami Bernoulliego, Catalana, współczynnikami dwumianowymi, liczbami delta-Fibonacciego itd.W pracy [O18] rozważana jest pewna właściwość niepustej rodziny, oznaczonej przez W,

rosnących ciągów dodatnich liczb rzeczywistych zwana własnością szeregu harmonicznego. Mó-wimy, że rodzina W posiada tę własność, jeśli dla każdego skończonego ciągu elementów tejrodziny, to znaczy dla każdego k ∈ N, a(i)n ∞n=1 ∈ W, i = 1, ..., k, mamy

∞∑

n=1

(

a(1)n + a(2)n + ...+ a

(k)n

)

−1=∞

(ciągi a(i)n ∞n=1 oraz a(j)n ∞n=1 dla różnych indeksów i oraz j mogą być takie same). W pracy

tej zostało udowodnione, że każdy maksymalny, ze względu na relację inkluzji, podzbiór rodzinyrosnących ciągów dodatnich liczb całkowitych, posiadający własność szeregu harmonicznego,jest mocy continuum. W pracy dyskutowane są również inne własności rodziny rosnących ciągówdodatnich liczb rzeczywistych.W pracy [O19] rozważane jest zagadnienie przybliżania liczb rzeczywistych przy pomocy

szeregów liczb rzeczywistych. Zostało udowodnione, że jeśli dana rodzina ciągów liczb rzeczywi-stych spełnia pewne warunki natury mnogościowej, jak zamknięcie ze względu na początkowepodciągi oraz własność dodawania i usuwania elementów, wówczas automatycznie posiada pew-ne przybliżające własności, jak np. osiąganie supremum zbioru sum podszeregów. Kontynuacjębadań podjętych w tej pracy stanowi pozycja [O20], w której rozważany jest problem polegają-cy na przedstawieniu pewnego warunku wystarczającego dla aproksymacji wybranych punktówprzestrzeni unormowanych przy pomocy podszeregów danych szeregów.W pracy [O21] zdefiniowana została przeliczalna rodzina uogólnionych szeregów Gregory’ego

(spośród których wszystkie są szeregami potęgowymi o promieniu zbieżności równym jeden). Wy-znaczone zostały sumy Sn(x), n = 1, 2, . . . tych szeregów – najpierw w postaci całki oznaczonej,następnie w postaci skończonej kombinacji liniowej funkcji arcus tangens formy liniowej zmiennejx. Pozwoliło to uogólnić definicję funkcji Sn(x) na zmienną zespoloną x ∈ C \ 2n

√−1 dla każ-

dego n ∈ N. Ponadto w pracy otrzymano wiele fundamentalnych oraz zaskakujących całkowych

30

i trygonometrycznych tożsamości dla nowych funkcji Sn(x), uzyskanych w wyniku tego uogólnie-nia. W pracy przedstawiono również sumy szeregów różnic nieparzystych liczb harmonicznych.Wreszcie celem pracy [O22] była konstrukcja w dowolnej nieskończenie wymiarowej przestrzeniHilberta szeregu o elementach dążących do zera tak, aby szereg otrzymany po przestawieniuelementów posiadał dyskretny zbór punktów skupienia.

Ad 4. Na osiągnięcie to składają się publikacje [O23-O31].

Tematyka podejmowana w pracach [O23-O31] dotyczy dyskusji pewnych zagadnień analizyrzeczywistej związanych z wielomianami w ogólnej ich postaci, jak i ze szczególnymi przypadkamiwielomianów należących do wybranych rodzin.W pracy [O23] wyróżniony został nowy typ wielomianów dwóch zmiennych, tzw. wielomiany

Ma (na cześć chińskiego matematyka Xinronga Ma). Omówione zostały powiązania tych wielo-mianów z klasycznymi wielomianami Cauchy’ego i Ferrersa-Jacksona. W pracy tej zaprezento-wane zostały także pewne relacje podzielności dla tych wielomianów (jak i pewnych wielomianówsymetrycznych). Otrzymane w pracy tożsamości wiążące dyskutowane wielomiany zastosowanodo obliczania granic ilorazów wielomianów dwóch zmiennych.Celem pracy [O24] było przedstawienie i porównanie pewnych fundamentalnych analitycz-

nych własności tytułowych wielomianów wykładniczych i wielomianów Hermite’a. W pracy wy-różnionych zostało wiele podobieństw pomiędzy nimi, zamieszczonych zostało wiele osobliwychwyników, nowych dowodów i tożsamości.W pracy [O25] opisane zostały elementarne metody generowania tożsamości trygonome-

trycznych. Zaproponowane metody opierają się na analizie sum wymiernych potęg pierwiastkówwielomianów. Wśród badanych w pracy tożsamości można wymienić tożsamości związane z pier-wiastkami wielomianu Keplera oraz uogólnienia znanych równości Ramanujana.Praca [O26] dotyczy rozkładów wielomianów, w tym w szczególności wielomianów Faulhabe-

ra, na całki iterowane. Zostało w niej udowodnione zasadnicze twierdzenie prezentujące warunekkonieczny i wystarczający istnienia takiej dekompozycji. Warunki te dyskutowane są w szerszymkontekście teorii wielomianów rzeczywistych i zespolonych. Praca zawiera również liczne przy-kładowe rozkłady na całki iterowane znanych klasycznych wielomianów.W pracy [O27] pokazano nową geometryczną własność wielomianów Czebyszewa. Udowod-

niono w niej, że długości przekątnych n-kąta foremnego o bokach długości jeden stanowią su-my dodatnich pierwiastków znormalizowanych wielomianów Czebyszewa należących do jednegospośród czterech ich typów. W pracy tej przedstawiono również nowe rozkłady różnic wartościwielomianów Czebyszewa.W pracy [O28] dyskutowane są orbity okresowe odwzorowań związanych z granicznym od-

wzorowaniem logistycznym. W konsekwencji zostały zdefiniowane i intensywnie przebadane pew-ne nowe typy zmodyfikowanych wielomianów Czebyszewa. W pracy przedstawiono i dyskuto-wano wiele fundamentalnych związków charakteryzujących te wielomiany. Ponadto w pracy tejprzedstawiono pojęcie funkcji Czebyszewa dowolnego rzędu rzeczywistego oraz pojęcie to po-równano z innymi podobnymi pojęciami. Niniejsza tematyka kontynuowana jest w pracy [O29],w której ponadto wygenerowane zostały wszystkie trzy- i pięcio-okresowe orbity pewnych (zna-nych i nieco mniej znanych) kwadratowych i sześciennych wielomianów. W pracy tej dyskutowanesą także inne orbity okresowe oraz wielomiany rzędu większego niż cztery. Głównymi wielomia-nami rozważanymi w tej pracy są minimalne wielomiany 2 cosk 2π

2n−1 lub 2 sink 2π2n−1 dla k = 1, 2

oraz n = 4, 5, 6, 7, 8.W pracy [O30] pewne rozkłady wielomianów Ma, klasycznych wielomianów Cauchy’ego oraz

wielomianów Ferrera-Jacksona zostały wykorzystane do generowania pewnych tożsamości natu-ry trygonometrycznej. Ponadto w pracy dyskutowane są ewentualne zastosowania omawianych

31

dekompozycji do generowania pewnych tożsamości dla ogólnych ciągów rekurencyjnych drugiegorzędu. Wreszcie podobna tematyka podejmowana jest w pracy [O31], poświęconej różnym ro-dzajom dekompozycji i faktoryzacji kilku rodzin wielomianów symetrycznych dwóch zmiennych,w tym wielomianów Ma, klasycznych wielomianów Cauchy’ego, wielomianów Ferrera-Jacksonajak i innych podstawowych rodzin wielomianów. W pracy tej pokazano również zastosowanie dys-kutowanych rozkładów wielomianów do wyznaczania granic ilorazów odpowiednich wielomianówdwóch zmiennych. Udowodnione zostały także pewne ogólne twierdzenia dotyczące rozważanychgranic.

32