autosimilaridad en vinculaciones

Autosimilaridad en vinculaciones

Francisco Berrizbeitia Universidad Simón BolívarTeoría de la computación

Junio 2014


Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014

Temario

Autosimilitud de forma generalAutosimilitud en vinculaciones

Generación de vinculaciones autosimilares



“En Matemática, la autosimilaridad, a veces llamada autosimilitud o autosemejanza, es la propiedad de un objeto (llamado objeto autosimilar) en el que el todo es exacta o aproximadamente similar a una parte de sí mismo, por ejemplo cuando el todo tiene la misma forma que una o varias de sus partes. Muchos objetos del mundo real, como las costas marítimas, son estadísticamente autosimilares: partes de ella muestran las mismas propiedades estadísticas en diversas escalas. La autosimilaridad es una propiedad de los fractales.”



Exacta

Aproximada



http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_landscape



¿Dónde podemos encontrar objetos autosimilares?

¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? (Mandelbrot 1967)




The misbehavior of markets(Mandelbrot 2008)



¿Dónde podemos encontrar objetos autosimilares?Internet traffic viewed on different time scales is self-similar (fractal)

http://www.math.duke.edu/~rtd/p6/




Medicina




Plantas



¿Dónde podemos encontrar objetos autosimilares?Teoría del caos

Atractores extraños



¿Por qué estudiar esto?



¿Por qué estudiar esto?Modelado de datos como grafos:

Graph DatabasesRDFOWL



¿Por qué estudiar esto?Modelado de datos como grafos:

Graph DatabasesRDFOWL

Detección de invariantesGeneración de datos sintéticos



VínculosEstructuras de vínculos

Autosimilitud en estructuras de vínculos



Vínculo



Vinculación



Las vinculaciones las podemos interpretar como un grafo dirigido

{¦<:a,b:>,<:a,c:>,<:b,d:>,<:c:d:>}

El largo de los lados y la forma de figura no aportan ninguna información, la información esta únicamente en la adyacencia de los nodos y la

orientación de los arcos.



En teoría de grafos, un isomorfismo entre dos grafos G y H es una biyección f entre los conjuntos de sus vértices

que preserva la relación de adyacencia. Es decir, cualquier par de vértices u y v de G son adyacentes si y solo si lo son sus imágenes, f(u) y f(v), en H.



Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo,

aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.

Una vinculación es autosimilar si se puede expresar como la unión de vinculaciones

isomorfas entre sí.



Por ejemplo la siguiente vinculación es autosimilar porque se puede representar como

{¦<:a,b:>,<:a,c:>,<:b,d:>,<:c:d:>} U {¦<:c,d:>,<:c,e:>,<:e,f:>,<:d:f:>} U {¦<:e,f:>,<:e,g:>,<:f,h:>,<:g:h:>}

que son claramente isomorfas entre sí.



Generación de complejidad en estructuras de vinculación



AnexiónSean V’ y V dos vinculaciones donde V tiene un único final y V’ un único inicio, la anexión de V’ a V es el resultado de crear un vínculo <:v,v’:> donde v corresponde al elemento no marcado

del final de V y v’ es el elemento marcado del inicio de V’ y unir ambas vinculaciones y el nuevo vínculo.



Sustitución

Dado un vínculo <:a,b:> en una vinculación V, y una vinculación V’ con un único inicio y un único final tal como está definido en

(Baralt Torrijos, Vinculación, 2014)

La sustitución <:a,b:> por V’ en V el resultado de sustraer <:a,b:> de V, sustituir el inicio de

V’ por el elemento marcado de <:a,b:> , el final de V’ por el elemento no marcado de

<:a,b:> y unir V’ a V.



Sustitución



Sistemas de Lindenmeyer en vinculacionesLos sistema L son definidos como un conjunto

G = {V, S, ω, P},

Donde

• V (el alfabeto) es un conjunto de símbolos que contiene elementos que pueden ser remplazados (variables)

• S es un conjunto de símbolos que contiene elementos que se mantiene fijos (constantes)

• ω es una cadena de símbolos de V que definen el estado inicial del sistema (inicio o axioma)

• P es un conjunto de reglas o producciones que definen la forma en la que las variables pueden ser remplazadas por combinaciones de constantes y otras variables. Una producción está formada por dos cadenas — el predecesor y el sucesor.

Las reglas gramaticales de los sistemas-L se aplican iterativamente a partir de un estado inicial.



Variables : FConstantes : + −Inicio : FReglas : (F → F-F++F-F)

Aquí, F significa "dibujar hacia adelante", + significa "vuelta de 45° hacia la izquierda", y - significa "vuelta de 45° hacia la derecha".

Curva de Koch

http://www.kevs3d.co.uk/dev/lsystems/

1 Iteración 3 Iteraciones 6 Iteraciones



Sea donde Z son los número enteros y la colección de los elementos posibles en una vinculación. En la cadena un número

a la derecha de un elemento significa que hay vínculo cuyo elemento destacado es el elemento a la izquierda del número y el no destacado el j-esimo elemento de la cadena (a la derecha si

es positivo o a la izquierda si es negativo) de la cadena.

C = a12b2c1d genera la siguiente vinculación V = {¦<:a,b:>,<:a,c:>,<:b,d:>,<:c,d:> }



Variables: A,B,C,DInicio: AReglas: A → A12B2C1D

Haciendo dos iteraciones tenemos:

V = A12B2C1D12B2C1D

Ejemplo

Si permitimos que la variables “se instancien” como elementos de una colección podemos obtener una vinculación mucho más interesante ya

que los vínculos no estarían repetidos con los mismo elementos.



Conclusiones

autosimilaridad en vinculaciones

Science